chp7(1)

7-18 每个结点的度数至少为 2 的图必包含一个回路。 解 设 L 是图 G 中最长路中的一条，设其长度为 m，这条路的一个端点设为 a,考察 G
中与 a 关联的那些边，这些边中任何一条边的另一端必在 L 上，否则，将这个结点加进 L 中就可得到一条更长的路。
如果 G 中每个结点的度数至少为 2，那么 a 也要关联于一条不在 L 上的边 e。若 e 是环， 则 e 本身就是回路，否则，边 e 的另一个端点 b(与 a 不同的点)在 L 上，而连通 L 中 a 到 b 的子路与边 e,就组成一个回路。如图 7-20 所示。
为图 7—17 所示。 7-11 证明简单图的最大度小于结点数。
证明 设简单图 G 有 n 个结点。对任一结点 u，由于 G 没有环和平行边，u 至多与其余 n-1 个结点中每一个有一条边相连接，即 deg(u)≤n-1，因此，⊿(G)＝maxdeg(u)≤n-1。
7-12 在无向图 G 中，从结点 u 到结点 v 有一条长度为偶数的通路，从结点 u 到结点 v 又 有一条长度为奇数的通路，则在 G 中必有一条长度为奇数的回路。
7-13 若无向图 G 中恰有两个奇数度的结点，则这两个结点 之间必有一条路。
证明 设无向图 G 中两个奇数度结点为 u 和 v。 从u开始构造一条迹，即从u出发经关联于结点u的边e1到达结点u1，若deg(u1)为偶数， 则必可由u1再经关联于结点u1的边e2到达结点u2,如此继续下去，每边只取一次，直到另一个 奇数度结点停止，由于图G只有两个奇数度结点，故该结点或是u或是v。如果是v，那么从u 到v的一条路就构造好了。如果仍是结点u，此路是闭迹。闭迹上每个结点都关联偶数条边， 而deg(u)为奇数，所以至少还有一条关联于结点u的边不在此闭迹上。继续从u出发，沿着该 边到达另一个结点u1'，依次下去直到另一个奇数度结点停下。这样经有限次后必可到达结点 v，这就是一条从u到v的路，如图 7-18 所示。
7-5 画出图 7—10 相对于完全团的补图。 解 图 7—10 相对于完全图的补图如图 7-11 所示。
7-6 证明图 7—12 中两个图不同构。 证明 如果这两个图同构，那么对应结点的度数应相同。度数为 3 的两个结点v1与v1'
相对应。但与v1邻接的三个结点中一个结点v3度数为 2，两个结点v5 ，v6度数为 1，而与v1'
v3→v5，v4→v2，v5→v4。 显然这两个图保持相应点边之间对应的关联关系，故G～G’因此， G是五个结点的自补图。
b)设图 G 是自补图，G 有 e 条边，G 对应的完全图的边数为 A。G 的补图 G’的边数应 为 A 一 e。因为 G～G’，故边数相等，e=A 一 e，A＝2e，因此 G 对应的完全图的边数 A 为 偶数。
7-17 如果在 n 个电话局中的任何两个电话局总是可以通话的，那么至少存在 n-1 条直通线 路。 解 设 n 个电话局为 n 个结点，两个结点之间有连线，当且仅当对应的这两个电话局可直通 电话。因为任何两个电话局总可以通话(可能中途要通过其它电话局)，因此就可构成一个简 单的连通图。
可以证明，对于具有 n 个结点的简单连通图 G，至少存在 n-1 条边。用数学归纳法，有 当 n＝2 时，有一条边；当 n=3 时，至少有两条边。 设 n＝k 时，G 至少有 k-1 条边。 当增加一个结点 v 时，v 必与 G 中的某个结点邻接，因此，具有 k+1 个结点的简单连通 图至少有 k 条边。
证明 设从结点u到结点v长度为偶数的通路是ue1u1e2u2…e2kv，长度为奇数的通路是 ue11u11e12u12…e12h-1v，那么路ue1u1e2u2…e2kve12h-1…u12e12u11e11u就是一条回路，它的边数＝ 2k+(2h-1)＝2(h+k)-1，是奇数，故这条回路的长度是奇数。
因为具有 n 个结点的简单图的边数与它的补图的边数之和等 于具有 n 个结点的完全图的边数。n 个结点的完全图的边数为 n(n 一 1)／2，所以，5 个结点的完全图的边数为 5*4／2=10。显然， 两个具有 n 个结点的图是同构的，当且仅当它们的补图是同构的。 因此，5 个结点 7 条边的简单图，就是上述 4 个简单图的补图，即
vq是与vp邻接且度数≥7 的结点，那么vq必至少与上述八个结点中的其余七个结点之一邻接， 否则，degvq≤13 一 7＝6 矛盾。设vr是与vq邻接的结点，则vp，vq，vr组成一个三角形，这表 示相应的三个人是两两未合作过的，这三个人与新来的旅游者(相应的结点为v)一定可以再 打一局牌。即vp，vq，vr和v组成—个K4，如图 7—19 所示。
7-10 画出所有具有 5 个结点 3 条边以及 5 个结点 7 条边的简单图。 解 采用枚举法并从中选择的办法，显然是不适宜的。我们
先考虑 5 个结点三条边的情况。因为简单图中每个结点的度数≤ 总边数，所以在这种图中就不可能有度数大于 3 的结点。很清楚 地可以知道，在仅有一个具有度数为 3 的结点的图中，各个结点的 度数应当是 3，1，1，1，O；而结点度数不大于 2 的图中，各结点的 度数只可能是 2，2，2，O，0；2，2，1，1，0 和 2，1，1，1，1。 因 此，结点数为 5，边数为 3 的简单图为图 7—16 所示。
7-14 若图 G 是不连通的，则 G 的补图 G 是连通的。 证明 若图G＝<Y，E>是不连通的，可设图G的连通分支是G(V1)，G(V2)，…，
G(Vm)(m≥2)。由于任意两个连通分支G(Vi)与G(Vj)(i≠j)之间不连通，因此两个结点子集Vi与 Vj之间的所有连线都在图G的补图G'中。任取两个结点u和v,有两种情形：
由此可知，当图 G 不是连通图时，G'必是连通图。
7-15 在一个旅行团中共有 14 入，在山上休息时，他们想打桥牌，而其中每个人都曾仅与 其中的 5 个人合作过。现规定只有 4 个人中任两人都未合作过，才能在一起打一局牌。这样， 打了三局就没法再打下去了。这时，来了另一位旅游者，他当然没有与该旅行团中的任何人 合作过。如果他也参加打牌，证明一定可以再打一局桥牌。
（1）O，1，2，…，n—2 (2)1，2，3，…，n 一 1
无论是哪一种情况都最多有 n 一 1 种不同的度数。就第一种情况而言，我们可以设想具有编 号为 O，1，2，…，n-2 的 n-1 只匣子，现将 G 中的结点按其度数放入与编号数相同的匣子 中去。因为 G 中有 n 个结点，而匣子仅有 n 一 1 只，所以总有一只匣于包含 两个或两个以上的结点，这些结点具有相同的度数。对于第二种情况，也可类似地证明。
c)由b)可知，自补图对应的完全图的边数为偶数。n个结点的完全图Kn的边数为12 n(n-1)， 当n＝3 或n=6 时，Kn的边数为奇数．因此不存在三个结点或六个结点的自补图。
7-9 对于任何一个具有 6 个结点的简单图，要末它包含一个三角形，要末它的补图包含一 个三角形。
解 设 6 个结点的简单图为 G。考察 G 中的任意一个结点 a， 那么，令外 6 个结点中 的任何一个结点，要末在 G 中与 a 邻接，要末在 G'中与 a 邻接。这样，就可把 5 个结点分 成两类，将那些在 G 中与 a 邻接的结点归成一类，而将那些在 G'中与 a 邻接的结点归在另 一类。于是必有一类至少含有三个结点，不妨假设其中的三个结点为 b，c，d，如图 7—15 所示。该图必是 G''的子图(这里 G''或者是 G 或者是 G')。如果边(b，c)，(c，d)，(b，d)中有 一条在 G''中，那么这条边所关联的两个结点都与 a 邻接；如果边(b，c)，(c，d)，(b, d)都不 在 G''中，那么都一定在 G''的补图(或者是 G'或者是 G)中，因此，由这三条边组成的三角形 就在 G''中。
如果每一个结点的度数均为偶数，那么我们就取V1＝V（G），V2＝Ø。
如果a是一个奇数度的结点，设S是它的邻接点的集合，现定义新的图G1为
V(G1)＝V(G)一{a}
(x,y) ∈E(G1)当且仅当{（（xx，，yy））∈EE((GG))
若x，y∈S1)＝W1∪W2且W1和W2生成G1的具有偶数度的子图。 因为 |S∩W1|+|S∩W2|=|s|≡1(mod2)
a)u和v分别属于两个不同结点子集Vi与Vj。由上可知G'包含边(u，v)，故u和v在G'中是 连通的。
b)u和v属于同—个结点子集Vi。可在另一个结点子集Vj中取一个结点w,由上可知边(u， w)及边(v,w)均在G'中，故邻接边(u，w)和(w,v)组成的路连接结点u和v,即u和v在G'中也是连 通的。
邻接的三个结点中有两个结点v2'， v3'度数为 2，一个结点v6'度数为 1，故他 们不同构。
7-7 证明图 7—13 中两个图是同构的。 证明 根据点与边的关联关系，我们建立双射g：vi→ui（1≤i≤10），便可知这两个图同构。
7-8 一个图如果同构于它的补图，则该图称为自补图。 a)试给出一个五个结点的自补图； b)一个图是自补图，其对应的完全图的边数必为偶数; c)是否有三个结点或六个结点的自补图。 解 a)五个结点的图G与它的补图G’如图 7-14 所示。对G与G’建立双射：v1→v1，v2→v3，
7-4 a)任何一个图的结点集合均可分成两部分V1和V2，使得由V1和V2所生成的子图的度数是 偶数。
b)对于任何一个图的结点均可分成V1和V2，使得由V1生成的子图的度数为偶数，由V2生 成的子图的度数为奇数。(这里，子图的度数是指于图中所有结点的度数之和。)
证明 a)我们可限制在简单图中进行讨论，因为除去两条平行边并不改变我们的断言。
我们可假设|S∩W1|是偶数且|S∩W2|是奇数，取 V1= W1∪{a}，V2= W2 对于x∈V1，若x S，那么很明显地在G[V1]中它的度数是偶数；若x∈S，那么