2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练选考部分选修系列4题组76 Word版含解析

合集下载

(最新整理)2017年高考新课标1理科数学及答案【精】

x y 0
快乐
2017 年高考新课标 1 理科数学及答案【精】
(15)已知双曲线 C： x2 y2 1 （a〉0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b a2 b2
为半径做圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若∠MAN=60°, 则 C 的离心率为______. （16）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D、E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA,△FAB 分别是以 BC,CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC，CA,AB 为折痕折起△DBC,△ ECA，△FAB，使得 D、E、F 重合,得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_______.
A。440
B.330
C。220
D.110
第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分（13）已知向量 a，b 的夹角为 60°，｜a｜=2，｜b|=1，则| a +2 b ｜ =________。
x 2y 1
(14）设 x，y 满足约束条件 2x y 1，则 z 3x 2y 的最小值为________。
A.[2, 2]
B。[1,1]
C.[0, 4]
（6）
(1
1 x2
)(1
x)6
展开式中
x2
的系数为
D。 [1, 3]
A.15
B.20
C.30
D。35
（7)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第十一章算法初步与统计题组71 Word版含解析

题组层级快练(七十一)1.商场在2015年国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元答案 C解析由0.40.1＝x2.5，得10万元，故选C.2．如图是2015年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )7 98 4 4 6 4 7 9 3A.85，84 B ．84，85 C ．86，84 D ．84，86 答案 A解析由图可知去掉一最高分和一个最低分后，所剩数据为84，84，86，84，87，则平均数为85，众数为84.3．为调查学生身高的情况，随机抽测了高三两个班120名学生的身高(单位：cm)，所得数据均在区间[140，190]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的120名学生中，身高位于区间[160，180)上的人数为( )A ．70B ．71C ．72D ．73答案 C解析根据频率分布直方图，得学生的身高位于区间[160，180)上的频率为(0.040＋0.020)×10＝0.6，∴对应的人数为120×0.6＝72.故选C.4．(2014·山东理)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18答案 C解析第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为200.4＝50，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36＝18，故第三组中有疗效的人数为18－6＝12.5．(2016·荆州市质检)已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x ，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为( ) A ．5，2423B ．5，2413C ．4，2513D ．4，2523答案 A6．如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x －A 和x －B ，样本标准差分别为S A 和S B ，则( )A.x －A >x －B ，S A >S B B.x －A <x －B ，S A >S B C.x －A >x －B ，S A <S B D.x －A <x －B ，S A <S B答案 B解析由图可知A 组的6个数为2.5，10，5，7.5，2.5，10， B 组的6个数为15，10，12.5，10，12.5，10，所以x －A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝37.56，x －B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝706.显然x －A <x －B ，又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以S A >S B ，故选B.7．(2013·四川文)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是( )答案 A解析由茎叶图知，各组频数统计如下表：上表对应的频率分布直方图为A ，故选A.8．(2015·山东文)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④答案 B解析由茎叶图中的数据通过计算求得 x －甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，s 甲＝15[（26－29）2＋（28－29）2＋（29－29）2＋（31－29）2＋（31－29）2]＝3105； x －乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，s 乙＝15[（28－30）2＋（29－30）2＋（30－30）2＋（31－30）2＋（32－30）2]＝ 2. ∴x －甲<x －乙，s 甲>s 乙，故①④正确．选B.9．(2015·江苏)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．答案 6解析由平均数公式可得这组数据的平均数为4＋6＋5＋8＋7＋66＝6.10．下面茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．答案 45解析设被污损的数字为a(0≤a ≤9且a ∈N )，则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋99＋90＋a ，解得8>a ，即得0≤a ≤7且a ∈N ，∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45.11．某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a ＝________；若要从成绩在[85，90)，[90，95)，[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12名学生参加面试，则成绩在[95，100]内的学生中，学生甲被抽取的概率为________．答案 0.040 25解析由频率分布直方图知，(0.016＋0.064＋0.060＋a ＋0.020)×5＝1，解得a ＝0.040.第3组的人数为0.060×5×50＝15，第4组的人数为0.040×5×50＝10，第5组的人数为0.020×5×50＝5，则第3，4，5组共30名学生．利用分层抽样的方法在这30名学生中抽取12名学生，因为1530×12＝6，1030×12＝4，530×12＝2，所以第3，4，5组分别抽取6名学生，4名学生，2名学生，则从成绩在[95，100]内的5名学生中抽取2名，学生甲被抽取的概率为25.12．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)．由图中数据可知体重的平均值为________kg ；若要从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正副队长，则这两人身高不在同一组内的频率为________．答案 64.5 23解析由频率分布直方图可知，体重在[40，50)内的男生人数为0.005×10×100＝5，同理，体重在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]内的人数分别为35，30，20，10，所以体重的平均值为45×5＋55×35＋65×30＋75×20＋85×10100＝64.5.利用分层抽样的方法选取12人，则从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]组内选取的人数分别为12×3060＝6，12×2060＝4，12×1060＝2，则两人身高不在同一组内的概率为C 61C 61＋C 41C 81－C 41C 61C 122＝23.13．国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：图表示如图所示．(1)试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只需写出结果)；(2)试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；(3)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．答案 (1)甲城市比乙城市的空气质量指数的方差大 (2)35 (3)1125解析 (1)甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差．(2)根据统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35，则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35.(3)设事件A 为从甲城市和乙城市的数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同．由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：(29，43)，(29，41)，(29，55)，(29，58)，(29，78)， (53，43)，(53，41)，(53，55)，(53，58)，(53，78)， (57，43)，(57，41)，(57，55)，(57，58)，(57，78)， (75，43)，(75，41)，(75，55)，(75，58)，(75，78)，(106，43)，(106，41)，(106，55)，(106，58)，(106，78)，则空气质量等级相同的为：(29，41)，(29，43)，(53，55)，(53，58)，(53，78)，(57，55)，(57，58)，(57，78)，(75，55)，(75，58)，(75，78)，共11个结果．则P(A)＝1125，所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125.14．对某校高一年级学生参加“社区志愿者”活动次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加“社区志愿者”活动的次数．据此作出频数和频率统计表及频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高一学生有720人，试估计他们参加“社区志愿者”活动的次数在[15，20)内的人数；(3)若参加“社区志愿者”活动的次数不少于20的学生可被评为“优秀志愿者”，试估计每位志愿者被评为“优秀志愿者”的概率．答案 (1)M ＝20，p ＝0.1，a ＝0.12 (2)432 (3)0.15 解析 (1)根据频率分布表，得5M＝0.25，∴样本容量M ＝20.∴m ＝20－5－12－1＝2，∴对应的频率为p ＝220＝0.1，n ＝1220＝0.6，∴a ＝0.620－15＝0.12.(2)参加“社区志愿者”活动的次数在[15，20)内的频率为0.6，∴估计参加“社区志愿者”活动的次数在[15，20)内的人数为720×0.6＝432. (3)参加“社区志愿者”活动的次数在20以上的频率为0.1＋0.05＝0.15.∴样本中每位志愿者可被评为“优秀志愿者”的频率为0.15，∴估计每位志愿者被评为“优秀志愿者”的概率为0.15.15．(2016·东北师大附中模拟)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工A 乙公司员工B3965833 2 3 4666770 1 4 4 2 2 2每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费．答案(1)平均数为36，众数为33(2)E(x)＝165.5元(3)甲公司劳务费为4 860元，乙公司劳务费为4 965元解析(1)甲公司员工A投递快递件数的平均数为36，众数为33.(2)设a为乙公司员工B1天的投递件数，则当a＝34时，X＝136，当a≥35时，X＝35×4＋(a－35)×7＝7a－105，由题意知X的所有可能取值为136，147，154，189，203.X的分布列为E(X)＝136×110＋147×310＋154×15＋189×310＋203×110＝1 65510＝165.5(元).(3)估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4 860元，乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4 965元．1．(2013·辽宁)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60答案 B解析由频率分布直方图，得低于60分的同学所占频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生人数为150.3＝50.故选B.2．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[40，50]元的同学有39人，则n 的值为( )A ．100B ．120C ．130D ．390答案 C解析样本数据落在[40，50]上的频率为1－(0.010＋0.023＋0.037)×10＝0.30，则39n ＝0.30，解得n ＝130.3．(2015·陕西)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A ．93B ．123C ．137D ．167答案 C解析由扇形统计图可知，该校女教师人数为110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选C.4．在如图所示的茎叶图表示的数据中，设众数为a ，中位数为b ，则ba的值为________．1 2 4 2 0 3 5 6 3 0 1 1 4 1 2答案2631解析根据茎叶图中的数据，得31出现次数最多，是2次，∴众数a ＝31.又茎叶图中的数据有11个，按从小到大的排列后，中间的数是26，∴中位数b ＝26，∴b a ＝2631.5．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h ～120 km/h ，则这时段内过往的这100辆机动车中属非正常行驶的有________辆，图中的x 值为________．答案 15 0.017 5解析由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有(0.002 5＋0.005 0)×20×100＝15(辆)，x 的值为[1－(0.002 5＋0.005 0＋0.010 0＋0.015 0)×20]÷20＝0.017 5.6．(2013·广东理)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．1 7 92 0 1 53 0(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．答案 (1)22 (2)4 (3)1633解析 (1)样本均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P(A)＝C 41C 81C 122＝1633.7．随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．(1)若甲班同学身高平均数为170 cm ，求污损处的数据；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．答案 (1)9 (2)25解析 (1)设污损处的数据是a ，由x －＝110×(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋170＋a ＋182)＝170，解得a ＝9，所以污损处的数据是9.(2)设“身高为176的同学被抽中”的事件为A ，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：{181，173}，{181，176}，{181，178}，{181，179}，{179，173}，{179，176}，{179，178}，{178，173}，{178，176}，{176，173}，共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，∴P(A)＝410＝25. 8．小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．(1)根据图中的数据信息，写出众数x 0；(2)小明的父亲上班离家的时间y 在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x 0时刻前后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等)． ①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸(称为事件A)的概率；②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数X 的数学期望．答案 (1)x 0为7：00 (2)①34 ②154解析 (1)众数x 0为7：00.(2)①设报纸送达时间为x ，将时刻转化为小时，例如：6：30等价于6.5小时，则小明父亲上班前能取到报纸等价于⎩⎪⎨⎪⎧6.5≤x ≤7.5，7≤y ≤7.5，x ≤y ，如图可知，所求概率P ＝1－1812＝34.②易知X 服从二项分布，故E(X)＝5×34＝154.9．(2015·新课标全国Ⅱ文)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．A 地区用户满意度评分的频率分布直布图B 地区用户满意度评分的频率分布表平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：答案(1)略(2)A地区用户满意等级为不满意的概率大解析(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．10．(2016·衡水调研)在每年的春节后，某市政府都会发动公务员参与到植树活动中去．为保证树苗的质量，该市林管部门都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，量出树苗的高度如下(单位：厘米)：甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33；乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46.(1)根据抽测结果，完成下列的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x －，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行的运算，问输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义．答案 (1)略 (2)S ＝35 解析 (1)茎叶图：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度； ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗的中位数为27，乙种树苗的中位数为28.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散．(2)x －＝37＋21＋31＋20＋29＋19＋32＋23＋25＋3310＝27，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量．S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越参差不齐．11．(2016·东北师大附中四模)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费．。

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第七章不等式及推理与证明题组37 Word版含解析

题组层级快练(三十七)1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac<3a ”“索”的“因”应是( ) A ．a －b>0 B ．a －c>0 C ．(a －b)(a －c)>0 D ．(a －b)(a －c)<0答案 C 解析b 2－ac<3a ⇔b 2－ac<3a 2⇔(a ＋c)2－ac<3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0 ⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c)(2a ＋c)>0⇔(a －c)(a －b)>0. 2．若实数a ，b 满足a ＋b<0，则( ) A ．a ，b 都小于0B ．a ，b 都大于0C ．a ，b 中至少有一个大于0D ．a ，b 中至少有一个小于0答案 D解析假设a ，b 都不小于0，即a ≥0，b ≥0，则a ＋b ≥0，这与a ＋b<0相矛盾，因此假设错误，即a ，b 中至少有一个小于0.3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P>Q B ．P ＝QC ．P<QD ．由a 的取值确定答案 C解析要比较P ，Q 的大小关系，只要比较P 2，Q 2的大小关系，只要比较 2a ＋7＋2a （a ＋7）与2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4）的大小，只要比较a （a ＋7）与（a ＋3）（a ＋4）的大小，即比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，只要比较0与12的大小，∵0<12，∴P<Q.4．已知函数f(x)满足：f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则f 2（1）＋f （2）f （1）＋f 2（2）＋f （4）f （3）＋f 2（3）＋f （6）f （5）＋f 2（4）＋f （8）f （7）＝( )A ．4B ．8C ．12D ．16 答案 D解析根据f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，得f(2n)＝f 2(n)．又f(1)＝2，则f （n ＋1）f （n ）＝2.由f 2（1）＋f （2）f （1）＋f 2（2）＋f （4）f （3）＋f 2（3）＋f （6）f （5）＋f 2（4）＋f （8）f （7）＝2f （2）f （1）＋2f （4）f （3）＋2f （6）f （5）＋2f （8）f （7）＝16.5．已知a>0，b>0，如果不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，那么m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7答案 B解析 ∵a>0，b>0，∴2a ＋b>0.∴不等式可化为m ≤(2a ＋1b )(2a ＋b)＝5＋2(b a ＋a b )．∵5＋2(b a ＋ab )≥5＋4＝9，即其最小值为9，∴m ≤9，即m 的最大值等于9.6．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为________．答案 18解析 S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6，由S 11为定值，可知a 6＝a 1＋5d 为定值．设4a 2＋a 10＋a n ＝24，整理得a 1＋n ＋126d ＝4，可知n ＝18.7．(2016·江苏盐城一模)已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 32x 2＋x 12x 3≥1. 答案略解析 ∵x 22x 1＋x 1＋x 32x 2＋x 2＋x 12x 3＋x 3≥2x 22＋2x 32＋2x 12＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 32x 2＋x 12x 3≥1. 8．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3.(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．答案 (1)略 (2)成立，证明略解析 (1)证明：x 是正实数，由均值不等式，得 x ＋1≥2x ，x 2＋1≥2x ，x 3＋1≥2x 3.故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)． (2)解：若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立．由(1)知，当x>0时，不等式成立；当x ≤0时，8x 3≤0，而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立．9．已知函数f(x)＝a x ＋x －2x ＋1(a>1)，(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明f(x)＝0没有负实数根．答案 (1)略 (2)略解析 (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0，所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0. 又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝（x 2－2）（x 1＋1）－（x 1－2）（x 2＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝3（x 2－x 1）（x 2＋1）（x 1＋1）>0. 于是f(x 2)－f(x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0. 故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f(x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1.又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾．故f(x)＝0没有负实数根．10．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1(m ∈N *)成等差数列，试判断S m ，S m ＋2，S m ＋1是否成等差数列，并证明你的结论．答案 q ＝1时，不成等差数列；q ＝－12时，成等差数列证明略解析设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q(a 1≠0，q ≠0)，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1. ∴2a 1q m ＋1＝a 1q m －1＋a 1q m .∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0. 解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，∵S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1， S m ＋2＝(m ＋2)a 1，∴2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1.∴当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．下面给出证明：证法一：∵(S m ＋S m ＋1)－2S m ＋2 ＝(S m ＋S m ＋a m ＋1)－2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2) ＝－a m ＋1－2a m ＋2＝－a m ＋1－2a m ＋1q ＝－a m ＋1－2a m ＋1(－12)＝0，∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.∴当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．证法二：∵2S m ＋2＝2a 1[1－（－12）m ＋2]1＋12＝43a 1[1－(－12)m ＋2]，又S m ＋S m ＋1＝a 1[1－（－12）m ]1＋12＋a 1[1－（－12）m ＋1]1＋12＝23a 1[2－(－12)m －(－12)m ＋1] ＝23a 1[2－4(－12)m ＋2＋2(－12)m ＋2] ＝43a 1[1－(－12)m ＋2]， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.∴当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．11．(2016·广东江门模拟)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n （n ＋1）（4n －1）6，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 12＋4a 22＋…＋n 2a n 2<54.答案 (1)a 1＝1 (2)a n ＝n(2n －1) (3)略解析 (1)a 1＝1. (2)a n ＝n(2n －1)．(3)由(2)知，当n>1时，n 2a n 2＝1（2n －1）2＝14n 2－4n ＋1<14n （n －1），则1a 12＋4a 22＋…＋n 2a n 2<1＋14×2×1＋14×3×2＋…＋14n （n －1）＝1＋(14－14×2)＋(14×2－14×3)＋…＋[14×（n －1）－14n ]＝1＋(14－14n )<1＋14＝54，因为1a 12＋4a 22＋…＋n 2a n 2单调递增，所以∀n ∈N *，1a 12＋4a 22＋…＋n 2a n 2<54.12．设f(x)＝lnx ，g(x)＝f(x)＋f ′(x)． (1)求g(x)的单调区间和最小值； (2)讨论g(x)与g(1x)的大小关系；(3)求实数a 的取值范围，使得g(a)－g(x)<1a 对任意x>0成立．答案 (1)单调递减区间(0，1)，单调递增区间(1，＋∞) (2)当0<x<1时，g(x)>g(1x )；当x>1时，g(x)<g(1x )(3)0<a<e解析 (1)由题设知f(x)＝lnx ，g(x)＝lnx ＋1x ，∴g ′(x)＝x －1x2.令g ′(x)＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，g ′(x)<0，故(0，1)是g(x)的单调减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间．因此x ＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)＝1.(2)g(1x)＝－lnx ＋x ，设h(x)＝g(x)－g(1x )＝2lnx －x ＋1x ，则h ′(x)＝－（x －1）2x 2.当x ＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g(1x)；当x ∈(0，1)∪(1，＋∞)时，h ′(x)<0，h ′(1)＝0，因此h(x)在(0，＋∞)上单调递减．当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，即g(x)>g(1x)；当x>1时，h(x)<h(1)＝0，即g(x)<g(1x)．(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)－g(x)<1a对任意x>0成立⇔g(a)－1<1a ，即lna<1，从而得0<a<e.。

2017版高考数学(江苏专用、理科)一轮复习习题：第十三章选修四选考部分第3讲含答案

1。

(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为错误!（t为参数），曲线C的参数方程为错误!(θ为参数）.试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.解因为直线l的参数方程为错误!(t为参数），由x＝t＋1,得t＝x－1，代入y＝2t,得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组错误!解得公共点的坐标为（2，2),错误!.2。

(2012·江苏卷)在极坐标系中,已知圆C经过点P错误!，圆心为直线ρsin错误!＝－错误!与极轴的交点,求圆C的极坐标方程。

解在ρsin错误!＝－错误!中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为（1，0）.如图所示,因为圆C经过点P错误!，所以圆C的半径PC＝错误!＝1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3。

(2011·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,求过椭圆错误!（φ为参数）的右焦点，且与直线错误!(t为参数）平行的直线的普通方程.解由题设知,椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3,从而c＝a2－b2＝4，所以右焦点为(4，0).将已知直线的参数方程化为普通方程为x－2y＋2＝0.故所求直线的斜率为错误!,因此其方程为y＝错误!(x－4）,即x－2y－4＝0.4.(2016·南京盐城期末)在极坐标系中,求圆ρ＝2cos θ的圆心到直线2ρsin错误!＝1的距离。

解将圆ρ＝2cos θ化为普通方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为（1，0）,又2ρsin错误!＝1，即2ρ错误!＝1,所以直线的普通方程为3x＋y－1＝0,故所求的圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!.5。

(2015·湖南卷)已知直线l：错误!（t为参数）,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5,3），直线l与曲线C的交点为A，B，求｜MA|·|MB|的值。

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第十章计数原理和概率题组62 Word版含解析

题组层级快练(六十二)1．(2015·新课标全国Ⅰ文)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310 B.15 C.110 D.120答案 C解析基本事件的总数为10，其中能构成一组勾股数的只有{3，4，5}，∴所求概率为110，选C.2．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是( ) A.12 B.14 C.34 D ．0答案 A解析列举出所有基本事件，找出“只有1次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为24＝12.3．从1，2，…，9这9个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是( )A.59B.49C.1121D.1021答案 C解析基本事件总数为C 93，设抽取3个数，和为偶数为事件A ，则A 事件包括两类：抽取3个数全是偶数，或抽取3个数中2个奇数1个偶数，前者有C 43种，后者有C 41C 52种，所以A 中基本事件数为C 43＋C 41C 52，所以符合要求的概率为C 43＋C 41C 52C 93＝1121.故选C.4．(2015·广东理)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.521 B.1021 C.1121D ．1答案 B解析由题意得基本事件的总数为C 152，恰有1个白球与1个红球的基本事件个数为C 101C 51，所以所求概率P ＝C 101C 51C 152＝1021.5．(2016·衡水调研卷)一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，若他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15答案 C解析只按一次就按对的概率是15.按两次就按对的概率是4×15×4＝15，所以不超过2次就按对的概率是15＋15＝25，选C.6．(2016·孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．若他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案 A解析已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12.7．(2016·甘肃模拟)投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋ni)2为纯虚数的概率为( ) A.13 B.14 C.16 D.112 答案 C解析投掷两颗骰子共有36种结果，因为(m ＋ni)2＝m 2－n 2＋2mni ，所以要使复数(m ＋ni)2为纯虚数，则有m 2－n 2＝0，即m ＝n ，共有6种结果，所以复数为纯虚数的概率为636＝16，故选C.8．(2016·广西南宁测试)某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会中的4×100 m 接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为( ) A.415 B.215 C.421 D.15答案 C解析从6名短跑运动员中任选4人参加4×100 m 接力赛，其中甲不跑第一棒且乙不跑第四棒的方法共有A 64－2A 53＋A 42＝252种，在这252种方法中甲跑第二棒的方法共有C 41·A 42＝48种，因此所求的概率为48252＝421，故选C. 9．(2016·云南统考)在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为( ) A.956 B.928 C.914 D.59答案 B解析分析可知，要满足题意，则抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P ＝C 42·C 32C 85＝928.10．(2016·惠州调研)设A ，B 两名学生均从两位数学教师和两位英语教师中选择一位教师给自己来补课，若A ，B 不选同一位教师，则学生A 选择数学教师，学生B 选择英语教师的概率为( ) A.13 B.512 C.12 D.712 答案 A解析设两位数学教师用1，2表示，两位英语教师用3，4表示，不妨让A 先选，B 后选(不重复)，则他们所有的选择结果如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种情况，其中学生A 选择数学教师，学生B 选择英语教师(数学在前，英语在后)的结果有(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，共4种情况，所以所求概率P ＝13.11．从集合{a ，b ，c ，d ，e}的所有子集中任取一个，则该子集恰是集合{a ，b ，c}的子集的概率是________．答案 1412．(2014·新课标全国Ⅱ文)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．答案 13解析甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝13.13．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为________．答案 59解析对立事件为：两次抽的卡片号码中都为奇数，共有2×2＝4种抽法．而有放回的两次抽了卡片共有3×3＝9种基本事件，因此所求事件概率为1－49＝59.14．如图所示是某市2016年2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率．答案 (1)16 (2)23解析 (1)在2月1日至今2月12日这12天中，只有5日，8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当时空气质量优良的概率P ＝212＝16.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”．“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”，其概率为312＝14.“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”，其概率为512.所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为P ＝14＋512＝23.15．(2015·天津文)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛． (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, 现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛． ①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．答案 (1)3，1，2 (2)①略 ②35解析 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P(A)＝915＝35.16．(2015·安徽文)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100)．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．答案 (1)0.006 (2)0.4 (3)110解析 (1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022＋0.022＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为0.4.(3)受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为110.1．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是( )A.45 B.35 C.25 D.15答案 D解析基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b>a 的有3种，所以b>a 的概率为315＝15.2．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18 C.16 D.15 答案 D解析在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点(例如AB 与DE)，共有3种，∴所求概率为315＝15.3．甲乙两人一起去某地旅游，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) A.136B.19C.536D.16答案 D解析甲乙两人任选4个景点共有方法A 64A 64种，而最后一小时他们在同一个景点的情况有C 61A 53A 53种，所求概率为P ＝C 61A 53A 53A 64A 64＝16，故选D.4．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29 D.19答案 D解析由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有C 51C 41＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有C 51C 51＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C 51×1＝5个．于是，所求概率为545＝19.5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，若每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 A解析由题意得，甲、乙两位同学参加小组的所有可能的情况共3×3＝9种．又两位同学参加同一个兴趣小组的种数为3，故概率为39＝13.6．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( ) A.132 B.164 C.332 D.364 答案 D解析基本事件为(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)，…，(8，8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7，8)，(8，7)，(8，8)，∴所求概率为364.7．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是( )A.34B.56C.16D.13答案 B解析该试验中会出现(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共6种等可能的结果，事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共5种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出1个黑球”的概率是56.8．(2016·合肥调研)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一排，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”，则事件A 发生的概率为( ) A.16 B.112 C.512 D.124答案 B解析由题意知，五种不同属性的物质任意排成一列有A 55＝120种排法，事件A 表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”可看作五个位置排列五个元素，第一位置有五种排列方法，不妨假设是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，有两种选择，不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数为5×2×1×1×1＝10，所以事件A 发生的概率为P(A)＝10120＝112，故选B.9．(2016·洛阳统考)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )A.115B.15C.14D.12 答案 B解析由题意分析可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种情况，∴所求概率P ＝4·A 33C 63·A 33＝15. 10．(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n(m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．答案2063解析从正整数m ，n(m ≤7，n ≤9)中任取两数的所有可能结果有C 71C 91＝63个，其中m ，n 都取奇数的结果有C 41C 51＝20个，故所求概率为2063.11．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．答案 35解析从5个小球中任选两个小球的方法数为C 52＝10，其中不同色的方法数为C 31C 21＝6，所以所求概率为P ＝610＝35.12．高三某班有两个数学课外兴趣小组，第一组有2名男生，2名女生，第二组有3名男生，2名女生．现在班主任老师要从第一组选2人，从第二组选出1人，请他们在班会上和全班同学分享学习心得．(1)求选出的3人均是男生的概率； (2)求选出的3人中有男生也有女生的概率．解析 (1)记第一组的4人分别为A 1，A 2，a 1，a 2；第二组的5人分别为B 1，B 2，B 3，b 1，b 2.设“从第一组选出2人，从第二组选出1人”组成的基本事件空间为Ω，则Ω＝{(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 2，B 3)，(A 1，A 2，b 1)，(A 1，A 2，b 2)，(A 1，a 2，B 1)，(A 1，a 2，B 2)，(A 1，a 2，B 3)，(A 1，a 1，b 1)，(A 1，a 2，b 2)，(A 1，a 2，B 1)，(A 1，a 2，B 2)，(A 1，a 2，B 3)，(A 1，a 2，b 1)，(A 1，a 2，b 2)，(A 2，a 1，B 1)，(A 2，a 1，B 2)，(A 2，a 1，B 3)，(A 2，a 1，b 1)，(A 2，a 1，b 2)，(A 2，a 2，B 1)，(A 2，a 2，B 2)，(A 2，a 2，B 3)，(A 2，a 2，b 1)，(A 2，a 2，b 2)，(a 1，a 2，B 1)，(a 1，a 2，B 2)，(a 1，a 2，B 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)}，共有30个．设“选出的3人均是男生”为事件A ，则事件A 含有3个基本事件． ∴P(A)＝330＝110，∴选出的3人均是男生的概率为110.(2)设“选出的3个人有男生也有女生”为事件B ，则事件B 含有25个基本事件，∴P(B)＝2530＝56，∴选出的3人中有男生也有女生的概率为56. 13．甲、乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球，2个红球，由裁判有放回地摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢． (1)求游戏Ⅰ中甲赢的概率；(2)求游戏Ⅱ中乙赢的概率，并比较这两种游戏哪种游戏更公平，试说明理由．解析 (1)∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球的基本事件有5×5＝25(个)，其中甲赢有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，3)，(3，5)，(5，5)，(3，1)，(5，1)，(5，3)，(2，2)，(2，4)，(4，4)，(4，2)，共13个基本事件， ∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为P ＝1325.(2)设4个白球为a ，b ，c ，d ，2个红球为A ，B ，则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球基本事件有6×6＝36(个)，其中乙赢有(a ，A)，(b ，A)，(c ，A)，(d ，A)，(a ，B)，(b ，B)，(c ，B)，(d ，B)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(A ，d)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(B ，d)，共16个基本事件，∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为P ′＝1630＝815.∵|1325－12|<|815－12|，∴游戏Ⅰ更公平．。

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第二章函数与基本初等函数题组8 Word版含解析

题组层级快练(八)1．函数y ＝(x ＋4)2在某区间上是减函数，这区间可以是( ) A ．[－4，0] B ．(－∞，0] C ．(－∞，－5] D ．(－∞，4]答案 C2．“a ＝－1”是“函数f(x)＝x 2－2ax －1在区间[－1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f(x)＝x 2－2ax －1在区间[－1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤－1，故“a ＝－1”是“函数f(x )＝x 2－2ax －1在区间[－1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．3．已知m>2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图像上，则( ) A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1 C ．y 1<y 3<y 2 D ．y 2<y 1<y 3 答案 A4．设abc ＞0，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )答案 D解析若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b2a ＞0，函数f(x)的图像与y 轴的交点(c ，0)在x 轴下方．故选D.5．(2016·上海静安期末)已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，2] C ．[－1，2] D ．[2，5)答案 C解析二次函数f(x)＝－x 2＋4x 的图像是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图像可知m 的取值范围是[－1，2]． 6．(2013·浙江)已知a ，b ，c ∈R ，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( ) A ．a>0，4a ＋b ＝0 B ．a<0，4a ＋b ＝0 C ．a>0，2a ＋b ＝0 D ．a<0，2a ＋b ＝0答案 A解析由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b 2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f(0)>f(1)，∴f(x)先减后增，∴a>0，选A.7．对一切实数x ，若不等式x 4＋(a －1)x 2＋1≥0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥－1 B ．a ≥0 C ．a ≤3 D ．a ≤1答案 A解析令t ＝x 2≥0，则原不等式转化为t 2＋(a －1)t ＋1≥0，当t ≥0时恒成立．令f(t)＝t 2＋(a －1)t ＋1，则f(0)＝1>0. (1)当－a －12≤0即a ≥1时，恒成立．(2)当－a －12>0即a<1时，由Δ＝(a －1)2－4≤0，得－1≤a ≤3.∴－1≤a<1，综上：a ≥－1.8．(2016·山东济宁模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c （x ≤0），2 （x>0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．3答案 D解析由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4. f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 （x ≤0），2 （x>0）.又f(x)＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．9．已知二次函数f(x)图像的对称轴是x ＝x 0，它在区间[a ，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则( ) A ．x 0≥b B ．x 0≤a C ．x 0∈(a ，b) D ．x 0∉(a ，b)答案 D解析若x 0∈(a ，b)，f(x 0)一定为最大值或最小值．10．(2016·广东江门调研卷)设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0，x ∈R )，对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，在函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个不可能是( ) A ．f(－1) B ．f(1) C ．f(2) D ．f(5)答案 B解析由f(2＋t)＝f(2－t)知函数y ＝f(x)的图像对称轴为x ＝2.当a>0时，易知f(－1)>f(1)>f(2)；f(5)>f(2)；当a<0时，f(－1)<f(1)<f(2)；f(5)<f(2)，故最小的不可能是f(1)． 11．已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)解析函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k8≥2，解得k ≥8或k ≤－16.12．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________．答案 9或25解析 y ＝8(x －m －116)2＋m －7－8·(m －116)2，∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·(m －116)2＝0，∴m ＝9或25.13．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x 2＋2x ，若f(2－a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2，1)解析 ∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x 2＋2x ，作出f(x)的大致图像如图中实线所示，结合图像可知f(x)是R 上的增函数，由f(2－a 2)>f(a)，得2－a 2>a ，即－2<a<1.14．(2016·邯郸一中月考)已知函数f(x)＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a]，并且函数f(x)的最大值为f(a)，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥5解析 ∵f(x)的对称轴为x ＝3，要使f(x)在[1，a]上f(x)max ＝f(a)，由图像对称性知a ≥5. 15．在函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案大－3解析 ∵f(0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝a·c ，∴a<0.∴f(x)有最大值，最大值为c －b 24a＝－3. 16．函数f(x)＝x 2＋2x ，若f(x)>a 在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________； ②恒成立，则a 的取值范围为________．答案 a<15 a<3解析 ①f(x)>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于a<[f(x)]max ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝3时，[f(x)]max ＝15，故a 的取值范围为a<15.②f(x)>a 在区间[1，3]上恒成立，等价于a<[f(x)]min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝1时，[f(x)]min ＝3，故a 的取值范围为a<3. 17．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2. (1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1. 答案 (1)a ＝－1＋22(2)略解析 (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)．方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0.|x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4. 由韦达定理，可知 x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a.代入上式，可得4a 2＋4a －1＝0. 解得a ＝－1＋22，a ＝－1－22(舍去)．(2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<2<x 2<4，设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2（b －1）＋1<0，16a ＋4（b －1）＋1>0⇒⎩⎨⎧2a>14，b<14.∴2a －b>0.又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0， ∴x 0＝－b2a>－1.18．已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋5(a>1)．(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a 的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f(x 1)－f(x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．答案 (1)2 (2)2≤a ≤3解析 (1)∵f(x)＝(x －a)2＋5－a 2(a>1)，∴f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a]，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－2a ＋5＝a ，f （a ）＝a 2－2a 2＋5＝1.解得a ＝2. (2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f(x)max ＝f(1)＝6－2a ，f(x)min ＝f(a)＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f(x 1)－f(x 2)|≤4， ∴f(x)max －f(x)min ≤4，即(6－2a)－(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3. 又a ≥2，∴2≤a ≤3.1．函数y ＝(x ＋4)2在某区间上是减函数，这区间可以是( ) A ．[－4，0] B ．(－∞，0] C ．(－∞，－5] D ．(－∞，4]答案 C2．二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意的x ∈R 都有f(x)＝f(4－x)成立，若f(1－2x 2)<f(1＋2x －x 2)，则实数x 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，2) C ．(－2，0) D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) 答案 C解析由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x ＝2，图像在对称轴左侧为减函数．而1－2x 2<2，1＋2x －x 2＝2－(x －1)2≤2，所以由f(1－2x 2)<f(1＋2x －x 2)，得1－2x 2>1＋2x －x 2，解得－2<x<0.3．(2015·四川)如果函数f(x)＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间[12，2]上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812答案 B解析由已知得f ′(x)＝(m －2)x ＋n －8，又对任意的x ∈[12，2]，f ′(x)≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（12）≤0，f ′（2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，n ≥0，m ＋2n ≤18，2m ＋n ≤12.画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令mn ＝t ，则当n ＝0时，t ＝0，当n ≠0时，m ＝t n .由线性规划的相关知识知，只有当直线2m ＋n ＝12与曲线m ＝tn相切时，t 取得最大值．由⎩⎨⎧－t n 2＝－12，6－12n ＝t n ，解得n ＝6，t ＝18，所以(mn)max ＝18，故选B.4．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t ＝________．答案 1解析 ∵y ＝|(x －1)2－t －1|，∴对称轴为x ＝1.若－t －1<0，即t>－1时，则当x ＝1或x ＝3时取得最大值，即|1－2－t|＝t ＋1＝2或|9－6－t|＝2，得t ＝1；若－t －1≥0，即t ≤－1时，则当x ＝3时取得最大值，即9－6－t ＝2，t 无解．故得t ＝1.5．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则实数m 的取值范围是________．答案 (52，＋∞)6．已知二次函数y ＝f(x)满足f(0)＝f(2)，若x 1，x 2是方程f(x)＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝________．答案 2解析 ∵f(0)＝f(2)，∴函数f(x)的图像关于x ＝1对称．∴x 1＋x 2＝2×1＝2.7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像如图所示，确定下列各式的正负：b______0，ac______0，a －b ＋c______0.答案 > < <解析 ∵a<0，－b2a>0，∴b>0.∵ca＝x 1x 2<0，∴ac<0，a －b ＋c ＝f(－1)<0. 8．(2016·上海虹口二模)函数f(x)＝－x 2＋4x ＋1(x ∈[－1，1])的最大值等于________．答案 4解析因为对称轴为x ＝2∉[－1，1]，所以函数在[－1，1]上单调递增，因此当x ＝1时，函数取最大值4.9．设函数f(x)＝mx 2－mx －1，若f(x)<0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．答案 (－4，0]。

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学文)题组训练：第四章三角函数题组20 Word版含解析

题组层级快练(二十)1．cos 4π8－sin 4π8等于( ) A ．0 B.22 C ．1 D ．－22答案 B 2．tan15°＋1tan15°＝( )A ．2B ．2＋ 3C ．4 D.433 答案 C解析方法一：tan15°＋1tan15°＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝1cos15°sin15°＝2sin30°＝4.方法二：tan15°＋1tan15°＝1－cos30°sin30°＋1sin30°1＋cos30°＝1－cos30°sin30°＋1＋cos30°sin30°＝2sin30°＝4.3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( ) A ．－53 B ．－19 C.19 D.53答案 B解析依题意得cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝2×(23)2－1＝－19，选B. 4．设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( ) A ．－79B ．－19C.19D.79答案 A解析 sin2θ＝－cos(π2＋2θ)＝2sin 2(π4＋θ)－1＝2×(13)2－1＝－79. 5．已知f(x)＝2tanx －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f(π12)的值为( )A ．4 3 B.833 C ．4 D ．8答案 D解析 ∵f(x)＝2(tanx ＋cosx sinx )＝2×(sinx cosx ＋cosxsinx ) ＝2×1cosx ·sinx＝4sin2x ，∴f(π12)＝4sin π6＝8.6．计算tan （π4＋α）·cos2α2cos 2（π4－α）的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案 D解析 tan （π4＋α）·cos2α2cos 2（π4－α）＝sin （π4＋α）·cos2α2sin 2（π4＋α）cos （π4＋α）＝cos2α2sin （π4＋α）cos （π4＋α）＝cos2αsin2（π4＋α）＝cos2αsin （π2＋2α）＝cos2αcos2α＝1，选D.7．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin (2α＋π4)的值为( )A ．－210 B.210 C.3210 D.7210答案 A解析由tan α＋1tan α＝103，得sin αcos α＋cos αsin α＝103.∴1sin αcos α＝103，∴sin2α＝35.∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)． ∴cos2α＝－45.∴sin (2α＋π4)＝sin2αcos π4＋cos2αsin π4 ＝22×(35－45)＝－210.8．(2016·长沙雅礼中学模拟)已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 A解析方法一：cos 2(α＋π4)＝12[1＋cos (2α＋π2)]＝12(1－sin2α)＝16.方法二：cos (α＋π4)＝22cos α－22sin α，所以cos 2(α＋π4)＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin2α)＝16.9．设f(sinx)＝cos2x ，那么f(32)等于________．答案－1210．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝________．答案 134解析 2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝134.11．若sin(x －34π)cos(x －π4)＝－14，则cos4x ＝________．答案 12解析 ∵sin(x －34π)＝－cos(π2＋x －34π)＝－cos(x －π4)， ∴cos 2(x －π4)＝14，∴1＋cos （2x －π2）2＝14.∴cos(2x －π2)＝－12，即sin2x ＝－12. ∴cos4x ＝1－2sin 22x ＝12.12.3tan12°－3（4cos 212°－2）sin12°＝________．答案－4 3解析原式＝3sin12°cos12°－32（2cos 212°－1）sin12°＝23（12sin12°－32cos12°）cos12°2cos24°sin12°＝23sin （－48°）2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24° ＝－23sin48°12sin48°＝－4 3.13．若θ∈[0，π)且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________．答案 0或π414．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________．答案－34 解析sin3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135. ∴2cos 2α＋cos2α＝135，2cos 2α－1＋cos2α＝85. ∴cos2α＝45.∵2k π－π2<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π(k ∈Z )．又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角． sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34.15．已知sin α＝cos2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________．答案－33解析 sin α＝1－2sin 2α，∴2sin 2α＋sin α－1＝0. ∴(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(π2，π)， ∴2sin α－1＝0.∴sin α＝12，cos α＝－32. ∴tan α＝－33.16．已知sin(π6＋α)＝13，则cos(2π3－2α)的值等于________．答案－79解析 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴sin(π6＋α)＝cos(π3－α)＝13，∴cos(2π3－2α)＝cos2(π3－α)＝2cos 2(π3－α)－1＝2×(13)2－1＝－79. 17．已知函数f(x)＝2cos(x －π12)，x ∈R .(1)求f(－π6)的值；(2)若cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f(2θ＋π3)的值．答案 (1)1 (2)1725解析 (1)f(－π6)＝2cos(－π6－π12)＝2cos(－π4)＝1. (2)∵cos θ＝35，且θ∈(3π2，2π)，∴sin θ＝－45. ∴f (2θ＋π3)＝2cos (2θ＋π3－π12)＝2cos (2θ＋π4) ＝cos2θ－sin2θ＝2cos 2θ－1－2sin θcos θ＝1725. 18．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．答案 (1)－1010 (2)－4＋3310解析 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55 ＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×(－255)＝－45，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，＝－4＋3310.1．(2016·石家庄二中调研)已知sin α－cos α＝15，则cos 2(5π4－α)＝( ) A.150 B.1350 C.3750 D.4950答案 D解析 ∵sin α－cos α＝15，∴两边平方得1－2sin αcos α＝125，∴sin2α＝2425，∴cos 2(5π4－α)＝1＋cos （5π2－2α）2＝1＋sin2α2＝4950，故选D.2．(2016·山东淄博一模)已知tan α＝2，那么sin2α的值是( ) A ．－45 B.45 C ．－32 D.35答案 B解析 sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45.选B. 3．若cos2αsin （α－π4）＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72答案 C解析 cos2αsin （α－π4）＝sin （π2－2α）sin （α－π4）＝2sin （π4－α）cos （π4－α）sin （α－π4）＝－2cos(π4－α)＝－2(22sin α＋22cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22. 所以sin α＋cos α＝12.4．在△ABC 中，tanA ＋tanB ＋3＝3tanA ·tanB ，且sinA ·cosA ＝34，则此三角形为________．答案等边三角形解析 ∵tanA ＋tanB ＋3＝3tanAtanB ， ∴tan(A ＋B)＝－3，得A ＋B ＝120°. 又由sinAcosA ＝34，得sin2A ＝32.∴A ＝60°(A ＝30°舍去)，∴△ABC 为等边三角形． 5．(2016·衡水调研)已知sinx ＝5－12，则sin2(x －π4)＝________．答案 2－ 5解析 sin2(x －π4)＝sin(2x －π2)＝－cos2x ＝－(1－2sin 2x)＝2sin 2x －1＝2－ 5.6．(2013·四川)设sin2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________．答案3解析 ∵sin2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. 又∵α∈(π2，π)，∴cos α＝－12.∴sinα＝1－cos2α＝3 2.∴sin2α＝－32，cos2α＝2cos2α－1＝－12.∴tan2α＝sin2αcos2α＝ 3.7．化简：2cos4x－2cos2x＋122tan（π4－x）·sin2（π4＋x）.解析原式＝2cos2x（cos2x－1）＋122tan（π4－x）sin2（π4＋x）＝12－2cos2xsin2x2sin（π4－x）cos（π4－x）·sin2（π4＋x）＝12－12（sin2x）22cos（π4＋x）sin（π4＋x）·sin2（π4＋x）＝12cos22xsin（π2＋2x）＝12cos2x8．(2016·合肥检测)已知cos(π6＋α)cos(π3－α)＝－14，α∈(π3，π2)．(1)求sin2α的值；(2)求tanα－1tanα的值．解析(1)cos(π6＋α)·cos(π3－α)＝cos(π6＋α)·sin(π6＋α)＝12sin(2α＋π3)＝－14，即sin(2α＋π3)＝－12，因为α∈(π3，π2)，所以2α＋π3∈(π，4π3)，所以cos(2α＋π3)＝－32.所以sin2α＝sin(2α＋π3－π3)＝sin(2α＋π3)cosπ3－cos(2α＋π3)sinπ3＝12.(2)由(1)知tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα＝sin2α－cos2αsinαcosα＝－2cos2αsin2α＝－2×（－32）12＝2 3.。

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学文)题组训练：第四章三角函数题组18 Word版含解析

题组层级快练(十八)1．下列各数中与sin2 016°的值最接近的是( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32答案 C解析 2 016°＝5³360°＋180°＋36°， ∴sin2 016°＝－sin36°和－sin30°接近，选C. 2．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．2 答案 D3．tan(5π＋α)＝m ，则sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋a ）的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1答案 A解析由tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝m ＋1m －1∴选A.4.1＋2sin （π－3）cos （π＋3）化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对答案 A解析 sin(π－3)＝sin3，cos (π＋3)＝－cos3， ∴1－2sin3·cos3＝（sin3－cos3）2＝|sin3－cos3|. ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0.∴原式＝sin3－cos3，选A.5．化简cosα1－sinα1＋sinα＋sinα1－cosα1＋cosα(π<α<3π2)得()A．sinα＋cosα－2 B．2－sinα－cosαC．sinα－cosαD．cosα－sinα答案 A解析原式＝cosα（1－sinα）2cos2α＋sinα（1－cosα）2sin2α，∵π<α<32π，∴cosα<0，sinα<0.∴原式＝－(1－sinα)－(1－cosα)＝sinα＋cosα－2. 6．记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.1－k2k B．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k2答案 B解析cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝1－k2，tan80°＝1－k2k，tan100°＝－tan80°＝－1－k2 k.7．已知A＝sin（kπ＋α）sinα＋cos（kπ＋α）cosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1，2，－2} B．{－1，1}C．{2，－2} D．{1，－1，0，2，－2} 答案 C解析当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.8．(tanx＋1tanx)cos2x＝()A ．tanxB ．sinxC ．cosx D.1tanx答案 D解析 (tanx ＋1tanx )cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sinxcosx ·cos 2x ＝cosx sinx ＝1tanx .9．若A 为△ABC 的内角，且sin2A ＝－35，则cos(A ＋π4)等于( ) A.255 B ．－255 C.55 D ．－55答案 B解析 cos 2(A ＋π4)＝[22(cosA －sinA)]2＝12(1－sin2A)＝45.又cosA<0，sinA>0，∴cosA －sinA<0. ∴cos(A ＋π4)＝－255.10．(2016·江西上饶六校一联)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2答案 A解析由3sin α＝－cos α，得tan α＝－13.1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋191－23＝103. 11．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( ) A ．－43 B.54 C ．－34D.45答案 D解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.12．(2016·山东师大附中月考)若cos(π6－α)＝m(|m|≤1)，则sin(23π－α)的值为( ) A ．－m B ．－m 2 C.m 2 D ．m答案 D解析 sin(2π3－α)＝sin(π2＋π6－α)＝cos(π6－α)＝m ，选D. 13．(2016·衡水调研卷)已知A 为锐角，lg(1＋cosA)＝m ，lg 11－cosA＝n ，则lgsinA的值为( ) A ．m ＋1n B.12(m －n) C.12(m ＋1n ) D.12(m －1n )答案 B解析 lg(1＋cosA)＝m ，lg(1－cosA)＝－n ∴lg(1－cos 2A)＝m －n ∴lgsin 2A ＝m －n ∴lgsinA ＝12(m －n) 选B.14．已知sin θ＝55，则sin 4θ－cos 4θ的值为________．答案－35解析由sin θ＝55，可得cos 2θ＝1－sin 2θ＝45，所以sin 4θ－cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 2θ－cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ＝15－45＝－35. 15．化简sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α的结果是________．答案 1解析 sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 4α－sin 2αcos 2α＋cos 4α)＋3sin 2αcos 2α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1. 16．化简1－2sin40°²cos40°cos40°－1－sin 250°为________．答案 1 17．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________．答案 13，7解析 ∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3.即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3.∴sin αcos α＝13.又tan 2α＋1tan 2α＝(tan α＋1tan α)2－2tan α1tan α＝9－2＝7. 18．(2016·浙江嘉兴联考)已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝________，cos (α－π4)＝________．答案－74，34解析 sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π.∴cos(π4＋α)<0. ∴cos(π4＋α)＝－1－（34）2＝－74.cos (α－π4)＝sin[π2＋(α－π4)]＝sin(π4＋α)＝34.19．已知0<α<π2，若cosα－sinα＝－55，试求2sinαcosα－cosα＋11－tanα的值．答案55－95解析∵cosα－sinα＝－55，∴1－2sinαcosα＝15.∴2sinαcosα＝4 5.∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋45＝95.∵0<α<π2，∴sinα＋cosα＝35 5.与cosα－sinα＝－55联立，解得cosα＝55，sinα＝25 5.∴tanα＝2.∴2sinαcosα－cosα＋11－tanα＝45－55＋11－2＝55－95.1．若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4 D．6答案 D解析sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝2³3＝6，故选D.2．已知cosA＋sinA＝－713，A为第四象限角，则tanα等于() A.125 B.512C．－125D．－512答案 C解析 ∵cosA ＋sinA ＝－713，①∴(cosA ＋sinA)2＝(－713)2，∴2cosA ·sinA ＝－120169. ∴(cosA －sinA)2＝(cosA ＋sinA)2－4cosAsinA. ∵A 为第四象限角，∴cosA －sinA ＝1713.② ∴联立①②，∴cosA ＝513，sinA ＝－1213. ∴tanA ＝sinA cosA ＝－125，选C.3．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________．答案 32解析 sin(3π4－α)＝sin[π－(π4＋α)]＝sin(π4＋α)＝32.4．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．答案3解析由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即－sin 2α＝－34，sin 2α＝34.又因为α∈(0，π2)，所以sin α＝32，即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3. 5．已知－π2<α<0，且函数f(α)＝cos(3π2＋α)－sin α²1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝15，求sin α²cos α和sin α－cos α的值．答案 (1)f(α)＝sin α＋cos α (2)－1225，－75 解析 (1)f(α)＝sin α－sin α·（1＋cos α）21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)方法一：由f(α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425.∴sin α·cos α＝－1225.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.∴sin α·cos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

题组层级快练(七十六) 1．若直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝2－3t(t为参数)，则直线的斜率为( ) A.23 B．－23 C.32 D．－32 答案 D 2．直线x＝1＋tsin70°，y＝2＋tcos70°(t为参数)的倾斜角为( ) A．70° B．20° C．160° D．110° 答案 B

解析将直线参数方程化为标准形式：x＝1＋tcos20°，y＝2＋tsin20°(t为参数)，则倾斜角为20°，故选B. 3．下列参数方程与方程y2＝x表示同一曲线的是( )

A.x＝t，y＝t2(t为参数) B.x＝sin2t，y＝sint(t为参数)

C.x＝t，y＝|t|(t为参数) D.x＝1－cos2t1＋cos2t，y＝tant(t为参数) 答案 D 解析考查四个选项：对于A，消去t后所得方程为x2＝y，不符合y2＝x；对于B，消去t后所得方程为y2＝x，但要求0≤x≤1，也不符合y2＝x；对于C，消去t得方程为y2＝|x|，且要求y≥0，x∈R，也不符合y2＝x；

对于D，x＝1－cos2t1＋cos2t＝2sin2t2cos2t＝tan2t＝y2即符合y2＝x. 因此D是正确的，故选D. 4．与参数方程为x＝t，y＝21－t(t为参数)等价的普通方程为( ) A．x2＋y24＝1 B．x2＋y24＝1(0≤x≤1) C．x2＋y24＝1(0≤y≤2) D．x2＋y24＝1(0≤x≤1，0≤y≤2) 答案 D 解析 x2＝t，y24＝1－t＝1－x2，x2＋y24＝1，而t≥0，0≤1－t≤1，得0≤y≤2. 5．参数方程

x＝－3＋2cosθ，

y＝4＋2sinθ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )

A．1 B．2 C．3 D．4 答案 A

解析参数方程x＝－3＋2cosθ，y＝4＋2sinθ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，这是圆心为(－3，4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1. 6．参数方程

x＝2cosθ，

y＝sinθ(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cosθ所表示的图形分别是( )

A．圆和直线 B．直线和直线 C．椭圆和直线 D．椭圆和圆答案 D

解析参数方程x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)的普通方程为x24＋y2＝1，表示椭圆．极坐标方程ρ＝－6cosθ的直角坐标方程为(x＋3)2＋y2＝9，表示圆． 7．已知直线l：x＝t，y＝t＋1(t为参数)，圆C：ρ＝2cosθ，则圆心C到直线l的距离是( ) A．2 B.3 C.2 D．1 答案 C

解析直线l：x＝t，y＝t＋1(t为参数)的普通方程为x－y＋1＝0，圆C：ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心C(1，0)到直线l的距离d＝|1－0＋1|2＝2. 8．(2014·安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为( ) A.14 B．214 C.2 D．22 答案 D 解析由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝2，故弦长＝2r2－d2＝22. 9．(2016·皖南八校联考)若直线l：x＝2t，y＝1－4t(t为参数)与曲线C：

x＝5cosθ，

y＝m＋5sinθ(θ为参数)

相切，则实数m为( ) A．－4或6 B．－6或4 C．－1或9 D．－9或1 答案 A

解析由x＝2t，y＝1－4t(t为参数)，得直线l：2x＋y－1＝0，由

x＝5cosθ，

y＝m＋5sinθ(θ为参数)，得曲

线C：x2＋(y－m)2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m－1|22＋1

＝5，解得m＝－4或m＝6.

10．(2016·北京朝阳二模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t，y＝4＋t(t为参数)．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝42·sin(θ＋π4)，则直线l和曲线C的公共点有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个答案 B

解析直线l：x＝t，y＝4＋t(t为参数)化为普通方程得x－y＋4＝0；曲线C：ρ＝42sin(θ＋π4)化成普通方程得(x－2)2＋(y－2)2＝8， ∴圆心C(2，2)到直线l的距离为d＝|2－2＋4|2＝22＝r. ∴直线l与圆C只有一个公共点，故选B. 11．(2015·湖北)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已

知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________．答案 25 解析因为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y－3x＝0，即y＝3x.由x＝t－1t，y＝t＋1t，消去t得y2－x2＝4.由y＝3x，y2－x2＝4，解得x＝22，y＝322，或x＝－22，

y＝－322，不妨令

A(22，322)，B(－22，－322)，由两点间的距离公式得 |AB|＝（22＋22）2＋（322＋322）2＝25. 12．已知直线l的参数方程为x＝1＋2t，y＝2t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝sinθ1－sin2θ. (1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程； (2)若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最小值，并求出此时点P的坐标．

答案 (1)2ρcos(θ＋π4)＝1，y＝x2 (2)328

解析 (1)由x＝1＋2t，y＝2t得x－y＝1， ∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＝1，即2ρ(cosθcosπ4－sinθsinπ4)＝1，即2ρcos(θ＋π4)＝1.

∵ρ＝sinθ1－sin2θ∴ρ＝sinθcos2θ，∴ρcos2θ＝sinθ，∴(ρcosθ)2＝ρsinθ，即曲线C的普通方程为y＝x2. (2)设P(x0，y0)，则y0＝x02，直线l的普通方程为x－y－1＝0.

∴点P到直线l的距离d＝|x0－y0－1|2＝

|x0－x02－1|2＝|－（x0－12）2－34|2＝（x0－12）2＋342，

∴当x0＝12时，dmin＝328，此时P(12，14)， ∴当点P为(12，14)时，点P到直线l距离最小，最小值为328.

13．(2015·陕西)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sinθ. (1)写出⊙C的直角坐标方程； (2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．答案 (1)x2＋(y－3)2＝3 (2)(3，0) 解析 (1)由ρ＝23sinθ，得ρ2＝23ρsinθ，从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3.

(2)设P(3＋12t，32t)，又C(0，3)，

则|PC|＝（3＋12t）2＋（32t－3）2＝t2＋12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3，0)．

14．(2015·湖南)已知直线l：x＝5＋32t，y＝3＋12t(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ. (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．答案 (1)x2＋y2－2x＝0 (2)18 解析 (1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ. ① 将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0. ②

(2)将x＝5＋32t，y＝3＋12t代入②，得t2＋53t＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18. 15．(2016·衡水调研卷)已知直线l的参数方程为x＝－2＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ－2cosθ. (1)求曲线C的参数方程；

(2)当α＝π4时，求直线l与曲线C交点的极坐标．

答案 (1)C：

x＝－1＋2cosφ，

y＝1＋2sinφ(φ为参数)