导数与三角函数的结合
例谈导数与三角函数的结合应用
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例谈导数与三角函数的结合应用
作者：虞玉华
来源：《理科考试研究·高中》2014年第11期
三角函数作为初等函数的一种，与其他函数一样，学习及研究的相关内容都是一样的，也就是说，我们研究三角函数的性质都是包括函数的单调性、周期性和奇偶性等等.那么，我们运用导数来解决三角函数的问题的思路也是一样的.下面我们用几个具体的例子来归纳这类问题的解题方法.
一、三角函数的单调性
二、三角函数的周期性
三、三角函数的图象
点评根据函数判断大致的图象也是高考中常出现的题目，在判断图象的时候，我们一般是根据函数的奇偶性、周期性等相关的性质进行比对.而这些函数的性质的问题又是通过导数来求解的.因此，这个问题的实质还是函数的性质.
总之，用导数的方法来解决相关的函数问题，是一种便捷且有效的方法.导数的学习可以说是为研究函数引入了一个强大的工具，学生们在数学学习中一定要掌握好这种方法，并学会灵活用于解决函数问题，就能轻松攻克函数这个难关.。
导数与函数的三角函数关系探讨
导数与函数的三角函数关系探讨导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而三角函数则是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
本文将探讨导数与函数的三角函数之间的关系，并通过实例来说明这种关系的应用。
一、导数与正弦函数关系导数可以用来描述函数在某一点的变化率，而正弦函数则是描述周期性变化的函数。
我们来考虑正弦函数的导数。
正弦函数的导数是余弦函数，即：f'(x) = cos(x)这表明正弦函数在任意一点的导数等于该点的余弦值。
考虑到余弦函数的取值范围为[-1,1]，我们可以得出正弦函数在任意点的导数的取值范围为[-1,1]。
这意味着正弦函数的导数的绝对值不会超过1，而且根据正弦函数的周期性特点，导数的正负也会随着位置的不同而变化。
二、导数与余弦函数关系与正弦函数类似，余弦函数在任意一点的导数等于该点的正弦值。
即：f'(x) = sin(x)余弦函数在任意点的导数的取值范围也是[-1,1]，并且根据余弦函数的周期性特点，导数的正负也会随着位置的不同而变化。
三、导数与正切函数关系正切函数是另一个常见的三角函数，它在数学和物理中经常出现。
我们来研究一下正切函数的导数。
正切函数的导数可以通过以下公式来计算：f'(x) = sec^2(x)其中sec^2(x)表示x的正割平方。
正切函数在任意点的导数都是正割平方值，它的取值范围为大于等于1。
这意味着正切函数在任意点的导数都是正数，并且其绝对值会随着位置的不同而变化。
四、应用实例导数与函数的三角函数关系有着广泛的应用。
例如，在物理学中，弹簧的运动可以用正弦函数来描述。
如果我们想知道弹簧在某一点的速度，我们可以通过求取正弦函数在该点的导数来得到。
另一个实例是在工程领域中的振动系统分析。
例如，考虑一个简单的振动系统，其中一个质点通过一根弹簧与一个支撑物相连。
此时，我们可以用正弦函数来描述质点的运动。
求取正弦函数在某一点的导数，可以得到质点在该点的速度，从而对振动系统的性质进行分析。
导数与三角函数综合应用
导数与三角函数综合应用在数学中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
同时，三角函数也是数学中常见的函数类型之一，如正弦函数、余弦函数等。
本文将探讨导数与三角函数的综合应用，包括函数的极值、曲线的切线以及物理问题的模型等。
一、函数的极值在求函数的极值时，导数起到了重要的作用。
对于连续函数，若在某一点处导数为0或不存在，那么这个点可能是函数的极值点。
在三角函数中，我们将以正弦函数为例。
正弦函数sin(x)是周期函数，在一个周期内，其极大值为1，极小值为-1。
通过对正弦函数求导，我们可以确定其极值点的位置。
二、曲线的切线导数还可以用来确定曲线上某一点处的切线方程。
对于一个函数f(x)，在点x=a处的切线方程为y=f'(a)(x-a)+f(a)。
在三角函数中，我们将以余弦函数为例。
余弦函数cos(x)的导数为-sin(x)，可以利用该导数计算出余弦函数在某一点处的切线方程。
三、物理问题的模型导数与三角函数还可以应用于解决物理问题。
比如，当一个物体在水平方向上做匀速直线运动时，其位置随时间的变化可以用三角函数来表示，接下来我们以简单的运动学模型为例。
假设一个物体以速度v匀速运动，其位移与时间的关系可以表示为x(t) = v * t。
那么，该物体的速度v(t)就是位移对时间的导数，即v(t) =x'(t) = v。
同理，加速度a(t)就是速度对时间的导数，即a(t) = v'(t) = 0。
从导数的角度来看，这个物体的位移函数是线性变化的，速度函数是常数，加速度函数为零。
这是一个简化的模型，但导数与三角函数的应用在更复杂的物理模型中同样有效。
比如，当物体受到外力时，其运动方程可能变得复杂，而导数与三角函数的运用可以帮助我们更好地理解和描述物体的运动规律。
总结：导数与三角函数的综合应用在数学和物理中都有广泛的应用。
通过导数的求取，我们可以确定函数的极值、曲线的切线方程，同时，基于导数和三角函数的模型可以帮助我们解决物理问题。
导数与函数的三角函数解析
导数与函数的三角函数解析在微积分中，导数是一种用来描述函数局部变化率的概念。
它不仅对于研究函数的行为具有重要作用，还为我们提供了许多解析三角函数的方法。
本文将探讨导数与函数的三角函数解析之间的关系。
一、导数的定义与三角函数导数是函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，它的导数f'(x)可以通过极限的概念来定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h三角函数是数学中的基本函数之一，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)，及其反函数。
这些函数在分析几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
二、使用导数解析三角函数1. 正弦函数的导数根据导数的定义，我们可以求得正弦函数的导数：f(x) = sin(x)f'(x) = cos(x)这意味着，对于任意x的值，正弦函数的导数都等于它自身的余弦函数。
2. 余弦函数的导数同样，根据导数的定义，我们可以求得余弦函数的导数：f(x) = cos(x)f'(x) = -sin(x)这意味着，对于任意x的值，余弦函数的导数等于它自身的负弦函数。
3. 正切函数的导数正切函数可以表示为两个基本三角函数的比值：f(x) = tan(x) = sin(x) / cos(x)将正切函数表示为其他两个函数的比值，我们可以利用导数的运算规则求解正切函数的导数：f'(x) = (sin'(x) * cos(x) - sin(x) * cos'(x)) / cos^2(x)= (cos(x) * cos(x) - sin(x) * (-sin(x))) / cos^2(x)= (cos^2(x) + sin^2(x)) / cos^2(x)= 1 / cos^2(x)= sec^2(x)通过上述推导，我们可以得到正切函数的导数等于它的余切函数的平方。
三、应用导数解析三角函数通过导数的定义和运算规则，我们可以得到三角函数的导数，进而应用于函数的解析中。
高中数学《导数与三角函数结合》
高中数学《导数与三角函数结合》一、在解决含参数的导数问题时，可以通过分离参数并转化为不含参数的函数的最值问题来求解。
对于一些与三角函数交汇的导数问题，也可以采用这种方法。
但有些试题在分离参数后，得出函数的单调性后，最值不存在，上下界却存在，这时候可以使用洛必达法则来解决。
比如例1中的问题。
二、函数的有界性是很多函数的一大特性。
在导数问题中，含参数的不等式恒成立问题是一个热点。
除了分离参数外，分类讨论思想也是这类问题的一大利器。
在与三角函数交汇的导数问题中，如果能有效地利用三角函数的有界性，则能快速找到分类讨论的依据，从而解决问题。
比如例2中的问题。
三、对于较为复杂的函数，直接构造一个函数可能很难或者无法解决。
此时，可以通过等价转化，并进行适当的变形，转化为两个函数来处理，问题可能会简化。
经常会遇到这种情形：两个函数的图像分别被某条直线隔离，这种现象与XXX成立问题有着非常密切的联系。
如果能够找到这条直线，然后再构造两个差函数，问题往往能迎刃而解。
比如例3中的问题。
四、在解决导数与解析几何问题时，设而不求是非常重要的一种数学思想。
这种思想方法是在解题过程中，由于要使用到某个方程的根，但由于这个根无法求出，或虽可求出但却不直接求出，而是通过设出未知数，并借助一定的手段进行消元或代换的种思想方法。
这个设出的未知数起到非常重要的桥梁作用。
比如例4中的问题。
五、导数问题与不等式相结合是近几年高考的常态。
对于涉及绝对值的不等式问题，三角不等式是解题的利器。
对于涉及三角函数交汇的导数不等式问题，如何利用不等式的性质是关键。
导数与三角函数的综合的解题技巧
导数与三角函数的综合的解题技巧
1.使用导数公式：对于三角函数，有 sin'x=cosx, cos'x=-sinx, tan'x=sec^2x, cot'x=-csc^2x。
根据公式，可以快速求导数。
2.化简式子：如果要求导数的式子比较复杂，可以先把式子化简，再使用导数公式。
3.注意多项式函数：如果式子包含多项式函数，可以先对多项式函数求导，再根据导数公式求出整个式子的导数。
二、解题技巧
1.化简式子：对于一些比较复杂的题目，可以先把式子化简，减少计算难度。
2.注意特殊点：三角函数的周期性很强，要注意特殊点，如0度、90度、180度、270度、360度等，这些点的函数值会有特殊的表现。
3.使用变形公式：有些题目可以使用三角函数的变形公式，如和角公式、差角公式、倍角公式等，将原式化简成已知的函数形式，再进行计算。
4.备选法：如果在计算中出现不确定的式子，可以先把各种可能的取值列出来，再逐一验证。
综上所述，求导数和解题技巧是解决导数与三角函数综合题目的关键。
在解题过程中，要善于化简式子，注意特殊点，灵活运用三角函数的变形公式和备选法，从而提高解题的效率和准确性。
重难点专题13 导数与三角函数结合的解答题(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破
【变式 2-1】3. （2021 秋·河北邯郸·高三统考开学考试）已知函数() =
e
― 2（ ∈ ）
（其中 ≈ 2.71828为自然对数的底数）.
（1）当 = 2时，判断函数()的单调性；
（2）若 > 1，证明() > cos对于任意的 ∈ [0, + ∞)恒成立.
∈ 0, π ．
2
(1)当 = 1时，讨论()的单调性；
(2)若() + sin < 0，求的取值范围．
4．
（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当0 < < 1时， ― 2 < sin < ；
（2）已知函数() = cos ― ln(1 ― 2)，若 = 0是()的极大值点，求 a 的取值范围．
证明：
（1）()在区间(0,)存在唯一极大值点；
（2）()有且仅有 2 个零点.
1
【变式 1-1】2. （2019 秋·安徽·高三校联考开学考试）已知函数() = cos + 42 ―1.
2 2
（1）证明：() ≤ 0， ∈ ― ,
；
（2）判断 = ()的零点个数，并给出证明过程.
题型 2 放缩法 ..................................................................................................................................2
题型 1 分段分析法
sin
2．
（2023·全国·统考高考真题）已知函数() = ― cos3, ∈ 0, π
导数与函数的三角函数关系归纳
导数与函数的三角函数关系归纳在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。
而三角函数则是数学中常见的一类函数，它们在解决角度相关问题时具有重要作用。
在本文中，我们将探讨导数与函数的三角函数关系，并对相关归纳结果进行总结。
一、正弦函数与导数的关系在微积分中，正弦函数常被记作sin(x)，其中x为自变量。
下面我们来探讨正弦函数与其导数之间的关系。
1. 导数定义导数可以用以下公式定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]2. 正弦函数的导数对于正弦函数sin(x)，我们可以通过求导的方法得到其导数。
根据导数的定义，我们有：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin(x+h) - sin(x)}{h}\]利用三角函数的加法公式sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)，我们可以将上式改写为：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x)}{h}\]再利用极限的性质和三角函数的性质，我们可以简化上式，并得到正弦函数的导数公式：\[f'(x) = cos(x)\]综上所述，正弦函数的导数为cos(x)。
二、余弦函数与导数的关系与正弦函数类似，余弦函数也是一种常见的三角函数。
下面我们来讨论余弦函数与导数之间的关系。
1. 导数定义依然使用导数的定义，我们有：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]2. 余弦函数的导数对于余弦函数cos(x)，我们可以通过求导的方法得到其导数。
根据导数的定义，我们有：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x+h) - cos(x)}{h}\]同样利用三角函数的加法公式cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)，我们可以将上式改写为：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x)cos(h) - sin(x)sin(h) - cos(x)}{h}\]再利用极限的性质和三角函数的性质，我们可以简化上式，并得到余弦函数的导数公式：\[f'(x) = -sin(x)\]综上所述，余弦函数的导数为-sin(x)。
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----导数与三角函数的结合
1.（导数与三角函数结合）已知函数3
2
1
()43cos 32
f x x x θ=-+，其中x R θ∈，为参数，且02
π
θ≤≤
.（1）当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；
（2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数在区间（2a －1,a ）内都是增函数，求实数a 的取值范围.
【分析】定义域D 上的可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是0()0f x '=，且
()f x '在0x 两侧异号.
【解析】（1）当cos 0θ=时，3
1()432
f x x =+，则,012)('2
≥=x x f 函数()f x 在（－∞，＋∞）内是增函数，故无极值.
（2）2
()126cos f x x x θ'=-,令()0f x '=，得12cos 02
x x θ
==
，. 由02
π
θ≤≤
及（1）,只考虑cos 0θ>的情况.
当x 变化时，()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表：
因此，函数()f x 在2x =处取得极小值(
)2f ，且3()cos 2432
=-+f θ. 要使cos ()2f θ＞0,必有311cos 0432-+>θ，可得10cos 2θ<<，所以32
ππ
θ<<. （3）由（2）知，函数()f x 在区间（－∞，0）与cos ()2
θ
+∞，内都是增函数.由题设，函数()f x 在（2a －1,a ）内都是增函数，则a 需满足不等式组
21211
021cos 2
a a
a a a a θ-<⎧-<⎧⎪
⎨⎨≤-≥⎩⎪⎩或， 由（2）,参数ππθ∈（，）32时，10cos 2θ<<，要使不等式121cos 2a θ-≥关于参数θ恒成立，必有1
214a -≥.
综上，解得a ≤0或518a ≤<，所以a 的取值范围是（－∞，0］∪［5
8，1）.
2.已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R)，且在[0，π
2]上的最大值为π－32.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明．
【思路点拨】 (1)分a ＝0、a ＜0和a ＞0三种情况求函数f (x )的最大值； (2)先用零点存在性定理判断有无零点，再根据函数的单调性判断零点的个数． 【规范解答】 (1)由已知得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )， 对于任意x ∈(0，π
2)，有sin x ＋x cos x >0. 当a ＝0时，f (x )＝－3
2，不合题意．
当a <0，x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，从而f (x )在(0，π
2)内单调递减．
又f (x )在[0，π2]上的图象是连续不断的，故f (x )在[0，π2]上的最大值为f (0)＝－3
2，不合题意；
当a >0，x ∈(0，π2)时，f ′(x )>0，从而f (x )在(0，π2)内单调递增，又f (x )在[0，π
2]上的图象是连续不断的，故f (x )在[0，π2]上的最大值为f (π2)，即π2a －32＝π－3
2，解得a ＝1.
综上所述，函数f (x )的解析式f (x )＝x sin x －3
2. (2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．
证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而有f (0)＝－32<0，f (π2)＝π－3
2>0. 又f (x )在[0，π2]上的图象是连续不断的，所以f (x )在(0，π
2)内至少存在一个零点． 又由(1)知f (x )在[0，π2]上单调递增，故f (x )在(0，π
2)内有且仅有一个零点． 当x ∈[π
2，π]时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x .
由g (π2)＝1>0，g (π)＝－π<0，且g (x )在[π2，π]上的图象是连续不断的，故存在m ∈(π2，π)，使得g (m )＝0.
由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈(π
2，π)时，有g ′(x )<0， 从而g (x )在(π
2，π)内单调递减．
当x ∈(π2，m )时，g (x )>g (m )＝0，即f ′(x )>0，从而f (x )在(π
2，m )内单调递增， 故当x ∈[π2，m ]时，f (x )≥f (π2)＝π－32>0，故f (x )在[π
2，m ]上无零点；
当x∈(m，π)时，有g(x)<g(m)＝0，即f′(x)<0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．
又f(m)>0，f(π)<0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．
综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．。