2019版高考数学二轮复习第1篇专题2三角函数解三角形第1讲小题考法__三角函数的图象与性质学案

精选中小学试题、试卷、教案资料 第1讲 小题考法——三角函数的图象与性质

一、主干知识要记牢 1．三角函数的图象及常用性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

单调性 在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上单调递增；在π2＋2kπ，3π2＋2kπ

(k∈Z)上单调递减

在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减

在

－π2＋kπ，π2＋kπ

(k∈Z)上单调递增

对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； 对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z) 对称中心：π2＋kπ，0(k∈Z)； 对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心：kπ2，0(k∈

Z)

2.三角函数的两种常见的图象变换 (1)y＝sin x――→向左φ＞或向右φ＜平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)

―――――――→横坐标变为原来的1ω 倍纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ) ――→纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)． (2)y＝sin x―――――――→横坐标变为原来的1ω 倍纵坐标不变y＝sin ωx ―――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位y＝sin(ωx＋φ) ――→纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．

二、二级结论要用好 精选中小学试题、试卷、教案资料 1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α

＞1)． 2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)． 三、易错易混要明了 求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．

如求函数f(x)＝2sinπ3－x的单调减区间，应将函数化为f(x)＝－2sinx－π3，转化为求函数y＝

sinx－π3的单调增区间．

考点一 三角函数的图象及应用 1．函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)＋B的确定方法 字母 确定途径 说明

A 由最值确定 A

＝最大值－最小值2

B 由最值确定 B

＝最大值＋最小值2

ω 由函数的 周期确定

相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或

最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为14个周期，ω＝2πT

φ 由图象上的 特殊点确定 一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解 2.三角函数图象平移问题处理的“三看”策略 精选中小学试题、试卷、教案资料 1．(2018·豫南联考)将函数y＝sinx－π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( B ) A．y＝sinx2－5π24 B．y＝sinx2－π3 C．y＝sinx2－5π12 D．y＝sin2x－7π12 解析 函数y＝sinx－π4经伸长变换得 y＝sin12x－π4，再作平移变换得

y＝sin12x－π6－π4＝sin12x－π3，故选B．

2．(2018·商丘二模)将函数y＝sinωx＋π6(ω＞0)的图象向右平移π3个单位后，得到y＝g(x)，g(x)为偶函数，则ω的最小值为( B )

A．1 B．2

C．12 D．32

解析 将函数y＝sinωx＋π6(ω＞0)的图象向右平移π3个单位后，得到y＝g(x)＝sinωx－π3＋π6＝sinωx－ωπ3＋π6，由于函数g(x)为偶函数，所以－ωπ3＋π6＝kπ＋π2，∴ω＝－3k－1，∴ωmin＝－3×(－1)－1＝2.故选B． 3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0

解析 由图象可知A＝2，34T＝11π12－π6＝3π4，∴T＝π，∴ω＝2，∵当x＝π6时，函数f(x)取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝π6＋2kπ(k∈Z)，∵02sin2x＋π6，则fπ4＝2sinπ2＋π6＝2cos π6＝3． 考点二 三角函数的性质及应用 精选中小学试题、试卷、教案资料 1．求函数单调区间的方法 (1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得． (2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法 利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断． 3．求三角函数周期的常用结论

(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|．

(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．

1．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调递减区间分别为( B ) A．2π，3π8，7π8 B．π，3π8，7π8

C．2π，－π8，3π8 D．π，－π8，3π8 解析 f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝2sin2x－π4＋1，则T＝2π2＝π.由π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ(k∈Z)，令k＝0得f(x)在3π8，7π8上单调递减，故选B． 2．(2018·K12联盟联考)函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)在－π2，π2上单调递增，则ω的取值不可能为( D ) A．14 B．15

C．12 D．34 解析 ∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sinωx－π4(ω＞0)，∴令－π2＋2kπ≤ωx－π4≤2kπ＋π2，精选中小学试题、试卷、教案资料 k∈Z，

即－π4ω＋2kπω≤x≤3π4ω＋2kπω，k∈Z，

∵f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)在－π2，π2上单调递增，∴－π4ω≤－π2且3π4ω≥π2，∴0＜ω≤12.故选D． 3．(2018·天津卷)将函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( A ) A．在区间－π4，π4上单调递增B．在区间－π4，0上单调递减

C．在区间π4，π2上单调递增D．在区间π2，π上单调递减 解析 将函数y＝sin 2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，得到y＝sin2x－π10＋π5＝sin 2x的图象． 由2kπ－π2≤2x≤2kπ＋π2，得kπ－π4≤x≤kπ＋π4，

所以函数y＝sin 2x的单调递增区间为kπ－π4，kπ＋π4， k∈Z.取k＝0，得y＝sin 2x在区间－π4，π4上单调递增．故选A．

考点三 三角函数的值域与最值问题

求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法 三角函数类型 求值域(最值)方法 y＝asin x＋bcos x＋c 先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)

y＝asin2x＋bsin x＋c 可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)

y＝asin xcos x＋ b(sin x±cos x)＋c 可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数，再求值

域(最值)

y＝cos x＋asin x＋b 一般可看成过定点的直线与圆上动点连线的斜率问题，利用数形结合求解

1．函数f(x)＝sin2x＋π3在0，π2上的值域为－32，1． 精选中小学试题、试卷、教案资料 解析 ∵x∈0，π2，∴2x＋π3∈π3，4π3，

∴当2x＋π3＝π2，即x＝π12时，f(x)max＝1． 当2x＋π3＝4π3，即x＝π2时，f(x)min＝－32， ∴f(x)∈－32，1． 2．已知函数f(x)＝cos3x＋π3，其中x∈ π6，mm∈R且m>π6，若f(x)的值域是－1，－32，则m的取值范围是 2π9，5π18 ． 解析 由x∈ π6，m，可知5π6≤3x＋π3≤3m＋π3， ∵fπ6＝cos 5π6＝－32，且f2π9＝cos π＝－1， ∴要使f(x)的值域是－1，－32， 需要π≤3m＋π3≤7π6， 即2π9≤m≤5π18．