13年高考真题—理科数学13：导数与定积分
2013-2019高考理科数学分类汇编-第3章 导数与定积分-2 导数的应用1
第二节 导数的应用题型33 利用导数研究函数的单调性1.（2013江苏20）设函数ax x x f -=ln )(，()e xg x ax =-，其中a 为实数.（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；（2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论. 2.（2015湖南理5）设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（ ）.A.奇函数，且在()0,1上是增函数 B. 奇函数，且在()0,1上是减函数 C. 偶函数，且在()0,1上是增函数 D. 偶函数，且在()0,1上是减函数2. 解析 由已知()f x 的定义域为()1,1-，关于原点对称. 又因为()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，所以()f x 为奇函数. 求导()2112'111f x x x x=+=+--，当()0,1x ∈时，()'0f x >，即()f x 在()0,1上为增函数.故选A.评注 单调性也可以利用复合函数“同增异减”处理.3.（2015全国2理12）设函数()'f x 是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()'0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）． A. ()(),10,1-∞-U B. ()()1,01,-+∞U C. ()(),11,0-∞--U D. ()()0,11,+∞U 3. 解析 题意，设函数()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时， ()()0xf x f x '-<，故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数， 所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==． 当01x <<时，()0g x >，则()0f x >； 当1x <-时，()0g x <，则()0f x >.综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U .故选A ．评注 本题用导数研究函数的性质，注意构造函数()g x ，然后用其对称性和奇偶性对单调性的影响，必要时可以用图像辅助说明. 4.（2015福建理10）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）.A ．11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫<⎪--⎝⎭D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭4. 解析 由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->， 故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以11f k ⎛⎫-⎪-⎝⎭11k k >--，1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断．故选C ．5.（2015广东理19（1））设1a >，函数2()(1)e xf x x a =+-.求()f x 的单调区间. 5. 解析 函数()f x 的定义域为R ，()()()()()2221e 1e 1e 0x x x f x x x x '''=+++=+…，所以()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数.6.（2015湖北理22（1））已知数列{}n a 的各项均为正数，*1(1)()n n n b n a n n=+∈N ，e 为自然对数的底数．求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n +与e 的大小.6. 解析 ()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-. 当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增； 当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<.令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<.7.（2015江苏19（1））已知函数()32f x x ax b =++(),a b ∈R ．试讨论()f x 的单调性.7. 解析 由题意，()232f x x ax '=+233x x a ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 1︒当203a -=，即0a =时，()230f x x '=…对x ∈R 恒成立， 故()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；2︒当203a ->，即0a <时， 令()2303f x x x a ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，则0x <或23x a >-，所以()f x 的单调递增区间为(),0-∞和,23a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为30,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；3︒当203a -<，即0a <时， 令()2303f x x x a ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，则23x a <-或0x >， 所以()f x 的单调递增区间为23,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,+∞，单调递减区间为023,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．8.（2015全国2理21（1））设函数()2emxf x x mx =+-.证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增.8. 分析（1）先对函数进行求导，然后再应用单调性和函数的导数的关系进行求解； 解析（1）证明：因为()2e,mxf x x mx =+-，则求导得，()e 2,mx f x m x m '=+-()()e 12mx f x m x '=-+.若0m …，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx-„，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，e10mx-…，()'0f x >.若0m <，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx ->>，()0f x '<； 当()0,x ∈+∞时，e 10mx -<<，()'0f x >.所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.9.（2015四川理21（1））已知函数()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >.设()g x 为()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；9. 分析 首先对函数()f x 求导，得()()222ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫'==---+⎪⎝⎭， 然后再求导得()222112222242x a a g x x x x⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=-+=. 利用导数的符号即得其单调性.此题分1204a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭和1204a ⎛⎫- ⎪⎝⎭…两种情况讨论. 解析 由已知可得函数()f x 的定义域为()0,+∞.()()222ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫'==---+ ⎪⎝⎭，所以()222112222242x a a g x x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=-+=. 当104a <<时，()g x在区间10,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在区间1122⎛+ ⎝⎭上单调递减. 当14a …时，()g x 在区间()0,+∞上单调递增. 10.（2015天津理20（1））已知函数(),n f x nx x x =-∈R ，其中*n ∈N ，2n ….讨论()f x 的单调性.10. 分析 求导，分n 为奇数与偶数讨论其导数的符号及函数单调性即可. 解析 由()n f x nx x =-，可得()1n f x n nx -'=-，其中*n ∈N 且2n …， 下面分两种情况讨论：(i)当n 为奇数时，令()0f x '=，解得1x =或1x =-， 当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如表所示.所以，()f x 在(,-∞-. (ii)当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.11.（2015重庆理20（2））设函数()()23exx axf x a +=∈R .若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围.11. 解析 由（1）知()()236ex x a x af x -+-+'=令()()236g x x a x a =-+-+，则()g x 为()f x '的同号函数.因为()f x 在[)3,+∞上为减函数，所以()0f x '„在[)3,+∞上恒成立， 即()0g x „在[)3,+∞上恒成立.首先()30g „， 即()2763920a a a -+-⨯+=--„，解得92a -…. 反之当92a -…时，()g x 在[)3,+∞上单调递减，且()30g „， 所以[)3,x ∀∈+∞，()0f x '„，()f x 在[)3,+∞上单调递减； 当92a <-时，()30g >，故()03,x ∃∈+∞，使得()00g x =， 故()f x 在()03,x 上单调递增，与题意不符. 综上， a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,29．12.（2016北京理18）设函数()e a x f x x bx -=+，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()e 14y x =-+. （1）求,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间.12.解析 （1）由题可得()e (1)a x f x x b -'=-+. 再由题设，可得22(2)e e 1(2)2e 22(e 1)4a a fb f b --'⎧=-+=-⎪⎨=+=-+⎪⎩，解得2a =，e b =. （2）由（1）的解答及题设，可得()2e (1)e x f x x -'=-+，()f x '的导函数2(())e (2)x f x x -''=-.所以函数()f x '在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，所以min ()(2)e 10f x f ''==->，即()0f x '>对x ∈R 恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞，无单调递减区间.13.（2016全国甲理21）（1）讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>；（2） 证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x--> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.13.解析 （1）证明：由已知得，函数的定义域为由已知得， 2x ≠-.因为()2e 2x x f x x -=+，所以()()()22224e e 222x x x x f x x x x ⎛⎫-'=+=⎪ ⎪+++⎝⎭. 因为当x ∈()()22-∞--+∞U ，，时，()0f x '>，所以()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增， 所以当0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+，所以()2e 20x x x -++>.（2）由已知得，()()()24e2e xx a x x ax a g x x----'=()4e 2e 2=x x x x ax a x-++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭，[)01a ∈，. 解法一：记()2e 2xx h x a x -=++，因为()()01020h a h a =-<=，…，所以由（1）知()h x 在[)02，上存在唯一零点.记零点为0x ，即()00h x =，则()g x 在()00x ，上单调递减，在()02x ，上单调递增.故0x 为()g x 的极小值，此时极小值为()0g x . 因为0002e 02x x a x -+=+，所以[)(]0002e 0022x x a x x -=-∈⇒∈+，1，. 所以()()()000000000220002e e 12e 1e =2x x x x x x x a x x x x x ⎛⎫---+ ⎪+-+⎝⎭==+g . 记()000e 2x P x x =+，，则()()()()0002200e +2e 1=e 0+2+2x x xx x P x x x -+'=>， 所以()0P x 在(]002x ∈，上单调递增，所以()201e 24P x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，.解法二：由(1)知，当0x >时，()2e 2xx f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解，使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈，.当(0,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x t ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.()()()222e 1e e 1e 22t tttt t a t t h a tt t -++⋅-++===+. 记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，所以()k t 单调递增，所以()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，.14.（2016天津理20）设函数()()31f x x ax b =---，x ∈R ，其中,a b ∈R .（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=； （3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于．．．14.14. 解析 （1）由()()31f x x ax b =---，可得()()231f x x a '=--.下面分两种情况讨论： （i ）当0a „时，有()23(1)0f x x a '=--…恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.（ii ）当0a >时，令()0f x '=，解得1x =+1x =-当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示.所以()f x 的单调递减区间为1⎛+ ⎝⎭，单调递增区间为,1⎛-∞- ⎝⎭，1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >，且01x ≠.由题意，得()()200310f x x a '=--=，即()2013a x -=，进而()()300002133a af x x ax b x b =---=---. 又()032f x -=0233a ax b ---=()()3002232x a x b ----=()0081233ax ax a b -+--=()0f x ， 且0032x x -≠，由题意及（1）知，存在唯一实数满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此1032x x =-，即1023x x +=.（3）证明：设()g x 在区间[]0,2上的最大值为M ，max{,}x y 表示,x y 两数的最大值. 下面分三种情况讨论：（i ）当3a …时，1021<， 由（1）知，()f x 在区间[0,2]上单调递减，所以()f x 在区间[0,2]上的取值范围为[(2),(0)]f f ，因此max{|(2)|,|(0)|}max{|12|,|1|}M f f a b b ==----=max{|1()|,|1()|}a a b a a b -++--+=1(),01(),0a a b a b a a b a b -+++⎧⎨--++<⎩…，所以1||2M a a b =-++…. （ii ）当334a <„时，1011213333-<-<+<+剟. 由（1）和（2）知，(0)1133f f f ⎛⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…，(2)1133f f f ⎛⎫⎛+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭„， 所以()f x 在区间[0,2]上的取值范围为1,1ff ⎡⎤⎛⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此max 1,1M f f ⎧⎫⎛⎫⎛⎪⎪== ⎪ ⎨⎬ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭max a b a b ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭()()max a b a b ⎧⎫++=⎨⎬⎩⎭231944a b +⨯=…. （iii ）当304a <<时，0111123333<-<-<+<+<， 由（1）和（2）知，()011f f f ⎛⎛<=+ ⎝⎭⎝⎭，()211f f f ⎛⎛>=⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为()()0,2f f ⎡⎤⎣⎦，因此()(){}{}max0,2max 1,12M f f b a b ==----=()(){}1max 1,114a ab a a b a a b -++--+=-++>. 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于14. 15.（2018天津理20）已知函数()xf x a =，()log a g x x =，其中a >1. （I ）求函数()()lnh x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln ax g x a+=-； （III ）证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.15.命题意图 本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.解析（I ）由已知，()ln xh x a x a =-，有()ln ln xh x a a a '=-.令()0h x '=，解得0x =.由1a >，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：（II ）证明：由()ln xf x a a '=，可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln x a a .由1()ln g x x a'=，可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21ln x a .因为这两条切线平行，故有121ln ln xa a x a=，即122(ln )1x x a a =.两边取以a 为底的对数，得212log 2log ln 0a x x a ++=，所以122ln ln ()ln ax g x a+=-. （III ）证明：曲线()y f x =在点11(,)xx a 处的切线1111:ln ()xxl y a a a x x -=⋅-.曲线()y g x =在点22(,log )a x x 处的切线22221:log ()ln a l y x x x x a-=⋅-. 要证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线，只需证明当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，2(0,)x ∈+∞，使得1l 和2l 重合.即只需证明当1e e a ≥时，方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②有解，由①得1221(ln )x x a a =，代入②，得111112ln ln ln 0ln ln x x a a x a a x a a-+++=. ③ 因此，只需证明当1ee a ≥时，关于1x 的方程③有实数解.设函数12ln ln ()ln ln ln xxa u x a xa a x a a=-+++，即要证明当1e e a ≥时，函数()y u x =存在零点.2()1(ln )x u x a xa '=-，可知(,0)x ∈-∞时，()0u x '>；(0,)x ∈+∞时，()u x '单调递减，又(0)10u '=>，21(ln )2110(ln )a u a a ⎡⎤'=-<⎢⎥⎣⎦，故存在唯一的0x ，且00x >，使得0()0u x '=，即0201(ln )0x a x a -=.由此可得()u x 在0(,)x -∞上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减. ()u x 在0x x =处取得极大值0()u x .因为1ee a ≥，故ln(ln )1a ≥-， 所以0000002012ln ln 12ln ln 22ln ln ()ln 0ln ln (ln )ln ln x x a a a u x a x a a x x a a x a a a+=-+++=++≥≥.下面证明存在实数t ，使得()0u t <. 由（I ）可得1ln xa x a ≥+，当1ln x a>时， 有2212ln ln 12ln ln ()(1ln )(1ln )(ln )1ln ln ln ln a a u x x a x a x a x x a a a a≤+-+++=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，使得1()0u x =.所以，当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.题型34 利用导函数研究函数的极值与最值1. (2013重庆理17）设()()256ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线与y 轴相交于点()06，. （1）确定a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间与极值.2. （2013湖北理10）已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则（ ）.A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-3. (2013浙江理8）已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)xkf x x k =--=，则A.当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B.当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C.当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D.当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值4. (2013福建理17）已知函数()()ln f x x a x a =-∈R（1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在点()1,(1)A f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的极值5.（2013湖北理22）设n 是正整数，r 为正有理数． （1） 求函数()x f =)1(1)1()1(1->-+-++x x r x r 的最小值；（2） 证明：11(1)1r r n n r ++--+<rn <11(1)1r r n n r +++--； （3） 设∈x R ，记[]x 为不小于．．．的最小整数，例如[]22=，[π]4=，312⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦． 令S =+++333838281L3125，求[]S 的值．（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈） 6. （2013山东理21）设函数2()ex xf x c =+（e 2.71828=L 是自然对数的底数，c ∈R ）.（1）求()f x 的单调区间、最大值；（2）讨论关于x 的方程ln ()x f x =根的个数.7．（2013广东理21）设函数()()21e xf x x kx =--(其中k ∈R ).(1) 当1k =时，求函数()f x 的单调区间； (2) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 8.（2013浙江理22）已知a ∈R ，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f （1）求曲线)(x f y =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值.9．（2013四川理21） 已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设()11,()A x f x ，()22,()B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．（1）指出函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值；（3）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．10.（2014 新课标2理12）设函数()xf x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）. A.()(),66,-∞-+∞U B.()(),44,-∞-+∞UC.()(),22,-∞-+∞UD.()(),11,-∞-+∞U11.（2014 安徽理 18）（本小题满分12分） 设函数()()2311f x a x x x =++--，其中0a >.（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（2）当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值.12.（2014 北京理 18）（本小题13分）已知函数()πcos sin ,0,2f x x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦， （1）求证：()0f x „； （2）若sin x ab x <<在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 13.（2014 大纲理 22）（本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()111,ln 1n n a a a +==+，求证：23+22n a n n <+„.14.（2014 江西理 18）（本小题满分12分）已知函数()(2f x x bx b=++()b ∈R .（1）当4b =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值范围.15.（2014 重庆理 20）本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分） 已知函数()()22ee ,,xx f x a b cx a b c -=--∈R 的导函数()f x '为偶函数，且曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为4c -.（1）确定,a b 的值；（2）若3c =，判断()f x 的单调性； （3）若()f x 有极值，求c 的取值范围16（2015安徽理21）设函数2()f x x ax b =-+. （1）讨论函数()sin f x 在22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （2）记()2000f x x a x b =-+，求函数()()0sin sin f x f x -在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值D ；（3）在（2）中，取000a b ==，求24a zb =-满足条件1D „时的最大值.16. 解析（1）()()2sin sin sin sin sin f x x a x b x x a b =-+=-+，22x ππ-<<．()()sin 2sin cos f x x a x '=-，22x ππ-<<． 因为22x ππ-<<，所以cos 0x >，22sin 2x -<<． ① 2a -„，b ∈R 时，函数()sin f x 单调递增，无极值； ② 2a …，b ∈R 时，函数()sin f x 单调递减，无极值； ③ 对于22a -<<，在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内存在唯一的0x ，使得02sin x a =． 02x x π-<„时，函数()sin f x 单调递减；02x x π<„时，函数()sin f x 单调递增， 因此，22a -<<，b ∈R 时，函数()sin f x 在0x 处有极小值()20sin 24a a f x f b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．（2）22x ππ-剟时，()()()000sin sin sin f x f x a a x b b -=-+-„00a a b b -+-，当()()000a a b b --…时，取2x π=，等号成立． 当()()000a a b b --<时，取2x π=-，等号成立． 由此可知，()()0sin sin f x f x -在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为00D a a b b =-+-．（3）1D „即为1a b +„，此时201a剟，11b -剟，从而214a zb =-„．取0a =，1b =，则1a b +„，并且214a z b =-=． 由此可知，24a zb =-满足条件1D „的最大值为1．17.（2015湖南理21（1））已知0a >，函数()[)()e sin 0,axf x x x =∈+∞. 记n x 为()f x 的从小到大的第n ()*n ∈N 个极值点，证明：数列(){}n f x 是等比数列.17. 解析 ()e sin e cos e (sin cos )axaxaxf x a x x a x x '=+=+e sin()ax x ϕ=+，其中a 1tan =ϕ，π02ϕ<<. 令 ()0f x '=，由0x …得 πx m ϕ+=，即*π,x m m ϕ=-∈N .对k ∈N ，若2π(21)πk x k ϕ<+<+，即2π(21)πk x k ϕϕ-<<+-，则()0f x '>； 若(21)π(22)πk x k ϕ+<+<+，即(21)π(22)πk x k ϕϕ+-<<+-，则()0f x '<. 因此，在区间((1)π,π)m m ϕ--与(π,π)m m ϕ-上，)('x f 的符号总相反， 于是，当*π,x m m ϕ=-∈N 时，)(x f 取得极值，所以*π,n x n n ϕ=-∈N .此时，()1()()esin(π)(1)e a n n a n n f x n πϕπϕϕ-+-=-=-，易知0)(≠n x f ， 且2[(1)π]π11(π)()(1)e e ()(1)en a n a n n a n n f x f x ϕϕ++-++--==--是常数， 故数列)}({n x f 是首项为(π)1()esin a f x ϕϕ-=，公比为πe a -的等比数列. 18.（2015全国1理12）设函数()()e 21x f x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）.A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭18.解析 设()()e 21xg x x =-，()h x ax a =-，可转化成存在唯一的整数0x ，使得()()g x h x <．因为()()e 21xg x x '=+，所以当12x <-时，()0g x '<，()g x 在 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减；当12x >-时，()0g x '>，()g x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．因为当0x =时，()01g =-，()00h =，所以()()00g h <．又因为存在唯一的整数0x ，使得()()g x h x <，所以()()()()1111g h g h ⎧⎪⎨--⎪⎩……， 即e 32eaa -⎧⎪⎨--⎪⎩……，解得32e a …，又因为1a <，所以312e a <„．故选D ．19.(2015山东理21（1）) 设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R . 讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由.19. 解析 由题意知，函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+'=+-=++．令()221g x ax ax a =+-+，()1,x ∈-+∞．当0a =时，()1g x =，此时()0f x '>，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，无极值点；当0a >时，()()28198a a a a a ∆=--=-．① 当809a <„时，0∆„，()0g x …，()0f x '…， ② 函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，无极值点； ③ 当89a >时，0∆>，设方程2210ax ax a +-+=的两根为1x ，2x ()12x x <．y=e x因为1212x x +=-，所以114x <-，214x >-．由()110g -=>，可得1114x -<<-．所以当()11,x x ∈-时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()12,x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增．因此函数有两个极值点．当0a <时，0∆>．由()110g -=>，可得11x <-．当()21,x x ∈-时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以函数有一个极值点．综上所述，当0a <时，函数有()f x 一个极值点； 当809a剟时，函数()f x 无极值点；当89a >时，函数()f x 有两个极值点． 20.（2015重庆理20（1））设函数()()23exx axf x a +=∈R .若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； 20. 解析 对()f x 求导得()()()()()2226e 3e 36e e x xxx x a x ax x a x a f x +-+-+-+'==，因为()f x 在0=x 处取得极值，所以()00f '=，即0=a ． 经检验，0x =为()f x 的极小值点.当0=a 时，()23ex x f x =， ()236e xx x f x -+'=，故()31e f =，()31e f '=． 从而()f x 在点()()1,1f 处的切线方程()331e ey x -=-，化简得3e 0x y -=． 21.（2016全国丙理21）设函数()cos2(1)(cos +1)f x a x a x =+-，其中0a >，记()f x 的最大值为A .（1）求()f x '； （2）求A ；（3）证明2.f x A '（）…21.解析 (1)()()2sin 21sin f x a x a x '=---.（2）当1a …时，()()()()()cos21cos 121320f x a x a x a a a f =+-++-=-=≤.因此32A α=-.当01a <<时，将()f x 变形为()()22cos 1cos 1f x a x a x =+--. 令()()2211g t at a t =+--，则A 是()g t 在[]1,1-上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为. 令，解得且，所以. （i ）当时，在内无极值点，，，，所以.（ii ）当时，在同一坐标中画出函数，，在上的图像.由上图，我们得到如下结论当时，.()1g a -=()132g a =-14at a-=()g t ()2211611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭1114a a --<<13a >-15a >15a >105a <„()g t ()1,1-()1g a -=()123g a =-()()11g g -<23A a =-115a <<y x =32y x =-2618x x y x++=1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭115a <<2618a a A a++=综上，. （3）由（1）得.当时，； 当时，，所以； 当时，.所以； 综上所述有.22.（2016全国甲理21）（1）讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>；（2） 证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax a g x x x--> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.22.解析 （1）证明：由已知得，函数的定义域为由已知得， .因为，所以. 因为当时，，所以在和上单调递增， 所以当时，，所以.（2）由已知得，，.2123,05611,18532,1a a a a a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪<<⎨⎪->⎪⎪⎩„()()2sin21sin 21f x a x x a a α'=---+-„105a <„()()1242232f x a a a A '+-<-=??115α<<131884a A a =++…()12f x a A '+<?1a ≥()31642f x a a A '--=??()2f x A '„()2f x A '„2x ≠-2()e 2x x f x x -=+()()()22224e e 222x x x x f x x x x ⎛⎫-'=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭x ∈()()22-∞--+∞U ，，()0f x '>()f x ()2-∞-，()2,-+∞0x >()2e 0=12xx f x ->-+()2e 20x x x -++>()()()24e2e xx a x x ax a g x x----'=()4e 2e 2=x x x x ax a x-++=()322e 2x x x a x x -⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭[)01a ∈，解法一：记，因为，所以由（1）知在上存在唯一零点.记零点为，即，则在上单调递减，在上单调递增. 故为的极小值，此时极小值为. 因为，所以. 所以. 记，，则， 所以在上单调递增，所以.解法二：由(1)知，当时，的值域为，只有一解，使得，. 当时，，单调递减；当时，，单调递增.. 记，在时，，所以单调递增，所以.23.（2016天津理20）设函数()()31f x x ax b =---，x ∈R ，其中,a b ∈R .（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=；()2e 2xx h x a x -=++()()01020h a h a =-<=，…()h x [)02，0x ()00h x =()g x ()00x ，()02x ，0x ()g x ()0g x 0002e 02x x a x -+=+[)(]0002e 0022x x a x x -=-∈⇒∈+，1，()()()000000000220002e e 12e 1e =2x x x x x x x a x x x x x ⎛⎫---+ ⎪+-+⎝⎭==+g ()000e 2x P x x =+()()()()0002200e +2e 1=e 0+2+2x x xx x P x x x -+'=>()0P x (]002x ∈，()201e 24P x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，0x >()2e 2xx f x x -=⋅+()1-+∞，2e 2tt a t -⋅=-+(]02t ∈，(0,)x t ∈()0g x '<()g x (,)x t ∈+∞()0g x '>()g x ()()()222e 1e e 1e 22t tttt t a t t h a tt t -++⋅-++===+()e 2t k t t =+(]0,2t ∈()()()2e 102t t k t t +'=>+()k t ()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，（3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于．．．14. 23. 解析 （1）由，可得. 下面分两种情况讨论： （i ）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（ii ）当时，令，解得或. 当变化时，，的变化情况如表所示.所以的单调递减区间为，单调递增区间为，. （2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知，且. 由题意，得，即，进而. 又， 且，由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，即.（3）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.()()31f x x ax b =---()()231f x x a '=--0a „()23(1)0f x x a '=--…()f x (),-∞+∞0a >()0f x '=13x =+13x =-x ()f x '()f x ()f x 1⎛+ ⎝⎭,1⎛-∞- ⎝⎭13⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭()f x 0a >01x ≠()()200310f x x a '=--=()2013ax -=()()300002133a af x x ax b x b =---=---()()()()30000083222321233af x x a x b x ax a b -=----=-+--=0233a ax b ---=()0f x 0032x x -≠()()10f x f x =10x x ≠1032x x =-1023x x +=()g x []0,2M max{,}x y ,x y下面分三种情况讨论： （i ）当时，，由（1）知，在区间上单调递减， 所以在区间上的取值范围为，因此，所以. （ii ）当时，. 由（1）和（2）知，，， 所以在区间上的取值范围为， 因此. （iii ）当时，， 由（1）和（2）知，，3a (102133)-<+剟()f x [0,2]()f x [0,2][(2),(0)]f f max{|(2)|,|(0)|}max{|12||1|}Mf f a b b ==----=，max{|1()|,|1()|}a a b a a b -++--+=1(),01(),0a a b a b a a b a b -+++⎧⎨--++<⎩...1||2M a a b =-++ (3)34a <„1011213333-<-<+<+剟(0)11f f f ⎛⎛=+ ⎝⎭⎝⎭…(2)1133f f f ⎛⎛+=- ⎝⎭⎝⎭„()f x[0,2]1,1ff ⎡⎤⎛⎛+-⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦max 1,1M f f ⎧⎫⎛⎫⎛⎪⎪=+= ⎪ ⎨⎬ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭max a b a b ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭()()max a b a b ⎧⎫-++=⎨⎬⎩⎭231944a b +⨯= (3)04a <<011112<<<+<<()01133f f f ⎛⎛⎫<-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以在区间上的取值范围为，因此. 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于. 24.（2017江苏20）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.（1）求关于的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：；（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围． 24.解析 （1）由，得，当时，有极小值为．因为的极值点是的零点，所以，又，故． 当时，恒成立，即单调递增， 所以此时不存在极值，不合题意．因此，即，所以．有两个相异的实根，.列表如下()21133f f f ⎛⎛⎫>+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x []0,2()()0,2f f ⎡⎤⎣⎦()(){}{}max0,2max 1,12M f f b a b ==----=()(){}1max 1,114a ab a a b a a b -++--+=-++>0a >()g x []0,214()321f x x ax bx =+++()0,a b >∈R ()f x '()f x b a 23b a >()f x ()f x '72-a ()321f x x ax bx =+++()232f x x axb =++'3a x =-()f x '23a b -()f x '()f x 331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭0a >2239a b a =+()22120a b ∆=-„()2320f x x ax b =++'…()f x ()f x 24120a b ∆=->232223192730933a a a a a a a⎛⎫--+=-=> ⎪⎝⎭3a >()=0f x '1=3a x -2=3a x -+所以关于的函数关系式为，定义域为． （2）解法一：由（1）知，即证明，即， 因为，所以问题等价于，不妨设，则，不妨设，易知在上单调递增，且， 从而，即得证． 因此．解法二（考试院提供）：由（1． 设，则．当时，，从而在上单调递增． 因为，所以，故因此．（3）由（1）设的两个实根为，且设，且有，因此．而的情况如下表所示：12b a 2239a b a=+()3,+∞222339a a a ⎛⎫+>⎪⎝⎭424439138a a a a ++>0a >6341357290a a -+>3t a =()27,t ∈+∞()24135729g t t t =-+()g t 135,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭135278<()()227427135277290g t g >=⨯-⨯+=6341357290a a -+>23b a >()23=9t g t t+()22223227=99t g t t t --='t ⎫∈+∞⎪⎝⎭()0g t '>()g t ⎫+∞⎪⎝⎭3a >>((g g >=23b a >()2320f x x ax b =++='12,x x 12x x <12123123x x a x x b⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22212469a b x x -+=()f x从而． 记，所有极值之和为，因为的极值为，所以，． 处理方法一：因为，于是在上单调递减． 因为，由，故． 处理方法二：所以，整理得（必然可以猜测零点），，因此．因此的取值范围为．评注 ①此题第（2）问考查的是数值大小的比较，常见的有作差法、作商法、两边平方比较法，此题采用作商（考试院解法二）化简函数达到简化效果，可见对于压轴问题，方法的选择是非常关键的．②第（3）问实际考查的是函数零点的应用，下面提供此前我们做过的两个类似习题供参考．案例1：已知函数，若函数存在极值，且所有极值之和小于，则实数的取值范围是 ．解析 因为，设，当时，恒成立， 所以单调递减，故不存在极值；f x 12()()32321211122211=f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++()()()()222212112212121232322=3333x x x ax b x ax b a x x b x x ++++++++++()()221212122=33a x xb x x ++++3423227a ab-+324223202739a a a a ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭()f x ()f x '()h a ()f x '221339a b a a -=-+()2139h a a a=-+3a >()223=09h a a a'--<()h a ()3,+∞()76=2h -()()6h a h …6a „()213792h a a a =-+- (3)263540a a --„()()2621290a a a -++„6a „a (]3,6()2ln f x ax x x =--()f x 5ln 2+a ()12f x a x x=--'221x ax x -+-=()0x >()221g x x ax =-+-280a ∆=-„()0g x „()f x所以，设的两根为（不妨设），从而，因此同号， 所以问题等价于在上有两个不相等的实数根，因此，从而所以的所有极值之和为，因此，解得，又的取值范围是．④另外，如果熟悉三次函数对称中心，此题还可以作如下考虑：即，，， 令，则，所以该三次函数的对称中心为． 因此有． 这里可以采用假算的思想，即写出简单过程，省去中间过于复杂的运算过程，直接写出结果即可，这需要平时积累一些有价值的素材．案例2：（徐州15-16高二下学期期末文20）已知函数，为函数的导函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；280a ∆=->()2210g x x ax =-+-=12,x x 12x x <12102x x =>12,x x ()2210g x x ax =-+-=()0,+∞12,x x 212128002102a x x x x a ∆=⎧⎪⎪⎪+=>⎨>->⎪⎪=⎪⎩a >()f x ()()12f x f x +22111222ln l =n ax x x ax x x =--+--()()2121212122ln a x x x x x x x x +-++-2211ln 5ln 2242a a =-+-<+216a <44a -<<a >a ()()321f x x ax bx =+++()232f x x ax b =++'()62f x x a '+'=()620f x x a '=+='3ax =-,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1223a f x f x f ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3233321=a a a a b ⎡⎤=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎢⎣⎭⎥⎥⎦⎝3221273a a b ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦232232102739a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦()24ln f x x x a x=-+(),0a a ∈≠R ()f x '()f x 1a =()y f x =()()1,1f（2）求函数的单调区间；（3）若存在实数，且，使得，求证：．解析 （1）若，则，， 所以切线斜率为，又，所以在点处的切线方程为．（2），．①当时，恒成立，所以的单调增区间为； ②当时，令，得或，所以的单调增区间为和， 同理的单调减区间为；③当时，令，得．所以的单调增区间为，同理的单调减区间为．（3）由题意可知，是方程的两根，则，，所以．令，．则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即．()f x 12,x x 12x x <()()120f x f x ''==()24f x >-1a =()24ln f x x x x =-+()124f x x x'=-+()11f '=-(1)3f =-()y f x =()()1,1f 20x y ++=()22424a x x af x x x x='-+=-+0x >2a …()0f x '…()f x ()0,+∞02a <<()0f x '>0x <<x >()fx 20,2⎛⎫- ⎪⎝⎭22⎛⎫++∞⎪⎝⎭()fx 2222⎛-+ ⎝⎭0a <()0f x '>x >()fx ⎫+∞⎪⎝⎭()fx ⎛ ⎝⎭12,x x 2240x x a -+=()02a <<()221,22x +=∈22242a x x =-()222224ln f x x x a x =-+()2222222442ln x x x x x =-+-()()22442ln g x x x x xx =-+-()1,2x ∈()()41ln 0g x x x '=-<()g x ()1,2()()24g x g >=-()24f x >-25.（2017山东理20）已知函数，，其中是自然对数的底数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.25.解析 （1）由题意，又，所以， 因此曲线在点处的切线方程为， 即.（2）由题意得， 因为，令，则，所以在上单调递增. 因为，所以当时，；当时，. （i ）当时，.当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为；（ii ）当时，，由，得，. ① 当时，，当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增. 所以当时，取得极大值，极大值为，当时，取得极小值，极小值是； ②当时，，()22cos f x x x =+()()e cos sin 22x g x x x x =-+-e 2.71828=L ()y f x =()(),f ππ()()()()h x g x af x a =-∈R ()h x ()22f π=π-()22sin f x x x '=-()2f 'π=π()y f x =()(),f ππ()()222y x -π-=π-π222y x =π-π-2()e (cos sin 22)(2cos )x h x x x x a x x =-+--+()()()()e cos sin 22e sin cos 222sin x x h x x x x x x a x x '=-+-+--+--=()()2e sin 2sin x x x a x x ---()()2e sin x a x x =--()sin m x x x =-()1cos 0m x x '=-…()m x R (0)0m =0x >()0m x >0x <()0m x <0a „e x a -0>0x <()0h x '<()h x (),0-∞0x >()0h x '>()h x ()0,+∞0x =()h x ()021h a =--0a >()()()ln 2e esin x ah x x x '=--()0h x '=1ln x a =2=0x 01a <<ln 0a <(),ln x a ∈-∞()0h x '>()h x ()ln ,0x a ∈()0h x '<()h x ()0,x ∈+∞()0h x '>()h x ln x a =()h x ()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦0x =()h x ()021h a =--1a =ln 0a =。
2013年高考真题理科数学解析分类汇编3-导数
2013年高考真题理科数学解析分类汇编3 导数一选择题1.四川10．设函数()f x =（a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（ ）（A ）[1,]e （B ）1[,1]e - （C ）[1,1]e + （D ）1[,1]e e -+答案：A【解析】：都是增函数所以()f x =增函数，所以有反函数，又00(())f f y y =⟹又 即⟹，又与关于直线对称 所以的解一定在直线上 即说明与直线在区间上有交点！即方程在区间上有解⟺在区间上有解 ⇔在区间上有解下面来研究函数在区间的值域=0⇒, x, x≥=3−2>0因此在区间上是增函数，所以即所以2.安徽理（10）若函数有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程3的不同实根个数是（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6 【答案】 A沈阳马老师解答，版权所有 【马老师解析】3=0有两个解，1x ，2x ，不妨设1x <2x ，所以3⟺,11()=f x x 为极大值点，x ∈(−∞,) 所以方程有两个解，, 有一个解，所以选A3. [新课标I]16、若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =－2对称，则()f x 的最大值是______.【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题. 【解析】由()f x 图像关于直线x =－2对称，则 0=(1)(3)f f -=-=22[1(3)][(3)3]a b ----+，0=(1)(5)f f =-=22[1(5)][(5)5]a b ----+，解得a =8，b =15， ∴()f x =22(1)(815)x x x -++，∴()f x '=222(815)(1)(28)x x x x x -+++-+=324(672)x x x -++-=4(2)(22x x x -++++当x ∈(－∞,2--∪(－2, 2-+时，()f x '＞0，当x ∈(2--－2)∪(2-+∞)时，()f x '＜0，∴()f x 在（－∞，2-）单调递增，在（2-2）单调递减，在（－2，2-单调递增，在（2-++∞）单调递减，故当x =2-x =2-时取极大值，(2f -=(2f -+=16.4.新课标II 10、已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。
2013高考数学试卷及答案
2013高考数学试卷及答案一、选择题1.若函数 $f(x)=\\frac{\\sqrt{1-x^2}}{\\sqrt{1+x^2}}$，则f(−1)+f(0)+f(1)的值为A. 0B. 1C. 2D. 3答案： C. 22.已知函数 $y=\\log_2{x}$，则 $y^2-4y-5 \\leq 0$ 的解集为A. (-∞, -1] ∪ [5, +∞)B. [-1, 5]C. [-1, 1]D. (1, 5)答案： B. [-1, 5]3.如图所示，在ΔABC 中，$AD \\perp BC$，则 $\\frac{BD}{CD} =$imageimageA. $\\frac{2}{3}$B. $\\frac{3}{7}$C. $\\frac{5}{3}$D. $\\frac{3}{2}$答案： A. $\\frac{2}{3}$二、填空题4.设a1=3，$a_2=\\frac{7}{4}$，a n+2=2a n+1+a n，则a10=答案： $\\frac{535}{64}$5.设 $f(x)=\\sin^3{x}-\\cos^3{x}$，则 $f(\\frac{\\pi}{6})=$答案： $\\frac{1}{4}$三、解答题1. 计算题6.已知数列 $\\{a_n\\}$，a1=2，$a_{n+1}=2a_n+3(n\\geq1)$，求a n 的通项公式。
解答：首先我们观察数列的前几项，可以发现：a1=2 $a_2 = 2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 1 = 7$ $a_3 = 2 \\cdot 7 + 3 \\cdot 2 = 20$定义数列 $\\{b_n\\}$，$b_n = a_n + \\frac{3}{2} \\cdot n$，我们来观察数列 $\\{b_n\\}$： $b_1 = 2 + \\frac{3}{2} \\cdot 1 = \\frac{7}{2}$ $b_2 = 7 + \\frac{3}{2} \\cdot 2 = 12$ $b_3 = 20 + \\frac{3}{2} \\cdot 3 =\\frac{29}{2}$我们可以发现数列 $\\{b_n\\}$ 是一个等差数列，公差为$\\frac{3}{2}$。
高考数学 考点一遍过 考点13 定积分与微积分基本定理 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点13 定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. （2）了解微积分基本定理的含义.一、定积分 1．曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v =v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s . 3．定积分的定义和相关概念（1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2, …,n )，作和式11()()n ni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑. （2）在()d baf x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d bba akf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d bb ba aaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）()d =()d +()d bc baacf x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a <c <b )．【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．5．定积分的几何意义（1）当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =b (a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．（2）一般情况下，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S ,则 （1）()d baS f x x =⎰；（2）()d baS f x x =-⎰； （3）()()d d cb acS f x x f x x =-⎰⎰；（4）()()()()d d []d b b baaaS f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.7．定积分的物理意义 （1）变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即()d bas v t t =⎰.（2）变力做功一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s m ，则力F 所做的功为W =Fs .如果物体在变力F (x )的作用下沿着与F (x )相同的方向从x =a 移动到x =b ，则变力F (x )做的功()d baW F x x =⎰.二、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么()d baf x x ⎰=F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|b a F x ，即()d baf x x ⎰=()|b a F x =F (b )−F (a )． 【注】常见的原函数与被积函数的关系 （1）d |(bb a a C x Cx C =⎰为常数)；（2）11d |(1)1bn n ba ax x x n n +=≠-+⎰； （3）sin d cos |bb a a x x x =-⎰； （4）cos d sin |bb a a x x x =⎰；（5）1d ln |(0)bb a ax x b a x=>>⎰； （6）e d e |bx x b a a x =⎰；（7）d |(0,1)ln x bxba a a a x a a a=>≠⎰；（8）322|(0)3b a ax x b a =>≥⎰.考向一定积分的计算1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强；（2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分x ⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以π=4x ⎰.2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数； （4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值. 3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 4．奇偶函数的定积分（1）若奇函数y =f (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 0aa f x x -=⎰； （2）若偶函数y =g (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则0()d 2()d aaag x x g x x -=⎰⎰.典例A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】A故选A ．【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1．已知()60cos d 1x t x π-=⎰，则常数t 的值为A ．3-π B ．1-π C ．32-πD ．52-π考向二利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略 （1）利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． （2）知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值． （3）与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.典例2 设抛物线C ：y =x 2与直线l ：y =1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于 A ．1 B ．13 C ．23D ．43【答案】D【解析】由21y x y ⎧=⎨=⎩，得1x =±.如图，由对称性可知，123114 2(11d)2(11)33S x x x=⨯-=⨯-=⎰.故选D.2．已知曲线2y x和曲线y=A．1 B．1 2C．2D．13考向三定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.典例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t+t=-+(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是A．1＋25ln 5 B．8＋25ln 11 3C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2 【答案】C【解析】令v(t)=0得，3t2−4t−32=0，解得t=4(83t=-舍去).汽车的刹车距离是42400253(73)d [725ln(1)]|425ln 5.12t +t t t t t -=-++=++⎰故选C.3．一质点在直线上以速度214,[0,2]π2,(2,3]t t v t t ⎧⋅-∈⎪=⎨⎪-∈⎩(m/s)运动，从时刻()0s t =到()3s t =时质点运动的路程为 A ．2m B ．32m C ．1mD ．12m1．定积分()12d x x x -⎰的值为A ．π4B ．π2C ．πD ．2π2．已知0t >，若()021d 6tx x -=⎰，则t 的值等于A ．2B ．3C ．6D ．83．射线4(0)y x x =≥与曲线3y x =所围成的图形的面积为 A ．2 B ．4 C ．5D ．64．已知函数()f x 在R 上可导，且()()()34120f x x x f f '+'=-，则1()d f x x =⎰A ．1B ．1-C ．394D ．394-5．汽车以()32 m/s v t =+作变速运动时，在第1s 至2s 之间的1s 内经过的路程是A ．5mBC ．6mD 6．在如图算法框图中，若33(21sin )d a x x x -=++⎰，程序运行的结果S 为二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是A ．3k <B ．3k >C ．4k <D ．4k >7．如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为A ．e 3 B ．4e3- C ．3e 3-D ．e 13-8．曲线2y x x =--与x 轴所围成图形的面积被直线y kx =分成面积相等的两部分，则k 的值为A ．14-B ．2-C ．1-D 1-9．已知)111sin d πa x x -=⎰，则二项式()2019ax y -的二项式系数之和与各项系数之和的积为A ．0B ．1-C ．1D ．以上都不对10．已知定义在R 上的函数()f x 与()g x ，若函数()f x 为偶函数，函数()g x 为奇函数，且()0d 6af x x =⎰，则()()2d aaf xg x x -⎡⎤+=⎣⎦⎰__________．1．（2015年高考湖南卷理科）2(1)d x x -=⎰．2．（2015年高考天津卷理科）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为． 3．（2015年高考山东卷理科）执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为．4．（2015年高考福建卷理科）如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于．5．（2015年高考陕西卷理科）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．1．【答案】A 【解析】因为()60cos d 1x t x π-=⎰，所以()60sin |1x tx π-=，所以3t =-π，故选A ．【名师点睛】本题主要考查定积分的相关知识，相对简单.由()60cos 1d x t x π-=⎰可得()60sin |1x tx π-=，从而可得常数t 的值. 2．【答案】D【解析】由题得函数的图象如图所示，联立2y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩1,1），所以叶形图的面积为31231200211)d =()|333x x x x -=⎰. 故选D.【名师点睛】本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，先作出两个函数的图象，再利用定积分求面积得解. 3．【答案】B【解析】该质点从时刻()0s t =到()3s t =时质点运动的路程：32320221(2)d 122S t t t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰13122=+=， 故选B ．【名师点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查定积分在物理上的应用，属于基础题.求解时，根据速度的积分为位移，对分段函数的两段解析式分别进行积分，再根据位移和路程的对应关系，求得质点运动的路程.1．【答案】A 【解析】(()2211y x x y =∴-+=表示以()1,0为圆心，1为半径的圆，∴定积分x ⎰等于该圆的面积的四分之一，∴ 故选A ． 2．【答案】B 【解析】()()2200621d tt x x t t x x =-=--=⎰（0t >）,∴3t =或2t =-（舍）． 则t 的值等于3． 故选B ．【名师点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查运算求解能力，属于基础题.求解时，根据定积分的计算公式化简定积分，解方程求得t 的值.3．【答案】B【解析】将射线方程与曲线方程联立34y x y x =⎧⎨=⎩，解得：1100x y =⎧⎨=⎩，2228x y =⎧⎨=⎩， 即射线()40y x x =≥与曲线3y x =有两个公共点，所围成的图形的面积为()223240014d 244x x x x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰.本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查曲边梯形面积的求解问题，关键是能够求得交点坐标后，利用定积分的知识来求解.解题时，射线与曲线方程联立可求得交点坐标，利用积分的知识可求得结果. 4．【答案】C【解析】由题意得()()2431f x x f '='-,故()04f '=，()()1431f f =-''，得到()11f '=，所以()348f x x x =-+故选C. 5．【答案】D【解析】由题意可得在第1s 至2s 之间的1s132=,故选D ． 6．【答案】C 【解析】()33233(21sin )d cos a x x x x x x--=++=+-⎰93cos393cos36=+--++=，二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数为325C 240⋅=，即340120S =⨯=， 根据程序框图，可知5k =，6a =，6S =，S 不满足条件； 4k =，6530S =⨯=，S 不满足条件； 3k =，654120S =⨯⨯=，则3k =满足条件．输出120S =，【名师点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，求出a ，S 的值，利用模拟运行算法是解决本题的关键．求解时，根据积分和二项式定理的内容求出a ，S ，结合程序框图进行模拟运算即可． 7．【答案】B【解析】由题意，阴影部分的面积为0101=e d e e |1阴影x x S x ==-⎰，又矩形OABC 的面积为=3OABC S 矩形，所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为4e=3阴影矩形矩形OABC OABC S S P S --=.故选B.【名师点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，以及定积分的应用，熟记微积分基本定理以及几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型.求解时，根据定积分的应用，得到阴影部分的面积为1=e d 阴影x S x ⎰，再由题意得到矩形OABC 的面积，最后由与面积有关的几何概型的概率公式，即可求出结果. 8．【答案】D【解析】如图所示，曲线2y x x =--与x 轴的交点为()1,0-和0,0（），曲线2y x x =--与直线y kx=的交点为()21,k k k ----和0,0（）．由题意和定积分的几何意义得：()2211()d 2d kx x x xx kx x -----=---⎰⎰，化简得：()()33111=2632k k ⎛⎫++ ⎪-+ ⎪⎝⎭，即31=1+2k （），解得：112k =-=-．【名师点睛】1．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用，但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决．具体步骤如下： (1)画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限； (3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置； (4)计算定积分，求出平面图形的面积．2．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分． 9．【答案】B【解析】由定积分的运算性质，可得)1111111sin d [sin d ]ππa x x x x x ---==+⎰⎰⎰，又由1x -⎰表示圆221x y +=的上半圆的面积，即1π2x -=⎰，所以1π211x -=⎰，又由1111sin d (cos )|cos1cos(1)0x x x --=-=-+-=⎰，所以12a =， 所以二项式为201912x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式系数之和为20192，令1,1x y ==，可得展开式的各项之和为2019201911()()22-=-， 所以二项式系数之和与各项系数之和的积为2019201912[()]12⋅-=-.故选B.【名师点睛】本题主要考查了定积分的性质及运算，以及二项式系数之和与项的系数之和的求解及应用，其中解答中熟练应用定积分的性质求得a 的值，以及合理求解二项式系数与项的系数之和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.求解时，由定积分的运算性质和定积分的几何意义，求得12a =，进而得二项式系数之和20192，再令1,1x y ==，可得展开式的各项之和为20191()2-，即可求解，得到答案. 10．【答案】12【解析】∵函数()f x 为偶函数，函数()g x 为奇函数，∴函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()g x 的图象关于原点对称． ∴()()0d 2d 12aa a f x x f x x -==⎰⎰，()d 0aag x x -=⎰，∴()()()()2d d 2d 12aa aaa a f x g x x f x x g x x ---⎡⎤+=+=⎣⎦⎰⎰⎰．【名师点睛】根据定积分的几何意义和函数的奇偶性求解．定积分()()d (0)baf x x f x >⎰的几何意义是表示曲线()y f x =以下、x 轴以上和直线,x a x b ==之间的曲边梯形的面积，解题时要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．1．【答案】0【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰.2．【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰. 3．【答案】116【解析】开始n =1,T =1,因为1<3,所以11212001131d 1|11222T x x x =+=+=+⨯=⎰,n =1+1=2; 因为2<3,所以13130023313111d |1223236T x x x =+=+=+⨯=⎰,n =2+1=3.因为3<3不成立,所以输出T ,即输出的T 的值为116.4．【答案】512【解析】依题意知点D 的坐标为(1,4),所以矩形ABCD 的面积S =1×4=4,阴影部分的面积S 阴影=3222111754d 44333| x x x =-=--=⎰, 根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P =553412S S ==阴影.5．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =(0p >)，因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()53235355222240(2)d (2)(255)[255]257575753x x x x ---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案为1.2．。
2013年全国高考数学理科试卷天津卷(word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分， 共150分。
考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页， 第Ⅱ卷3至5页.答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上， 答在试卷上的无效。
考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分， 共40分。
参考公式：·如果事件A ， B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立， 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1） 已知集合A = ｛x ∈R | ｜x |≤2}， A = {x ∈R ｜ x ≤1｝, 则A B ⋂=（A)(,2]-∞ (B ） ［1，2］ （C) [－2,2］ (D ） [－2,1]（2） 设变量x ， y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为（A ） －7 (B ） －4（C) 1 （D ） 2（3） 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1， 则输出S 的值为（A ） 64 （B ） 73（C ） 512 （D ） 585（4） 已知下列三个命题： ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是：(A ） ①②③ （B) ①②(C ）②③(D ） ②③（5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A ， B 两点， O 为坐标原点。
2013年高考真题——数学全国卷1(完整试题+答案+解析)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数ii++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21C ．3D ．1 2.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x xM ，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C .∅D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．155.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a的值是 A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC -=等于A ．1B ．2C ．3D ．4 8.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是A ．18B ．21C ．24D ．15 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞ 10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ． 223 C ．210 D ．211.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是A ．43 B ．41 C ．83D ．8512.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若题图第130=⋅FN FM ,则a 的值为A ．916 B ．59 C ．925 D ．516第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为)4.11(lg 32-=E R ．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 倍． 16.给出下列命题： ①已知,,a b m都是正数，且bab a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立； ③命题“x R ∃∈，使得2210x x-+<”的否定是真命题； ④“1,1≤≤y x 且”是“2≤+y x ”的充要条件.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）第14题图已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y xx b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π的值； （Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）已知四棱锥BCDE A -，其中1====BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，BE ∥CD ，F 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ； （Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥； （III ）求四棱锥BCDE A -的体积.20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：AB CDEF现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方程26139134ˆ+=x y，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．21.（本小题满分12分）已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.22.（本小题满分14分）实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3.（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于C B ,,若2=,求直线l 的斜率k .参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）B D B A D B B D BC C B二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．2 14.π31915. 2310 16. ①③ 三．解答题17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵→a 与→b 共线∴yxx x 2cos 2cos2sin 31=+21)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分∴121)6sin()(=++=πx x f ，即21)6sin(=+πx …………………………………………4分211)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x…………………………………………6分 （Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+由正弦定理得：CA C A C C A C ABC C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+∴21cos =A ，∴在ABC ∆中 ∠3π=A …………………………………………8分21)6sin()(++=πB B f∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566πππ<+<B …………………………………………10分∴1)6sin(21≤+<πB ,23)(1≤<B f∴函数)(B f 的取值范围为]23,1( …………………………………………12分 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………2分 解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………4分1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分(Ⅱ)13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………9分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴n n n T 3⋅= …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点∴FG ∥CD,且FG=21DC=1 ．∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ． ……………………………2分ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC ……………………………4分 （Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥ACABCDEF G又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG ∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴E F ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分 （Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．43631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ．………………………12分 另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BC AO ⊥，又⊥CD 平面ABC ,∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面B C D E ，∴AO 为BCDE A V -的高，43232331,2321)21(,23=⨯⨯=∴=⨯+==-BCDE A BCDE V S AO ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分所以321510)(==A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32． ………………………6分(Ⅱ) 当10=x 时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y ……………………………………9分 当30=x 时，;2|1626379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+=' 12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ． …………………………………………4分解得：2,2-==b a∴122)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分 （Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立化简得22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立 ． …………………………………………8分 设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分 ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 ． …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,AF m AF n ==由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+6344222m n n m c n m …………………………………………2分解得92=c ，∴39122=-=b ．∴椭圆的方程为131222=+y x …………………………………………4分 ∵3=⨯c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ，将点A 坐标代入得抛物线方程为y x 82=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B 由2= 得)22(22212-=-x x ，化简得22221=-x x …………………………………………8分联立直线与抛物线的方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-yx x k y 8)22(12，得0821682=-+-k kx x∴k x 8221=+① …………………………………………10分联立直线与椭圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)22(122y x x k y得0821632)2168()41(2222=--+-++k k x k k x k∴22241821622k kk x +-=+② …………………………………………12分 ∴2222418216)228(222221=++---=-kkk k x x 整理得：0)4121)(2416(2=+--k kk∴42=k ，所以直线l 的斜率为42 ． …………………………………………14分。
高考理科数学分类汇编函数与导数大题目
2013年高考理科数学分类汇编——函数与导数大题目 1.（2013北京卷18题）(本小题共13分)设l 为曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方2.（2013安徽卷20题）（本小题满分13分）设函数22222()1(,)23n nn x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈K ，证明：（Ⅰ）对每个nn N∈，存在唯一的2[,1]3nx ∈，满足()0n n f x =；（Ⅱ）对任意np N ∈，由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<。
【解析】 （Ⅰ）224232224321)(0nx x x x x x f n x y x n n n +++++++-=∴=>ΛΘ为单调递增的时，当是x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数.011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.010)(,321>>>≥=⇒n n n n x x x x x f x Λ，且满足存在唯一x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅++-<--⋅++-=++++++-≤∈-1141114122221)(,).1,0(2122232322Λ时当)1,32[0)23)(2(1141)(02∈⇒≥--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f综上，对每个n n N ∈，存在唯一的2[,1]3n x ∈，满足()0n n f x =；(证毕)（Ⅱ） 由题知4321)(,012242322=++++++-=>>≥+nx x x x x x f x x nnn n n n n n pn n Λ)()1(4321)(2212242322=+++++++++++-=+++++++++++p n x n x nx x x x x x f p n pn n pn np n p n p n p n p n p n p n ΛΛ上式相减：22122423222242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x pn pn n pn npn pn pn pn p n nnn n n n ++++++++++=++++++++++++++ΛΛΛ）（）（2212244233222)()1(-4-3-2--p n x n x nx x x x x x x x x x p n pn n pn nnn p n np n np n np n p n n +++++++++=+++++++++ΛΛ)111()111()(1)1(1)()1(22221p n p n n n p n n p n x n x pn pn n pn +--++++-<++++<++++<++++ΛΛΛ nx x n p n n p n n 1-111<⇒<+-=+ 3.（2013福建卷17题）（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x ，(1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ． （Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x af x x xx可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈Q x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．4.（2013广东卷21题）．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21xf x x e x =--,()()()1222x x x xf x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表f x 0,ln 2(),0-∞,()ln 2,+∞.(Ⅱ)()()()1222x x x xf x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增,所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-, 令()3kk e k ϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为1170228h e ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.5.（2013广西卷22题）．（本小题满分12分）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+（I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;； （II ）设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：6.（2013全国新课标二卷21题）（本小题满分12分）已知函数f(x)=e x -ln(x+m)(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m ,并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m ≤2时，证明f(x)>07.（2013年河南山西河北卷 21）（本小题满分共12分）已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编5：导数与积分
f (e x ) x e x , 则 f x (1)
______________【答案】2
9 ． （2013 年高考湖南卷（理） ）若
C． 有两个不等的实数解， 即 ln x 2ax 1 有两个实数解， 从而直线 y 2ax 1 与曲线 y ln x 有两 个交点. 过点（0，－1）作 y ln x 的切线，设切点为（x0，y0） ，则切线的斜率 k 程为 y
1 ，切线方 x0
x 1 x 1 . 切点在切线上，则 y0 0 1 0 ，又切点在曲线 y ln x 上，则 x0 x0
ex ex 2 „„（1） 。在已知 x f ( x) 2 xf ( x) 中令 x 2 ， x x e2 ex 2 并将 f (2) 代入，得 f (2) 0 ；因为 x f ( x) 2 xf ( x) ，两边乘以 x 后令 8 x ex x 2 x e ，显然 g ( x) x3 f ( x) ex 2[ x2 f ( x)](2) 。求导并将（1）式代入， g ( x) e x 2 x x 并且由 （2） 式知 g (2) 0 ， x (0, 2) 时， g ( x) 0 ， g ( x) 减； x (2, ) 时， g ( x) 0 ， g ( x) 增； 3 所以 g (2) 0 为 g ( x) 的最小值，即 g ( x) 0 ，所以 x f ( x) 0 ，在 x 0 时得 f ( x) 0 ，所 以 f ( x ) 为增函数，故没有极大值也没有极小值。
解：由已知， [ x f ( x)]
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013高考真题分类汇编：导数与微分1．【2013湖北】已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点()1212,x x x x <，则( ) （A ）()10f x >，()212f x >- （B ）()10f x <，()212f x <- （C ）()10f x >，()212f x <- （D ）()10f x <， ()212f x >-2．【2013新课标】已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是( )（A ）0x R ∃∈，()00f x = （B ）函数()y f x =的图像是中心对称图形 （C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=3．【2013江西】若22221231111,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰，则123,,S S S 的大小关系为( ) （A ）123S S S << （B ）213S S S << （C ）231S S S << （D ）321S S S <<4．【2013辽宁】设函数()f x 满足()()22xx f x xf x e x '+=，()228f e =，则0x >时，()f x ( ) （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值5．【2013福建】设函数()f x 的定义域为R ，()000x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是( ) （A ）x R ∀∈，()()0f x f x ≤ （B ）0x -是()f x -的极小值点 （C ）0x -是()f x -的极小值点 （D ）0x -是()f x --的极小值点6．【2013湖北】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。
在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是( )（A ）125ln 5+ （B ）11825ln 3+ （C ）425ln 5+ （D ）450ln 2+ 7．【2013北京】直线l 过抛物线C ：24x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ） （A ）43 （B ）2 （C ）83 （D ）8．【2013浙江】已知e 为自然对数的底数，设()()()()111,2kxf x e x k =--=，则（ ）（A ）当1=k 时，()f x 在1=x 处取得极小值 （B ）当1=k 时，()f x 在1=x 处取得极大值 （C ）当2=k 时，()f x 在1=x 处取得极小值 （D ）当2=k 时，()f x 在1=x 处取得极大值9．【2013大纲版】若()21=f x x ax x++在()12,+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）[]1,0- （B ）[)1,-+∞ （C ）[]0,3 （D ）[)3,+∞10．【2013江西】设函数()f x 在()0,+∞内可导，且()x xf e x e =+，则()1f '=_____。
11．【2013湖南】若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为________。
12．【2013广东】若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =______。
13．【2013福建】当,||1x R x ∈<时，有如下表达式：2111n x x x x+++++=- 。
两边同时积分得:11111222222000111ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰，从而得到如下等式：23111111111ln 22223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算2311211111112223212n nnn n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭=______。
14．【2013新课标】若函数()()()221f x xaxbx c =-++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是______。
15．【2013新课标】已知函数()()ln xf x e x m =-+。
⑴设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；⑵当2m ≤时，证明()0f x >。
16．【2013辽宁】已知函数()()21e xf x x -=+，()312cos 2x g x ax x x =+++。
当[],1x ∈时，⑴求证:()111x f x x-≤≤+；⑵)若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 取值范围。
17．【2013江苏】设函数()ln f x x ax =-，()xg x e ax =-，其中a 为实数。
⑴若()f x在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()1,+∞上有最小值，求a 的取值范围；⑵若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论。
18．【2013广东】设函数()()()21xf x x e kxk R =--∈。
⑴当1k =时，求函数()f x 的单调区间；⑵当(]12,1k ∈时，求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M 。
19．【2013江西】已知函数()112||2f x a x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，a 为常数且0a >。
⑴证明：函数()f x 的图像关于直线12x =对称；⑵若0x 满足()()00f f x x =，但()00f x x ≠，则称0x 为函数()f x 的二阶周期点。
如果()f x 有两个二阶周期点12,x x ，试确定a 的取值范围；⑶对于⑵中的12,x x 和a ，设3x 为函数()()ff x 的最大值点，()()()11,A x f f x ，()()()22,B x f f x ，()3,0C x ，记ABC ∆的面积为()S a ，讨论()S a 的单调性。
20．【2013重庆】设()()256ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6。
⑴确定a 的值；⑵求函数()f x 的单调区间与极值。
21．【2013四川】已知函数()()()220ln 0x x a x f x xx ⎧++<⎪=⎨>⎪⎩，其中a 是实数。
设()()11,A x f x ，()()22,B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <。
⑴指出函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值；⑶若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围。
22．【2013湖南】已知0a >，函数()||2x afx x a-=+。
⑴记()f x 在[]0,4上的最大值为()g a ，求()g a 的表达式；⑵是否存在a ，使函数()y f x =在区间()0,4内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直?若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由。
23．【2013福建】已知函数()()ln f x x a x a R =-∈。
⑴当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程；⑵求函数()f x 的极值。
24．【2013新课标】已知函数()2f x x ax b =++，()()xg x ecx d =+，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+。
⑴求,,,a b c d 的值；⑵若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围。
25．【2013湖北】设n N +∈，r Q +∈。
⑴求函数()()()()11111r f x x r x x +=+-+->-的最小值；⑵证明：()()11111111r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++；⑶设x R ∈，记[]x 为不小于x的最小整数，例如[]22=，[]4π=，[]321-=-.令S =+ 求[]S 的值。
（参考数据:4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈） 26．【2013陕西】已知函数()()xf x ex R =∈。
⑴若直线1y kx =+与()f x 的反函数的图像相切，求实数k 的值；⑵设0x >，讨论曲线()y f x =与曲线()20y mx m =>公共点的个数；⑶设a b <，比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小，并说明理由。
27．【2013山东】设函数()2x xf x c e=+ ( 2.71828e =是自然对数的底数，c R ∈)。
⑴求()f x 的单调区间、最大值；⑵讨论关于x 的方程()|ln |x f x =根的个数。
28．【2013浙江】已知R a ∈，函数()323333f x x x ax a =-+-+。
⑴求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；⑵当[]0,2x ∈时，求()||f x 的最大值。
29．【2013大纲版】已知函数()()()1=ln 11x x f x x xλ++-+。
⑴若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；⑵设数列{}n a 的通项111123n a n =+++⋅⋅⋅+，证明：21ln 24n n a a n-+>。
30．【2013天津20】已知函数()2ln f x x x =。
⑴求函数()f x 的单调区间；⑵证明: 对任意的0t >，存在唯一的s ，使()t f s =；⑶设⑵中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =，证明: 当2t e >时，有()ln 215ln 2g t t <<。
31．【2013北京】设l 为曲线C ：ln xy x=在点()1,0处的切线。
⑴求l 的方程；⑵证明:除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方。
附答案DCBDD CCCD 10．2；11．3；12．1-；13．113112n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦；14．16；15．⑴()()1,1,00,m =-↓+∞↑，⑵略；16．⑴略，⑵(],3-∞-；17．⑴(),e +∞，⑵0a ≤或1a e =时1个，当01a e <<时2个；18．⑴()()()0,ln 2,0ln 2,↓-∞↑+∞↑， ⑵()31kk e k --；19．⑴略，⑵()12,+∞，⑶单增；20．⑴12，⑵()()()0,22,33,↑↓+∞↑，()()96ln 2,26ln 32f x f x =+=+极大极小；21．⑴()()(),11,00,-∞-↓-↑+∞↑，⑵1， ⑶()ln 21,--+∞；22．⑴()()()40142121aa a g a a -⎧<≤⎪+=⎨⎪>⎩，⑵()0,12；23．⑴20x y +-=，⑵0a ≤时无极值，0a >时()ln f x a a a =-极小，无极大值；24．⑴4,2a b c d ====，⑵21,e ⎡⎤⎣⎦；25．⑴0，⑵略，⑶211；26．⑴2e -，⑵204m e <<时0个，2m e =时1个，24m e >时2个，⑶()()()()2f a f b f a f b a b+->-；27．⑴()(),1212,-∞↑+∞↓，()max 12f x c e=+，⑵2c e -<-时0个，2c e -=-时1个，2c e ->-时2个； 28．⑴()31430a x y a --+-=，⑵()()()()max 3301210343134a a f x a a a a -≤⎧⎪⎪=+-<<⎨⎪-≥⎪⎩；29．⑴12，⑵略；30．⑴(()↓+∞↑，⑵略，⑶略；31．⑴10x y --=，⑵略。