地大17年秋《现代控制理论》离线作业

地大《现代控制理论》离线作业一

一、简答题

1.对于一个线性时不变系统，请给出设计稳定化状态反馈控制器的三种方法。答：1）极点配置方法；

2）线性二次型最优控制器设计方法；

3）基于李雅普诺夫稳定性理论的直接设计法。

2.多阶段决策问题求解的动态规划方法是什么？

答：动态规划方法是解决多阶段决策过程最优化的一种方法，是把困难的多阶段决策问题变成一系列互相联系比较容易的单阶段问题，解决了这一系列比较容易的单阶段问题，也就解决了这困难的多阶段决策问题。

动态规划的基本概念：

1）阶段

动态规划问题通常都具有时间或空间上的次序性，因此求解这类问题时，首先要将问题按一定的次序划分成若干相互联系的阶段，以便能按一定次序去求解。

2）状态

在多阶段决策过程中，每阶段都需要作出决策，而决策是根据系统所处情况决定的。状态是描述系统情况所必需的信息。如例1中每阶段的出发点位置就是状态，例2中每年初拥有的完好机床数是作出机床负荷安排的根据，所以年初完好机床数是状态。一般地，状态可以用一个变量来描述，称为状态变量。记第k 阶段的状态变量为,k=1,2, …,n.

3）决策

多阶段决策过程的发展是用各阶段的状态演变来描述的，阶段决策就是决策者从本阶段某状态出发对下一阶段状态所作出的选择。描述决策的变量称为决策变量，当第k 阶段的状态确定之后，可能作出的决策要受到这一状态的影响。这就是说决策变量还是状态变量的函数，因此，又可将第k阶段状态下的决策变量记为()。

4）状态转移方程

在多阶段决策过程中，如果给定了k 阶段的状态变量和决策变量，则第k+1阶段的状态变量也会随之而确定。也就是说是xk 和函数，这种

关系可记为 =T(xk, ) 称之为状态转移方程。 5）策略 在一个多阶段决策过程中，如果各个阶段的决策变量() （k=1，2，…，n ）都已确定，则整个过程也就完全确定。称决策序列为该过程的一个策略，从阶段k 到阶段n 的决策序列称为子策略，表示成

。如例1中，选取一路线 就是一个策略：

6）指标函数

用来衡量过程优劣的数量指标，称为指标函数。在阶段k 的

状态下执行决策，不仅带来系统状态的转移，而且也必然对目标函数给予影响，阶段效应就是执行阶段决策时给目标函数的影响。

3.什么是贝尔曼的最优性原理？

答：多阶段决策过程的特点是每个阶段都要进行决策，贝尔曼针对无后效性的多

阶段决策过程的特点，提出了多阶段决策的最优性原理：整个过程的最优策略具有这样的性质：即无论过程过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。其含义可以简单描述为，最优策略的任何一部分子策略也必须是最优的。

二、计算题

1.求以下系统的状态响应。

0120()()(),(0),()e 2301t x t x t u t x u t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦

解：由012,230A b ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

得 123s sI A s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦ 121111212()22

2121

21s s s s sI A s s s s -⎡⎤--⎢⎥++++-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥++++⎣⎦

22222e e e e e 2e e e 2e t t

t t At t t t t --------⎡⎤--=⎢⎥-+-+⎣⎦

()0

()e (0)e ()()t At A t s x t x B s u s ds -=+⎰ 21(41)e e

t t x t --=-+ 22(34)e 2e t t

x t --=-- 三、论述题

1.最优控制理论的数学描述应包括哪几方面的内容？

答：数学描述包含以下几个方面的内容：

1）受控制系统的数学模型

即系统微分方程(集中参数系统可用一组一阶常微分方程来描述) ]),(),([)('t t u t x f t x =

2）边界条件与目标集

边界条件 即初始状态时刻t0和初始状态x(t0)通常已知，而终端时刻tf 和终端状态x(tf ）可以固定也可以自由。

一般地，对终端的要求可以用如下的终端等式或不等式约束条件来表示： N1={x(tf),tf}=0 或N2[x(tf),tf]≤0 ※

目标集：满足终端约束条件的转台集合，用M 表示：

M={x(tf):x(tf)∈Rn ，N1[x(tf),tf]=0,或N2[x(tf),tf] ≤0

为简单起见，笼统称※式为目标集。

3）容许控制

每一个实际的控制问题，控制向量u(t)都有一个规定的取值范围，通常可以用如下不等式饿约束条件来表示：

0≤u(t) ≤umax 或mi ≤ui ，i=1,2,3…r

在Rr 空间中，把满足上式的点u(t)的集合v 成为控制集，把属于u(t)∈U 的u(t)称为容许控制

若u(t)的取值不受限制，则容许控制属于某一开集。U 为开集还是闭集在处理方法上有着本质的差别。

4）性能指标(目标函数)

衡量控制作用效果的性能指标

将x(t0)→x(tf)通过不同u(t)来完成，而控制效果好坏，则用性能指标来判别。对于最优化问题的目标函数，其内容与形式主要取决于具体优化问题所要解决的主要矛盾。