2017-2018学年高中数学苏教版必修四 课下能力提升：(二十五) 两角和与差的正切 Word版含答案
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件3.1.3 两角和与差的正切
.
= 3,
问题导学
当堂检测
2.化简求值:
1+tan75° . 1-tan75°
解:原式=
tan45°+tan75° =tan(45° +75° )=1-tan45°tan75°
3.
问题导学
当堂检测
1.公式 T(α+β),T(α-β)是变形较多的两个公式,公式中有 tan α· tan β,tan α+tan β(或 tan α-tan β),tan(α+β)(或 tan(α-β)).三者知二可表示或求出第 三个. 2.一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换,如 tan =1,tan = 3,
;
.
(2)2- 3
问题导学
当堂检测
一、利用两角和与差的正切公式给角求值
活动与探究 求 tan 15° 的值. 思路分析:联想到两角差的正切公式,15° =45° -30° ,或 15° =60° -45° , 利用特殊角 45° ,30° ,60° 的正切值进行求值. 解:tan 15° =tan(45° -30° )
预习交流 1
公式 T(α±β)中 α,β 的使用范围是什么? 提示:α,β∈R,且 α,β,α± β≠kπ+ (k∈Z),且 tan αtan β≠± 1.
π 2
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预习导引
2.两角和与差的正切公式的变形式 公式变形:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 1-tan αtan β=
高中数学 3.1《两角和与差的正弦、余弦、正切公式3》课件 苏教版必修4
解： 2 cos x
6 sin x 2
2
1 2
cos
x
3 2
sin
x
2
2 sin 30 cos x cos30 sin x
2 2 sin 30 x
3.已知一元二次方程ax2 bx c 0a 0且a c 的两个根为tan α, tan β,求 tan α β 的值.
解：由a 0和一元二次方程根与系数的关系，可知
sin α cos β cos α sin β
cos α cos cos α cos
β β
cos α sin α
cos β sin β
(又有什么要求？）
cos α cos β cos α cos β
tan tan 1 tan tan
两角差的正切公式 Tα-β
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan
tan
b a
,
tan
tan
c a
,
tan tan tan
1 tan tan
且a
b a
1 c
c, 所以
b ac
c
b
a
a
小结：
S(α+β)
C(α+β)
相 除
T(α+β)
以-β代β
以 代
2
以-β代β
以-β代β
S(α-β) C(α-β) 相 除 T(α-β)
3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
学习目标：
1、两角和、差正弦和正切公式的推导过程
2、两角和、差正弦和正切公式的简单运用
两角差的余弦公式 Cα-β
cos（ – ）=cos cos +sin sin 在上式中，若将β替换成-β，则可得:
2017-2018学年高中数学苏教版必修四 课下能力提升：(二十三) 两角和与差的余弦 Word版含答案
课下能力提升(二十三) 两角和与差的余弦一、填空题1．cos(x ＋27°)cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)sin(x －18°)＝________. 2．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________． 3．已知π2＜β＜α＜3π4，sin(α＋β)＝－35，cos(α－β)＝1213，则cos 2α的值为________．4.12sin π12－32cos π12＝________. 5．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，则cos(α－β)＝________.二、解答题6．(广东高考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，求cos C .8．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值．答 案1．解析：原式＝cos[(x ＋27°)－(x －18°)]＝cos 45°＝22. 答案：222．解析：∵sin α＝35且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝－210.答案：－2103．解析：∵π2＜β＜α＜3π4，∴－3π4＜－β＜－π2.∴0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2.∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin 2 α＋β ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45.于是cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)·cos(α－β)－sin(α＋β)·sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45·⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·⎝ ⎛⎭⎪⎫513＝－3365.答案：－33654．解析：原式＝sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－cos π4＝－22.答案：－225．解析：将两条件等式平方后相加得 (cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)＝14＋19＝1336，∴cos(α－β)＝5972.答案：59726．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝2cos π4＝1. (2)∵cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝－15.7．解：∵△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π， 由cos A ＝513知sin A ＝1213.又0＜513＜12，∴A ＞π3.又sin B ＝35，且12＜35＜32，若B 为锐角，则π6＜B ＜π3，此时cos B ＝45.若B 为钝角，则2π3＜B ＜5π6.由于A ＞π3，故B 不可能为钝角．∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－513×45＋1213×35＝1665.8．解：(1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6， 而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，∴2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。
3.1.3两角和与差的正切 作业 高中数学 必修四 苏教版 含答案
3.1.3 两角和与差的正切一、填空题1.1＋tan 75°1－tan 75°＝________. 2．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于________． 3．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是________． 4．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是________． 5．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为______． 6．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________. 7．tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝________.8．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________. 二、解答题9．求下列各式的值：(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°； (2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．10．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1. 11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．三、探究与拓展 12．已知在△ABC 中，0<A <π2，0<B <π2，sin A ＝210，tan(A －B )＝－211. 求：(1)tan B 的值；(2)A ＋2B 的大小．答案1．－3 2.17 3.－7 4.5π4 5.23 6．－327.1 8．1 9．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.10．证明 ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A 2＋B 2＋C 2＝90°. ∴A ＋B 2＝90°－C 2.∴tan ⎝⎛⎭⎫A ＋B 2＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－C 2＝1tan C 2. ∴tan ⎝⎛⎭⎫A ＋B 2·tan C 2＝1. ∴⎝⎛⎭⎫tan A 2＋tan B 2tan C21－tan A 2tan B 2＝1， ∴tan A 2tan C 2＋tan B 2tan C 2＝1－tan A 2tan B 2. 即tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1. 11．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7， tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2， ∴α＋2β＝3π4. 12．解 (1)∵A ，B 是锐角，sin A ＝210， ∴cos A ＝7210，tan A ＝17， ∴tan B ＝tan [A －(A －B )]＝tan A －tan (A －B )1＋tan A ·tan (A －B )＝17＋2111＋17×(－211)＝13(或解tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A ·tan B ＝17－tan B 1＋17tan B ＝－211，∴tan B ＝13)． (2)∵tan B ＝13， ∴tan 2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝231－19＝34， ∴tan(A ＋2B )＝tan A ＋tan 2B 1－tan A ·tan 2B＝17＋341－17×34＝1. 又tan A ＝17<1，tan B ＝34<1. ∵A ，B 是锐角， ∴0<A <π4，0<B <π4， ∴0<A ＋2B <3π4. ∴A ＋2B ＝π4.。
苏教版必修四第三章第一讲两角和与差的三角函数3——两角和与差的正切(学案含答案)
高中两角和与差的正切数学一、考点打破知识点课标要求题型 说明1.能利用两角和与差的余弦公 与两角和（差）式、正弦公式推导出两角和与的余弦、正弦公式相两角和与 差的正切公式， 并从推导的过 填空 比，两角和与差的正 程中领会化归思想的作用； 切公式形式上显得复 差的正切解答2.能用正切的和（差）公式进 杂些，但其运算显得行简单的化简、 求值及恒等式 更加简单，成为江苏的证明。
高考的高频考点。
二、重难点提示重点： 两角和与差的正切公式的推导及运用． 难点： 两角和与差的正切公式的合理变形．◆ 两角和与差的正切公式及推导利用公式 S （ α±β） 和 C （ α±β） 推导出 tan （ α±β） tan （ α－ β）＝tantan( ) ＝ tan tan 。
1 tantan( ) 1 tan tan因此两角和与差的正切公式是T α β： tan （ α－β）＝（－）tantan； 1 tan tanT （ α＋ β）： tan （ α＋β）＝ tantan。
1 tantan【重点解说】α±β 的结构特点和符号规律1.公式T （）（ 1）公式 T （ α±β） 的右边为公式形式，此中分子为tan α与 tan β的和或差，分母为 1 与tan αtan β的差或和；（ 2）符号变化规律可简记为“ 分子同，分母反 ”。
2. 公式 T （ α±β） 应用时要注意的问题（ 1）公式的 合用范围由正切函数的定义可知， α，β，α＋ β（或 α－β）的 终边不可以落在y 轴上 ，即不为 k π＋2（ k ∈ Z ）。
（ 2）公式的逆用一方面要熟记公式的结构， 另一方面要注意 常值 代换，如 tan ＝ 1，tan＝3，tan3463 ＝ 3 等。
特别要注意 tan （＋α）＝1tan ， tan （－ α）＝1tan 。
41 tan41 tan（ 3）公式的变形应用只需见到 tan α±tan β， tan α·tan β时，有灵巧应用公式T （ α±β） 的意识，就不难想到解题思路。
(教师参考)高中数学 3.1.3 两角和与差的正切课件1 苏教版必修4
tan()tantan 1-tantan
tan(-) tan-tan 1tantan
ta n ta n ta n ( ) ( 1 - ta n ta n ) ta n- ta n ta n (-) ( 1 ta nta n )
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16
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11
课堂练习
已知 tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求 tan 2α， tan 2β，tan(2α＋π4)． 【解】 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannαα－－ββ ＝1－5＋5×3 3＝－47，
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12
课堂练习
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3
复习 引入
公式 sin( ) cos
五:
2 cos( ) sin
2
公式六sin( ) cos
：
2
cos( ) sin
2
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4
探究点1
两角和与差的正切公式 tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ (Tα＋β) tan(α－β)＝1t＋antaαn－αttaannββ (Tα－β)
＝tan(70°＋50°)(1－tan 70°tan 50°)－ 3tan 70°tan 50°
＝－ 3.
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10
典型例题
已知 tan(α＋β)＝35，tan(β－π3)＝13，求 tan(α＋π3)． 解：tan(α＋π3)＝tan[(α＋β)－(β－π3)]＝ 1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannββ－－π3π3＝135＋－3513·13＝29.
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8
探究点2
(2)除了公式的正用、逆用外，还要注意公式的变形应用
2018高中数学必修四课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式2 精讲优练课型 精品
种变形？
提示：tan( ) tan tan ，
1 tantan
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).
【解析】1.原式= tan60 tan15
1 tan60 tan15
=tan(60°-15°)
=tan45°=1.
tan 1 11 3 2 1 1 1
11 27 1 ( 2
1.
1) 7
1， 3
所以
32
所tan以
1， 7
( ，)，又 (0， )，2 (0， )，
2
4
2
2 (，0)，所以2 3 . 4
【补偿训练】是否存在锐角α和β，使 2 2 ①，且
3
tan tan 2 3 ②同时成立？若存在，求出α和β的值；
1 3tan15
2.求值
(1) tan 11 =________.
12
(2)tan17 tan28 tan17tan28 =________.
【解题探究】1.典例1中，所求的式子能否化为 tan tan
1 tan tan
的形式？
提示：可以，原式可化为 tan60 tan15 .
1 tan60 tan15
2
2
2
时，有前一个式子两边同乘以1-tanαtanβ可得后一个式子，当
tanα·tanβ=1时， kk∈，Z，tan(α+β)无意义，所以
2
tanα·tanβ≠1，所以后一个式子两边同除以1-tanαtanβ可得前一
个式子成立，故两式等价.
2.已知α，β都是锐角，tan 1 , tan 1，则α+β的值为( )
高中数学必修四课件 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
【训练 1】 求值：
1＋tan (1)1－tan
1155°°；(2)tan
10°＋tan
35°＋tan
10°tan
tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)
＝1－tan 10°tan 35，
所以 tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1．
题型二 条件求值问题
【例2】 (1)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α
＋β)的值为( )
＝15，即t1a＋n αta－n α1＝15，解得 tan α＝32.
法二 因为 tanα－54π＝15，所以 tan α＝tanα－54π＋54π ＝1t－antαan－α54－π5＋4πttaann5454ππ＝1－15＋15×1 1＝32.
（2）由条件知ssiinn
α＋cos α－cos
αα＝ttaann
【训练 2】 (1)已知 tanα－54π＝15，则 tan α＝________.
（
2
）
已
知
sin sin
α＋cos α－cos
α α
＝
3 ， tan(α
－
β)
＝
2
，则
tan(β － 2α) ＝
________．
解析
(1)法一
因为 tanα－54π＝15，所以1t＋antαan－αttaann545π4π
答案 －1
(3)求值：tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝________． 解析 ∵tan 23°＋tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)， ∴原式＝ 3－ 3tan 23°tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3．
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课下能力提升(二十五) 两角和与差的正切
一、填空题
1．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.
2．tan 3°＋tan 42°＋tan 3°tan 42°＝________.
3．若tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α＝________. 4.tan 55°－tan 385°1－tan －305° tan －25°
＝________. 5．在△ABC 中，tan A ＝15，tan B ＝23
，则∠C ＝________. 二、解答题
6．已知sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－3π4的值．
7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝45，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2－β＝－1213，且α－β2为第二象限角，α2－β为第三象限角，求tan α＋β2
的值．
8.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，
β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255
.求： (1)tan(α＋β)的值；
(2)α＋2β的值．
答 案
1．解析：tan 45°＝tan(20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°
＝1， ∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，
∴(1＋tan α)(1＋tan β)
＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°
＝1＋1－tan 20°tan 25°＋ta n 20°tan 25°＝2.
答案：2 2．解析：由tan 45°＝tan(3°＋42°)＝
tan 3°＋tan 42°1－tan 3°tan 42°
得tan 3°＋tan 42°＝tan 45°(1－tan 3°tan 42°)，
∴原式＝1－tan 3°tan 42°＋tan 3°tan 42°＝1.
答案：1
3．解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α
＝2，得tan α＝13， ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝23
. 答案：23
4．解析：原式＝tan 55°－tan 25°1－tan 305°tan 25°＝tan 55°－tan 25°1＋tan 55°tan25°
＝tan(55°－25°)＝tan 30°＝
33. 答案：
33 5．解析：tan C ＝tan[180°－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )
＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－15＋231－15×23
＝－1. 又∵0<C <180°，∴∠C ＝135°.
答案：135°
6．解：sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝sin[(α－β)＋β]＝sin α＝35
.∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－ 1－sin 2 α＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫352＝－45. ∴tan α＝sin αcos α＝－34
. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π4＝tan α－tan 3π41＋tan αtan 3π4＝－34＋11＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34× －1 ＝17. 7．解：∵sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－β2＝45，且α－β2为第二象限角， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－35，∴tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－β2＝－43， 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－1213，α2－β为第三象限角，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－513，tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2－β＝512， tan α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－43－5121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×512
＝－6316. 8．解：由已知得cos α＝
210，cos β＝255，又α，β是锐角． 则sin α＝ 1－cos 2α＝7102，sin β＝ 1－cos 2β＝55
. 所以tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12
. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12
＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan α＋β ＋tan β1－tan α＋β tan β＝－3＋121＋3×12
＝－1， 又α，β是锐角，则0＜α＋2β＜3π2，所以α＋2β＝3π4
.。