反比例函数讲义(知识点+典型例题)

变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数
1
1-=
m x
y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．
题型二：反比例函数解析式
例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数
图象上的两个点．则m 的值 ．
例4 已知y 与2x －3成反比例，且4
1
=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．
变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－2
3
时，求x 的值．
变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．
1、反比例函数的图像
（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象
限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线
的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质
（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、
三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）
（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同
号异号），反之也成立。

（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；
当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。

反之也成立。

※注：① 在利用反比例函数的增减性比较坐标大小时，一定通过画图解决，这是一个易错点）；
② 在反比例函数y 随x 的变化情况中一定注明在每一个象限内
（4）k 的几何意义：
如图，设点P （a ，b ）是反比例函数y=
x
k
上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是k （三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是k 2
1
；面积是正数，所以k 要加绝对值）
3、直线与双曲线相交
（1）交点坐标即为直线关系式和双曲线关系式联立所得方程组的解。

（2）求直线与双曲线解析式：往往通过点在图像上，将点的坐标代入关系式；求点的坐标可以考虑向坐标轴作垂线转
化为求线段长度，而线段长度又可以和三角形相似，勾股定理，三角形面积结合
（3）与三角形面积相关：利用k 的几何意义；恰当选择底和高，直接法；还可以用割补法，通常用竖割或横割。

题型一：反比例函数的图像
例1 已知0k >，函数y kx k =+和函数k
y x
=
在同一坐标系内的图象大致是（ ）
例2 如果函数2
22
-+=k k
kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的k 值是__________
变式1 下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )．
A x
m y =
B x
m y 1+=
C x
m y 1
2+=
D x m y -=
变式2 正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k
y k x =≠的图象相交于点A （1，a ），则a ＝ ．
变式3 反比例函数(0k
y k x
=
≠）
的图象经过（—2，5）和（2， n ）， 求（1）n 的值； （2）判断点B （24，2-）是否在这个函数图象上，并说明理由
题型二：反比例函数性质
例3 下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ）
A ．34y x =-+
B ．123
y x =-- C ．4
y x
=-
D ．12y x =．
例4 已知直线y ＝kx ＋b 的图象经过第一、二、四象限，则函数x
kb
y =的图象在第______象限．
变式4 若点（1x ，1y ）、（2x ，2y ）和（3x ，3y ）分别在反比例函数2
y x
=- 的图象上，且 1230x x x <<<，则下列判断中正确的是（ ）
A ．123y y y <<
B ．312y y y <<
C ．231y y y <<
D ．321y y y << 变式 5 在反比例函数x
k y 1
+=
的图象上有两点11()x y ，和22()x y ，，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是 ．
题型三：关于平面直角坐标系中求三角形面积的问题。

例5 一次函数-3y x =+的图象与反比例函数2
y x
=的图象交于A 、B 两点，求AOB △的面积． 例6 如图，已知反比例函数x
y 12
=
的图象与一次函数y ＝kx ＋4的图象相交于P 、Q 两点，并且P 点的纵坐标是6． （1）求这个一次函数的解析式；（2）求△POQ 的面积．
4、 已知某种品牌电脑的显示器的寿命大约为4
102⨯小时，这种显示器工作的天数为d （天），平均每天工作的时间为t （小时），那么能正确表示d 与t 之间的函数关系的图像是（ ）
5、在同一直角坐标平面内，如果直线y=x 1k 与反比例函数y=x
2
k 没有交点，那么1k 和2k 的关系一定是（ ） A 1k <0，2k >0
B 1k >0，2k <0
C 1k 、2k 同号
D 1k 、2k 异号
6、若点（x 1，y 1）、（2,2x y ）、（x 3，y 3）都是反比例函数y=-x
1
的图象上的点，并且x 1<0<x 2<x 3，则下列各式中正确的是（ ）
A 、y 1<y 2<y 3
B 、y 2<y 3<y 1
C 、y 3<y 2<y 1
D 、y 1<y 3 <y 2 7、点A （a, b ）、B （a －1，c ）均在函数y=
x
1
的图象上，若a <0，则ｂ与ｃ的大小关系是（ ） A 、ａ>ｃ B 、ｂ<ｃ C 、ｂ=ｃ D 、不确定 8、在反比例函数y=
x
k
-1的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A ．1- B ．0 C ．1
D ．2
9、函数y ＝－ax ＋a 与x
a
y -=
（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是 （ ）
10、 如果矩形的面积为12cm 2
，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致 （ ）
A ．
B ．
C ．
y
y
y
y
x
x
x
x
y
x
O
O
y x
y
x O
y x
O
A ．
B ．
C ．
D ．
11、一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数x
k
y =2错误!未找到引用源。

（k 1∙k 2≠0）的图象如图所示，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是（ ）
A 、﹣2＜x ＜0或x ＞1
B 、﹣2＜x ＜1
C 、x ＜﹣2或x ＞1
D 、x ＜﹣2或0＜x ＜1
（11题图） （12题图）
12、如右图，A 为反比例函数y=x
k
图象上一点，AB 垂直x 轴于B 点，若S △AOB ＝3，则k 的值____________ 13、若函数3
2-21-=
m m x
y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝____________，解析式为___________．
14、已知y-2与x 成反比例，当x=3时，y=1，则y 与x 间的函数关系式为 ； 15、若正比例函数y=2x 与反比例函数x
k
y =
的图象有一个交点为 （2，m ），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________． 16、已知反比例函数y =
（m 为常数，且m ≠5）．
（1）若在其图象的每个分支上，y 随x 的增大而增大，求m 的取值范围； （2）若其图象与一次函数y =﹣x +1图象的一个交点的纵坐标是3，求m 的值．
17、如图所示，一次函数11+=x y 的图象与反比例函数x
k
y =2（k 为常数，且0≠k ）的图象都经过A （m ，2） （1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式
（2）结合图象直接比较：当x>0时，1y 与2y 的大小
A
B
O
x y
18、已知反比例函数x
m
y 21-=的图象上两点()()2211,,,y x B y x A ，当210x x <<时，有21y y <，则m 的取值范围是？
19、如图,在平面直角坐标系中，直线2
k
y x =+
与双曲线k y x =在第一象限交于点A ，与x 轴交于点C ，AB ⊥x 轴，
垂足为B ，且AOB S Λ＝1．求：
（1）求两个函数解析式； （2）求△ABC 的面积．。