2015年上海高考数学新题型选编
2015高考数学试题+精品试题考点解析-数列极限
数列极限2015上海卷理–18【原题】设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x →∞-=-（ ） A ．1- B ．12- C ．1D ．2【答案】A ．【考点定位】本题考查极限的应用，属于中档题．试题揭秘： 【命题意图】本题考查求极限基础知识，考查数形结合思想、等价转化思想以及考生运算求解能力．【方法、技巧、规律】求数列极限方法：1.数列极限定义；2.恒等变形，化归为基本数列极限结论求解；3.求和或积的极限一般先求和或积，再求极限.【探源、变式、扩展】数列极限可通过具体解析式求解；若解析式不易求出，可等价转化为对应数列的极限，这时要用到一些法则（罗比特法则），要做一下等价变形，要明确基本数列极限是什么.有时需从极限含义出发，揭示数列极限的几何意义.【变式】若()1,112>∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-n N n x n的展开式中4-x 的系数为,n a 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 32Λ=.【答案】2试题精粹：1．【上海市黄浦区2015届高三上学期期终调研测试】已知二项式*(12)(2,N )n x n n +≥∈的展开式中第3项的系数是A ，数列{}n a *(N )n ∈是公差为2的等差数列，且前n 项和为n S ，则lim n n AS →∞＝ ．【答案】2考点：1．二项式定理；2．等差数列；3．数列的极限．2．【上海市五校2015届高三上学期联合教学质量调研】若无穷等比数列n a {}满足：4)(lim 21=+++∞→n n a a a Λ，则首项1a 的取值范围为 ． 【答案】)8,4()4,0(⋃考点：无穷等比数列.3. 【上海市闸北区2014学年度第一学期高三数学】设*∈N n ，圆122141:()(1)41n n n C x y n +--+-=+的面积为n S ，则=+∞→n n S lim ． 【答案】π4考点：极限及其运算.4. 【2014~2015学年第一学期普陀区高三质量调研卷】.若1lim =+∞→an an n ，则常数=a . 【答案】1考点：极限的运算.5. 【虹口区2014学年第一学期高三期终教学质量监测试卷】若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122lim n n a a a n →∞+++=L . 【答案】1.5考点：极限的运算.6. 【青浦区2014学年第一学期高三期终学习质量调研测试】.已知1cos 22n n n a π=，则无穷数列{}n a 前n 项和的极限为 .【答案】51- 【考点】无穷递缩等比数列的各项和公式7. 已知()),,2,1,0(0,2log 0,112*∈≥≠>⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+-=N n n m m x x C x x x x f n n m 若()x f 在0=x 处连续，则m 的值为（ ）(A) 81(B)41 (C) 21 (D) 2【答案】B考点：函数连续性8. 已知两点O （0,0），Q （a ,b ）,点P 1是线段OQ 的中点，点P 2是线段QP 1的中点，P 3是线段P 1P 2的中点，┅，2+n P 是线段n P 1+n P 的中点，则点n P 的极限位置应是 ( )A ．（2a ,2b ） B.(3,3b a ) C.(32,32b a ) D. (43,43b a ) 【答案】C考点:1.等比数列前n 项和；2.求极限值.9. 数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤，，≥， 则数列{}n a 的极限值（ ）Ａ．等于0 Ｂ．等于1 Ｃ．等于0或1 Ｄ．不存在【答案】B考点:1.等比数列前n 项和；2.求极限值.10. 设⎪⎩⎪⎨⎧∈≥∈≤≤=-.N ,3,31,N ,21,21n n n n a n n n 数列{}n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim ___________． 【答案】5518. 考点:1.等比数列前n 项和；2.求极限值. 2020-2-8。
2015年高考数学(理)真题分项解析：专题14+推理与证明、新定义
专题十四 推理与证明、新定义1.【2015高考湖北，理9】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C【解析】因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个.【考点定位】1.集合的相关知识，2.新定义题型.【名师点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.2.【2015高考广东，理8】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ） A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 【答案】C ．【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的，即3n =或4n =时命题成立，由此可排除A 、B 、D ，故选C ．【考点定位】空间想象能力，推理能力，含有量词命题真假的判断．【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，推理求解能力和含有量词命题真假的判断，此题属于中高档题，如果直接正面解答比较困难，考虑到是选择题及选项信息可以根据平时所积累的平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正确答案C ，由于3n =时易知正三角形的三个顶点是两两距离相等的从而可以排除A 、B ，又当4n =时易知正四面体的四个顶点也是两两距离相等的从而可以排除D ．3.【2015高考浙江，理6】设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card AB card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（ ） A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 【答案】A.【考点定位】集合的性质【名师点睛】本题是集合的阅读材料题，属于中档题，在解题过程中需首先理解材料中相关概念与已知的集合相关知识点的结合，即可知命题①正确，同时注重数形结合思想的运用，若用韦恩图表示三个集合A ，B ，C ，则可将问题等价转化为比较集合区域的大小，即可确定集合中元素个数大小的比较.4.【2015高考北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ，消耗8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.考点：本题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解.【名师点睛】本题考查对新定义“燃油效率”的理解和读图能力，本题属于中等题，有能力要求，贴近学生生活，要求按照“燃油效率”的定义，汽车每消耗1升汽油行驶的里程，可以断定“燃油效率”高的车省油，相同的速度条件下，“燃油效率”高的汽车，每消耗1升汽油行驶的里程必然大，需要学生针对四个选择只做出正确判断. 5.【2015高考福建，理15】一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈ ，其中()1,2,,k x k n = 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩其中运算⊕ 定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 ． 【答案】5．【考点定位】推理证明和新定义．【名师点睛】本题以二元码为背景考查新定义问题，解决时候要耐心读题，并分析新定义的特点，按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的． 6.【2015高考山东，理11】观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= .【答案】14n -【考点定位】1、合情推理；2、组合数.【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从而得到结论.此题属基础题. 7.【2015江苏高考，23】（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈= ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）13（2）()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】试题分析：（1）根据题意按a 分类计数：1,1,2,3,4,5,6;a b ==2,1,2,4,6;a b ==3,1,3,6;a b ==共13个（2）由（1）知1,1,2,3,,;a b n ==2,1,2,4,,2;a b k ==*3,1,3,,3;()a b k k N ==∈，所以当6n ≥时，()f n 的表达式要按236⨯=除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明试题解析：（1）()613f =．()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论：1）若16k t +=，则()615k t =-+，此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++ ()111223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有()()112123k kf k f k k +=+=++++ ()()()11111223k k k +-+-=++++，结论成立； 3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有()()11122223k k f k f k k --+=+=++++ ()()1211223k k k +-+=++++，结论成立； 4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立；5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有()()1122223k kf k f k k -+=+=++++()()1111223k k k +-+=++++，结论成立； 6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++++ ()()()11121223k k k +-+-=++++，结论成立．综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立． 【考点定位】计数原理、数学归纳法【名师点晴】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： ①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n 时命题成立；②归纳递推：假设n k =，(k N *∈，0k n ≥)时，命题成立，证明当1n k =+时，命题成立； ③由①②得出结论．8.【2015高考北京，理20】已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8 【解析】（Ⅰ）由已知121823618n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，可知：12346,12,24,12,a a a a ===={6,12,24}M ∴=（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适合选拔优秀学生.【2015高考上海，理23】对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，()00f =，()4f πT =. （1）验证()sin3xh x x =+是以π6为周期的余弦周期函数； （2）设b a <．证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =； （3）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上得解”的充要条件是“0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上有解”，并证明对任意[]0,x ∈T 都有()()()f x f x f +T =+T .【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（2）由于()f x 的值域为R ，所以对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，c 都是一个函数值，即有0R x ∈，使得()0f x c =.若0x a <，则由()f x 单调递增得到()()0c f x f a =<，与()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦矛盾，所以0x a ≥.同理可证0x b ≤.故存在[]0,x a b ∈使得()0f x c =.（3）若0u 为()cos 1f x =在[]0,T 上的解，则()0cos 1f u =，且[]0,2u +T∈T T ，()()00cos cos 1f u f u +T ==，即0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上的解.同理，若0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上的解，则0u 为该方程在[]0,T 上的解. 以下证明最后一部分结论.由（2）所证知存在012340x x x x x =<<<<=T ，使得()i f x i π=，0i =，1，2，3，4.而[]1,i i x x +是函数()cos f x 的单调区间，0i =，1，2，3.与之前类似地可以证明：0u 是()cos 1f x =-在[]0,T 上的解当且仅当0u +T 是()cos 1f x =-在[],2T T 上的解.从而()cos 1f x =±在[]0,T 与[],2T T 上的解的个数相同.故()()4i i f x f x π+T =+，0i =，1，2，3，4. 对于[]10,x x ∈，()[]0,f x π∈，()[]4,5f x ππ+T ∈，而()()cos cos f x f x +T =，故()()()()4f x f x f x f π+T =+=+T .类似地，当[]1,i i x x x +∈，1i =，2，3时，有()()()f x f x f +T =+T . 结论成立.【考点定位】新定义问题【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.11。
2015年上海市春季高考数学试卷(含附加题部分)
2015年上海市春季高考数学试卷（学业水平考试）2015.01一、填空题（每小题3分，满分36分）1.设全集为{}1,2,3U =，{}1,2A =，若集合则U A =ð________.2.计算：1ii+=________（其中i 为虚数单位）. 3.函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为_______.4.计算：223lim 2n n n n→∞-=+_______.5.以()2,6为圆心，1为半径的圆的标准方程为_______.6.已知向量()1,3a = ，(),1b m =-，若a b ⊥ ，则m =_______.7.函数[]224,0,2y x x x =-+∈的值域为_______.8.若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b +=_______. 9.方程()lg 21lg 1x x ++=的解集为_______.10.在921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为_______.11.用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_______（结果用数值表示）. 12.已知点()1,0A ，直线:1l x =-，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ，若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为_______. 二、选择题（每小题3分，满分36分）13.若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） A.11a b> B. a b -> C. 22a b > D. 33a b <14. 函数()21y x x =≥的反函数为（ ）A.)1y x =≥B. )1y x ≤-C. )0y x =≥D. )0y x =≤15.不等式2301xx ->-的解集为（ ） A. 3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.()2,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭16.下列函数中，是奇函数且在()0,+∞上单调递增的为（ ）A. 2y x =B. 13y x =C. 1y x -=D. 12y x -=17.直线3450x y --=的倾斜角为（ ）A.3arctan 4B. 3arctan 4π-C. 4arctan 3D. 4arctan 3π-18.底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ）A. 2πB.C.23π D.19.以()3,0-和()3,0为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ）A.2211625x y +=B. 221167x y +=C. 2212516x y +=D. 221716x y +=20.在复平面上，满足1i z z -=+（i 为虚数单位）的复数z 对应的点的轨迹为（ ） A.椭圆B.圆C.线段D.直线21.若无穷等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A. n S 单调递减B. n S 单调递增C. n S 有最大值D. n S 有最小值22.已知0a >，0b >，若4a b +=，则（ ）A.22a b +有最小值B.C. 11a b+有最大值D. 有最大值23. 组合数()12*22,,N m m m n n n C C C n m m n --++≥≥∈恒等于（ ）A. 2m n C +B. 12m n C ++C. 1mn C + D. 11m n C ++24.设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ）A.对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B. 对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三、解答题（共5大题，满分48分） 25. （本题满分8分）如图，在正四棱柱中1111ABCD A B C D -，1AB =，1D B 和平面ABCD所成的角的大小为.26.（本题满分8分）已知a 为实数，函数()24x ax f x x++=是奇函数，求()f x 在()0,+∞上的最小值及取到最小值时所对应的x 的值.27.（本题满分8分）某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30 方向，与A 相距6.0海里.船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B 在船的什么方向（精确到1 ）？ABCD1A 1B 1C 1D28. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知点1F 、2F 依次为双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>的左右焦点，126F F =，()10,B b -，()20,B b （1）若a ，以()3,4d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围.29.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 已知函数()()222R x f x x -=-∈ （1）解不等式()2f x <；（2）数列{}n a 满足()()*N n a f n n =∈，n S 为{}n a 的前n 项和，对任意的4n ≥，不等式12n n S ka +≥恒成立，求实数k 的取值范围.2015年上海市普通高中学业水平考试数学卷（附加题）考生注意：1．本试卷2页，7道试题，满分30分。
2015年上海高考数学试卷(理工农医类)-图片完整版
2 0 1 5 年普通高等学校招生全国统一考试
上海数学试卷（理工农医类）
考生注意：
1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
w 中小学个性化辅导
2
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
w 哈佛北大精英创立
3
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
w 中小学个性化辅导
4
、
w 哈佛北大精英创立 5
w 中小学个性化辅导 6
w 哈佛北大精英创立
7
w 中小学个性化辅导
8
w 哈佛北大精英创立
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2015年上海备战高考填空题压轴(13、14)及易错题(一)
2015年上海备战高考填空题压轴13、14题创新题型【解析几何】14. 设短轴长为是23的椭圆C :22221(0)y x a b a b +=>>和双曲线22221y x a a-=的离心率互为的倒数，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线12l l ,，且12， l l 与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为 ．【集合】14. 已知集合{}{}1,2,3,1,2,3,4M N ==，定义函数:f M N →且点(1,(1)),A f (2,(2)),(3,(3))B f C f ，若ABC ∆的内切圆圆心为D ，且()DA DC DB λλ+=∈R ，则下列结论正确的有 ．（填上你认为正确的命题的序号） ① ABC ∆必是等腰三角形； ② ABC ∆必是直角三角形； ③ 满足条件的实数λ有3个； ④ 满足条件的函数有12个． ⑤【解析几何】13. 在直角坐标系中，过双曲线1922=-y x 的左焦点F 作圆122=+y x 的一条切线（切点为T ）交双曲线右支于P ，若M 为线段FP 的中点，则MT OM -= ．【解析几何】12. 如右图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO —MT 等于 ．【解析几何】已知椭圆2221169x y b+=的两条准线之间的距离为3385，动点M 与该椭圆的左焦点和右焦点的距离之比为2∶3，则动点M 的轨迹方程为 ．【数列】设正数数列{}n a 的前n 项之和是n b ，数列{}n b 前n 项之积是n c ，且1n n b c +=，则数列1{}na 中最接近108的项是第 项．QOF 2F 1P yx【向量】若()()21,2,3,a x p b x =++=，()(),f x a b f x =∙在区间1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，则方程()0f x x p +-=有且只有一解时p 的取值范围是 ．【解析几何】圆C:()()22312x y -+-=,与直线:360l y y +-=交于A,B 两点, 则直线AC 与直线BC 的倾斜角和为_________【立体几何】有一个正四面体，它的棱长为a ，现用一张圆型的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为 ．【立体几何】已知边长为23的正ABC ∆，点,D E 分别在边,AB AC 上，且//DE BC ，以DE 为折痕，把ADE ∆折起至A DE '∆，使点A '在平面BCED 上的射影H 始终落在BC 边上，记2ADE S A H∆='的面积，则S 的取值范围为 ．【解析几何】已知P 是椭圆221168x y +=上任意一点，EF 是圆M ：22(2)1x y +-=的直径，则PE PF ⋅ 的最大值为 ．【解析几何】在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则圆221x y +=上一点与直线2250x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是_______．【解析几何】如图，已知12,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 .【数列】已知∠AOB=lrad ，点A l ，A 2，…在OA 上，B 1，B 2，…在OB 上，其中的每一个实线段和虚线段氏均为1个单位，一个动点M 从O 点出发，沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 单位／秒，则质点M 到达A 10点处所需要的时间为 秒【数列】设,s t 为正整数，两直线12:0:022t tl x y t l x y s s+-=-=与的交点是11(,)x y ，对于正整数(2)n n ≥，过点1(0,)(,0)n t x -和的直线与直线2l 的交点记为(,)n n x y .则数列{}n x 通项公式n x ＝ .【数列】给定正整数(2)n n ≥按右图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数l ，2，3，…，n ，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n 行)只有一个数，例如n =6时数表如图所,则当n ＝2011时最后一行的数是 .【解析几何】根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：从原点O 出发，以匀速v (m/s)沿东偏北α(α为(0，2π)内的变量)方向或正北方向行走，且方向改变的时间不定．记机器人行走t (s)时的可能落点P 的区域为Ω，则Ω的面积与(vt )2的比值为 ．【不等式】使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的取值范围是 .【函数】设定义在[],(4)a b a ≥-上的函数()f x ，若函数()(42)g x f x m =++与()f x 的定义域与值域都相同，则实数m 的取值范围为 ．【解析几何】已知P 为抛物线24y x =上的动点，过P 分别作y 轴与直线40x y -+=的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA +PB 的最小值为 ．【函数】．已知1()2bx f x x a +=+，其中a 、b 为常数，且2ab ≠，若1()()f x f k x⋅=为常数，则k 的值为 ．【概率】把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，则方程组3,2 2.ax by x y +=⎧⎨+=⎩只有一个解的概率为 ．【数列】由恒等式：1213141513+++++=．可得131415161+++++=；进而还可以算出141516171+++++、151617181+++++的值，并可归纳猜想得到()()()11112131n n n n ++++++++= （n N *∈）．【三角】已知O 是△ABC 的外心，AB = 2a ，AC = 2a ，∠BAC = 120︒，若→AO = x →AB ＋y →AC ，则x ＋y 的最小值是 ．【数列】设,a b 为实数，关于x 的方程()()22110x ax x bx -+-+=的４实数根构成q 为等比的等比数列，若 23,2q ⎡⎤∈-⎣⎦，则ab 的取值范围是 ．【解析几何】如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共 点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是__________．【解析几何】已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为________．【三角】如图,已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C处看此树，则该人离此树 米时， 看A 、B 的视角最大．【解析几何】 如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使点M 与点F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是 ．（填写“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”和“圆”中的一种情况）【不等式】在△ABC 中，∠C =60°，则a bb c c a+=++ ．OxyA BF 1F 2（第8题图）【不等式】设a + b = 2，b ＞0, 则1||2||a a b+的最小值为______． 【数列】设等比数列{a n }满足公比q ∈N *，a n ∈N *，且数列{a n }中任意两项之积也是该数列的一项．若a 1＝24，则q 的所有可能取值之和为_________．【三角】 已知tan θ>1，且sin θ+cos θ<0，则cos θ的取值范围是 ．【函数】已知函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，在),0(+∞上是减函数，若)3(0)21(f f >>，则方程0)(=x f 的根的个数是 ．【三角】设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=,1tan 22α=．则cos β的值为 ．【函数】若函数b ax x x f ++=2)(有两个不同的零点21,x x ，且3121<<<x x ，那么在(1),(3)f f 两个函数值中正确的有 ．(1)．只有一个小于1 (2)．至少有一个小于1 (3)．都小于1 (4)．可能都大于1【集合】设集合{2,0,1,3}A =-，集合{|1}B x x A x A =-∈-∉，，则集合B 中元素的个数为 ．【向量】△ABC 中，过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，BH ＝3，HC ＝2，则(32AB AC+)⋅BC ＝________．【三角】在△ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．若tan 21tan A cB b++＝0，则A ＝ ．【函数】已知f (x )＝|log 2x |，正实数m 、n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m +n ＝_______．【数列】已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－2，a 2＝b 2＝4，则满足a n ＝b n 的n 的所有取值构成的集合是______．【函数】将f (x )＝2x －2xa的图像向右平移2个单位后得曲线C 1，将函数y ＝g (x )的图像向下平移2个单位后得曲线C 2，C 1与C 2关于x 轴对称．若F (x )＝()f x a+ g (x )的最小值为m 且m ＞2+7，则实数a 的取值范围为 ．【向量】设,a b 为向量，若a b +与a 的夹角为3π，a b +与b 的夹角为4π，则||||a b =_______．【数列】设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若15m S -=,-11m S =,121m S +=，则=m ________．【三角】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．【立体几何】已知三棱锥P ABC -的底面是边长为3的正三角形，其三条侧棱的长分别为3， 4，5，则该三棱锥P ABC -的体积为 .【不等式】已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝c a ＋b ＋bc的最小值是________．【解析几何】已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为F 1、F 2，则12||2F F c =，点A 在椭圆上且2112120AF F F AF AF c ==且，则椭圆的离心率为 ．【不等式】当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【向量】已知P 是ABC ∆内任一点，且满足AP xAB y AC =+，x 、y R ∈，则2y x +的取值范围是 ．【三角】当θ取遍所有值时，直线cos sin 42sin()4x y πθθθ⋅+⋅=++所围成的图形面积为 ．【函数】定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[1.5]1[ 1.3]2=-=-，， 当*[0)()x n n N ∈∈，时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为n a ，则式子90n a n+的 最小值为 ．【向量】ABC ∆中，π2C =，1,2AC BC ==，则()2(1)f CA CB λλλ=+-的最小值是 .【解析几何】已知双曲线的两个焦点为椭圆171622=+y x 的长轴的端点，其准线过椭圆的焦点，则该双曲线的离心率为 _____ .【三角】过点），（14-A 与圆5)3()122=-++y x （切于点(1,2)B 的圆的方程为 .【解析几何】已知非负实数x y 、同时满足240,10x y x y +-≤+-≥,则22(2)z x y =++的最小值是 .【概率】甲打靶射击，有4发子弹．甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔,,P Q R ，第四枪瞄准了三角形PQR 射击,第四个弹孔落在三角形PQR 内，则第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率为__________.（忽略弹孔大小）【数列】已知函数x x x f t an sin )(+=.项数为2009的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若1220082009()()()()0f a f a f a f a ++⋯++=，则当k =__________时0)(=k a f .【数列】当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数,如(3)3,(10)5,N N ==⋅⋅⋅, 设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)n n n S N N N N N N =+++++-+,则n S = ．【函数】作为对数运算法则：lg()lg lg (0,0)a b a b a b +=+>>是不正确的.但对一些特殊值是成 立的，例如：lg(22)lg 2lg 2+=+. 则对于所有使lg()lg lg a b a b +=+（0a >，0b >）成 立的,a b 应满足函数()a f b =表达式为 .【排列组合】两游客坐火车旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图，则下列座位号码中符合要求的有 . ②⑤⑥①48，49 ②54，55 ③62，63 ④75，76 ⑤84，85 ⑥96，97{}窗口 1 2过道 345窗口67 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … … …于P '. 如果集合Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，则所有这样的点Q 构成的集合为 .【不等式】若实数x 、y 满足114422xyx y +++=+，则22x y S =+的取值范围是 .【不等式】在算式“4×□＋9×△=◇”的□、△中，分别填入一个正整数，使它们的倒数之和的最小值为65， 则◇中应填入的值为 .【数列】记集合{}0,1,2,3,4,5,6=T ，3124234,1,2,3,47777⎧⎫=+++∈=⎨⎬⎩⎭i a a a a M a T i ，将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是 .【向量】已知)2sin ,2(),sin ,1(2x b x a ==，其中()0,x π∈，若a b a b ⋅=⋅，则tan x 的值等于 ．【函数】已知函数()b x a x x f +-=),(R b a ∈，给出下列命题： （1）当0=a 时，()x f 的图像关于点()b ,0成中心对称； （2）当a x >时，()x f 是递增函数；（3）当a x ≤≤0时，()x f 的最大值为b a +42.其中正确的序号是 ．【三角】对于任意的)2,4(ππ∈x ，不等式x x x p 464sin 2cos sin ≤+恒成立，则实数p 的取值范围 为 ．【三角】在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010．若最长边为1，则最短边的长为 ．【函数】已知函数2(),([2,2])f x x x ∈-=，2()sin(2)3,[0,]62g x a x a x ππ=++∈，1[2,2]x ∀∈-， 001[0,],()()2x g x f x π∃∈=总使得成立，则实数a 的取值范围是 ．【不等式】已知0>xy ，则x y y x 2121+++的最小值为 ．【向量】已知(2cos ,3sin )(2cos ,3sin )(1,0)A B C ααββ-、、是平面上三个不同的点，若存在实数λ，使得CA BC λ=，则λ的取值范围是 ．【数列】已知数列{}n a *()n N ∈满足1,,2,,n n n n n a t a t a t a a t +-≥⎧=⎨+-<⎩，且11t a t <<+，其中2t >，若*()n k n a a k N +=∈，则实数k 的最小值为 ．【函数】已知函数()()()()22f x x x xax b x =-++∈R ，若()1f x -是偶函数，则()f x 的值域是 ．【解析几何】若函数2y x =-的图象与圆22:C x y λ+=没有公共点，则实数λ的取值范围是 ．【解析几何】已知直线1:4360l x y -+=和直线2:2l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 ．【解析几何】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为3-，则双曲线的离心率 ．【解析几何】已知点()1,0M -在直线()()2140m x m y m ++-+-=上的射影点为N ，点()1,1P ， 则PN 的最大值为 ．【函数】已知()222f x mx m =++（0,,m m x ≠∈∈R R ），则()()cos sin f f θθ的取值范围是 .【三角】在ABC ∆中，90C ∠=，3CA =，4CB =，若点M 满足AM MB λ=，且18CM CA ⋅=，则λ= ．【三角】已知实数,a b 均不为0，sin cos tan cos sin a b a b ααβαα-=+，且π6βα=+，则b a = ．【函数】已知函数()221f x x ax =--，[)1,t ∃∈+∞，使()2163()f t f t +=，则实数a 的取值范是 ．【不等式】实数,x y 满足2222(1)(1)2cos (231)1x y x y x y x y +++--+-=-+，则252x y -的最小值为 ．【函数】已知点B A ,分别在函数x e x f =)(和x e x g 3)(=的图象上，连接B A ,两点，当AB 平行于x 轴时，B A ,两点的距离是 .【不等式】已知三个实数c b a ,,，当0>c 时满足：,32c a b +≤且,2a bc =则ca b2-的取值范围是 .【函数】已知函数],0[,3)(2m x x x x f ∈-=，其中,R m ∈当函数)(x f 的值域为]2,0[时，则实数m 的取值范围 .【函数】 函数3,0()2,0x x x f x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,则函数(())y f f x =的值域是______【不等式】已知,m n 为正数,实数,x y 满足22330x y x m y n +-+-+=,若x y +的最大值为27,则m n +=__________【不等式】设函数()2()1f x x x =-，记()f x 在(]0,a 上的最大值为()F a ，则函数()()F a G a a=的最小值为__________.【函数】已知函数2()1f x x ax a =-+-在区间(0,1)上有两个零点，则实数a 的取值范围为 ．【不等式】已知实数0y x >>，若以22,,x y x y x λ++为三边长能构成一个三角形，则实数λ的范围为 ．=∙AC AB _______【不等式】已知0,0,1≠>=+x y y x ，则1||||21++y x x 的最小值为【向量】如图，在等腰ABC ∆中，=AB AC ，M 为BC 中点，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且1=2AD DB ，=3AE EC ，若 90DME ∠=，则cos A = .【函数】若函数2()2f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 .【数列】设函数211*3224()n n y x x n N --=-⨯+⨯∈的图象在x 轴上截得的线段长为n d ，记数列{}n d 的前n项和为n S ，若存在正整数n ，使得()22log 118m n n S -+≥成立，则实数m 的最小值为 .【命题】已知函数32|2|(1)()ln (1)x x x x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩，若命题“t R ∃∈，且0t ≠，使得()f t kt ≥”是假命题，则实数k 的取值范围是 .【函数】函数1lg 1y x x =-+的零点个数是 ．【向量】已知平行四边形ABCD 中，2AB =，3AB AD AC ABADAC+=，则平行四边形ABCD 的面积为 ．【不等式】已知正实数,x y 满足24x y +=，则14y x y+的最小值为 ．【函数】已知函数22(1)()21(1)x ax x f x ax x ⎧-+=⎨-<⎩≥，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得12()()f x f x =，则a 的取值范围为 ．MEDABC第11题【不等式】若关于x 的不等式ax 2＋x －2a ＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为 ．【解析几何】直线l 经过)1,3(A ，)2,(2m B 两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是______.【立体几何】设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x z ⊥，且y z ⊥，则//x y ” 为真命题的是 ． （填所正确条件的代号） ①,,x y z 为直线； ②,,x y z 为平面； ③,x y 为直线，z 为平面； ④x 为直线，,y z 为平面.【不等式】不等式22()a mb b a b λ+≥+对于任意的,a b ∈R ，存在R λ∈成立，则实数m 的取值范围为 ．【函数】函数2()(2)(0)f x mx m x n m =+-+>，当11x -≤≤时，|()|1f x ≤恒成立，求2()3f = ．【向量】已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则PA PB +的最小值为 ．【三角】已知在ABC ∆中，D 为BC 中点，3AD =，60ADB ο∠=，3AC AB =，BC = ．【解析几何】双曲线1C 与椭圆2C 的公共焦点12,F F 在x 轴上，点A 是12,C C 在第一象限的公共点．若121F F F A =，2C 的离心率是23，则双曲线1C 的渐近线方程是 ．【不等式】若正数,x y 满足111x y +=,则4911x y x y +--的最小值为 ．【函数】函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[,]a b D ⊆,使()f x 满足: ①()f x 在[,]a b 内是单调增函数；②()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ,则称区间[,]a b 为()y f x =的“倍值区间”.若函数()4xg x me -=-存在“倍值区间”，则实数m 的取值范围是 ．【向量】已知空间向量,a b 满足||||1a b ==，且,a b 的夹角为3π，O 为空间直角坐标系的原点，点A 、B 满足2OA a b =+，3OB a b =-，则△OAB 的面积为______.·【数列】已知数列{}n a 的前n 项和221, 4,(1), 5.n n n S n a n n ⎧-≤⎪=⎨-+-≥⎪⎩ 若5a 是{}n a 中的最大值，则实数a 的取值范围是_____.【概率】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为 ．【不等式】设a ∈R ，若x > 0时均有()()21110a x x ax ----⎡⎤⎣⎦≥，则a = ．【函数】已知函数()23f x x x =+，x ∈R ．若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ．【解析几何】在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于 ．【不等式】设x ，y ，z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，2314x y z ++=，则x y z ++= ．【不等式】已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为 ．【不等式】若2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【数列】已知数列{}n a 的前n 项和12.11,2172>+=+=+k k n a a a pn n S 若，则正整数k 的最小值为 .【不等式】若不等式xy y x k 29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 .【函数】已知直线)(R m mx y ∈=与函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤-=0,1210,)21(2)(2x x x x f x 的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 .【解析几何】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得e PF PF =21，则该离心率e 的取值范围是 .【解析几何】如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当BNMN取最小值时，CN = .【函数】已知1()21x f x a =--是定义在(,1][1,)-∞-+∞上的奇函数, 则()f x 的值域为 .【数列】记等比数列{}n a 的前n 项积为*()n T n N ∈,已知1120m m m a a a -+-=,且21128m T -=,则m = .【不等式】设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值为________.【不等式】设22,,a x xy y b p xy c x y =-+==+,若对任意的正实数,x y ,都存在以,,a b c 为三边长的三角形,则实数p 的取值范围是 .【立体几何】表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ．【向量】已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ．【解析几何】在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ．【函数】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且．若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ．【不等式】在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ．【解析几何】在平面直角坐标系xOy 中，若圆x 2＋(y －1)2＝4上存在A ，B 两点关于点P (1，2)成中心对称，则直线AB 的方程为 ．【向量】在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB →·AC →的最小值为 ．【函数】若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f (ln 1t )≤2f (1)，那么t 的取值范围是 ．【数列】已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为 ．【三角】将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在[π3，2π3]上的最小值为 ．【数列】已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为 ．【函数】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是 ．【向量】在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ．【解析几何】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60︒，则圆M 的方程为 ．【解析几何】设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ．点A (0，2)，线段AF 交抛物线于点B ，过点B 作l 垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝ ．【解析几何】已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近 线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则b 2＝ ．3|BD →|BD →，则平【向量】已知平行四边形ABCD 满足：AB ＝2，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝行四边形ABCD 的面积为______________．【立体几何】如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2cm ，高为6cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面经过棱B 1B 上点D 和棱C 1C 上点E 绕行一周到 达A 1点，当绕行路径最短时，三棱锥B 1－ADE 的体积为 cm 3．【数列】．已知数列{a n }是等差数列，且a 7a 6＜－1，它的前n 项和S n 有最小值，则S n 取到最小正数时的n ＝ ．【不等式】已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 的值域为[0，＋∞)，则a ＋2ba 3＋12b的最大值为 ．【不等式】已知xy －z ＝0，且0＜y z ＜12，则xz 2－4yz x 2z 2＋16y 2的最大值为__________．【不等式】在平面直角坐标系xOy 中，对任意的实数m ，集合A 中的点(x ，y )都不在直线 2mx ＋(1－m 2)y －4m －2＝0上，则集合A 所对应的平面图形面积的最大值为 ．【数列】已知数列{a n }满足a n ＋1≤a n ＋2＋a n2，a 1＝1，a 403＝2011，则a 5的最大值为 ．【三角】若函数tan y x ω=在区间π(,π)2上单调递增，则实数ω的取值范围是__．【立体几何】如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱AA 1，AB ，CC 1的中点，给出下列3对线段所在直线：①D 1E 与BG ；②D 1E 与C 1F ；③A 1C 与C 1F ．其中，是异面直线的对数共有 对．A 1B 1A BCC 1 DEB C DA 1 AB 1C1 D 1 （第5题）EGF【数列】设正数数列{}n a 的前n 项之和为n b ，数列{}n b 的前n 项之和为n c ，且1n n b c +=，则｜c 100－a 100｜＝ ．【数列】设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知a 5＝3a 3，则95S S =__________．【数列】已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7cos 3π7＝18，…，根据这些结果，猜想出的一般论是 ．【函数】已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调增函数，当n *∈N 时，()f n *∈N ，若[()]3f f n n =，则f (5)的值等于 ．【解析几何】已知D 是由不等式组⎩⎨⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4 围成的区域与区域D 的公共部分的面积为 ．【解析几何】过圆x 2＋y 2＝1上一点P 作圆的切线与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则OA ＋8·OB 的最小值是 ．【解析几何】在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于A 、B 两点，以OA ，OB 为邻边作□OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k ＝ ．【解析几何】在直角坐标平面内，点A （1，2）到直线l 的距离为1，且点B （4，1）到直线l 的距离为2，则这样的直线l 最多的条数为_________．【解析几何】在□ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠DAC ＝60°，点M 为AB 的中点，点P 在BC 与CD 上运动（包括端点），则AP DM ⋅的取值范围是 ．PM D CBA【不等式】已知正数x ，y 满足(1＋x )(1＋2y )＝2，则4xy ＋1xy 的最小值是 ．【数列】 将所有3的幂，或者是若干个3的幂之和，由小到大依次排列成数列1，3，4，9，10，12，13，…，则此数列的第100项为 ．【解析几何】在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在曲线)0(1>=x xy 上，点P 在x 轴上的射影为M .若点P 在直线0=-y x 的下方，当MPOM OP -2取得最小值时，点P 的坐标为 .【解析几何】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB 的中点为M ，若022≥+∙BF MF MA ，则该椭圆离心率的取值范围为 .【不等式】设实数6≤n ，若不等式08)2(2≥--+n x xm 对任意[]2,4-∈x 都成立，则nm n m 344-的最小值为 .【解析几何】过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A,B 两点,当ACB ∠最小时,直线l 的方程为_______.【向量】在等边三角形ABC 中,点P 在线段AB 上，满足AP AB λ=，若CP AB PA PB ⋅=⋅，则实数λ的值是___________．【函数】已知函数3()(,,)1bx cf x a b c a >0ax +=∈+R,是奇函数,若()f x 的最小值为12-,且2(1)5f >,则b 的取值范围是__________.【函数】 设,a b 均为大于1的自然数,函数()(sin ),()cos f x a b x g x b x =+=+,若存在实数m ,使得()()f m g m =,则a b +=________.【统计】已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a= ，b=【统计】采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,960,分组后在第一组采 用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为____.【概率】在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为 ．【概率】在圆=4所围成的区域内随机取一个整点P(x,y)（横，纵坐标都是整数点），则满足的整点的概率为 .【三角】在中，D 为BC 的中点，∠BAD=,∠CAD=AB=,则AD= .【三角】已知sin(=(则cos.【三角】在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222c b a += .【三角】若角 C 是一三角形内角，关于x 的不等式的解集为，则角C 的最大角为 .【数列】已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边c b a ,,成等比数列，则ABsin sin 的取值范围为【不等式】如果直线和函数+1(的图像恒过同一定点，且该定点始终落在圆=的内部或圆上，那么的取值范围是 .【数列】数列{a n }满足=1，记 若 对任意恒成立，则正整数m 的最小值是 .【数列】设数列满足=2,若表示不超过x 的最大整数，则=【数列】已知函数)(x f 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，01007>a ，则)()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++ 的值________0(填“>”、“<”之一）【不等式】若实数a,b,c,d 满足=1,则的最小值为 .。
2015年全国高考文科数学试题及答案-上海卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文科数学试题一•填空题(本大题共 14小题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每 个空格填对得4分，否则一律零分)1. 函数f(x) 1 3sin 2x 的最小正周期为•2. 设全集 U R .若集合 A {1,2,3,4} , B {x|2 x 3}，则 A (C U B).3.若复数z 满足3z z 1 i ，其中i 是虚数单位，则z1 x1 4. 设f (x)为f(x) 的反函数，则f (2).2x 1 2 3 c <x 3 5. 若线性方程组的增广矩阵为 3 5解为，则c 1 C 2 0 1 C 2 y 56.若正三棱柱的所有棱长均为 a ，且其体积为16 .•一 3，则a的选取方式的种数为(结果用数值表示)1 611. 在(2x 2)的二项式中，常数项等于(结果用数值表示) x2x2 12. 已知双曲线 G 、C 2的顶点重合， G 的方程为 y 1，若C 2的一条渐近线的斜率是 G 的 4一条渐近线的斜率的 2倍，则C 2的方程为.13. 已知平面向量a 、b 、c 满足a b ，且{| a|,|b|,|c|} {1,2,3}，则|a b c|的最大值是. 8.方程 log 2(9x 15) log 2(3x1 2) 2 的解为. x 9.若x, y 满足x y y 2y 2，则目标函数z x 2y 的最大值为.7.抛物线y 2 2px(p 0)上的懂点Q 到焦点的距离的最小值为10.在报名的3名男老师和6名女教师中，选取 5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同 1,则p14. 已知函数f (x) sin x .若存在x1, x2, , x m满足0 x1x2x m 6 ，且|f(X mi ) f (X m )| 12 (m 12, m N )，则 m 的最小值为• 二•选择题（本大题共 4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相已知点 A 的坐标为（4.、3,1），将0A 绕坐标原点 0逆时针旋转一至0B ，则点B 的纵坐标为3B.13 2A. 1C. 1 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）|f(X i ) f(X 2)| |f(X 2) f(X 3)|应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分• 15.设Z 1、Z 2 C ，则“ N 、Z 2均为实数”是“ z , Z 2是实数”的（ A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C.充要条件D. 既非充分又非必要条件 16. F 列不等式中，与不等式 X 8 2X 2解集相同的是（ A. (X 8)(X 22X 3) B. X 8 2(X 2 2X 3) C. 1x 2 2X 3 D. x 2 2X 317. D.18. 设P n （X n , y n ）时直线2X y N ）与圆x 2 y 2 2在第一象限的交点，则极限 lim n糾（ B. D.在［t 1,t 2］上的最大值是否超过 3 ?说明理由如图，圆锥的顶点为 P ，底面圆为0,底面的一条直径为 AB , C 为半圆弧」如 的中点，E 为 劣弧西的中点，已知PO 2,0A 1，求三棱锥P A0C 的体积，并求异面直线 PA 和0E 所成 角的大小.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.2 1已知函数f(x) ax ，其中a 为常数x(1)根据a 的不同取值，判断函数 f (x)的奇偶性，并说明理由；⑵若a (1,3)，判断函数f(x)在［1,2］上的单调性，并说明理由.21. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，0, P,Q 三地有直道相通， 0P 3千米，PQ 4千米，0Q 5千米，现甲、乙两警员同时从0地出发匀速前往 Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米)•甲的路线 是0Q ，速度为5千米/小时，乙的路线是 0PQ ，速度为8千米/小时，乙到达 Q 地后在原地等待 设t b 时，乙到达P 地，t t 2时，乙到达Q 地•(1)求t 1与f(tj 的值；⑵已知警员的对讲机的有效通话距离是 3千米，当t 1 t t 2时，求f (t)的表达式，并判断f(t)22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第6分. 1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分l i 和12分别与椭圆交于点 A 、B 和C 、D ，记 AOC的面积为S .的第n o 项是最大项，即 a n 0 a n (n N*)，求证：0的第n 。
2015年上海市高考数学试卷(理科)
2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=．2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．5．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9．（2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．10．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．13．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥12，m∈N*），则m的最小值为．14．（2015•上海）在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD 的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015•上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A ．B．C．D．17．（2015•上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根18．（5分）（2015•上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A ．﹣1 B．﹣C．1 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f （t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．22．（16分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．答案：1、解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，4}，故答案为：{1，4}．2、解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．3、解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．4、解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．5、解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．6、解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．7、解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．8、解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．9、解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．故答案为：．10、解：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，可得y=f﹣1（x）在[]上为增函数，因此y=f（x）+f﹣1（x）在[]上为增函数，∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=4．故答案为：4．11、解：∵（1+x+）10=，∴仅在第一部分中出现x2项的系数．再由，令r=2，可得，x2项的系数为．故答案为：45．12、解：赌金的分布列为1 2 3 4 5P所以Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为1.42.8 4.2 5.6 P====所以Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，则Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元．故答案为：0.213．14、∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tanA=，∴，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=．由，得．则．∴•==．故答案为：．15、解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．16、解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OP|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．17、解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即a3=，则a32=（）2=，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B18．解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，19、所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以A1、C1、F、E四点共面．以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为xyz轴，建立空间直角坐标系，易求得，设平面A1C1EF的法向量为则，所以，即，z=1，得x=1，y=1，所以，所以=，所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin．20、解：（1）由题意可得t1==h，设此时甲运动到点P，则AP=v甲t1=5×=千米，∴f（t1）=PC===千米；（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，∴f（t）=PQ===，当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t∴f（t）=∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，故f（t）的最大值超过了3千米．21、解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，所以x1x2=﹣2y1y2，∴=4=﹣2x1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1，所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，22、∴a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴．②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．23、解：（1）g（x）=x+sin；∴==cosg（x）∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；（2）∵f（x）的值域为R；∴存在x0，使f（x0）=c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数；∴a≤x0≤b；即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c；（3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T；∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T；∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；∴“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f （T）：①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π；cosf（x0+T）=cosf（x0）=1⇒f（x0+T）=2k2π，k2∈Z；∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）；∴4π＜2k2π＜6π；∴2＜k2＜3，无解；2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π；则T，x1，x2，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；3）当k1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；设其解为f（x1），f（x2），…，f（x n），（x1＜x2＜…＜x n）；则f（x1+T），f（x2+T），…，f（x n+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；又f（x+T）∈（4π，8π）；而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（x n）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；∴f（x i+T）=f（x i）+4π=f（x i）+f（T）；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．。
222015-2015年上海市高考数学试卷(理科)
2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=．2．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9．已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．10．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．11．（4分）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为．14．在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1B．﹣C．1D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE 所成的角的大小．20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．22．（16分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{an}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f （x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ={1，4}．【分析】本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，4}，故答案为：{1，4}．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．2．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．7．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．9．已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．【分析】设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程．【解答】解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为4．【分析】由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f﹣1（x）在[]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f﹣1（x）的最大值．【解答】解：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，可得y=f﹣1（x）在[]上为增函数，因此y=f（x）+f﹣1（x）在[]上为增函数，∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=4．故答案为：4．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．11．（4分）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）．【分析】先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．【解答】解：∵（1+x+）10=，∴仅在第一部分中出现x2项的系数．再由，令r=2，可得，x2项的系数为．故答案为：45．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=0.2（元）．【分析】分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．【解答】解：赌金的分布列为ξ112345P所以Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4种，若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种，若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种，若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种，则P（ξ2=1.4）==，P（ξ2=2.8）==，P（ξ2=4.2）==，P（ξ2=5.6）==ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6P所以Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，则Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元．故答案为：0.2【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为8．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题．14．在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=﹣．【分析】由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tanA=，∴，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=．由，得．则．∴•==．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．16．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根【分析】根据方程根与判别式△之间的关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2，a3成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论．【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即a3=，则a32=（）2=，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B．【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1B．﹣C．1D．2【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE 所成的角的大小．【分析】利用长方体的几何关系建立直角坐标系．利用向量方法求空间角．【解答】解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以A1、C1、F、E四点共面．以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，易求得，设平面A 1C1EF的法向量为则，所以，即，z=1，得x=1，y=1，所以，所以=，所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin．【点评】本题主要考查利用空间直角坐标系求出空间角的方法，属高考常考题型．20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）由题意可得t1==h，由余弦定理可得f（t1）=PC=，代值计算可得；（2）当t1≤t≤时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当＜t≤1时，f（t）=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，可得结论．【解答】解：（1）由题意可得t1==h，=5×=千米，设此时甲运动到点P，则AP=v甲t1∴f（t1）=PC===千米；（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，∴f（t）=PQ===，当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t∴f（t）=∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，故f（t）的最大值没有超过3千米．【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，可得直线l1与l2的方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，所以x1x2=﹣2y1y2，∴=4=﹣2x1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1，所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．22．（16分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{an}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，∴a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴．②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f （x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．【分析】（1）根据余弦函数的周期定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）=c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x0∈[a，b]，从而完成证明；（3）只需证明u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解得出u0为方程cosf （x）=1在[0，T]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k1π，k1∈Z，根据f（x）单调递增便能得到k1＞2，然后根据f（x）的单调性及方程cosf（x）=1在[T，2T]和它在[0，T]上解的个数的情况说明k1=3，和k1≥5是不存在的，而k1=4时结论成立，这便说明x=T时结论成立；而对于x ∈（0，T）时，通过考查cosf（x）=c的解得到f（x+T）=f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【解答】解：（1）g（x）=x+sin；∴==cosg（x）∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；（2）∵f（x）的值域为R；∴存在x0，使f（x0）=c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数；∴a≤x0≤b；即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c；（3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T；∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T；∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；∴“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f （T）：①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π；cosf（x0+T）=cosf（x0）=1⇒f（x0+T）=2k2π，k2∈Z；∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）；∴4π＜2k2π＜6π；∴2＜k2＜3，无解；2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π；则T，x1，x2，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；3）当k1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；设其解为f（x1），f（x2），…，f（x n），（x1＜x2＜…＜x n）；则f（x1+T），f（x2+T），…，f（x n+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；又f（x+T）∈（4π，8π）；而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（x n）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；∴f（x i+T）=f（x i）+4π=f（x i）+f（T）；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf（x）=1能得出f（x）=2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．。
2015年高考数学数列真题汇编
2015年高考试卷数列题摘录1.(全国卷Ⅰ理科第17题，12分)n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +. （Ⅰ）求{n a }的通项公式： （Ⅱ）设b n =1an a n+1,求数列{b n }的前n 项和2.(全国卷Ⅰ文科第7题，5分)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和。
则S 8=4S 4，a 10=（A ）172（B ）192（C ）10 （D ）123.(全国卷Ⅰ文科第13题，5分)在数列{a n }中， a 1=2,a n+1=2a n , S n 为{a n }的前n 项和,若S n =126，则n= .4.(全国卷Ⅱ理科第4题，5分)已知等比数列{}n a 满足a 1 = 3，a 1 + a 3 + a 5 = 21，则a 3 + a 5 + a 7 =A ．21B ．42C ．63D ．845.(全国卷Ⅱ理科第16题，5分)设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且a 1 = -1，a n +1 = S n S n +1，则S n = __________.6.(全国卷Ⅱ文科第5题，5分)设S n 等差数列{}n a 的前n 项和。
若a 1 + a 3 + a 5 = 3，则S 5 =A ．5B ．7C ．9D ．117.(全国卷Ⅱ文科第9题，5分)已知等比数列{}n a 满足114a =，a 3a 5 = 44(1)a -，则a 2 = A ．2B ．1C ．12D ．188.(江苏卷第11题，5分)数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 前10项的和为 . 9.(江苏卷第20题，16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a依次构成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次构成等比数列？并说明理由。
2015届上海市高考一模汇编 数列
2015届高中数学·一模汇编（专题：数列）2015届高中数学·一模汇编 数列一、填空题：1、计算2123+limn nn →+++∞…＝2、设无穷等比数列{}n a (*)n N ∈的公比12q =-,11a =，则2462lim()n n a a a a →∞++++=3、若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122limnn a a a n →∞+++=4、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q =5、已知二项式*(12)(2,N )nx n n +≥∈的展开式中第3项的系数是A ，数列{}n a *(N )n ∈是公差为2的等差数列，且前n 项和为n S ，则limn nAS →∞＝ 6、设数列}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d ，}{n a 的前n 项和为n S ，且对任意n *N ∈，总存在m *N ∈，使得m n a S =．则=d _________．7、计算：112323lim ++∞→+-n n n n n = 8、已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n n n a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和=n S 9、若1lim=+∞→an ann ，则常数=a10、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若742S =，则4a = 11、已知1cos 22n n n a π=，则无穷数列{}n a 前n 项和的极限为 12、在正项等比数列{}n a 中，已知120115a a <=，若集合 12121110,t t A t a a a t N a a a *⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-++-≤∈⎨⎬ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，则A 中元素个数为 13、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*110()2n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为14、已知函数222111()1()()(1)2222015n n n f x x n =+++++++ ，其中*n N ∈．当1 2 3 n = ，，，时，()n f x 的零点依次记作123 x x x ，，，，则lim n n x →∞=15、设集合(){}{}12310,,,,|1,0,1,1,2,3,,10iA x x x x x i =∈-= ，则集合A 中满足条件“1231019x x x x ≤++++≤ ”的元素个数为16、已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则通项公式为n a =______17、设*∈N n ，圆122141:()(1)41n n n C x y n +--+-=+的面积为n S ，则=+∞→n n S lim18、已知数列{}n a 的前n 项和542n n S -=-⨯，则其通项公式为19、已知()214732lim6752n a n n n →∞++++-⎡⎤⎣⎦=-- ，则a =二、选择题：20、已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则下列一定成立的是 （ ） A ．若30a >，则20150a <； B ．若40a >，则20140a <；C ．若30a >，则20150S >；D ．若40a >，则20140S >．21、若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n (∈n N *，2≥n )等分点，沿向量BC 的方向依次为121,,,-n P P P ，记AC AP AP AP AP AB T n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ，若给出四个数值:①429 ②1091 ③18197 ④33232，则n T 的值不可能的共有 （ ） )(A 1个 )(B 2个 )(C 3个 )(D 4个 22、对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n a b ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞-=，则称{},n nab ⎡⎤⎣⎦为区间套。
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高考数学新题型1. 、用类比推理的方法填表答案：5354321b b b b b b =∙∙∙∙2. 下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。
（1）请画出四棱锥S-ABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若SA ⊥面ABCD ，E 为AB 中点，求二面角E-SC-D 的大小； （3）求点D 到面SEC 的距离。
（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）………………3分证明：,,AD SA AB SA ⊥⊥ 且AB 、AD 是面ABCD 内的交线∴SA ⊥底面ABCD ……………………5分（2）分别取SC 、SD 的中点G 、F ，连GE 、GF 、FA ， 则GF//EA,GF=EA,∴AF//EG 而由SA ⊥面ABCD 得SA ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，∴CD ⊥面SAD ，AF CD ⊥∴ 又SA=AD,F 是中点，SD AF ⊥∴⊥∴AF 面SCD,EG ⊥面SCD,⊥∴SEC 面面SCD 所以二面角E-SC-D 的大小为90 …………10分aaaaaaa2a2aSA BCDE F GH(3)作DH ⊥SC 于H ，面SEC ⊥面SCD,∴DH ⊥面SEC,∴DH 之长即为点D 到面SEC 的距离，12分在Rt ∆SCD 中，a aa a SC DC SD DH 3632=⋅=⋅= 答：点D 到面SEC 的距离为a 36………………………14分 3. 一个计算装置有一个入口A 和一输出运算结果的出口B ，将自然数列{}(1)n n ≥中的各数依次输入A 口，从B 口得到输出的数列{}n a ，结果表明：①从A 口输入1n =时，从B 口得113a =；②当2n ≥时，从A 口输入n ，从B 口得到的结果n a 是将前一结果1n a -先乘以自然数列{}n 中的第1n -个奇数，再除以自然数列{}n a 中的第1n +个奇数。
试问： （1） 从A 口输入2和3时，从B 口分别得到什么数？ （2） 从A 口输入100时，从B 口得到什么数？并说明理由。
解（1）2111515a a =⨯÷=3213735a a =⨯÷= （2）先用累乖法得*1()(21)(21)n a n N n n =∈-+得10011(21001)(21001)39999a ==⨯-⨯+4. 在△ABC 中，),(),0,2(),0,2(y x A C B -，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为 （用代号1C 、2C 、3C 填入） 答案：213C C C5.已知两个函数)(x f 和)(x g 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.填写下列)]([x f g 的表格,其三个数依次为A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1 答案：D6、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下： 当a b ≥时，a b a ⊕=； 当a b <时，a b b ⊕=2；则函数[]()f x x x x x ()()()=⊕-⊕∈-1222·，的最大值等于（ C ）（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A. -1B. 1C. 6D. 127、已知x R ∈，［x ］表示不大于x 的最大整数，如[]π=3，[]-=-121，[]120=，则[]-=3_____________；使[]x -=13成立的x 的取值范围是_____________ 答案：28、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y x =上”这个课题，我们可以分三步进行研究：（I ）首先选取如下函数： y x =+21，y xx =+21，y x =-+1 求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：y x =+21与其反函数y x =-12的交点坐标为（－1，－1） y x x =+21与其反函数y xx=-2的交点坐标为（0，0），（1，1）y x =-+1与其反函数y x x =-≤210，()的交点坐标为（152152--，），（－1，0），（0，－1）（II ）观察分析上述结果得到研究结论； （III ）对得到的结论进行证明。
现在，请你完成（II ）和（III ）。
解：（II ）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y ＝x 上 2分（III ）证明：设点（a ，b ）是f x ()的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y ＝x 对称，则点（b ，a ）也是f x ()的图象与其反函数图象的交点，且有 b f a a f b ==()()， 若a ＝b 时，交点显然在直线y x =上若a<b 且f x ()是增函数时，有f b f a ()()<，从而有b<a ，矛盾；若b<a 且f x ()是增函数时，有f a f b ()()<，从而有a<b ，矛盾若a<b 且f x ()是减函数，有f b f a ()()<，从而a<b 成立，此时交点不在直线y ＝x 上；同理，b<a 且f x ()是减函数时，交点也不在直线y ＝x 上。
综上所述，如果函数f x ()是增函数，并且f x ()的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线y x =上；如果函数f x ()是减函数，并且f x ()的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y ＝x 上14分9、在算式“2×□+1×□=30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为 和 . 答案：9，12.10、如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长 为6的正方形，SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S, D,A,Q 及P,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠起来， 使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要 个这样的 几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。
答案：311、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比．．为21()1f x x=+． （Ⅰ）试解释(0)f 的实际意义；（Ⅱ）现有a （a ＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由．答案：解：（I ）f （0）=1．表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化．……………2＇ （Ⅱ）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a 单位量的水清洗1次后．残留的农药量为W 1=1×f （a ）=211a +；……………………………………………………………………4＇ 又如果用2a 单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f （2a ）=2)2(11a +，此后再用2a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W 2=2)2(11a +·f （2a ）=[2)2(11a +]2=)4(16a +．……………………………8＇ 由于W 1－W 2=211a +－)4(16a +=22222)4)(1()8(a a a a ++-，………………………9＇ 故当a >22时，W 1>W 2，此时，把a 单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a =22时，W 1=W 2，此时，两种清洗方式效果相同；当a <22时，W 1<W 2，此时，把a 单位量的水清洗一次，残留的农药量较少．…………………………12＇12、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k ∈N*)个格点，则称函数f(x)为k 阶格点函数。
下列函数：① f(x)=sinx ； ②f(x)=π(x －1)2+3； ③;)31()(x x f = ④x x f 6.0log )(=，其中是一阶格点函数的有 . 答案：①②④13、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证 (Ⅰ) ∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2．由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴ 2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)， ∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝－12.∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝14a m ，∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列.(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列. 设数列{a n }的公比为q ，∵a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2．由题设，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，A ≠0，∴S m ， S m ＋2， S m ＋1不成等差数列.逆命题为假.14、一个三位数abc 称为“凹数”，如果该三位数同时满足a ＞b 且b ＜c ，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_____________________．答案：三位“凹数”可分两类：一类是aba ，共有210C ＝45，另一类是abc ，a ≠c ，共有2310C ＝240，故共有45+240＝285个15、定义运算c a bc ad d b -=，若复数i i x +-=32，i i y +=14i x xi +-3，则=y 。
答案：-416、从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1m n C +种取法。
在这1mn C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，共有01101111m m m n n n C C C C C C -+⋅+⋅=⋅，即有等式：11m m m n n n C C C -++=成立。
试根据上述思想化简下列式子：1122m m m k m kn k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅++⋅= 。
(1,,,)k m n k m n N ≤<≤∈。