西华大学线性代数习题答案
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《线性代数》同步练习题
第5次 矩阵的初等变换与线性方程组(一)
专业: 教学班: 学号: 姓名 :
1.用行初等变换把下列矩阵化成行阶梯矩阵和行简化阶梯形矩阵:
1
134
333541223203
3421A --⎛⎫
⎪--
⎪= ⎪
-- ⎪
---⎝⎭
1102300122~0000000
000--⎛⎫
⎪-
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
2. 用初等行变换求矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式:
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=1003011603024
22012
11A
R(A)=3
11210030
1~0004000
000-⎛⎫ ⎪
⎪
⎪
-
⎪
⎝⎭
01113010
030
A A -=-≠的最高阶非零子式
3.求矩阵223110121A ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的逆矩阵。
1143153164A --⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
4、已知方阵101221112A ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
,求1
-A 。
1512311412A ---⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
223100(A,E)110010121001⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
100143010153001164-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭101100(A,E)221010112001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭100512~010*********--⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭
《线性代数》同步练习题
第6次 矩阵的初等变换与线性方程组(二)
专业: 教学班: 学号: 姓名 :
1. 解矩阵方程,B AX =其中,011210101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A 。⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----=212041132B
法一:
110302
121X -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭
法二:
1211333
2
123331113
3
3A -⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪=- ⎪
⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
1110302121X A B --⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭
2.解矩阵方程:⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-101311022141X
101231(A,B)012140110212--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪----⎝⎭100
1100103
020011
2
1-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝
⎭
,A B 矩阵可逆
1
1
X A CB
--∴=121031332110111662⎡⎤⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
11104X ⎛⎫
⎪∴= ⎪⎝⎭
3、设矩阵
300011014A ⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪
⎝⎭
,361123B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 满足2AX X B =+,求矩阵X
100363601111410122332⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
=--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4.设n 阶矩阵A 满足,0322=-+E A A 证明,2,4A A E A E ++可逆,并求它们的逆。
5. 设A 是n 阶方阵且k A O =,这里k 为自然数,证明I A -可逆,并且
121()K I A I A A A ---=+++
+
证明:
1(A 2E)X B -=-23
A E
A E
+⋅=解:1
23
A E
A -+∴=
()
1
23
A A E -+=1
2(4)5
A E
A E --∴+=
-1(I A)(I A A )
k --+++=
1
1
(I A A
A A
A )
k k k
--++----
《线性代数》同步练习题
第7次 矩阵的初等变换与线性方程组(三)
专业: 教学班: 学号: 姓名 :
1.求解下列齐次线性方程组:
(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++0220202432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩
⎪
⎨⎧=-++=+-+=+-+0
02230322432143214321x x x x x x x x x x x x
方程组的通解为:121212343445(,)1001x x k k k k R x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
方程组的通解为:123413()10x x k k R x x ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2.求解下列非齐次线性方程组:
(1)⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413
2835
424
32z y x z y x z y x z y x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412w z y x w z y x w z y x
I
=112121112112A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭解:101001300001-⎛⎫
⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭13234
300x x x x x -=⎧⎪∴+=⎨⎪=⎩123430
x k x k k x k x =⎧⎪=-⎪∴⎨
=⎪⎪=⎩为自由变量