真空中的麦克斯韦方程组的推导

真空中的麦克斯韦方程组的推导
一、电磁学的基本定律与定理
电荷：正负电荷同性相斥，异性相吸
1、库仑定律：真空点电荷之间相互作用力
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4r q q F e r πε= 电场：我们假定电荷与电荷之间的相互作用是通过场来传递的。

电场是一种物质
电场强度：反应了电场力的性质
F E q =（定义式，任何情况下都成立） 对于真空中的点电荷Q 产生的电场有
201
4r Q E e r πε= （只适合于真空中的点电荷）
电场线：世上本来没有电场线，有好事者发明它，它是一种形象描述电场而引进的假想的曲线，它的密度代表电场强度的大小，它的切线方向代表电场的方向。

电场强度：等于垂直于电场方向单位面积的电场线的条数，代表着电场线的密度 dN E dS ⊥
= 电场强度E ⎧⎨⎩
大小：电场线密度方向：正电荷受力的方向
2、高斯定理：电通量与电荷的关系的定理
电通量：S =E dS Φ⎰，通过某一曲面S 的电场线的条数
如果该曲面为闭合的曲面，则有
0q E dS εΦ==⎰
由库仑定律可以推导高斯定理，
由库仑定律可以推导高斯定理0E dS ε=⎰ 由奥萨伐尔定律可以推导安培环路0B dl I μ=⎰
静电场无旋 0dl =⎰ 磁场无源
0B dS =⎰
法拉弟电磁感应定律：变化的磁场产生电场
d d B dS dt dt
ξΦ=-=-⎰ 电荷守恒定律 q j dS t ∂=-∂⎰ 下面我们来总结一下得到的定理定律
1、库仑定律可推出与高斯定理和安培环路定理：因此库仑定律可以由高斯定理
和安培环路定理取代
000
()()q E dS E dV dV E ρρεεε=⇒∇=⇒∇=⎰⎰⎰ 2、静电场环路定理：0()00E dl E dS E =⇒∇⨯=⇒∇⨯=⎰⎰
由于毕奥萨伐尔定律可以推导出磁场的安培环路定理和高斯定理，因此毕奥萨伐尔定律的内容可以由安培环路定理和高斯定理取代
3、磁场的安培环路定理00B dl I B j μμ=⇒∇⨯=⎰
4、磁场高斯定理0=0B dS B =⇒∇⎰
5、法拉弟电磁感应定律
d d B B dS E dl B dS E dt dt t ξ∂=-⇒=-
⇒∇⨯=-∂⎰⎰⎰ 6、电荷守恒定律
q j dS j t t
ρ∂∂=-⇒∇=-∂∂⎰
二、电磁学定律的微分形式
1、0
E ρε∇=：静电场高斯定理 2、0E ∇⨯=：静电环路定理
3、0B j μ∇⨯=：静磁场中的安培环路定理
4、=0B ∇：磁场中的高斯定理：这一定成立
5、B E t ∂∇⨯=-
∂：电磁感应定律：（变化的电磁场中成立） 6、j t ρ∂∇=-∂：电荷守恒定律（任何情况下都成立） 第一我们来验证一下1在变化的电场中是不是成立，由于5式是变化的电场所以有 对于第5式
00B B E E t t
∂∂∇∇⨯=-⇒=∇∇⨯=-=∂∂ 因此1与5不冲突，1可以推广到变化的电场情况，2也可以由5包含。

对3式两边取散度
左边0B ∇∇⨯=，右边00j t μμρ∂∇=-∂，只有在稳恒场中0t
ρ∂=∂才成立，因此3只在稳恒场中才成立，在变化的场中不成立 由电荷守恒定律j t ρ∂∇=-∂可知 00()0E j j j t t t
ρρε∂∂∂∇=-⇒∇+=⇒∇+=∂∂∂ 所以可以将3式的j 换成0
E j t ε∂+∂就可以成立， 所以麦克斯韦方程组微分形式为
1、0
E ρε∇=： 电荷是静电场的源 2、B E t ∂∇⨯=-∂：变化的磁场产生电场 3、=0B ∇：磁场无源
4、：000E B j t
μμε∂∇⨯=+∂ ，电流产生磁场，变化的电场产生磁场
三、真空中的电磁波
对于真空条件下（无介质，无电荷与电流），麦克斯韦方程组可以写为
1、0E ∇=：
2、B E t
∂∇⨯=-∂ 3、=0B ∇
4、00E B t
με∂∇⨯=∂ 将第二个方程取旋度并利用第四个方程可以得到
2
002()E B E t t
με∂∂∇⨯∇⨯=-∇⨯=-∂∂ 又因为2
()E E E ∇⨯∇⨯=∇∇-∇，且在真空条件下0E ∇=，则可以得到标准的行波方程 22
2
200222100E E E E t v t με∂∂∇-=⇒∇-=∂∂
其中1v =
为波速，其实就是光速。