数学分析 第三章期中考试复习指导
高中数学第三章-章末复习
章末复习1．判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．2．利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的．(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．3．求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1)．(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．4．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x 0，使f ′(x 0)＝0，则f (x 0)是函数的最值．题型一 利用导数求函数的单调区间在区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递增；在区间(a ，b )内，如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递减． 例1 已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )，a ＞0.讨论f (x )的单调性． 解 由题知，f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ＜0即0＜a ＜22时，对一切x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2，有f ′(x )＝0，对其余的x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ＞0即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：⎫2在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．跟踪演练1 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝(x －3)e x ，x ∈(0，＋∞) (2)f (x )＝x (x －a )2.解 (1)f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )＞0，解得x ＞2，又x ∈(0，＋∞)，所以函数的单调增区间(2，＋∞)，函数的单调减区间(0,2)．(2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a3，x 2＝a . ①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a .②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 3.③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， ∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)， 即f (x )在R 上是递增的．综上，a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a .a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 3. a ＝0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 题型二 利用导数求函数的极值和最值 1．利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号． 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值； 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(最小)值， 这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)． 例2 已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R ), (1)若f (x )在x ＝2时取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.(1)解 f ′(x )＝x －ax ，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，则a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x ＝(x ＋2)(x －2)x ，因为f (x )的定义域是(0，＋∞)， 所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0；当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4.(2)解因为f′(x)＝x－ax＝x2－ax，所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．当a＞0时，f′(x)＝x－ax＝x2－ax＝(x＋a)(x－a)x，所以函数f(x)的单调递增区间(a，＋∞)；递减区间为(0，a)．(3)证明设g(x)＝23x3－12x2－ln x，则g′(x)＝2x2－x－1 x，因为当x＞1时，g′(x)＝(x－1)(2x2＋x＋1)x＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝16＞0，所以当x＞1时，12x2＋ln x＜23x3.跟踪演练2已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图像上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．解(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b ＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.(2)由f(x)＝x3－3x2＋2得，f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2.①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：f (x )min ＝f max f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0. 要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎨⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0.题型三 导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．例3 设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (0<a <1)． (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若当x ∈[a ＋1，a ＋2]时，恒有|f ′(x )|≤a ，试确定a 的取值范围；(3)当a ＝23时，关于x 的方程f (x )＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2 ＝－(x －a )(x －3a )．令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝3a .当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：∴f (，a )和(3a ，＋∞)上是减函数，在(a,3a )上是增函数． 当x ＝a 时，f (x )取得极小值， f (x )极小值＝f (a )＝b －43a 3；当x ＝3a 时，f (x )取得极大值，f (x )极大值＝f (3a )＝b . (2)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2，其对称轴为x ＝2a . 因为0<a <1，所以2a <a ＋1.所以f ′(x )在区间[a ＋1，a ＋2]上是减函数．当x ＝a ＋1时，f ′(x )取得最大值，f ′(a ＋1)＝2a －1； 当x ＝a ＋2时，f ′(x )取得最小值，f ′(a ＋2)＝4a －4. 于是有⎩⎨⎧2a －1≤a ，4a －4≥－a ，即45≤a ≤1.又因为0<a <1，所以45≤a <1.(3)当a ＝23时，f (x )＝－13x 3＋43x 2－43x ＋b . f ′(x )＝－x 2＋83x －43，由f ′(x )＝0，即－x 2＋83x －43＝0， 解得x 1＝23，x 2＝2，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数． 要使f (x )＝0在[1,3]上恒有两个相异实根， 即f (x )在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，于是有⎩⎨⎧f (1)≤0，f (2)>0，f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－13＋b ≤0，b >0，－1＋b ≤0，解得0<b ≤13.跟踪演练3 证明：当x ∈[－2,1]时，－113≤13x 3－4x ≤163. 证明 令f (x )＝13x 3－4x ，x ∈[－2,1]， 则f ′(x )＝x 2－4.因为x ∈[－2,1]，所以f ′(x )≤0， 即函数f (x )在区间[－2,1]上单调递减．故函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f (－2)＝163， 最小值为f (1)＝－113.所以，当x ∈[－2,1]时，－113≤f (x )≤163， 即－113≤13x 3－4x ≤163成立．1．求函数中参数的取值范围问题，一般有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围． 2．在解决问题的过程中主要处理好下面的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学-第三章复习课件
1.(2014·南阳高一检测)化简 －x3 的结果是( )
x
A． x B. x C. x D. x
3
3
【解析】选A.
x3 (x)2 －(－x)2
x
x
－x
1
－(－选x)A2，.
【误区警示】本题在求解中常因为忽视根式成立的条件出错.
2.(2013·广东高考)函数f(x)= lgx 1的定义域是( )
4
2
A．4
B．2
C．1 D．1
2
4
【解析】选A.设f(x)＝xα，则 ＝1 2α，所以α＝－2.
4
所以f(x)＝x－2.所以 f (1)＝(1)－2＝22＝4.
22
4.(2014·汕头高一检测)设a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9, 则( )
A.a<b<c
B.b<c<a
(1)零和负数没有对数.
(2)loga1=0,logaa=1. (3)对数恒等式：alogaN =N,logaab=b. 5.对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga M =logaM-logaN;
N
③logaMn=nlogaM(n∈R).
练习：求使不等式 ( 1 )x28 >a-2x成立的x的集 a
合(其中a>0,且a≠1).
【解析】因为 ( 1 )x28 a8x2 ,
a
所以原不等式化为 a8>x2 a-2x. 当a>1时,函数y=ax是增函数, 所以8-x2>-2x,解得-2<x<4;
数学分析复习提纲(全部版)
数学分析（4）复习提纲第一部分 实数理论§1 实数的完备性公理一、实数的定义在集合R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称R 为实数域或实数空间。
（1）域公理： （2）全序公理：（3）连续性公理（Dedekind 分割原理）：设R 的两个子集A ，A '满足： 1°ΦA ΦA ≠'≠, 2°R A A ='⋃3°x x A x A x '<⇒'∈'∀∈∀,则或A 中有最大元而A '中无最小元，或A 中无最大元而A '中有最小元。
评注 域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。
二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。
主要有如下几个公理： 确界原理： 单调有界定理： 区间套定理：有限覆盖定理：（Heine-Borel ）聚点定理：(Weierstrass)致密性定理：(Bolzano-Weierstrass) 柯西收敛准则：(Cauchy)习题1 证明Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。
习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。
习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。
评注 以上定理哪些能够推广到欧氏空间n R ？如何叙述？§2 闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4 最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10一致连续性定理（Cantor 定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理§3 数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N -ε定义 评注 确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N -ε定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。
数学分析第三章3-2
§2 函数极限的性质
六种函数极限， 六种函数极限，以 其性质，其余类似。 其性质，其余类似。
lim f ( x) 为代表，说明 为代表， x→ x
0
一、唯一性
∀ε > 0, ∃δ 2 > 0, 使当0 < x − x0 < δ 2时, 恒有 f ( x ) − B < ε .
取δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当0 < x − x0 < δ时, 恒有 f ( x ) − A < ε，且 f ( x ) − B < ε，
| A − B |=| A − f ( x ) + f ( x ) − B |
0 0
有f ( x ) ≤ h( x ) ≤ g ( x ), 则 lim h( x ) = A.
x → x0
证
略。
六、四则运算法则
定理7 定理7 设 lim f ( x )和 lim g ( x )都存在，则 都存在，
x → x0
x → x0 x → x0
lim ( f ( x ) ± g ( x )) = lim f ( x ) ± lim g ( x ).
0
证
设 lim f ( x ) = A,
x → x0
对ε = 1, ∃δ > 0, 使当0 < x − x0 < δ时, 恒有 f ( x ) − A < 1.
从而, f ( x ) |=| f ( x ) − A + A ≤| f ( x ) − A | + | A | < 1+ | A |