传递函数分解法
《自动控制原理》第2章 线性系统的传递函数
+
anc(t)
=
b0
dm dtm
r(t)
+
b1
d m−1 d t m −1
r(t)
++
bm−1
d dt
r(t)
+
bmr(t)
(m n)
设r(t), c(t)及各阶导数在t=0时的值均为零(零初始条件)， 则对方程两端求拉氏变换，可得系统的传递函数
Ch2 控制系统的数学模型
◼ 传递函数的一般形式：
Ch2 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
本章内容
❖ 引言 ❖ 物理系统的微分方程 ❖ 拉氏变换与拉氏反变换 ❖ 线性系统的传递函数 ❖ 方框图及其等效变换 ❖ 信号流图与Mason公式*
Ch2 控制系统的数学模型
2.3 线性系统的传递函数
一. 传递函数的定义
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
(2)
I 2 (s)
=
Ux
(s) −Uo(s) R2
(3)
U o (s)
=
I 2 (s) sC2
(4)
Ch2 控制系统的数学模型
I (s) = Ui (s) −U x (s) (1) R1
Ui _
I
1/R1
Ux
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
Uo (s)
Ui (s) （b）
I(s) Uo (s)
Ch2 控制系统的数学模型
I(s)
（c）
Uo (s)
Ui (s)
I(s)
－ Uo (s) （d）
拉普拉斯变换以及传递函数
2.3 控制系统的复域数学模型 2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的 概念。
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
例2-5
求例2-2机械系统与电路系统的传递函数 Xc和(s) Uc (s)
解：
Xr (s)
U r (s)
•
•
(B1 B2 ) X c (K1 K 2 ) X c B1 X c K1 X r
(B1 B2 )SXc (s) (K1 K2 ) X c (s) B1SX r (s) K1X r (s)
性质 传递函数与微分方程之间有关系。
6
G(s) C(s) R(s)
如果将 S d 置换 传递函数 微分方程
dt
10
性质 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)
7
脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单 位脉冲输入
时的输出响应。
R(s) L[ (t)] 1
c(t) L1[C(s)] L1[C(s)R(s)]
延迟定理
L[ f (t )] es F (s)
终值定理
lim f (t) lim sF (s)
3
t
s 0
数学工具－拉普拉斯变换与反变换续
初值定理 微分定理
lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
于是，由定义得系统传递函数为：
传递函数解读
5、振荡环节 是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所存储 的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性 质，其运动方程为
2 d d 2 T x (t ) 2 T x0 (t ) x0 (t ) Kxi (t ) , 0< <1 2 0 dt dt
传递函数：
X 0 ( s) K G( s) 2 2 X i ( s) T s 2 Ts 1
定，可有可无
传递函数是系统脉冲响应的拉氏变换；
传递函数的零点和极点
传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写 为如下形式：
b0 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) K* a 0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量； K—比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量
与输入量之比。
比例环节的传递函数为
Xo (s) G(s) K Xi (s)
例
求图示一齿轮传动副的传递函数, 分别为输入轴及 输出轴转速,Z1和Z2为齿轮齿数,(当齿轮副无传动间 隙,且传动系统刚性无穷大时,为理想状态).
因ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
z1ni (t) z2n o (t)
z1Ni (s) z2 No (s)
其拉换变换：
No (s) z1 G(s) K Ni (s) z 2
2、惯性环节
凡运动方程为一节微分方程：
d T x0 (t ) x0 (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
此环节与比例环节相比，不能立即复现输 出，而需要一定的时间。说此环节具有 “惯性”，这是因为其中含有储能元件K与 阻能元件C的原因。惯性大小由T来决定。
自动控制原理第四次课—传递函数及结构图简化
典型传递函数
二阶系统
二阶系统的传递函数为G(s) = K / (Ts + 1)(Td + 1)，其中K为系统增益，T为系统时间常数，d为阻尼比。
高阶系统
高阶系统的传递函数为G(s) = N(s) / D(s)，其中N(s)和D(s)是多项式函数，通过求解高阶微分方程得到。
结构图
02
结构图是指用方框和箭头来表示系统或控制器动态行为的一种图形表示方法。
结构图的简化
结构图的应用
系统分析
通过结构图可以方便地对系统进行分析，例如系统的稳定性和响应时间等。
控制系统
03
控制系统是一种通过反馈机制实现特定输出与特定输入之间关系的系统。
它由传感器、控制器、执行器、被控对象等组成，通过信息交换实现系统的控制。
控制系统的定义
控制系统的分类
闭环控制系统
具有反馈环节，将输出信号反馈到输入端进行比较，调整控制信号，提高控制精度和稳定性。
系统达到稳定状态后的误差大小，即实际输出与期望输出的差距。
01
03
02
分析方法
04
频率分析法的基本思想
频率分析法的优点
频率分析法的局限性
频率分析法
根轨迹法
根轨迹法的基本思想
将控制系统传递函数表示成根的形式，然后根据根的分布情况进行分析。
根轨迹法的优点
可以直观地反映系统的性能指标，如稳定性、响应速度、超调量等。
根轨迹法的局限性
对于高阶系统进行分析时比较复杂，需要绘制多个根轨迹图。
01
02
03
极点配置法的基本思想
通过选择控制器的参数，使得系统的极点配置在期望的位置上，从而达到预期的系统性能。
matlab传递函数降阶
Matlab传递函数降阶一、引言在信号处理领域，我们常常需要对信号进行降阶处理，以便更好地理解信号的特性和进行后续的分析。
在Matlab中，我们可以利用传递函数降阶的方法来实现信号的降阶操作。
本文将详细介绍如何使用Matlab实现传递函数降阶，并对其原理进行深入探讨。
二、传递函数简介传递函数是描述线性时不变系统的数学模型。
它表示输入信号经过系统后得到的输出信号与输入信号之间的关系。
传递函数通常以H(s)的形式表示，其中s是复变量，代表系统的复频域变量。
三、传递函数降阶方法传递函数降阶是指将高阶传递函数转化为低阶传递函数的过程。
通常情况下，我们希望将高阶传递函数降阶为一阶或二阶传递函数，以简化系统的描述。
1. 一阶传递函数降阶将一个一阶传递函数降阶为一个常数的方式非常简单。
我们只需要将传递函数的分子多项式和分母多项式分别除以它们的最高次项即可。
例如，对于一个一阶传递函数H(s) = (s + a) / (s + b)，其中a和b分别是分子和分母多项式的系数。
将其进行降阶后，得到H(s) = 1 / (s + b/a)。
2. 二阶传递函数降阶将一个二阶传递函数降阶为一阶传递函数的方法通常有两种。
一种是使用Sallen-Key结构实现，另一种是将传递函数分子和分母多项式进行部分分式展开。
2.1 Sallen-Key结构Sallen-Key结构是一种常用的二阶滤波器结构，可以将一个二阶传递函数降阶为一阶传递函数。
在Matlab中，我们可以利用tf2ss函数将二阶传递函数转换为状态空间模型，然后利用ss2tf函数将状态空间模型转换为一阶传递函数。
具体的步骤如下：1.将二阶传递函数H(s)转换为状态空间模型：[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)其中num和den分别是传递函数的分子和分母多项式的系数。
2.将状态空间模型转换为一阶传递函数：[num,den] = ss2tf(A,B,C,D)2.2 部分分式展开部分分式展开是另一种将二阶传递函数降阶为一阶传递函数的方法。
传递函数和状态方程互转
传递函数和状态方程互转传递函数和状态方程是用于描述线性时不变系统的两种常见方法。
它们可以互相转换，下面介绍具体的方法。
将传递函数转换为状态方程：1. 将传递函数分子分母展开，得到表达式： Y(s) = b0s^n +b1s^(n-1) + ... + bn / (s^m + a1s^(m-1) + ... + am) 。
2. 将分母因式分解，得到： (s+a1)(s+a2)...(s+am) 。
3. 对每个根对应的项，设一个状态变量： x1 = -a1x1 + u , x2 = -a2x2 + x1 , ... , xm = -amxm + xm-1 。
4. 将状态变量代入传递函数表达式，得到状态方程： Y(s) = b0s^n + b1s^(n-1) + ... + bn [u-sx1-s^2x2-...-s^mxm] 。
5. 对状态方程取拉普拉斯反变换，得到时域表示： y(t) =b0(dx(n)/dt^n) + b1(dx(n-1)/dt^(n-1)) + ... + bn[u(t)-d^(m-1)y(t)/dt^(m-1)-...-d^0y(t)/dt^0] 。
将状态方程转换为传递函数：1. 对状态方程取拉普拉斯变换，得到表达式： Y(s)[s^m + a1s^(m-1) + ... + am] = b0s^nX(s) + b1s^(n-1)X(s) + ... + bnX(s) 。
2. 整理得： Y(s)/X(s) = b0s^n + b1s^(n-1) + ... + bn / (s^m + a1s^(m-1) + ... + am) 。
3.这就是传递函数的表达式。
综上所述，传递函数和状态方程的互转可以通过代数方法进行。
4-传递函数
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 模型总论 微分方程的建立 传递函数模型 框图模型 信号流图模型 模型总结
第四讲：系统的数学模型
2-3 传递函数模型 2-4 框图模型
2-3 传递函数模型
一 定义与性质 设一般线性定常系统的微分方程为
dn d n−1 d a0 n y(t) + a1 n−1 y(t) +L+ an−1 y(t) + an y(t) dt dt dt dm d m−1 d = b0 m r(t) + b1 m−1 r(t) +L+ bm−1 r(t) + bmr(t) dt dt dt
环路分辨
G3 H3
G3 H3 H3
总之，框图简化的一般方法是： 移动引出点或比较点； 进行方框运算； 将串联、并联、反馈连接的框图合并；
三 框图三种典型形式
串 联 G1 G2 并 联 G1 G2 反 馈 G H
G1 G2
G1 G2
G 1+ G H
（1）串联
X(s) G (s) 1 X1(s) Y(s) G2(s)
＝
X(s)
G(s)
Y(s)
Y(s) G(s) = = G (s) ⋅ G2 (s) 1 X (s) X1(s) Y(s) Q = G (s), = G2 (s) 1 X (s) X1(s) Y(s) ∴ = G (s)G2 (s) 1 X (s)
（2）并联
X(s) G1(s) G2(s) Y1(s)
Y(S)
±
Y2(s)
＝
X(s)
Y(s) G(s)
G(s) = G1(s) ± G2 (s) Y(s) = Y1(s) ±Y2 (s) = X (s)G1(s) ± X (s)G2 (s) = X (s)[G1(s) ± G2 (s)] = X (s)G(s) ∴G(s) = G1(s) ± G2 (s)
第2章(2) 控制系统的状态空间表达式
2-3 由控制系统的方块图求系统状态空间表达式系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。
要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成：第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s ）、比例器（k ）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。
第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s ）的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dtdx i。
第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。
根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。
例2-5 某控制系统的方块图如图2-6所示，试求出其状态空间表达式。
解：该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。
对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。
图2-6所示方块图经等效变换后如下图所示。
我们取每个积分器的输出端信号为状态变量1x 和2x ，积分器的输入端即1x和2x 。
图2-6 系统方块图从图可得系统状态方程： ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=-+-==uT K x T x T K K x K u T K x T x x T K x 112111311311212222111 取y 为系统输出，输出方程为：1x y =写成矢量形式，我们得到系统的状态空间表达式：[]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=x y u T K x K K T K x 010********例2-6 求如图2-7（a ）所示系统的动态方程。
解：图2-7(a)中第一个环节21++s s 可以分解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-211s ，即分解为两个通道。
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传递函数分解法
【原创实用版】
目录
1.传递函数分解法的概述
2.传递函数分解法的基本原理
3.传递函数分解法的具体步骤
4.传递函数分解法的应用实例
5.传递函数分解法的优点与局限性
正文
一、传递函数分解法的概述
传递函数分解法，是一种将复杂函数分解为简单函数的数学方法。
它是通过将函数的定义域进行划分，将函数的值域进行拆分，从而将原函数分解为若干个简单函数的方法。
这种方法在数学、物理、化学等学科中具有广泛的应用。
二、传递函数分解法的基本原理
传递函数分解法的基本原理是：任何一个复杂函数都可以通过某种方式，分解为若干个简单函数的组合。
这些简单函数可以是线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等。
通过这种分解，可以简化函数的解析，方便函数的求解和计算。
三、传递函数分解法的具体步骤
1.确定原函数的定义域和值域。
2.将定义域进行划分，将值域进行拆分。
3.对于每一个子域和子值，选择一个适当的简单函数来表示原函数。
4.将这些简单函数组合起来，得到一个新的函数，这个新函数就是原
函数的传递函数分解式。
四、传递函数分解法的应用实例
例如，对于函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，我们可以通过传递函数
分解法将其分解为 (x - 3)(x^2 - 3x + 3) 的形式。
五、传递函数分解法的优点与局限性
传递函数分解法的优点在于，它可以将复杂的函数分解为简单的函数，从而简化函数的解析，方便函数的求解和计算。