北师大版高中数学必修二陕西省扶风县第二章直线与直线的方程两条直线的平行与垂直教案
2021学年高中数学2.1.3两条直线的位置关系课件北师大版必修2.ppt
规律方法 一般地，直线 Ax＋By＋C＝0 的斜率可由系数 A， B 来确定．因此在求过定点且与已知直线平行的直线方程时，通 常采用以下方法：
(1)先求已知直线的斜率，若已知直线斜率存在，则根据两 直线平行的性质得出所求直线的斜率，再根据直线的点斜式，即 可求出所求直线方程；若已知直线的斜率不存在，则所求直线的 斜率也不存在，过定点(x0，y0)的直线方程为 x＝x0.
(2)与已知直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线可设为 Ax＋By＋ m＝0，再根据所求直线过定点求得 m 的值，最后写出所求直线 方程．
(3)过定点(x0，y0)与已知直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方 程实际为 A(x－x0)＋B(y－y0)＝0，这种方法适用于选择题、填空 题，也可用于解答题结论的验证．
提示：不正确．由两直线的斜率之积为－1，可以得出两直 线垂直，反过来，两直线垂直，它们的斜率之积不一定为－1. 当 l1，l2 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时， l1 与 l2 互相垂直，但两直线的斜率之积不存在．
1．探究两条直线平行与斜率的关系 (1)l1∥l2⇔k1＝k2 成立的前提条件有两个： ①两条直线的斜率都存在，②这两条直线不重合． (2)当不重合的两条直线的斜率都不存在时，由于它们的倾 斜角都是 90°，故它们也互相平行． (3)依据直线的倾斜角的定义可知：若两条不重合的直线的 倾斜角相等，则这两条直线平行．
判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否平行． (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2,1)，l2 经过点 M(3,4)， N(－1，－1)； (2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1,1)，B(2,2)； (3)l1 经过点 A(－3,2)，B(－3,10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5,5)．
【精编】高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.3两条直线的位置关系课件北师大版必修2-精心整
2＝4， 13
∴kOB＝kAC，即 OB∥AC. ∴四边形 OACB 是平行四边形．
垂直条件的运用
判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否垂直： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(1，2)，l2 经过点 M(－2，－1)， N(2， 1)； (2)l1 的斜率为－10，l2 经过点 A(10，2)，B(20，3)； (3)l1 经过点 A(3，4)，B(3，100)，l2 经过点 M(－10，40)，N(10， 40)． (链接教材 P69 例 11)
①当 a＝4 时，l1 的斜率不存在，k2＝－43，不符合题意；
②当
a≠4
时，l1 的斜率存在，此时
k1＝2a－ －
a . 4
由
k1·
k2＝－
1，得－a3·2a－ －
a＝－ 4
1，
解得 a＝3 或 a＝－4.
∴当 a＝3 或 a＝－4 时，l1⊥l2.
利用一般式方程研究平行与垂直问题
已知直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0，求直线 l′的方程，
平行条件的运用
行：
根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平
(1)l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过点 C(3，－3)，D(8， － 7)；
(2)l1 的倾斜角为 60°，l2 经过点 M(1， 3)，N(－2，－2 3)； (3)l1 平行于 y 轴，l2 经过点 P(0，－2)，Q(0，5)； (4)l1 经过点 E(0，1)，F(－2，－1)，l2 经过点 G(3，4)，H(2， 3)．
法二：∵l′∥l， ∴设直线 l′的方程为 3x＋4y＋m＝0， 又∵点(－1，3)在直线 l′上， ∴把点(－1，3)代入 3x＋4y＋m＝0，可得 m＝－9. ∴直线 l′的方程为 3x＋4y－9＝0. (2)法一：直线 l 的斜率为 k＝－3，且 l′⊥l，
北师大版高中数学必修二第二章1.3两条直线的位置关系.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作1.3 两条直线的位置关系问题导学1．由两条直线平行求参数值活动与探究1已知直线l 1：(m ＋2)x ＋(m 2－3m )y ＋4＝0，l 2：2x ＋4(m －3)y －1＝0，如果l 1∥l 2，求m 的值．迁移与应用已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，求a 的值．1．已知两直线平行，求方程中的参数值时，通常有两种方法：一是对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况分别求解；二是直接根据条件A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1进行求解．2．求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除它们重合的情况．2．利用两直线平行求直线方程活动与探究2求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程．迁移与应用求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程．(1)A (1,2)，y ＝23x ＋53；(2)B (2，－3),2x ＋y －5＝0.平行直线的求法：(1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线方程时，根据两直线平行的条件可设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值．(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．3．由两条直线垂直求参数值活动与探究3已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0与l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，求a 的值．迁移与应用1．已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2：(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．22．过点P (6，m )和点Q (m,3)的直线与斜率为－2的直线垂直，则m 的值为( )． A ．5 B ．4 C ．9 D ．01．判断两直线是否垂直的方法：(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0判断； (2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1判断； (3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断．2．已知两直线垂直求方程中的参数值时，通常也有两种方法，一是根据k 1k 2＝－1建立方程求解，但需注意斜率不存在的情况；二是直接利用A 1A 2＋B 1B 2＝0求解．4．利用两直线垂直求直线方程活动与探究4直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，求直线l 的方程．迁移与应用如图，在平行四边形OABC 中，点A (3,0)，点C (1,3)．(1)求AB 所在直线的方程；(2)过点C 作CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程．垂直直线的求法：(1)求与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)垂直的直线方程时，根据两直线垂直的条件可巧设为y ＝－1kx ＋m ，然后通过待定系数法，求参数m 的值；(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)垂直的直线时，可巧设为Bx －Ay ＋m ＝0，然后用待定系数法，求出m .当堂检测1．若直线2ay －1＝0与直线(3a －1)x ＋y －1＝0平行，则实数a 等于( )．A ．12B ．－12C ．13D ．－132．下列各选项中，两条直线互相平行的是( )． A ．2x ＋y －1＝0与x ＋2y －2＝0 B ．x ＋3y －2＝0与3x ＋9y －6＝0 C ．x ＋2＝0与y －3＝0D ．3x ＋y ＝0与6x ＋2y －1＝03．若两条直线ax ＋2y ＝0和2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为( )．A ．－12B ．12C ．0D ．－24．过点(2,1)且与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的直线方程为__________．5．已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －2)y ＋a ＝0，求满足下列条件的a 的值： (1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学 预习导引1．(1)k 1＝k 2 k 1＝k 2 (2)90°预习交流1 提示：不一定，有可能两直线的斜率不存在．预习交流2 提示：当B 1，B 2均不为0时，两直线斜率都存在，分别是－A 1B 1和－A 2B 2，因此－A 1B 1＝－A 2B 2，所以A 1B 2＝A 2B 1.若B 1，B 2中有0，两直线平行，也满足A 1B 2＝A 2B 1，又两直线不能重合，截距不相等，因此－C 1B 1≠－C 2B 2，即B 1C 2≠B 2C 1，故两条直线平行的条件是A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1.2．－1 －1 l 1⊥l 2预习交流3 提示：(1)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在；(2)使用时应注意l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1的前提条件是：l 1与l 2都有斜率且不等于零．若忽略此前提条件，容易导致错误结论．预习交流4 提示：当B 1，B 2均不为0时，由两直线垂直可得－A 1B 1·⎝⎛⎭⎫－A 2B 2＝－1，即A 1A 2＋B 1B 2＝0；当B 1＝0，A 2＝0或A 1＝0，B 2＝0时，两直线也垂直，并满足A 1A 2＋B 1B 2＝0.综上，l 1⊥l 2的条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.课堂合作探究 问题导学活动与探究1 思路分析：一种方法是对直线斜率是否存在进行讨论，分两种情况进行求解；另一种方法是直接利用一般式方程表示直线的前提下，由两直线平行的条件建立参数的方程求解．解：(方法1)(1)当l 1，l 2斜率都存在时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ≠0，4(m －3)≠0，所以m ≠0且m ≠3.由l 1∥l 2，得－m ＋2m 2－3m ＝－24(m －3)，解得m ＝－4.此时l 1：x －14y －2＝0，l 2：x －14y －12＝0，显然，l 1与l 2不重合，满足条件．(2)当l 1，l 2斜率不存在时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，4(m －3)＝0，解得m ＝3.此时l 1：x ＝－45，l 2：x ＝12，满足条件．综上所述，m ＝－4或m ＝3.(方法2)由于l 1∥l 2，所以(m ＋2)×4(m －3)＝(m 2－3m )×2， 整理得m 2＋m －12＝0，解得m ＝－4或m ＝3.当m ＝－4时，两直线为：x －14y －2＝0和x －14y －12＝0，满足条件；当m ＝3时，两直线为：x ＝－45和x ＝12，满足条件．故m 的值是－4或3.迁移与应用 解：当a ＝0时，显然两直线不平行．当a ≠0时，由－a －2a ＝－23，得a ＝6.活动与探究2 思路分析：根据条件，求出已知直线的斜率，再由两直线平行，斜率相等，可求出所求直线的方程，也可以用平行直线系的知识，设出直线方程，用待定系数法求解．解：方法一：已知直线的斜率为－23，∵所求直线与已知直线平行，∴它的斜率也是－23.根据点斜式，得到所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)，即2x ＋3y ＋10＝0.方法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)， ∵所求直线经过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.迁移与应用 解：(1)设所求直线方程为y ＝23x ＋b ⎝⎛⎭⎫b ≠53， 由于所求直线过点A (1,2)，代入方程，得b ＝43，故所求直线方程为y ＝23x ＋43，即2x －3y ＋4＝0.(2)设所求直线方程为2x ＋y ＋λ＝0(λ≠－5)． 将点(2，－3)代入上式，得λ＝－1. 因此所求直线方程为2x ＋y －1＝0.活动与探究3 思路分析：已知两直线垂直，可利用k 1·k 2＝－1，但要注意分类讨论；也可利用以下结论：设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.解：方法一：(1)当a ≠0时，l 1的斜率k 1＝a ，l 2的斜率k 2＝－2a －1a.∵l 1⊥l 2，∴a ·⎝⎛⎭⎫－2a －1a ＝－1， 即a ＝1.(2)当a ＝0时，直线l 1的斜率为0，l 2的斜率不存在，两直线垂直． 综上所述，a ＝0或a ＝1.方法二：∵A 1＝a ，B 1＝－1，A 2＝2a －1，B 2＝a ， ∴由A 1A 2＋B 1B 2＝0， 得a (2a －1)－a ＝0， 即a ＝0或a ＝1.迁移与应用 1．A 解析：依题意得a (a ＋2)＋1＝0，解得a ＝－1.2．B 解析：由已知得k PQ ＝3－m m －6，所以3－mm －6×(－2)＝－1，解得m ＝4.活动与探究4 思路分析：求出l 的斜率，再利用点斜式求直线方程，也可以用待定系数法求解．解：方法一：直线2x －3y ＋4＝0的斜率k ′＝23，由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直可得其斜率k ＝－32.由直线的点斜式方程可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.方法二：设直线l 的方程为－3x －2y ＋D ＝0，因为直线l 过点(－1,2)，代入方程，得D ＝1.所以直线l 的方程为－3x －2y ＋1＝0，即3x ＋2y －1＝0.迁移与应用 解：(1)由题意知B 点坐标为(4,3)，k AB ＝3－04－3＝3，∴AB 所在直线的方程为y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.(2)∵CD ⊥AB ，∴k CD ＝－13，∴CD 所在直线的方程为y －3＝－13(x －1)，即x ＋3y －10＝0.当堂检测1．C 2．D 3．A 4．x －2y ＝05．解：(1)对于l 1：y ＝－a 3x －13，若l 1∥l 2，则kl 2存在．∴y ＝－1a －2x －aa －2.∴⎩⎨⎧－a 3＝－1a －2，13≠aa －2，解得a ＝3.(2)若l 1⊥l 2，则kl 2也存在．∴y ＝－1a －2x －aa －2.∴－a 3×⎝⎛⎭⎫－1a －2＝－1，解得a ＝32.。
高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点课件北师大必修2
问题导学
当堂检测
2.下列直线中,与直线 3x-2y=0 相交的是( A.2x+3y+=0 B.3x-2y+2=0 C.-6x+4y=0
3 D.y= x-1 2
)
解析:选项 A 中的直线斜率与直线 3x-2y=0 斜率不相等,两直线相 交.B 和 D 选项中的直线与 3x-2y=0 平行.选项 C 中的直线与 3x-2y=0 重合. 答案:A
������+6 1 , ������+4 ������+4
������ =
������+6 , ������+4 1 . ������+4
即前两条直线的交点为 故有 3k·
.
16 3
因为三条直线交于一点,所以第三条直线必过此交点,
������+6 4 + =5,解得 ������+4 ������+4
目标导航
预习引导
预习交流 1
由两条直线的方程组成的方程组的解与两条直线的位置有什么关 系? 提示:设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,直线 l2:A2x+B2y+C2=0,则当方程组 ������1 x + ������1 y + ������1 = 0, 无解时,l1∥l2;方程组有唯一解时,l1 与 l2 相交;方程 ������2 x + ������2 y + ������2 = 0 组有无穷多解时,l1 与 l2 重合.
2������+3 ������-2 , 7 7
2������+3 ������ = , 7 ������-2 ������ = . 7
高中数学课件-2.1.3两条直线的位置关系课件( 北师大版必修2 )
4.已知经过两点(3，2)和(m,n)的直线l. (1)若l与x轴平行，则m,n的取值情况是__________; (2)若l与x轴垂直，则m,n的取值情况是__________.
【解析】(1)∵l与x轴平行,由图①可知m∈R且m≠3,n=2. (2)∵l与x轴垂直,由图②可知m=3,n∈R且n≠2.
【例2】如图,在平行四边形OABC中， 点A(3,0),点C(1,3). (1)求AB所在直线的方程; (2)过点C作CD⊥AB于点D， 求CD所在直线的方程. 【审题指导】已知四边形OABC是平行四边形，可以利用 平行四边形的有关性质求AB的斜率，利用两条直线垂直的 条件求CD的斜率,进而求相应直线的方程.
解得h≈14.92(m).
故灯柱高h约为14.92 m.
【典例】(12分)已知A(0，3)、B(-1，0)、C(3，0)，求D点 的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方 向排列). 【审题指导】解答本题可先对直角梯形中哪个角为直角进 行讨论，然后借助于平行、垂直的关系列方程组求D点的坐 标.
【例3】已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,求满足下 列条件的a的值：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
【审题指导】直线l1和l2的方程均以一般式的形式给出，要
判断l1∥l2及l1⊥l2时，参数a的取值，求解思路有二：一是把
方程均化成斜截式利用斜率及在y轴上截距的关系求解；二
答案：(1)m∈R且m≠3,n=2 (2)m=3,n∈R且n≠2
5.已知P(2,1),直线l:x-y+4=0. (1)求过点P与直线l平行的直线方程; (2)求过点P与直线l垂直的直线方程. 【解析】(1)设过点P与直线l平行的直线方程为x-y+m=0. 由题意可知2-1+m=0,解得m=-1. 所以过点P与直线l平行的直线方程为x-y-1=0. (2)设过点P与直线l垂直的直线方程为x+y+n=0. 由题意可知2+1+n=0,解得n=-3. 所以过点P与直线l垂直的直线方程为x+y-3=0.
高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点北师大版必修2
两条直线的交点问题
求经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的
交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程．
(链接教材 P71 例 13) [解] 法一：(直接法)解方程组xx＋－y2－y＋2＝4＝0，0，得 P(0，2)．
∵
l3
标就是方程组A1x＋
B1y＋
C1＝
0 的实
A2x＋ B2y＋ C2＝ 0
数解．(
√
)
(2)若方
程组A1x＋ A2x＋
B1y＋ B2y＋
C1＝ C2＝
0 无解，则两直线没有交点，两直 0
线平行．( √ )
(3)直线 x＝2 与 y＝3 没有交点．( × )
(4)直线 3.两条直线位置关系的公式法判断
当 A1B1C1≠0，且 A2B2C2≠0 时，l1 与 l2 相交⇔AA12≠BB12；l1∥l2
⇔A1＝B1≠C1； A2 B2 C2
l1
与
l2
重合⇔A1＝B1＝C1. A2 B2 C2
4．经过两条直线交点的直线系
经过两条直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A21 ＋B21≠0，A22＋B22≠0)的交点的直线系为 m(A1x＋B1y＋C1)＋ n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中 m，n 为参数，m2＋n2≠0)．当 m＝ 1，n＝0 时，方程即为 l1 的方程；当 m＝0，n＝1 时，方程即 为 l2 的方程．
A． l1： 2x－ 3y＝ 7， l2： 4x＋ 2y＝ 1
B．
l1：
2x－
6y＋
4＝
0，l2：
y＝x＋2 33
高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2
问题导学
当堂检测
解:(1)由于������������1 =2,������������2 =1,������������1 ≠ ������������2 , ∴ 两直线相交. 2������-������ + 4 = 0, ������ = 1, 解方程组 得 ������ = 6. ������-������ + 5 = 0, ∴ 两条直线的交点坐标为(1,6). (2)由方程组 5������ + 4������-2������-1 = 0, 解得 2������ + 3������-������ = 0,
2������+3 ������-2 , 7 7
2������+3 ������ = , 7 ������-2 ������ = . 7
∴ 两条直线的交点坐标为
.
∵ 此交点在第四象限,∴
3 2
2������+3 > 0, 7 ������-2 < 0, 7
解得- <m<2.故所求 m 的取值范围是 - ,2 .
)
故两条直线的交点坐标为(2,3). 答案:B
问题导学
当堂检测
1
2
3
4
5
3.直线 2x+y+m=0 和 x+2y+n=0 的位置关系是( A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定,与 m,n 取值有关 解析:两条直线的斜率分别是 k1=-2,k2=- . ∵ k1·k2≠-1 且 k1≠k2,∴ 两条直线相交但不垂直. 答案:C
目标导航
预习引导
预习交流 2
若直线 l1:A1x+B1y+C1=0,直线 l2:A2x+B2y+C2=0,当两条直线相交于 点 P(x0,y0)时,试判断直线(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中 λ∈R) 是否经过点 P. 提示:经过.因为 l1 与 l2 交于 P(x0,y0),所以 A1x0+B1y0+C1=0, A2x0+B2y0+C2=0,于是(A1x0+B1y0+C1)+λ(A2x0+B2y0+C2)=0+λ×0=0,故直 线(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0 必过点 P,该方程就是经过两相交直 线交点除 l2 外的直线系方程.
数学北师大版高中必修2§1 直线与直线的方程(两条直线的交点)
第二章 解析几何初步§1 直线与直线的方程（两条直线的交点）一、选择题1．直线)(0)11()3()12(R k k y k x k ∈==--+--，所经过的定点是（ ）A ．（5，2）B ．（2，3）C ．（－21，3） D ．(5，9) 2、若直线12++=k kx y 与直线221+-=x y 的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A 、26-- kB 、061 k - C 、061 k - D 、21 k 3．三条直线0155,02,0321=--=-+=-ky x l y x l y x l ：：：构成一个三角形，则k 的范围是（ ）A ．R k ∈B ．R k ∈且0,1≠±≠k kC ．R k ∈且10,5-≠±≠k kD ．R k ∈且1,15≠±≠k k二、填空题4．三条直线013,012=-+=+-y x y x 和032=-+y ax 共有两个不同的交点，则a ＝________．5．过010531=--y x l ：和012=++y x l ：的交点，且平行于0523=-+y x l ：的直线方程为_________．三、解答题6、求经过直线0623=++y x 和0752=-+y x 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
7．某商品的市场需求量1y （万件）、市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似满足下列关系：202,7021-=+-=x y x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格．此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？8、已知直线1245+=+a y x 与直线a y x =+32的交点位于第四象限，求a 的取值范围。
《两条直线的位置关系》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《两条直线的位置关系》教学设计教材分析:直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.教学目标：【知识与能力目标】理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.【过程与方法】通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．【情感态度与价值观】通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．教学重难点：【教学重点】两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．【教学难点】启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．课前准备：课件、学案教学过程：一、课题引入：问题1：在初中阶段，我们介绍过直线的位置关系可以分为平行和相交两种情况.下，在平面几何中，两直线平行的判定定理吗？对于判定定理中提及的角的关系，可以让你和上节课中的什么知识点联系起来呢？你能试着从解析几何的角度来分析吗？问题2：若给直线的斜截式方程和一般式方程得到什么结论呢？二、新课探究：1.设两条不重合的直线21,l l 的斜率分别为21,k k .若21//l l ，则1l 与2l 的倾斜角1α与2α相等.由21αα=，可得21tan tan αα=，即21k k =.因此，若21//l l ，则21k k =.反之，若21k k =，则21//l l .注：⑴ 公式2121//k k l l =⇔成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为21k k ，；②21l l 与不重合；⑵ 当两条直线的斜率都不存在且不重合时，21l l 与的倾斜角都是90︒，则21//l l .2.设两条直线21,l l 的斜率分别为21,k k .若21l l ⊥，则121-=⋅k k .注：⑴ 公式12121-=⋅⇔⊥k k l l 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；⑵ 当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.3.若两条直线1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y +=平行，则：12k k =；若两条直线1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y +=垂直，则：12=-1k k ⋅.4.若两条直线1l :0111=++C y B x A ，2l :0222=++C y B x A 平行，则：1221A B A B =；若两条直线1l :0111=++C y B x A ，2l :0222=++C y B x A 垂直，则：12120A A B B +=.5.与直线l ：0=++C By Ax 平行的直线可设以为：10Ax By C ++=()1C C ≠； 与直线l ：0=++C By Ax 垂直的直线可设以为：20Bx Ay C -+=.三、知识应用：题型一 判断两直线位置关系例1．已知1l 经过A （―3，3），B （―8，6），2l 经过21,62M ⎛⎫-⎪⎝⎭，9,32N ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 求证：12//l l证明：直线1l 的斜率为16338(3)5k -==----，直线2l 的斜率为26(3)3219522k --==---， ∵k 1=k 2，∴12//l l ．例2.1l 经过点A （3，4），B （3，10），2l 经过点M （－10，40），N （10，40），判断1l 与2l 是否垂直．解：1l 的倾斜角为90°，则1l ⊥x 轴；24040010(10)k -==--，则2l ∥x 轴，∴1l ⊥2l ． 题型二 给定两直线位置关系求参例3. ⑴ 直线2-=ax y 与直线()14+-=x a y 互相平行，则=a __________.⑵ 直线1+=ax y 与直线()32--=x a y 互相垂直，则=a __________.解：⑴ 2a =；⑵ 1a =.题型三 已知两直线位置关系求直线方程例4. ⑴ 求过点()31,- 与直线01243=-+y x 平行的直线方程.⑵ 求过点()31,- 与直线01243=-+y x 垂直的直线方程.解：⑴ 设与直线3+4120x y -=平行的直线方程为()3+4+0-12x y C C =≠， 代入点()-1,3，得-9C =，则直线方程为3+490x y -=.⑵ 设与直线3+4120x y -=垂直的直线方程为14-3+0x y C =， 代入点()-1,3，得13C =，则直线方程为43130x y -+=.教学反思：直线方程的平行和垂直是直线方程部分最重要的内容，考点也经常出于此.这也是用代数表示刻画几何关系的重要内容之一，如何更好的理解这种刻画成为教学中的重点.所以同学应从特殊的位置关系入手，推导出其代数上的特点，转而再用代数结论刻画几何特征，这种转化的完成需要孩子们更好的理解,逐步的自己推导，再加以联系，掌握起来会更加得心应手.。
高中数学必修2(北师版)第二章2.1 直线与直线的方程(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
y − (−3) x−3 = , 1 − (−3) −5 − 3 2
整理可得
8x + 11y + 9 = 0,
这就是 AC 边上的中线所在直线的方程．
2.直线与直线的位置关系 描述： 直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 = −1 ． 2 2 2 直线 l 1 ：A 1 x + B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ；
因为 0 ∘ ⩽ α < 180 ∘ ，结合图形可知，需按 α 和 135 ∘ 的大小分成两类． 已知直线经过点 A(−a, 6)，B(1, 3a)，且斜率为 12，求 a 的值． 解：由题意得
3a − 6
3a − 6 = 12, 1+a
所以
3a − 6 = 12 + 12a,
解得 a = −2 ． 求证：A(1, 5)、B(0, 2)、C (2, 8) 三点共线． 证明：利用斜率公式计算出 AB 和 AC 两条直线的斜率．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二课时 两条直线的平行与垂直
一、教学目标
(一)知识教学：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是
否平行或垂直.
(二)能力训练：通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问
题的能力, 以及数形结合能力．
(三)学科渗透：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，
合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．
二、重难点
重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．
难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的
关系问题．
注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意
解决好这个问题．
三、教学方法：启发、引导、讨论.
四、 教学过程
(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和
斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们
来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线
的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角
为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直
设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条
直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下
面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?
首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜
角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)
∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．
反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴
L1∥L2．
结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，
如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，
结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.
下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1
与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
，
可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2．
结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，
如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.
(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍
保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,
钝角等).
（三）、例题：例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA
与PQ的位置关系, 并证明你的结论.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)
解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线PQ的斜率
k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,
因为 k1=k2=0.5, 所以 直线BA∥PQ.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判
断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平
行四边形,再通过计算加以验证) 解同上.
例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.
解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,
因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.
例4 已知A(5,-1), B (1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再
通过计算加以验证.(图略)
（四）、课堂练习：P94 练习 1. 2.
（五）、课后小结：(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两
条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.
（六）、布置作业：P94 习题3.1 5. 8.
五、教后反思：