函数和导数,三角函数
三角函数的积分与导数
三角函数的积分与导数在微积分中，三角函数是非常重要的函数之一。
它们在各个科学领域，特别是物理学和工程学中，具有广泛的应用。
三角函数的积分和导数是求解与三角函数相关的问题时必不可少的工具。
本文将对三角函数的积分和导数进行详细讨论。
一、正弦函数的积分与导数正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)。
它的图像是一个周期性的波形，用于描述周期性现象，如振动和波动。
下面我们来讨论正弦函数的积分和导数。
1. 正弦函数的导数通过求导的定义，我们可以得到正弦函数的导数公式：d/dx(sin(x)) = cos(x)这意味着正弦函数的导数是余弦函数。
这个结果在物理学中有广泛的应用，尤其是在描述振动系统的运动方程时经常用到。
2. 正弦函数的积分对于正弦函数的积分，我们有以下公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C其中C是一个常数，表示积分常数。
这个积分公式可以通过对导数公式进行逆运算得到。
二、余弦函数的积分与导数余弦函数是三角函数中的另一个重要函数，表示为cos(x)。
它也是一个周期性的函数，与正弦函数密切相关。
下面我们来讨论余弦函数的积分和导数。
1. 余弦函数的导数通过求导的定义，可以得到余弦函数的导数公式：d/dx(cos(x)) = -sin(x)这意味着余弦函数的导数是负的正弦函数。
2. 余弦函数的积分对于余弦函数的积分，我们有以下公式：∫cos(x) dx = sin(x) + C其中C是积分常数。
三、其他除了正弦函数和余弦函数，还有一些其他常见的三角函数，如正切函数(tan(x))、余切函数(cot(x))、正割函数(sec(x))和余割函数(csc(x))。
它们也都有各自的积分和导数公式。
1. 正切函数的导数和积分：d/dx(tan(x)) = sec^2(x)∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C2. 余切函数的导数和积分：d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C3. 正割函数的导数和积分：d/dx(sec(x)) = sec(x)tan(x)∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C4. 余割函数的导数和积分：d/dx(csc(x)) = -csc(x)cot(x)∫csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C四、三角函数的积分与导数的应用三角函数的积分和导数在各个科学领域和工程学中有广泛的应用。
三角函数的导数解析与归纳
三角函数的导数解析与归纳在微积分中，研究导数是一个重要的课题。
导数给出了函数在每个点上的变化率，而对于三角函数，其导数的求解是十分常见且重要的。
本文将解析地探讨三角函数的导数，并对其进行归纳总结。
一、正弦函数的导数我们首先来看正弦函数的导数。
设函数y = sin(x)，则按照导数的定义：y' = lim(h->0) [sin(x+h) - sin(x)] / h利用三角函数的和差公式sin(a+b) = sin a*cos b + cos a*sin b，我们可以将上式展开得到：y' = lim(h->0) [sin x*cos h + cos x*sin h - sin x] / h= lim(h->0) [cos h*sin x + sin h*cos x - sin x] / h= lim(h->0) [2*sin(h/2)*cos(h/2)*sin x + sin h*cos x - sin x] / h根据极限的性质，lim(h->0) sin(h/2)/h = 1 和 lim(h->0) sin h/h = 1，于是上式变为：y' = lim(h->0) [2*sin(x/2)*cos(x/2)*sin x + sin x*cos x - sin x] / h= lim(h->0) [sin x*(2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1)] / h由于lim(h->0) 2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1 = 0，所以上式化简为： y' = lim(h->0) sin x*(2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1) / h= sin x * lim(h->0) [2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1] / h= sin x * 0= 0因此，我们得出结论：正弦函数的导数为零，即 d(sin(x))/dx = 0。
三角函数的积分与导数
三角函数的积分与导数三角函数是数学中重要的一类函数，具有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论三角函数的积分与导数，探索它们的性质和相关公式。
1. 正弦函数的积分与导数正弦函数是一种周期函数，它在数学和物理中都有重要的应用。
其函数表示为：\[y = \sin(x)\]1.1 正弦函数的导数正弦函数的导数称为余弦函数，表示为：\[\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)\]1.2 正弦函数的积分正弦函数的积分称为反正弦函数或反余弦函数，表示为：\[\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C\]其中C为常数。
2. 余弦函数的积分与导数余弦函数也是一种周期函数，其函数表示为：\[y = \cos(x)\]2.1 余弦函数的导数余弦函数的导数称为正弦函数，表示为：\[\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)\]2.2 余弦函数的积分余弦函数的积分称为正弦函数的负积分，表示为：\[\int \cos(x) dx = \sin(x) + C\]其中C为常数。
3. 正切函数的导数与积分正切函数是三角函数中的另一个重要函数，其函数表示为：\[y = \tan(x)\]3.1 正切函数的导数正切函数的导数称为正切函数的平方加一的倒数，表示为：\[\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \frac{1}{\cos^2(x)}\]3.2 正切函数的积分正切函数的积分称为对数函数的负对数，表示为：\[\int \tan(x) dx = -\ln|\cos(x)| + C\]其中C为常数。
4. 其他三角函数的导数与积分除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有其他三角函数如割函数、余割函数和余切函数，它们的导数和积分也有特定的性质。
4.1 割函数的导数和积分割函数的导数表示为：\[\frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x) \cdot \tan(x)\]割函数的积分表示为：\[\int \sec(x) dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C\]4.2 余割函数的导数和积分余割函数的导数表示为：\[\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x) \cdot \cot(x)\]余割函数的积分表示为：\[\int \csc(x) dx = -\ln|\csc(x) + \cot(x)| + C\]4.3 余切函数的导数和积分余切函数的导数表示为：\[\frac{d}{dx}(\cot(x)) = -\frac{1}{\sin^2(x)}\]余切函数的积分表示为：\[\int \cot(x) dx = \ln|\sin(x)| + C\]综上所述，我们讨论了正弦函数、余弦函数、正切函数以及其他三角函数的导数与积分。
三角函数的导数
三角函数的导数导数是微积分的重要概念之一，它描述了函数在某一点上的切线斜率或者速率的变化。
在微积分中，我们经常遇到三角函数及其导数的计算和应用。
在本文中，我们将讨论三角函数的导数计算方法以及它们在数学和物理中的应用。
一、正弦函数的导数我们首先来计算正弦函数的导数。
正弦函数用sin(x)来表示，其导数表示为cos(x)。
即：d/dx(sin(x)) = cos(x)这个结果可以通过导数的定义和极限的性质来证明。
由于这个结果的重要性，我们可以将其作为导数的基本公式之一。
二、余弦函数的导数接下来，我们计算余弦函数的导数。
余弦函数用cos(x)来表示，其导数表示为-sin(x)。
即：d/dx(cos(x)) = -sin(x)与正弦函数类似，这个结果也可以通过导数的定义和极限的性质来证明。
三、其他三角函数的导数除了正弦函数和余弦函数，还有诸如正切函数、余切函数、sec函数和csc函数等其他三角函数。
它们的导数计算方法如下：1. 正切函数的导数：d/dx(tan(x)) = sec^2(x)2. 余切函数的导数：d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)3. sec函数的导数：d/dx(sec(x)) = sec(x) * tan(x)4. csc函数的导数：d/dx(csc(x)) = -csc(x) * cot(x)这些导数公式可以通过对三角函数应用商法则和链式法则来计算。
它们在一些数学问题的解决中发挥着重要的作用。
四、三角函数导数的应用三角函数及其导数在数学和物理中有广泛的应用。
以下是一些具体的应用领域：1. 物理学中的运动描述：在物理学中，我们经常需要描述物体的运动。
三角函数及其导数可以帮助我们计算物体的位移、速度和加速度等运动参数。
2. 电路分析：在电路分析中，三角函数及其导数可以帮助我们描述电流和电压的周期性变化以及它们的变化率。
3. 波动和振动：在波动和振动现象的研究中，三角函数及其导数可以描述和分析波的形状、频率以及波函数的变化。
函数导数与三角函数
函数，导数与三角函数(时间：120分 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若1∈{a －3，9a2－1，a 2＋1，－1}，则实数a 的值为( ) A ．0或4 B ．4 C.49D ．4或492．(2012年高考天津卷)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 4．(2012年福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R)的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π) 5．(2012年济南模拟)如果实数x 、y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么2x －y 的最大值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－36．(2012年郑州模拟)给出30个数：1，2，4，7，11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )A ．i ≤30？和p ＝p ＋i －1B ．i ≤31？和p ＝p ＋i ＋1C ．i ≤31？和p ＝p ＋ID ．i ≤30？和p ＝p ＋i7．已知函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cosa ＋b2的值为( ) A ．0 B.22C ．1D ．－1 8．(2012年惠州模拟)已知复数a ＋b i ＝2＋4i1＋i(a ，b ∈R)，则函数f (x )＝2sin (ax ＋π6)＋b 的图象的对称中心可以是( ) A ．(π6，0) B ．(－π18，1) C ．(－π6，1)D ．(π9，1)9．(2012年高考山东卷)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真10．在等差数列{a n }中，首项a 1＝120，公差d ＝－4，若S n ≤a n (n ≥2)，则n 的最小值为( )A ．60B ．62C ．70D ．7211．(2012年南昌联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)12．(2012年高考湖北卷)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f(a n)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．数列{a n}满足a1＝2 012，a n＋1＋a n＋n2＝0，则a11＝________.14．(2012年宝鸡中学月考)已知α，β∈(－π2，π2)，且tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两个根，则α＋β＝________.15．(2012年高考安徽卷)设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________．16．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________.三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或17．(12分)已知f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当－1≤x ≤1，f (x )＝x 3.(1)求证：x ＝1是函数y ＝f (x )的一条对称轴； (2)当x ∈[1，5]时，求f (x )的表达式．18．(12分)(2012年韶关模拟)数列{a n }对任意n ∈N *，满足a n ＋1＝a n ＋1，a 3＝2.(1)求数列{a n }通项公式；(2)若b n ＝(13)a n ＋n ，求{b n }的通项公式及前n 项和．.19．(12分)(2012年朝阳模拟)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB →·AC→的值． 20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (65，0)，P (cos α，sin α)，其中0≤α≤π2.(1)若cos α＝56，求证：PA →⊥PO →； (2)若PA →∥PO→，求sin (2α＋π4)的值．21．(13分)(2012年广州高三模拟)f (x )＝sin 34x ·sin 34(x ＋2π)·sin 32(x ＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ＝1，2，3…)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝sin a n sin a n ＋1sin a n ＋2，求证：｛b n ｝为等比数列，并求b n22．(13分)(2012年北京模拟)已知函数f (x )＝e x (x 2＋ax －a )，其中a 是常数． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若存在实数k ，使得关于x 的方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．。
三角函数的导数与积分
三角函数的导数与积分三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们在解析几何、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将讨论三角函数的导数和积分，深入探究它们的性质和计算方法。
一、三角函数的导数1. 正弦函数的导数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，其导数可以通过极限定义来计算。
正弦函数的导数为余弦函数，表示为f'(x) = cos(x)这意味着在正弦函数图像上的任意一点处，其导数的值等于该点对应处的余弦函数值。
2. 余弦函数的导数余弦函数也是三角函数中的一种，其导数可以通过求导法则来计算。
余弦函数的导数为负正弦函数，表示为g'(x) = -sin(x)这意味着余弦函数图像上的任意一点处，其导数的值等于该点对应处的负正弦函数值。
3. 正切函数的导数正切函数是三角函数中的另一种常见函数，其导数可以通过导数的商规则来计算。
正切函数的导数为h'(x) = sec^2(x)其中，sec(x)表示x的余割函数，定义为1除以余弦函数。
因此，正切函数的导数值等于该点处的余割函数的平方。
二、三角函数的积分1. 正弦函数的积分正弦函数的积分可以通过反函数来计算。
具体而言，正弦函数的积分为负余弦函数，表示为∫sin(x)dx = -cos(x) + C其中，C表示常数。
2. 余弦函数的积分余弦函数的积分也可以通过反函数来计算。
具体而言，余弦函数的积分为正弦函数，表示为∫cos(x)dx = sin(x) + C其中，C表示常数。
3. 正切函数的积分正切函数的积分可以通过换元法来计算。
具体而言，正切函数的积分为自然对数的绝对值，表示为∫tan(x)dx = ln|sec(x)| + C其中，ln表示自然对数，sec(x)表示x的余割函数。
三、应用举例1. 三角函数导数的应用三角函数的导数在物理学中经常被用于描述振动和波动现象。
例如，正弦函数的导数可以用来描述质点在简谐振动中的加速度，余弦函数的导数可以用来描述质点在简谐振动中的速度变化。
数学高中教案：三角函数与导数计算
数学高中教案：三角函数与导数计算一、引言在高中数学的教学中，三角函数与导数计算是一个重要的知识点。
它们不仅是数学学科的基础，还在日常生活和其他学科中具有广泛的应用。
本文将介绍关于三角函数与导数计算的教案设计，包括教学目标、教学内容、教学方法和评价方式等。
二、教学目标1. 掌握三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义和性质。
2. 理解三角函数在平面直角坐标系中的图像特征。
3. 学会通过已知条件计算三角函数值和解三角方程。
4. 熟练掌握导数的定义及其性质。
5. 掌握通过导数计算相关函数（如多项式函数和三角函数）的极限、增减性以及最值问题。
三、教学内容1. 三角函数（1）正弦函数：定义及性质。
- 使用单位圆法讲解正弦函数的定义，并说明其周期为2π。
- 引导学生观察正弦函数的图像特征，包括振幅、周期和对称轴等。
（2）余弦函数：定义及性质。
- 类似地，使用单位圆法讲解余弦函数的定义，并说明其周期为2π。
- 引导学生观察余弦函数的图像特征，与正弦函数进行比较分析。
（3）正切函数：定义及性质。
- 使用正切线在单位圆上的截距来定义正切函数，并说明其周期为π。
- 将正切函数与正弦函数和余弦函数一起比较，帮助学生理解其特点。
（4）计算三角函数值和解三角方程- 通过例题演示，让学生掌握如何计算给定角度下三角函数的值。
- 引导学生思考并解决一些简单的三角方程。
2. 导数计算（1）导数的定义- 以函数y=f(x)为例，引入导数的定义：f'(x) = lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h。
- 解释导数在几何意义上表示切线斜率或变化率。
（2）导数的性质- 提供一些常见公式和规则，如常数规则、乘法法则和链式法则等。
- 通过具体例子，让学生熟悉这些性质并能够灵活应用。
（3）求导举例- 针对多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等不同类型的函数，进行求导计算的演示和练习。
（4）极限、增减性与最值问题- 引入函数的极限概念及其计算方法，以及函数的单调性和最值问题。
三角函数求导
三角函数求导
三角函数求导
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tanx)'=sec²x=1+tan²x
(cotx)'=-csc²x
(secx)' =tanx·secx
(cscx)' =-cotx·cscx.
(tanx)'=(sinx/cosx)'=[cosx·cosx-sinx·(-sinx)]/cos²x=sec²x
【扩展知识】
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的计算口诀
常为零，幂降次。
对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna）。
指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）。
变余，余变正。
切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）
割乘切，反分式。
导数与三角函数的综合的解题技巧
导数与三角函数的综合的解题技巧
1.使用导数公式：对于三角函数，有 sin'x=cosx, cos'x=-sinx, tan'x=sec^2x, cot'x=-csc^2x。
根据公式，可以快速求导数。
2.化简式子：如果要求导数的式子比较复杂，可以先把式子化简，再使用导数公式。
3.注意多项式函数：如果式子包含多项式函数，可以先对多项式函数求导，再根据导数公式求出整个式子的导数。
二、解题技巧
1.化简式子：对于一些比较复杂的题目，可以先把式子化简，减少计算难度。
2.注意特殊点：三角函数的周期性很强，要注意特殊点，如0度、90度、180度、270度、360度等，这些点的函数值会有特殊的表现。
3.使用变形公式：有些题目可以使用三角函数的变形公式，如和角公式、差角公式、倍角公式等，将原式化简成已知的函数形式，再进行计算。
4.备选法：如果在计算中出现不确定的式子，可以先把各种可能的取值列出来，再逐一验证。
综上所述，求导数和解题技巧是解决导数与三角函数综合题目的关键。
在解题过程中，要善于化简式子，注意特殊点，灵活运用三角函数的变形公式和备选法，从而提高解题的效率和准确性。
三角函数的导数公式大全
三角函数的导数公式大全
三角函数的导数公式大全是数学中重要的一部分，它可以帮助我们计算函数的导数。
下面是三角函数的导数公式大全：
1.正弦函数的导数：d/dx(sin x)=cos x
2.余弦函数的导数：d/dx(cos x)=-sin x
3.正切函数的导数：d/dx(tan x)=sec2x
4.反正切函数的导数：d/dx(cot x)=-csc2x
5.双曲正弦函数的导数：d/dx(sinh x)=cosh x
6.双曲余弦函数的导数：d/dx(cosh x)=sinh x
7.双曲正切函数的导数：d/dx(tanh x)=sech2x
8.双曲反正切函数的导数：d/dx(coth x)=-csch2x
以上就是三角函数的导数公式大全，它们可以帮助我们计算函数的导数，从而更好地理解函数的变化趋势。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 第二章 函数与导数 4.函数的概念及表示
考点1 函数的定义域 1.(2015·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( ) A.[－3，1] B.(－3，1) C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
2.(2015·湖北)函数f(x)＝4－|x|＋lgx2－5x＋6x－3的定义域为( ) A.(2，3) B.(2，4] C.(2，3)∪(3，4] D.(－1，3)∪(3，6] 3.(2014·山东)函数f(x)＝1log2x－1的定义域为( ) A.(0，2) B.(0，2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞) 考点2 函数的值域与函数值
4.(2015·陕西)设f(x)＝1－x，x≥0，2x，x＜0，则f(f(－2))＝( ) A.－1 B.14 C.12 D.32 5.(2014·江西)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R).若f[g(1)]＝1，则a＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 考点3 函数的图象 6.(2015·全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
7.(2014·湖北)如图所示，函数y＝f(x)的图象由两条射线和三条线段组成.若∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________. 2
考点4 函数的解析式 8.(2014·浙江)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( ) A.c≤3 B.3＜c≤6 C.6＜c≤9 D.c＞9 9.(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________. 10.(2014·江西)将连续正整数1，2，„，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123„n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为 123 456 789 101 112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率. (1)求p(100)； (2)当n≤2 014时，求F(n)的表达式； (3)令g(n)为这个数中数字0的个数f(n)为这个数中数字的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S＝{n|h(x)＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时，p(n)的最大值.
考点5 分段函数 11.(2015·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2x－1－2，x≤1，－log2（x＋1），x>1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( ) A.－74 B.－54 C.－34 D.－14 12.(2015·山东)设函数f(x)＝3x－b，x＜1，2x，x≥1.若ff56＝4，则b＝( ) A.1 B.78 C.34 D.12 13.(2014·江西)已知函数f(x)＝a·2x，x≥0，2－x，x＜0(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝( ) A.14 B.12 C.1 D.2 14.(2014·浙江)设函数f(x)＝x2＋2x＋2，x≤0，－x2，x＞0，若f(f(a))＝2，则a＝________. 3
15.(2014·浙江)设函数f(x)＝x2＋x，x＜0，－x2，x≥0.若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________. 考点6 新定义函数
16.(2015·湖北)设x∈R，定义符号函数sgn x＝1，x>0，0，x＝0，－1，x<0，则( ) A.|x|＝x|sgn x| B.|x|＝xsgn |x| C.|x|＝|x|sgn x D.|x|＝xsgn x 17.(2015·浙江)设实数a，b，t满足|a＋1|＝|sin b|＝t( ) A.若t确定，则b2唯一确定 B.若t确定，则a2＋2a唯一确定
C.若t确定，则sin b2唯一确定 D.若t确定，则a2＋a唯一确定 18.(2014·福建)在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L-距离”定义为||P1P2||＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L-距离”之和等于定值(大于||F1F2||)的点的轨迹可以是( )
5.函数的基本性质 1.(2016·浙江)函数y＝sin x2的图象是( )
2.(2016·北京)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A.y＝11－x B.y＝cos x C.y＝ln(x＋1) D.y＝2－x 3.(2016·北京)已知x，y∈R，且x＞y＞0，则( ) A.1x－1y＞0 B.sin x－sin y＞0 C.12x－12y＜0 D.ln x＋ln y＞0 4.(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x＞12时，fx＋12＝fx－12.则f(6)＝( ) A.－2 B.－1 C.0 D.2 4
5.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xm，ym)，则i＝1mxi＝( ) A.0 B.m C.2m D.4m
6.(2016·全国Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x＋1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xm，ym)，则i＝1m (xi＋yi)＝( ) A.0 B.m C.2m D.4m 7.(2016·北京)函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________. 8.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0
9.(2016·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝x＋a，－1≤x＜0，25－x，0≤x＜1，其中a∈R.若f－52＝f92，则f(5a)的值是________.
考点1 函数的单调性 1.(2014·北京)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( ) A.y＝e-x B.y＝x3 C.y＝ln x D.y＝|x| 2.(2014·陕西)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)＝x0.5 B.f(x)＝x3 C.f(x)＝12x D.f(x)＝3x 3. (2015·福建)下列函数为奇函数的是( ) A.y＝x B.y＝ex C.y＝cos x D.y＝ex－e－x 4.(2015·北京)下列函数中为偶函数的是( ) A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝|ln x| D.y＝2-x 5.(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cos x C.y＝2x＋12x D.y＝x2＋sin x 6.设f(x)＝x－sin x，则f(x)( ) A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 考点2 函数的奇偶性 5
7.(2014·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 8.(2014·广东)下列函数为奇函数的是( )
A.y＝2x－12x B.y＝x3sin x C.y＝2cos x＋1 D.y＝x2＋2x 9.(2014·重庆)下列函数为偶函数的是( ) A.f(x)＝x－1 B.f(x)＝x2＋x C.f(x)＝2x－2－x D.f(x)＝2x＋2－x 10.(2014·湖南)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3 11.(2014·山东)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( ) A.f(x)＝x B.f(x)＝x2 C.f(x)＝tan x D.f(x)＝cos(x＋1) 12.(2014·新课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________. 考点3 函数的周期性 13.(2015·新课标全国Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( ) A.－1 B.1 C.2 D.4 14.(2014·大纲全国)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1 15.(2014·湖南)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________. 16.(2014·新课标全国Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则 f(－1)＝________. 17.(2014·安徽)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝
x（1－x），0≤x≤1，sin πx，1＜x≤2，则f294＋f416＝________.
18.(2014·四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝
－4x2＋2，－1≤x＜0，
x，0≤x＜1，
则f32＝________. 考点4 函数性质的综合应用