2015学年北京六十三中九年级上期中数学试卷及答案
九年级(上)期中数学试卷答案解析版
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10题，每小题4分，共40分）1．（4分）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）方程x2=2x的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=2 D．x=±3．（4分）下列事件中，是不可能事件的是（）A．买一张电影票，座位号是奇数B．射击运动员射击一次，命中9环C．明天会下雨D．度量三角形的内角和，结果是360°4．（4分）二次函数y=（x+3）2+7的顶点坐标是（）A．（﹣3，7）B．（3，7） C．（﹣3，﹣7）D．（3，﹣7）5．（4分）如图，⊙O是△AB C外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．（4分）兴化市“菜花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为20万人次，2017年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.87．（4分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm28．（4分）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF ：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：29．（4分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（，0）D．（0，﹣）10．（4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本题共6题，每小题4分，共24分）11．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，0）关于原点O对称的点的坐标是．12．（4分）在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值是．13．（4分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=．14．（4分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，则楼高CD为m．15．（4分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5cm，且tan∠EFC=，那么矩形ABCD的周长为cm．16．（4分）如图，M为双曲线y=上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于D、C两点，若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．则AD•BC的值为．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算：．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A （﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4），将△AB C绕着点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）19．（8分）在一个箱子中放有三张完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1，2，3．从箱子中任意取出一张卡片，用卡片上的数字作为十位数字，放回后搅匀，再取出一张卡片，用卡片上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数．（1）请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果；（2）组成的两位数是偶数的概率是多少？20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：无论m取何值方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的等腰三角形的周长．21．（8分）如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．（1）求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．=10，求点E的坐标．（2）点E在线段CD上，S△ABE22．（10分）某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；（2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？23．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线AE，BD相交于M，点O在AB边上，以OB为半径的圆恰好经过点M，且与AB相交于另一点F．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）当BC=4，cosC=，求⊙O的半径．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=1，点E是AD上的一动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF、BF、EF，过点GF⊥AF交AD于点G．（1）求证：AE=GE；（2）当点F落在AC上时，求AE的长；（3）若△FCG为直角三角形，求AE的长．参考答案与试题解析一、选择题（本题共10题，每小题4分，共40分）1．（4分）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．2．（4分）方程x2=2x的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=2 D．x=±【解答】解：方程变形得：x2﹣2x=0，分解因式得：x（x﹣2）=0，解得：x1=0，x2=2．故选：C．3．（4分）下列事件中，是不可能事件的是（）A．买一张电影票，座位号是奇数B．射击运动员射击一次，命中9环C．明天会下雨D．度量三角形的内角和，结果是360°【解答】解：A、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故A选项错误；B、射击运动员射击一次，命中9环，是随机事件，故B选项错误；C、明天会下雨，是随机事件，故C选项错误；D、度量一个三角形的内角和，结果是360°，是不可能事件，故D选项正确．故选：D．4．（4分）二次函数y=（x+3）2+7的顶点坐标是（）A．（﹣3，7）B．（3，7） C．（﹣3，﹣7）D．（3，﹣7）【解答】解：∵二次函数y=（x+3）2+7是顶点式，∴顶点坐标为（﹣3，7）．故选：A．5．（4分）如图，⊙O是△AB C外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：根据圆周角定理，得∠BOC=2∠A=80°∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB==50°．故选：C．6．（4分）兴化市“菜花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为20万人次，2017年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8，故选：C．7．（4分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2【解答】解：∵h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．8．（4分）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF ：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF ：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选：B．9．（4分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（，0）D．（0，﹣）【解答】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得D点坐标为（1，1）．每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360=7.5周，OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），故选：B．10．（4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，（故②错误）；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．故选：B．二、填空题（本题共6题，每小题4分，共24分）11．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，0）关于原点O对称的点的坐标是（﹣3，0）．【解答】解：点（3，0）关于原点O对称的点的坐标是：（﹣3，0）．故答案为：（﹣3，0）．12．（4分）在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值是8．【解答】解：∵在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，∴=，解得n=8．故答案为：8．13．（4分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=22°．【解答】解：解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=44°，在△ABB′中，∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣44°）=68°，∵∠AC′B′=∠C=90°，∴B′C′⊥AB，∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣68°=22°．故答案为：22°．14．（4分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，则楼高CD为10.5m．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故答案为10.5．15．（4分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5cm，且tan∠EFC=，那么矩形ABCD的周长为36cm．【解答】解：∵tan∠EFC=，∴设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE=5k，∴DC=AB=8k，∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC，∴tan∠BAF=tan∠EFC=，∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，在Rt△AFE中由勾股定理得AE===5，解得：k=1，故矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36cm，故答案为：36．16．（4分）如图，M为双曲线y=上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于D、C两点，若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．则AD•BC的值为2．【解答】解：设M点的坐标为（a，），则C（m﹣，）、D（a，m﹣a），∵直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，∴A（0，m）、B（m，0），∴AD•BC=•=a•=2．故答案为：2．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算：．【解答】解：原式=﹣1+3﹣=2．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A （﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4），将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）【解答】解：图象如右图．在RT△ABC中，∵AB=2，AC=3，∴BC==，∴线段BC旋转过程中所扫过的面积==．19．（8分）在一个箱子中放有三张完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1，2，3．从箱子中任意取出一张卡片，用卡片上的数字作为十位数字，放回后搅匀，再取出一张卡片，用卡片上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数．（1）请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果；（2）组成的两位数是偶数的概率是多少？【解答】解：（1）画树形图得：∴能组成的两位数有：11，12，13，21，22，23，31，32，33；（2）∵组成的两位数是偶数，一共有3个：12，22，32；又∵数据总个数是9个，∴组成的两位数是偶数的概率是=．20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：无论m取何值方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的等腰三角形的周长．【解答】（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4≥4，即△≥4，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；①当该等腰三角形的腰为1、底边为3时，∵1+1＜3∴构不成三角形；②当该等腰三角形的腰为3、底边为1时，等腰三角形的周长=3+3+1=7．21．（8分）如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．（1）求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．=10，求点E的坐标．（2）点E在线段CD上，S△ABE【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴A（1，6），B（6，1），设反比例函数解析式为y=，将A（1，6）代入得：k=6，则反比例解析式为y=；（2）设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°，连接AE，BE，则S△ABE =S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE=（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1=﹣x=10，解得：x=3，则E（3，0）．22．（10分）某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；（2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？【解答】解：（1）设y与x之间的一个函数关系式为y=kx+b，则，解得．故函数关系式为y=﹣2x+112；（2）依题意有w=（x﹣20）（﹣2x+112）=﹣2（x﹣38）2+648，故每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润；（3）由题意可得，售价越低，销量越大，即能最多的进货，设一次进货最多m千克，则≤30﹣5，解得：m≤1300．故一次进货最多只能是1300千克．23．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线AE，BD相交于M，点O在AB边上，以OB为半径的圆恰好经过点M，且与AB相交于另一点F．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）当BC=4，cosC=，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OM．∵AC=AB，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，CE=BE=BC，∵OB=OM，∴∠OBM=∠OMB，∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠CBM，∴∠OMB=∠CBM，∴OM∥BC，又∵AE⊥BC，∴AE⊥OM，∴AE是⊙O的切线；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵cosC=，∴cosB=，∵CE=BE=BC=2，∴=，∴AB=6，设⊙O的半径为R，∵OM∥BE，∴△OMA∽△B EA，∴=即=，解得R=，∴⊙O的半径为．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=1，点E是AD上的一动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF、BF、EF，过点GF⊥AF交AD于点G．（1）求证：AE=GE；（2）当点F落在AC上时，求AE的长；（3）若△FCG为直角三角形，求AE的长．【解答】解：（1）由对称知，AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，∵GF⊥AF，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF，∴AE=EG；（2）如图1，当点F落在AC上时，由对称知，BE⊥AF，∴∠ABE+∠BAC=90°，∵∠DAC+∠BAC=90°，∴∠ABE=∠DAC，∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE∽△DAC，∴，∵AB=DC，∴AB2=AD•AE，∵AB=1，AD=4，∴AE=（3）AD=4，AB=1，如图2，当点F落在线段BC上时，EF=AE=AB=1，∴当点F落在矩形内部时，且AE＜1∵点G在AD上，∴∠FCG＜∠BCD，∴∠FCG＜90°，∵△FCG为直角三角形，∴①当∠CFG=90°时，∵∠AFG=90°，∴点F落在AC上，如图1，由（2）知，AE=，②当∠CGF=90°时，则∠CGD+∠AGF=90°，∵∠FAG+∠AGF=90°，∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE∽△DGC，∴，∴AB•DC=DG•AE，即：DG•AE=1，由（1）知，AE=EG，∴DG=AD﹣AE﹣EG=AD﹣2AE=4﹣2AE，∴（4﹣2AE）×AE=1，∴AE=（舍）或AE=．。
北京海淀2015初三期中试题答案
海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题 号1 2 3 45 6 7 8 9 10 答 案D A A ABBCDBC二、填空题（本题共18分，每小题3分）题 号11 12 13 14 15 16 答 案,21=x 22-=x21y x =+（答案不唯一）<1300.6120，150三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：2320.x x -+=……………………………………………1分0)2)(1(=--x x ． ……………………………………………3分∴01=-x 或02=-x ．∴2,121==x x . ………………………………………………………5分18．解：∵抛物线a x x y ++=32与x 轴只有一个交点，∴0∆=，………………………………………2分即940a -=．……………………………………………4分∴49=a ．……………………………………………5分19．解：∵点(3, 0)在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，∴k k -++⨯-=)3(33302．………………………………………2分 ∴9=k ．……………………………………………3分∴抛物线的解析式为91232-+-=x x y ．∴对称轴为2=x ．……………………………………………5分20．解：∵PA ,PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ．………………………………………1分∴PBA PAB ∠=∠．………………………………………2分 ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥PA ．∴90=∠PAC º．………………………………………3分 ∵25=∠BAC º，∴65=∠PAB º．………………………………………4分∴502180=∠-=∠PAB Pº．………………………………………5分21．解：∵1=x 是方程0522=+-a ax x 的一个根，∴0512=+-a a ．………………………………………2分 ∴152-=-a a ．…………………………………………3分 ∴原式7)5(32--=a a ………………………………………4分10-=．………………………………………5分22．解：如图，下降后的水面宽CD 为1.2m ，连接OA , OC ，过点O 作ON ⊥CD 于N ，交AB 于M ．………………………… 1分∴90ONC ∠=º.∵AB ∥CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=º． ∵ 1.6AB =， 1.2CD =， ∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==．…………………………2分 在Rt △OAM 中，∵1OA =，∴220.6OM OA AM =-=． ………………………………3分 同理可得0.8ON =．………………………………4分 ∴0.2.MN ON OM =-=答：水面下降了0.2米．…………………………5分23．（1）证明：22)3()(34)3(+=-⨯⨯--=∆a a a ．……………………………1分∵0>a ，∴2(3)0a +>．即0>∆．∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分（2）解方程，得3,121ax x =-=．……………………………………………4分 ∵方程有一个根大于2，∴23>a． ∴6>a ．……………………………………………5分24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有2::BC BC AC =，即AC BC 22=．设BC 为x m.…………………………………1分依题意，得)2(22x x -=．.………………………………………3分解得,511+-=x 512--=x （不符合题意，舍去）．……4分51 1.2-≈．答：雕像的下部应设计为1.2m ．…………………………5分25．解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC . ………1分∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=º． 在Rt △ACB 中，∵2=AB ，2AC =，∴2BC =．∴45BAC ∠=º．………………2分 ∵1OA OD AD ===，∴60BAD ∠=º．………………3分∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=º．………………4分当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒．∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=º． ∴CAD ∠为15º或105º．…………………5分26．解：（1）∵直线m x y +-=22经过点B （2，-3），∴m +⨯-=-223．∴1=m ．……………………………………………1分 ∵直线22y x m =-+经过点A （-2，n ）， ∴5n =．……………………………………………2分 ∵抛物线21y xbx c =++过点A 和点B ，∴⎩⎨⎧++=-+-=.243,245c b c b∴⎩⎨⎧-=-=.3,2c b ∴3221--=x x y ．……………………………………………4分 （2）12-.……………………………………………5分27．（1）证明：连接OC . ……………………………1分∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ，∴∠POC =∠PCD ．……………………………2分 ∵CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ODC =90︒．∴∠POC+∠OCD =90º． ∴∠PCD+∠OCD =90º． ∴∠OCP =90º． ∴半径OC ⊥CP ．∴CP 为⊙O 的切线． ……………………………………………3分 （2）解：①设⊙O 的半径为r.在Rt △OCP 中，222OC CP OP +=．∵1,5,BP CP ==∴222(5)(1)r r +=+． ………………………4分解得2r =．∴⊙O 的半径为2． ……………………………………………5分 ②2143． ……………………………………………7分28．解：（1）1x ≤或2x ≥；……………………………………………2分（2）如图所示：……………………………………5分1342x x x x <<<. .……………………………………………7分29.解：（1）60. ……………………………………………2分（2）.……………………………………………3分连接,MQ MP .记,MQ PQ 分别交x 轴于,E F .∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△MAQ 和△MNP 均为等边三角形. ………………4分 ∴MA MQ =，MN MP =，60AMQ NMP ∠=∠=︒. ∴AMN QMP ∠=∠.∴△MAN ≌△MQP . .………………………………5分 ∴MAN MQP ∠=∠. ∵AEM QEF ∠=∠， ∴60QFE AMQ ∠=∠=︒.∴60α=︒. .…………………………………………….6分 （3）（32，12）或（32-，12-）. ………………………8分xyF EPQAO MN。
北京四十四中2015_2016学年九年级数学上学期期中试题(含解析)北京课改版
北京四十四中2015-2016学年九年级数学上学期期中试题 考试说明
1．本试卷共8 页，五道大题，29道小题，满分120分 2．作答时，将选择题答案写在机读卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和机读卡一并交回。
一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知)0(43xyyx,则下列比例式成立的是( )
A．yx43 B. 34yx C. 43yx D. 43yx 【考点】 分式的基本性质 【试题解析】
解析：A选项中化简得;C选项化简得;D选项化简得 故选B 。 【答案】B
2. 在ABC中， 90C，3sin2B，则B为（ ） A．30 B．45 C．60 D．90 【考点】 特殊角的三角函数值 【试题解析】
解析：根据特殊角的三角函数值可知，故选C。 【答案】C 3. 抛物线1)2(2xy的顶点坐标是( ) A．(21)， B．1) 2(， C．(21)， D．(21)， 【考点】 二次函数的图像及其性质 【试题解析】
解析：根据，顶点坐标。所以选B。 【答案】B 4. 把抛物线2=+1yx向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( ) A．231yx B．233yx C．231yx D．233yx 【考点】 二次函数图像的平移 【试题解析】 解析：根据上加下减，左加右减的原则，可知选C 【答案】C
5. 如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若5AD，10BD，3AE，则CE的长为( )
A．3 B．6 C．9 D．12 【考点】 比例线段的相关概念及性质 【试题解析】
解析：根据比例线段的性质可知,代入数据得CE=6.故选B。 【答案】B 6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则sinA的值为( ) A．55 B．255 C．12 D．2 【考点】 解直角三角形 【试题解析】
2015年九年级数学上册期中检测试题(含答案和解释)
2015年九年级数学上册期中检测试题(含答案和解释)期中检测题本检测题满分:120分，时间:120分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1. (2015•广东中考)若关于x的方程 +x－a+ =0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( ) A.a≥2 B.a≤2 C.a>2 D.a<2 2.（2015•江苏苏州中考）若二次函数y= +bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程 +bx=5的解为（） A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2 4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（） A.y=(x+2)2+2 B.y=(x 2)2 2 C.y=(x 2)2+2 D.y=(x+2)2 24.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）5.已知抛物线的顶点坐标是，则和的值分别是（） A.2，4 B. C.2，D. ，0 6.若是关于的一元二次方程，则的值应为（） A. B. C.D.无法确定 7.方程的解是（） A． B． C． D． 8.若是关于的方程的根，则的值为（） A． B． C． D． 9.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．10. (2015•山西中考)晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A． B. C. D. 11.已知点的坐标为，为坐标原点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得线段，则点的坐标为（） A. B. C. D. 12.当代数式的值为7时，代数式的值为（）二、填空题（每小题3分，共24分） 13.对于二次函数，已知当由1增加到2时，函数值减少3，则常数的值是 .14.将抛物线向右平移2个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的顶点坐标为_______. 15.某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数表达式是y=60x 1.5x2，该型号飞机着陆后需滑行 m才能停下来. 16.如果，那么的关系是________． 17.如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围为_____________. 18.方程的解是__________________． 19.如图所示，边长为2的正方形的对角线相交于点，过点的直线分别交于点，则阴影部分的面积是． 20.若（是关于的一元二次方程，则的值是________．三、解答题（共60分） 21.（8分）(2015•江西中考)如图，正方形ABCD与正方形关于某点中心对称.已知A，，D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2). (1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B，C，， . 第21题图第22题图 22.（8分）（2015•湖北襄阳中考）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门.所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?23.（8分）把抛物线向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线重合．请求出的值，并画出函数的示意图． 24.（8分）(2015•浙江宁波中考)已知抛物线－(x－m)，其中m是常数． (1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线x= ．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？ 25.（8分）已知抛物线与轴有两个不同的交点． (1)求的取值范围； (2)抛物线与轴的两交点间的距离为2，求的值.26.（8分）若关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2. （1）求实数k的取值范围. （2）是否存在实数k 使得x1•x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由. 27．(12分)将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC＝∠B1A1C＝30°)按图①的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图②所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O． (1)求证：△BCE≌△B1CF. (2)当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．期中检测题参考答案 1. C 解析：由题意得一元二次方程根的判别式Δ>0，即12－4×1× >0，整理，得4a－8>0，解得a>2. 2. D 解析：∵ 二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，∴ － =2，解得b=－4，∴ 关于x的方程x2+bx=5为x2－4x=5，其解为 . 3.B 解析:根据平移规律“左加右减”“上加下减”，将抛物线y=x2－4先向右平移2个单位得y= (x－2)2－4，再向上平移2个单位得y=(x－2)2－4+2=(x－2)2－2. 4.C 解析:当时，二次函数图象开口向下，一次函数图象经过第二、四象限，此时C，D符合. 又由二次函数图象的对称轴在轴左侧，所以，即，只有C 符合. 同理可讨论当时的情况. 5.B 解析: 抛物线的顶点坐标是（），，，解得 . 6.C 解析：由题意，得，解得 .故选C. 7.A 解析：∵ ，∴ ，∴ .故选A. 8.D 解析：将代入方程得，所以. ∵ ，∴ ，∴ .故选D. 9.A 解析：依题意，得联立得，∴ ，∴ .故选． 10. B 解析：在四个图形中，A，C，D三个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，只有B是中心对称图形而不是轴对称图形. 11.C 解析：画图可得点的坐标为． 12.A 解析：当时，，所以代数式 .故选 . 13. 解析:因为当时，，当时，，所以 . 14.(5，－2) 15. 600 解析:y=60x 1.5x2= 1.5（x 20）2+600，当x=20时，y最大值=600，则该型号飞机着陆时需滑行600 m才能停下来. 16. 解析：原方程可化为，∴ . 17. 解析：∵ ＝，∴ ． 18. 解析： .方程有两个不等的实数根，即 19.1 解析：△ 绕点旋转180°后与△ ，所以阴影部分的面积等于正方形面积的，即1. 20 解析：由得或． 21. 分析：（1）由D和D1是对称点，可知对称中心是线段DD1的中点，所以对称中心的坐标为（0，）. （2）由点A（0，4），D（0，2）得正方形ABCD的边长AD=4－2=2，从而有OA=OD+AD=4，OA1=OD1－A1D1=3－2=1，进而可求出B，C，B1，C1的坐标. 解：(1) ∵ D和是对称点，∴ 对称中心是线段D 的中点. ∴ 对称中心的坐标是(0， ). (2)B(－2，4)，C(－2，2)， (2，1)， (2，3) 22.分析：本题需要利用矩形的面积等于80 m2列方程求解，由于矩形的面积等于长乘宽，因此需要表示矩形的长与宽，设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，利用矩形的长与两个宽的和是（25+1）m，得到矩形的长为(26－2x)m.根据矩形的面积公式列出方程求解.最后利用矩形的长不大于12 m确定矩形的长与宽. 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，则矩形猪舍的另一边长为（26－2x）m. 依题意，得x(26－2x)=80. 化简，得－13x+40=0. 解这个方程，得 =5，=8. 当x=5时，26－2x=16＞12（舍去）；当x=8时，26－2x=10＜12. 答：所建矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m. 23.解:将整理得 . 因为抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得，所以将向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得，故，所以 .示意图如图所示. 24. (1)证明:∵ －(x－m)=(x－m)(x－m－1)，∴ 由y=0得 =m， =m+1．∵ m≠m+1，∴ 抛物线与x轴一定有两个交点(m，0)，(m+1，0)． (2)解：①∵ －(2m+1)x+m(m+1)，∴ 抛物线的对称轴为直线x=－ = ，解得m=2，∴ 抛物线的函数解析式为－5x+6．②∵ －5x+6= ，∴ 该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点． 25. 解:（1）∵ 抛物线与轴有两个不同的交点，∴ ＞0，即解得c＜ . (2)设抛物线与轴的两交点的横坐标为，∵ 两交点间的距离为2，∴ . 由题意，得，解得，∴ ，． 26. 分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式Δ≥0，据此列出关于k的不等式［－（2k+1）］2－4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；（2）假设存在实数k使得x1•x2－－≥0成立，利用根与系数的关系可以求得x1+x2=2k+1，x1•x2=k2+2k，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式3x1•x2－（x1+x2）2≥0，通过解不等式可以求得k的值. 解：（1）∵ 原方程有两个实数根，∴ ［－（2k+1）］2－4（k2+2k）≥0，∴ 4k2+4k+1－4k2－8k≥0，∴ 1－4k≥0，∴ k≤ . ∴ 当k≤ 时，原方程有两个实数根. （2）假设存在实数k使得x1•x2－－≥0成立．∵ x1，x2是原方程的两根，∴ x1+x2=2k+1，x1•x2=k2+2k. 由x1•x2－－≥0，得3x1•x2－（x1+x2）2≥0. ∴ 3（k2+2k）－（2k+1）2≥0，整理得－（k－1）2≥0，∴ 只有当k=1时，上式才能成立.又由（1）知k≤ ，∴ 不存在实数k使得x1•x2－－≥0成立. 27.（1）证明：在△ 和△ 中，∠ ，，∠ ，∴ △ ≌△ ．（2）解：当∠ 时，．理由如下：∵ ∠ ，∴ ∠ ．∴ ∠ ，∴ ∠ . ∵ ∠ ，∴ ∠ ，。
北京63中2014—2015学年度初一年级上数学期中试卷及答案
学校 班级 考号 姓名_________________----------------------------装---------------------------订-----------------------线---------------北京63中2014—2015学年度初一年级第一学期数学期中测试 成绩一、选择题 (每题2分,共20分) 1. -2的绝对值是（ ）A. -0.5B.0.5C. 2D. -2 2. 下列各组数互为相反数的是 ( )A.22与()2-2B. 22与-22C. 32-与()2-3D. -()32-与323.用科学计数法表示-186000，正确的是（ ）A 1.86⨯105 B. -186 ⨯103 C -1.86⨯105 D. -0.186⨯106 4. 如果两个有理数的和是负数，那么这两个数一定是（ ） A.绝对值不相等 B.都是负数 C. 一正一负D. 至少一个负数 5. 一个数的平方等于它本身,则这个数是( ) A. 0 B. 0 ,1 C. 1 D. 1, 0, -1 6.下列计算结果错误．．的是（ ） A. -32-31=1 B.-24 =-16C. ()112000=- D.()1628-=-⨯-7．下列各式不是整式的是( )A. 51-B.32mC. 25a 1-D.t 28. 若a a -=,则a 一定是( ) A 、负数 B 、正数 C 、非正数 D 、非负数 9. 下列变形不正确的是（ ）A 、2354+=-x x 变形得5234+=-x xB 、 23=x 变形得32=x C 、)3(2)1(3+=-x x 变形得6213+=-x x D 、321132+=-x x 变形得18364+=-x x 10.已知⎩⎨⎧-=-=23y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+21by cx cy ax 的解, 则a 、b 间的关系是( )二、 填空 (每题2分,共20分)11.计算:-52-⎪⎭⎫⎝⎛-53=______；-1()23-=______.12. 43-的底数是 ，指数是 ，计算结果是 13. 多项式622.042232+-+-y x x x 的次数最高项_____；三次项系数为 ，多项式是_____次_____项式.14. 化简：=63-_____；3.06--=____15. 比较大小：-0.01 _____0.1；___43-65-16. 将52.649精确到0.1：_______.17. 绝对值不大于2的非负整数有____________. 18. 已知有理数b a ,在数轴上的位置如下图：化简: ____=--+a b b a19.在五环图案内, 分别填写五个数a b c d e ，，，，, 如图,其 中a b c ，，是三个连续偶数()a b d e <，，是两个连续奇数()de <,且满足a b c d e ++=+, 例如: 0到20之间. 20. ,,,a b c d 为有理数, 那么当2(1)x -45=18时, x 的值是 ．三.计算(21,22每题4分，23-26每题5分共28分)21. 15172411+-+- 22. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3221⎪⎭⎫⎝⎛+--6541学校 班级 考号 姓名_________________----------------------------装---------------------------订-----------------------线---------------23.⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-5314321156 24.⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--8720218743825.22211432322332⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-26.()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯---÷-2131133322四.计算 (每小题4分,共8分)27. y x xy xy y x 222216131215-+-28. 2(2x -11x+6)-3(3x -5x-2)五．先化简，再求值：（每题5分，共10分）29. 已知m,x,y 满足: (1). 0)5(2=+-m x ; (2). 12+-y ab 与34ab 是同类项.求代数式)93()632(2222y xy x m y xy x+--+-的值.30.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--22312331221y x y x 的值 其中32,2=-=y x学校 班级 考号 姓名_________________----------------------------装---------------------------订-----------------------线---------------六，解方程或方程组(每小题4分，共8分)31.1851612=--+xx 32. ⎩⎨⎧=-=+33651643y x y x七．应用题（用方程或者方程组，共6分）33.某生产车间生产A,B 两种零件，现有55名工人，每人每天平均生产A零件12个,每人每天生产B 零件8个，若一个A 需搭配3个B 才能成一套产品.那么应该分配多少人做A 零件，多少人做B 零件，才能做出刚好配套的产品？学校 班级 考号 姓名_________________----------------------------装---------------------------订-----------------------线---------------北京63中2014—2015学年度初一年级第一学期数学期中测试答案 一、 选择题二、 填空题；，，、；；、814312105111- ；；；；、442.0x 21322y - 202114；、-、15＜；＞； 16、52.6 ； 17、0，1，2 ； 18、0 19、（6，8，10，11，13）；（10，12，14，17，19） 20、3 三、 计算 21、11 22、43- 23、2 24、547- 25、318- 26、611- 四、 计算27、22xy y x +- 28、1872323+-+-x x x五、 化简计算29、解：由题可知x-5=0,m=0,y+1=3,得出 x=5,m=0, y=2 所以4426253522,5x 632)93()632(22222222=⨯+⨯⨯-⨯===+-=+--+-代入上式把y y xy x y xy x m y xy x30、解：18143322272132,227213123312212222=+-⨯-==-=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--）（）（代入上式把y x y x y x y x六、 解方程、方程组31.1851612=--+xx 1123234324158241534824)51(3)12(4==-+=+=+-+=--+x x x x x x x x 得，系数化合并同类项得，移项得，去括号得，解：去分母得，32. ⎩⎨⎧=-=+)2(3365)1(1643yx y x解：由（1）*3+（2）*2得19x=114 x=6把x=6代入（1）中解得⎪⎩⎪⎨⎧-==∴-=21621y x y 方程组的解为七、 应用题（法一）解：设分配x 人做A 零件， y 人做B 零件，才能做出刚好配套的产品，根据题意得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=⨯=+4510x ,812355y y x y x 解得 （法二）解：设分配x 人做A 零件，则有（55-x ） 人做B 零件，才能做出刚好配套的产品，根据题意得10),55(8123=-=⨯x x x 解得。
北京市2024-2025学年北京中学初三(上)期中考试数学试卷
2024北京北京中学初三（上）期中数 学满分100分 考试时间120分钟一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有．．一个． 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．方程29x =的解是（ ）A ．3x =B ．3x =−C ．121,9x x ==D ．123,3x x ==−3．将抛物线2y x =向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）A ．23y x =+B ．23y x =−C ．2(3)y x =+D ．2(3)y x =−4．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n ︒后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是（ ）A ．45B ．60C ．90D ．1205．用配方法解方程2420x x −+=，配方正确的是（ ）A 2(2)2x −=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x −=−D ．2(2)6x −=6．关于二次函数2(2)3y x =−−+，以下说法正确的是（ ）A ．当2x >−时，y 随x 增大而减小B ．当2x >−时，y 随x 增大而增大C ．当2x >时，y 随x 增大而减小D ．当2x >时，y 随x 增大而增大7．根据下列表格的对应值，判断方程210x x +−=一个解的取值范围是（ ）x 0.590.60 0.61 0.62 0.63 21x x +−0.061− 0.04− 0.018− 0.0044 0.027 A ．0.590.60x << B ．0.600.61x << C ．0.610.62x << D ．0.620.63x <<8．如图，矩形OABC 中，(3,0),(0,2)A C −，抛物线22()1y x m m =−−−+的顶点M 在矩形OABC 内部或其边上，则m 的取值范围是（ ）A ．30m −≤≤B ．10m −≤≤C ．12m −≤≤D ．31m −≤≤−第二部分 非选择题二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点(1,2)P −关于原点的对称点的坐标为______．10．写出一个开口向下，与y 轴交于点(0,1)的抛物线的函数表达式：______．11．若关于x 的一元二次方程220x x m −+=有一个根为1，则m 的值为______．12．已知()()12,1,,1P x Q x 两点都在抛物线241y x x =−+上，那么12x x +=______． 13．若关于x 的方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b ，c 的值：b =______，c =______．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方“”的位置，则旋转中心的坐标是______．15．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如上面表格所示，设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x ，可列方程为______．小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成：每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；③每个步骤所需时间如下表所示：分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要______分钟．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）17．解方程：2280x x −−=18．已知二次函数22y x x =−．（1）补全表格，并在右图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（2）点(2,7)P −______该函数的图象上（填“在”或“不在”）．19．如图，在Rt ABC △中，90,3,4ACB AC BC ∠=︒==，将ABC △绕点C 逆时针旋转得到DEC △，使点A 的对应点D 落在BC 边上，点B 的对应点为E ，求线段,BD DE 的长．20．已知m 是方程220x x −−=的根，求代数式()15m m −+的值． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中()()2,4,2,0A B −−，将OAB △绕原点Ｏ顺时针旋转90︒得到OA B ''△（,A B ''分别是A 、B 的对应点）．（1）在图中画出OA B ''△，点A '的坐标为______；（2）若点(),2M m 位于OAB △内（不含边界），点M '为点M 绕原点O 顺时针旋转90︒的对应点，直接写出M '的纵坐标n 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点()()1,03,0，． （1）求该二次函数的解析式；（2）当13x −<<时，直接写出函数值y 的取值范围．23．阅读下面的材料并完成解答．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：（1）将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______步；（2）中间小正方形的面积为______平方步；（3）若设矩形田地的宽为x 步，则小正方形的面积可用含x 的代数式表示为______；（4）由（2）（3）可得关于x 的方程______，进而解得矩形田地的宽为24步．24．已知关于x 的一元二次方程2)440x k x k −++=（． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求k 的取值范围．25．如图1，是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD 和BC 与路面AB 垂直，隧道内侧宽8AB =米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB 上取点E ，测量点E 到墙面AD 的距离AE ，点E 到隧道顶面的距离EF ．设AE x =米，EF y =米．图1 图2 通过取点、测量，工程人员得到了x 与y 的几组值，如下表：x （米）0 2 4 6 8 y （米） 4.05.56.0 5.5 4.0 （1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB 的最大距离为______米，并求出满足的函数关系式()2(0)y a x h k a =−+<；（2）若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需离左侧墙及右侧墙的距离不小于1米，且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？26．已知：二次函数221y ax ax a =−++．（1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）若点()12)1,,2,A n y B n y +−（在抛物线()2210y ax ax a a =−++>上，且12y y <，求n 的取值范围．27．如图，在等边三角形ABC 中，点P 为ABC △内一点，连接,,AP BP CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AP '，连接,PP BP ''．（1）用等式表示BP '与CP 的数量关系，并证明；（2）当120BPC ∠=︒时，①直接写出P BP '∠的度数为______；②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 内的点P 和图形M ，给出如下定义：如果点P 绕原点O 顺时旋转90︒得到点P ，点P '落在图形M 上或图形M 围成的区域内，那么称点P 是图形M 关于原点O 的“伴随点”．已知点()()()1,1,3,1,3,2A B C ．（1）在点()()()1232,0,1,1,1,2P P P −−−中，点______是线段AB 关于原点O 的“伴随点”；（2）如果点(),2D m 是ABC △关于原点O 的“伴随点”，直接写出m 的取值范围；（3）已知抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为1n −（，），其关于原点对称的抛物线上存在ABC △关于原点O 的“伴随点”，求出n 的最大值和最小值．。
北师大版九年级数学上册--期中数学试卷一(含答案)
2014-2015学年九年级（上）期中数学试卷（一）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．已知关于x的方程，（1）ax2+bx+c=0；（2）x2﹣4x=0；（3）1+（x﹣1）（x+1）=0；（4）3x2=0中，一元二次方程的个数为（）个．A． 1 B． 2 C． 3 D． 42．如图的几何体的俯视图是（）ＡＢＣＤ3．有如下四个命题：（1）三角形三边垂直平分线的交点一定在三角形内部；（2）四边形的内角和与外角和相等；（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）A．44°B．68°C．46°D．22°5．如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A．2和3 B．3和2 C．4和1D．1和46．若关于x的方程x2﹣4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣4 B．m＞﹣4 C．m＜4 D．m＞47．在同一平面直角坐标系中，函数y=x﹣1与函数的图象可能是（）A．B．C．D．8．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE 的长等于（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）9．一元二次方程x（x﹣3）=0的解是．10．在函数y=中，当x＜﹣2时，y的取值范围；当y＞﹣2时，x的取值范围．11．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为．12．如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y=在第一象限内的交点，P A⊥OP交x 轴于点A，△POA的面积为2，则k的值是．13．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为．14．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm．15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB 于点P．则点P的坐标为．16．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE，已知AE=5，=，则BE+CE=．三、解答题（共40分）17．解下列方程：（1）x2﹣2x﹣1=0；（2）2x2﹣5x﹣1=0；（3）x2﹣3x﹣18=0；（4）4x（x+1）=x2﹣1．18．据媒体报道，我国2010年公民出境旅游总人数约5 000万人次，2012年公民出境旅游总人数约7 200万人次．若2011年、2012年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2013年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2013年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？19．某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC 与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．求证：AM=AN．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．已知关于x的方程，（1）ax2+bx+c=0；（2）x2﹣4x=0；（3）1+（x﹣1）（x+1）=0；（4）3x2=0中，一元二次方程的个数为（）个．A． 1 B．2C． 3 D． 4考点：一元二次方程的定义．分析：根据一元二次方程的定义逐项判断即可．解答：解：（1）ax2+bx+c=0中a可能为0，故不是一元二次方程；（2）x2﹣4x=0符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程；（3）1+（x﹣1）（x+1）=0，去括号合并后为x2=0，是一元二次方程；（4）3x2=0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；所以是一元二次方程的有三个，故选C．点评：本题主要考查一元二次方程的定义，即只含有一个未知数且未知数的次数为2的整式方程，注意如果是字母系数的方程必须满足二次项的系数不等于0才可以．2．如图的几何体的俯视图是（）ＡＢＣＤ考点：简单组合体的三视图．专题：常规题型．分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：能看到的用实线，在内部的用虚线．故选：C．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．有如下四个命题：（1）三角形三边垂直平分线的交点一定在三角形内部；（2）四边形的内角和与外角和相等；（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：命题与定理．分析：利用三角形的内心的性质、四边形的内角和定理、菱形的判定及平行四边形的判定逐一判断后即可确定正确的选项．解答：解：（1）三角形三边垂直平分线的交点一定在三角形内部，正确，为真命题；（2）四边形的内角和与外角和相等，正确，为真命题；（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形，错误，为假命题；（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，错误，为假命题，故选B．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的内心的性质、四边形的内角和定理、菱形的判定及平行四边形的判定等知识，难度不大．4．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）A．44°B．68°C．46°D．22°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：本可先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B的度数，进而在Rt△DCB 中，求得∠DCB的度数．解答：解：∵∠A=44°，AB=AC∴∠B=∠C=68°∵∠BDC=90°∴∠DCB=22°．故本题选D．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，及三角形内角和定理．5．如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质和角平分线，可推出AB=BE，再由已知条件即可求解．解答：解：∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE∵▱ABCD∴AD∥BC∴∠DAE=∠AEB∴∠BAE=∠BEA∴AB=BE=3∴EC=AD﹣BE=2故选B．点评：命题立意：考查平行四边形性质及等腰三角形的性质．6．若关于x的方程x2﹣4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣4 B．m＞﹣4 C．m＜4 D．m＞4考点：根的判别式．专题：计算题．分析：由方程没有实数根，得到根的判别式的值小于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．解答：解：∵△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m＜0，∴m＞4．故选D点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．7．在同一平面直角坐标系中，函数y=x﹣1与函数的图象可能是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．分析：根据反比例函数的性质可得：函数的图象在第一三象限，由一次函数与系数的关系可得函数y=x﹣1的图象在第一三四象限，进而选出答案．解答：解：函数中，k=1＞0，故图象在第一三象限；函数y=x﹣1的图象在第一三四象限，故选：C．点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数图象，关键是掌握一次函数图象与系数的关系．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．8．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE 的长等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：由∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，可得△ADC∽△BDE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解答：解：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，∴△ADC∽△BDE，∴，∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，∴DE==．故选：B．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）9．一元二次方程x（x﹣3）=0的解是x1=0，x2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：利用因式分解法求解．解答：解：x=0或x﹣3=0，所以x1=0，x2=3．故答案为x1=0，x2=3．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．10．在函数y=中，当x＜﹣2时，y的取值范围﹣1＜y＜0；当y＞﹣2时，x的取值范围﹣1＜x＜0．考点：反比例函数的性质．分析：首先根据k值确定反比例函数的增减性，然后根据自变量的取值确定反比例函数的函数值的取值范围．解答：解：∵函数y=中k=2＞0，∴在每个象限内y随着x的增大而减小，∵当x=﹣2时，y=﹣1，∴当x＜﹣2时，﹣1＜y＜0，当y＞﹣2时，x的取值范围，﹣1＜x＜0故答案为：﹣1＜y＜0，﹣1＜x＜0．点评：本题考查了反比例函数图象的性质，有一定难度．11．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为（22﹣x）（17﹣x）=300．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：几何图形问题．分析：把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．解答：解：设道路的宽应为x米，由题意有（22﹣x）（17﹣x）=300，故答案为：（22﹣x）（17﹣x）=300．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．12．如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y=在第一象限内的交点，P A⊥OP交x 轴于点A，△POA的面积为2，则k的值是2．考点：反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形．分析：过P作PB⊥OA于B，根据一次函数的性质得到∠POA=45°，则△POA为等腰直角三角形，所以OB=AB，于是S△POB=S△POA=×2=1，然后根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义即可得到k的值．解答：解：过P作PB⊥OA于B，如图，∵正比例函数的解析式为y=x，∴∠POA=45°，∵P A⊥OP，∴△POA为等腰直角三角形，∴OB=AB，∴S△POB=S△POA=×2=1，∴k=1，∴k=2．故答案为2．点评：本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了等腰直角三角形的性质．13．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 1.6．考点：旋转的性质．专题：压轴题．分析：由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．解答：解：由旋转的性质可得：AD=AB，∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵AB=2，BC=3.6，∴CD=BC﹣BD=3.6﹣2=1.6．故答案为：1.6．点评：此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．14．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm．考点：菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．分析：根据菱形性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出∠ABO=30°，求出AO，BO、DO，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF∥BD，推出，EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．解答：解：连接BD、AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，∵∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∴∠ABO=90°﹣60°=30°，∵∠AOB=90°，∴AO=AB=×2=1，由勾股定理得：BO=DO=，∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD=（+）=，故答案为：．点评：本题考查了折叠性质，菱形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为（2，4﹣2）．考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．分析：根据正方形的对角线等于边长的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，再求出AP，即可得到点P的坐标．解答：解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，∴OA=OC=2，OB=2，∵QO=OC，∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，∵正方形OABC的边AB∥OC，∴△BPQ∽△OCQ，∴=，即=，解得BP=2﹣2，∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，∴点P的坐标为（2，4﹣2）．故答案为：（2，4﹣2）．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是解题的关键．16．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE，已知AE=5，=，则BE+CE=6或16．考点：线段垂直平分线的性质．专题：分类讨论．分析：本题有两种情形，需要分类讨论，首先根据题意画出图形，由线段垂直平分线的性质，即可求得AE=BE，又由三角函数的性质，求得AD的长，继而求得答案．解答：解：①若∠BAC为锐角，如答图1所示：∵AB的垂直平分线是DE，∴AE=BE，ED⊥AB，AD=AB，∵AE=5，=，∴sin∠AED=，∴AD=AE•sin∠AED=3，∴AB=6，∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=6；②若∠BAC为钝角，如答图2所示：同理可求得：BE+CE=16．故答案为：6或16．点评：本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、解直角三角形等知识点，着重考查了分类讨论的数学思想．三、解答题（共40分）17．解下列方程：（1）x2﹣2x﹣1=0；（2）2x2﹣5x﹣1=0；（3）x2﹣3x﹣18=0；（4）4x（x+1）=x2﹣1．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．分析：（1）利用求根公式法求解即可；（2）利用求根公式法求解；（3）利用十字相乘法分解因式，然后求解即可；（4）先移项并分解因式，然后求解即可．解答：解：（1）配方得，（x2﹣2x+1）﹣1﹣1=0，即（x﹣1）2=2，所以，x﹣1=±，x1=1+，x2=1﹣；（2）a=2，b=﹣5，c=﹣1，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）=25+8=33，x==，x1=，x2=；（3）因式分解得，（x+3）（x﹣6）=0，由此得，x+3=0，x﹣6=0，所以，x1=﹣3，x2=6；（4）移项得，4x（x+1）﹣（x2﹣1）=0，因式分解得，4x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1）=0，（x+1）（3x+1）=0，由此得x+1=0，3x+1=0，所以x1=﹣1，x2=﹣．点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．据媒体报道，我国2010年公民出境旅游总人数约5 000万人次，2012年公民出境旅游总人数约7 200万人次．若2011年、2012年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2013年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2013年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解；（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次．解答：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得：5000（1+x）2 =7200，解得x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．（2）如果2013年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为7200（1+x）=7200×（1+20%）=8640（万人次）．答：预测2013年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．点评：此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．19．某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为26.8万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）考点：一元二次方程的应用．分析：（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27﹣0.1×2，即可得出答案；（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可．解答：解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27﹣0.1×（3﹣1）=26.8，故答案为：26.8；（2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：28﹣[27﹣0.1（x﹣1）]=（0.1x+0.9）（万元），当0≤x≤10，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+0.5x=12，整理，得x2+14x﹣120=0，解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=6，当x＞10时，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+x=12，整理，得x2+19x﹣120=0，解这个方程，得x1=﹣24（不合题意，舍去），x2=5，因为5＜10，所以x2=5舍去．答：需要售出6部汽车．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键．20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC 与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．求证：AM=AN．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质．专题：证明题．分析：根据旋转的性质可得△AEB和△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，再结合等腰三角形三线合一的性质即可推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，从而推出∠MBA=∠NBA，然后根据“角边角”证明△AMB和△ANB全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解答：证明：∵△AEB由△ADC旋转而得，∴△AEB≌△ADC，∴∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C，∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，∵∠EBM=∠DBN，∴∠MBA=∠NBA，在△AMB和△ANB中，，∴△AMB≌△ANB（ASA），∴AM=AN．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，等腰三角形三线合一的性质，证明边相等，通常利用证明两边所在的三角形全等进行证明．。
2024-2025学年北京三十五中九年级(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年北京三十五中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二次函数y=−2(x+1)2−3图象的顶点坐标为( )A. (1,3)B. (1,−3)C. (−1,3)D. (−1,−3)2.云纹是我国的传统纹样，象征着吉祥如意.其以流动飘逸的曲线和回转交错的结构体现了流动之美.以下云纹图案都是由朵云通过不同的变换形式构造出的，请你选出其中的中心对称图形( )A. 双分朵云B. 三合云C. 四合云D. 五福云3.若x=3是关于x的方程x2−2x−m=0的一个根，则m的值是( )A. −15B. −3C. 3D. 154.二次函数y=x2+4x+a的图象与x轴没有交点，则a的值可以是( )A. −2B. 2C. 4D. 65.在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′(所有顶点都是网格线交点)，在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q6.如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，∠ABO=40°，则∠C的度数是( )A. 100°B. 80°C. 50°D. 40°7.定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).下表记录了该同学将篮球投出后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为( )x(单位：m)024y(单位：m) 2.25 3.45 3.05A. 1.5mB. 2mC. 2.5mD. 3m8.如图，⊙O的直径AB=12，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点．设AD=x，BC=y，则y关于x的函数图象大致是( )A. B.C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
2015-2016年北京市徐悲鸿中学九年级上学期期中数学试卷及答案
2015-2016学年北京市徐悲鸿中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意.1．（3分）二次函数y=x2﹣2x+3的对称轴为（）A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=﹣12．（3分）如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC=2：3，则S△ADE：S△ABC为（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：23．（3分）把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+34．（3分）在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则sinB的值是（）A．B．C．D．5．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=6，则BC=（）A．2 B．4 C．6 D．6．（3分）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠07．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1）8．（3分）若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y=x2﹣4x+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y29．（3分）如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE=33°，AB=a，BD=b，则下列求旗杆CD长的正确式子是（）A．CD=b sin33°+a B．CD=b cos33°+aC．CD=b tan33°+a D．CD=10．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C． D．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）抛物线y=﹣x2+bx+2经过点（﹣1，1），则它的解析式为．12．（3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=．13．（3分）如图所示，斜坡AB的坡度i=：1，则这个坡角为．14．（3分）在△ABC中，DE∥BC，，且S△ABC=8cm2，那么S△ADE=cm2．15．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是．16．（3分）如图，在同一直角坐标系中，抛物线y1=ax2+bx+c与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C（0，﹣3），直线y2=mx+n与抛物线交于B、C两点．由图象可知：（1）当x满足时，ax2+bx+c＜0；（2）当x满足时，y1＞y2；（3）当x满足时，y1•y2＞0．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：sin30°+3cos245°﹣tan60°•tan30°．18．（5分）已知：如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=135°，AC=10cm．求AB及BC的长．19．（5分）如图，P为抛物线y=x2﹣x+上对称轴右侧的一点，且点P在x 轴上方，过点P作PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B，得到矩形PAOB．若AP=1，求矩形PAOB的面积．20．（5分）已知，且3y=2z+6，求x，y的值．21．（5分）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．22．（5分）如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，∠ABC=∠ADE，AB=7，AD=3，AE=2.7，求AC的长．23．（5分）二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（﹣2，5），且当x=2时，y=﹣3，求这个二次函数的解析式．24．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）写出当x为何值时，y＞0．25．（5分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．26．（5分）阅读下面的材料小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tanα=，tan，求α+β的度数．小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰三角形，因此可求得α+β=∠ABC=°请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tanα=4，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=α﹣β，由此可得α﹣β=°．27．（7分）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．28．（7分）已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x的二次方程y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xOy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．29．（8分）定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2﹣2x+2是黄金抛物线．（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将黄金抛物线y=2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位．①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由[注：第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图（画图不计分）]．2015-2016学年北京市徐悲鸿中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意.1．（3分）二次函数y=x2﹣2x+3的对称轴为（）A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=﹣1【解答】解：y=x2﹣2x+3中，a=1，b=﹣2，c=3，x=﹣=﹣=1．故选：C．2．（3分）如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC=2：3，则S△ADE：S△ABC为（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2【解答】解：∵△ADE∽△ABC，DE：BC=2：3∴S△ADE ：S△ABC=4：9故选：A．3．（3分）把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3【解答】解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3．故选：D．4．（3分）在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则sinB的值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∴sinB===．故选：A．5．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=6，则BC=（）A．2 B．4 C．6 D．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，cosA=，AB=6，∴cosA==，∴AC=4，∴BC===2．故选：D．6．（3分）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，∴，即，解得k＜3且k≠0．故选：B．7．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1）【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（3，3）．故选：A．8．（3分）若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y=x2﹣4x+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2【解答】解：由抛物线y=x2﹣4x﹣m可知对称轴x=﹣=2，∵抛物线开口向上，而点A（2，y1）在对称轴上，B（﹣3，y2）到对称轴的距离比C（﹣1，y3）远，∴y1＜y3＜y2．故选：C．9．（3分）如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE=33°，AB=a，BD=b，则下列求旗杆CD长的正确式子是（）A．CD=b sin33°+a B．CD=b cos33°+aC．CD=b tan33°+a D．CD=【解答】解：由题意则AE=BD，即AE=b．在直角△AEC中，∠ACE=33°，CE=AEtan33°=btan33°．则CD=CE+ED=btan33°+a．故选：C．10．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C． D．【解答】解：∵二次函数图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x=﹣=，∴b=﹣a＜0，当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，∴﹣b﹣b+c＞0，解得c﹣2b＞0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第一三象限．故选：B．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）抛物线y=﹣x2+bx+2经过点（﹣1，1），则它的解析式为y=﹣x2+2．【解答】解：∵y=﹣x2+bx+2经过点（﹣1，1），∴1=﹣1﹣b+2，∴b=0，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2，故答案为y=﹣x2+2．12．（3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=．【解答】解：在直角△ABD中，BD=1，AB=2，则AD===，则sinA===．故答案是：．13．（3分）如图所示，斜坡AB的坡度i=：1，则这个坡角为60°．【解答】解：∵斜坡AB的坡度i=：1，∴tanA=，∴∠A=60°．故答案为：60°．14．（3分）在△ABC中，DE∥BC，，且S△ABC=8cm2，那么S△ADE=2cm2．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE ：S△ABC=（）2，∵，∴S△ADE ：S△ABC=1：4，∵S△ABC=8cm2，∴S△ADE=2cm2．故答案为：2．15．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是6．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD：DB=1：2，DE=2，∴，解得BC=6．故答案为：6．16．（3分）如图，在同一直角坐标系中，抛物线y1=ax2+bx+c与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C（0，﹣3），直线y2=mx+n与抛物线交于B、C两点．由图象可知：（1）当x满足﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＜0；（2）当x满足x＜0或x＞3时，y1＞y2；（3）当x满足﹣1＜x＜3或x＞3时，y1•y2＞0．【解答】解：（1）当x满足﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＜0；（2）当x满足x＜0或x＞3时，y1＞y2；（3）当x满足﹣1＜x＜3或x＞3时，y1•y2＞0．故答案为：﹣1＜x＜3；x＜0或x＞3；﹣1＜x＜3或x＞3．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：sin30°+3cos245°﹣tan60°•tan30°．【解答】解：原式=+3×（）2﹣×=+﹣1=1．18．（5分）已知：如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=135°，AC=10cm．求AB及BC的长．【解答】解：过C作CD⊥AB交AB的延长线与D，则∠D=90°，∵∠A=30°，∠B=135°，AC=10cm，∴∠CBD=45°=∠BCD，CD=AC=5cm，∴BD=CD，由勾股定理得：AD==5（cm），BC==5（cm），即AB=（5﹣5）cm，BC=5cm．19．（5分）如图，P为抛物线y=x2﹣x+上对称轴右侧的一点，且点P在x 轴上方，过点P作PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B，得到矩形PAOB．若AP=1，求矩形PAOB的面积．【解答】解：∵PA⊥x轴，AP=1，∴点P的纵坐标为1．当y=1时，x2﹣x+=1，即x2﹣2x﹣1=0．解得x1=1+，x2=1﹣．∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P在对称轴的右侧，∴x=1+．∴矩形PAOB的面积为（1+）个平方单位．20．（5分）已知，且3y=2z+6，求x，y的值．【解答】解：设=k，则x=3k，y=5k，z=6k，∵3y=2z+6，∴3×5k=2×6k+6，解得：k=2，∴x=3k=6，y=5k=10．21．（5分）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．【解答】解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，EF∥AB，CD⊥AB于点D．∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°．在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD==90×=90．在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=，∴DB==30．∴AB=AD+BD=90+30=120．答：建筑物A、B间的距离为120米．22．（5分）如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，∠ABC=∠ADE，AB=7，AD=3，AE=2.7，求AC的长．【解答】解：在△ABC和△ADE中，∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A∴△ABC∽△ADE（2分）∴（3分）∴==6.3（5分）23．（5分）二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（﹣2，5），且当x=2时，y=﹣3，求这个二次函数的解析式．【解答】解：根据题意得，解得，所以二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3．24．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）写出当x为何值时，y＞0．【解答】解：（1）y=x2+4x+3，y=x2+4x+4﹣4+3，y=x2+4x+4﹣1，y=（x+2）2﹣1；（2）列表：图象见图．（3）由图象可知，当x＜﹣3或x＞﹣1时，y＞0．25．（5分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．26．（5分）阅读下面的材料小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tanα=，tan，求α+β的度数．小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰三角形，因此可求得α+β=∠ABC=45°请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tanα=4，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=α﹣β，由此可得α﹣β=45°．【解答】解：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰三角形，因此可求得α+β=∠ABC=45°；参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tanα=4，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=α﹣β，由此可得α﹣β=45°．故答案为：45；4527．（7分）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．∵F是AD的中点，∴DF=．又∵CE=BC，∴DF=CE，且DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：如图，过点D作DH⊥BE于点H．在▱ABCD中，∵∠B=60°，∴∠DCE=60°．∵AB=4，∴CD=AB=4，∴CH=CD=2，DH=2．在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE==．28．（7分）已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x的二次方程y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xOy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．【解答】解：（1）分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x﹣2=0，x=2．∴m=0时，方程有实数根．②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）=9m2﹣6m+1﹣8m2+8m=m2+2m+1=（m+1）2≥0，∴m≠0时，方程有实数根．故无论m取任何实数时，方程恒有实数根．综合①②可知，m取任何实数，方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0恒有实数根；（2）∵抛物线y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2经过原点，∴2m﹣2=0，∴m=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x．（3）函数图象如图所示，由消去y得到x2﹣3x﹣b=0，∵两个函数图象有两个交点，∴△＞O，∴9+4b＞0，∴b＞﹣时直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点．29．（8分）定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2﹣2x+2是黄金抛物线．（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将黄金抛物线y=2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位．①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由[注：第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图（画图不计分）]．【解答】解：（1）答：如y=x2，y=x2﹣x+1，y=x2+2x+4等；（2）依题意得b2=ac，∴△=b2﹣4ac=b2﹣4b2=﹣3b2，∴当b=0时，△=0，此时抛物线与x轴有一个公共点，当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点；（3）①抛物线y=2x2﹣2x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y=2x2﹣2x ﹣1，②存在．如图：若BQ=AO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，P点的坐标为：（0，﹣1），（1，﹣1），此时，△AOB≌△BQP；若BQ=BO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，令2x2﹣2x﹣1=，解得：x=﹣或x=，∴P点的坐标为：（﹣，），（，）．此时，△AOB≌△PQB；综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣，），（，）．。
初三九年级上册期中数学试卷及答案.docx
九年级上册期中数学试卷（解析版）一、选择题1、下列各点，不在二次函数y=x?的图象上的是（）A、（1, - 1）B、（1, 1）C、（- 2, 4）D、（3, 9） 2、如图图案中，可以看做是中心对称图形的有（）⑥胎®3A、1个B、2个C、3个D、4个3、平行四边形ABCD的四个顶点都在圆。
上，那么四边形ABCD—定是（）A、正方形B、矩形C、菱形D、以上都不对4、如图，四边形ABCD内接于圆0,若ZBOD=138°,则它的一个外角ZDCE的度数A、138°B、69°C、52°D、42° 5、在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（）①设正方形的边长为x面积为y,则y与x有函数关系；②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；③设正方体的棱长为x,表面积为y,则y与x有函数关系；④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y （km）与行驶时间x （h）有函数关系.A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6、 下列二次函数的图象中，开口最大的是（） :1 :A 、y=x 2B 、y=2x 2C 、y= "l ：@：：@'x 2D 、y= - x 27、 抛物线y=x 2 - 8x 的顶点坐标为（）8、以原点为中心，把点P （1, 3）顺时针旋转90。
，得到的点P'的坐标为（）A 、 (3, - 1)B 、 ( - 3, 1)C 、 (1, - 3)D 、 ( - 1, - 3)9、用60m 长的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S 随着矩形的一边长L 的变化而变化,要使矩形的面积最大，L 的长度应为（）10、二次函数y=ax 2+bx+c （a^O ）和正比例函数y= Tx .气（b- t ） x+c=0 （a ，0）的根的情况（）11、如图，将边长为2的等边三角形ABC 绕点C 旋转120。
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第1页（共21页） 2015学年北京六十三中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．二次函数y=x2﹣2x+3的对称轴为（ ） A． x=﹣2 B． x=2 C． x=1 D． x=﹣1
2．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么sinA的值等于（ ） A． B． C． D．
3．二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ） A． （﹣1，3） B． （1，3） C． （﹣1，﹣3） D． （1，﹣3）
4．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A． y=﹣（x﹣1）2﹣3 B． y=﹣（x+1）2﹣3 C． y=﹣（x﹣1）2+3 D． y=﹣（x+1）2+3
5．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（ ） A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③
6．如图：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BD=1，AC=，则AD等于（ ）
A． 1 B． C． 2 D． 3 7．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为P．若PA=2，PB=8，则CD的长为（ ）
A． 2 B． 4 C． 8 D． 8．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） 第2页（共21页）
A． B． C． D． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a的值是 ．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，则cosA= ． 11．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8 cm，那么OM的长为 cm． 12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正确的是（填写序号） ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：cos45°﹣tan60°﹣（﹣2010）0+2﹣1．
14．在△ABC中，∠A=30，tanB=，BC=．求AB的长．
15．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，求tanC的值． 第3页（共21页）
16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（2，0）、（4，0），顶点到x轴的距离为3，求函数的解析式．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=8，∠BOC=60°，OE⊥AC，垂足为E． （1）求OE的长； （2）求劣弧AC的长．
18．如图，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，∠A=15°． （1）求CD的长； （2）求tanA的值．
四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题4分，第22题6分） 19．已知二次函数y=x2+4x+3． （1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）写出当x为何值时，y＞0． 第4页（共21页）
20．已知：抛物线y=（m﹣1）x2+mx+m2﹣4的图象经过原点，且开口向上． （1）确定m的值； （2）求此抛物线的顶点坐标； （3）当x取什么值时，y随x的增大而增大？ （4）当x取什么值时，y＜0？
21．如图，海上有一个小岛P，它的周围12海里有暗礁，渔船由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东行驶，有没有触礁的危险，通过计算说明．
22．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元出售，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台． （1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的数量是y台，请写出y与x之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围） （2）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是z元，请写出z与x之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围） （3）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1； （1）求a的值； （2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式． 第5页（共21页）
24．如图，抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB的宽为20m．涨水时水面上升了3m，达到了警戒水位，这时水面宽CD=10m． （1）求抛物线的解析式； （2）当水位继续以每小时0.2m的速度上升时，再经过几小时就到达拱顶？
25．下图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）． （1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=S△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围． 第6页（共21页）
2014-2015学年北京六十三中九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．二次函数y=x2﹣2x+3的对称轴为（ ） A． x=﹣2 B． x=2 C． x=1 D． x=﹣1
考点： 二次函数的性质． 分析： 根据二次函数的对称轴公式直接解答即可． 解答： 解：y=x2﹣2x+3中， a=1，b=﹣2，c=3，
x=﹣=﹣=1． 故选C． 点评： 本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的对称轴公式是解题的关键．
2．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么sinA的值等于（ ） A． B． C． D．
考点： 同角三角函数的关系． 分析： 根据公式cos2A+sin2A=1解答．
解答： 解：∵cos2A+sin2A=1，cosA=，
∴sin2A=1﹣=， ∴sinA=． 故选B． 点评： 本题考查公式cos2A+sin2A=1的利用．
3．二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ） A． （﹣1，3） B． （1，3） C． （﹣1，﹣3） D． （1，﹣3）
考点： 二次函数的性质． 专题： 压轴题． 分析： 根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标． 解答： 解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）． 故选B． 点评： 主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法． 第7页（共21页）
4．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A． y=﹣（x﹣1）2﹣3 B． y=﹣（x+1）2﹣3 C． y=﹣（x﹣1）2+3 D． y=﹣（x+1）2+3
考点： 二次函数图象与几何变换． 专题： 压轴题． 分析： 利用二次函数平移的性质． 解答： 解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0）， 当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3）， 则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3． 故选：D． 点评： 本题主要考查二次函数y=ax2、y=a（x﹣h）2、y=a（x﹣h）2+k的关系问题．
5．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（ ） A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③
考点： 命题与定理． 分析： 判断命题是否为假命题，就要判断由题设能否推出结论，能推出，则该命题为真命题；不能推出，则该命题为假命题． 解答： 解：①由于圆沿着每条直径所在直线对折后能够完全重合，所以圆是轴对称图形；由于圆绕着圆心旋转180°后能与本身重合，所以圆是中心对称图形；所以此命题为真命题，故本选项正确； ②垂直于弦的直径平分弦，符合垂径定理，是真命题，故本选项正确； ③相等的圆心角所对的弧相等，说法不确切，应为“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，故本选项错误； 故选A． 点评： 考查了命题与定理，不仅要熟悉命题的概念，还要熟悉圆的定义及相关知识，难度不大．
6．如图：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BD=1，AC=，则AD等于（ ）
A． 1 B． C． 2 D． 3 考点： 相似三角形的判定与性质． 分析： 根据∠BAC=90°，AD⊥BC，得到∠BAC=∠ADC=90°，由于∠C=∠C，证得△ABC∽△ADC，
得到比例式，求得CD，根据勾股定理即可得到结论． 解答： 解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴∠BAC=∠ADC=90°， ∵∠C=∠C， ∴△ABC∽△ADC，