探索求一元函数极值和最值方法.docx

“探索求一元函数极值和最值方法”的学习报告

一、MU B

函数的极值、最值不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数形态的重要特征。因此，通过学习、掌握确定极值点和最值点，并求岀极值和最值的方法是十分重要的。

二、学习内容和过程

1 •探索可能的极值点

(1) 冋顾相关定义、定理

a.极值定义：若函数f在点x()的领域U(x())内对一切xWU(x())有•f(x())2(W)f(x),贝U称函数f在点X。确取得极大(小)值。称xo为极大(小)值点。

b. 费马定理：设函数F在点X。的某领域内有定义，口在点X。可导。若点X。为f的极值点, 则必有V (x0)=Oo且称这样的点为稳定点。

(2) 思考并回答下列问题。进一步分析可能的极值点类型。

a. 可导点成为极值点一定是稳定点吗？(是。通过费马定理可证明)

b. 函数的不可导点也能称为极值点吗？(能。例如y二1x1在x=0处取极小值)

c. 函数的稳定点一定是极值点吗？(不一定。例如y=x‘，x=0为稳定点，但非极值点)

d. 函数的不可导点一定是极值点吗？(不一定。例如y =l/x,在x=0处不可导，但不是极值点)

e. 函数在点X。处不可导，它包含了哪几种情况？(①连续不可导②不连续)

f. 除此Z外，还有没有其他类型的点极值点？(没有)

厂稳定点，例如y=x2, x=0处

(3) 市上曲的问题得到极值点的范围<

「连续不可导，例如y=l xl, x=0处

.不可导点彳rx2 xHO

I不连续点，例如y彳

I — 1 x=0

2. 探索确定极值点的方法

山极值点的范围可知极值点分为连续点和间断点。对于剪短点，只要满足在X。某领域内始终有f(x())Nf(x)或者f(x())Wf(x),至于连续部分函数任意，这样间断点x()就为极大或极小值点，即判断间断点是否为极值点，只需要根据极值定义即可。下而主要讨论连续点能否成为极值点的判断。

(l)a.考察函数y=xS y=x3, y=x,/3易知在x=0处连续，在U°(x河导，且有

®y=x2 xvO时，V (x)<0,函数严格递减x>o吋，

r(x)>o,函数严格递增

②y=x3 r (x) 20函数单调递增

仅在x=0 时，r (x)=0

③y=x"3 f，(x)>0.函数严格递增且x=0处不可导

ril y=x2在x=o处连续以及两边领域内的增减性对知y=x2在x=o处取得极小值，而y=x3 以及y=x1/3由f(x)的增减性可知在x=0处不取极值。

b.启发得到定理：设f在点xo连续，在某领域U°(x°)内可导则

I 若当xGU+°(x。)，f'(x) W0,当xGU—°(xo), f'(x) $0,则 f 在点xo处取得极人值

II 若当xEU+°(xo), f，(x) 30,当xeU-°(x0), P(x) WO,则 f 在点xo处取得极小值

(单调性可以验证)

注：由条件在X 。连续，在U°(xo)内可导，可知该定理适用于稳定点或连续不可导点。

(2)a.考察函数y=x 2, y=-x 2易知前者在x=0处取得极小值，后者在x=0处取得极大值,

而且二者在x=0处的导数值都为0。观察二者的二阶导数符号特点。列表如下: 函数

…阶导数值

二阶导数符号 y=x 2 0 + Y=-x 2

—

b.f xo U(x°)x=x°J 导数非零。则有I 若二阶导数小于零，则f 在X 。处取得极大值

II 若二阶导数大于零则f 在X 。处取得极小值(泰勒公式可验证)

(3)a.进一步考察f(x)=x?和f(x)=x 3 4 5等更高阶导数和极值特点，类似(2)方法：若少)(x ())=0,

考虑仟匕。)的符号。

b.启发得定理：设f 在X 。的某领域内存在直到ml 阶导惭数，在§处n 阶可导，且 f (k)(x o )=O(k=l,2,3……11),严)仇0)H0,

I 当n 为偶数时,f 在X 。处取极值，且抄)(xo)vO 取极大值,®(Xo)>O 取极小值， II 当n 为奇数时，f 在X 。不取极值(泰勒公式可验证)

(4)综上，在确定 勺是否为f(X )的极值点时，首先观察，若不连续则用

定义判断，若连续，再观察在乜处是否可导，若不可导首接用定理1 判断，若可导再计算f'(xo) H0,显然不为极值点，若F(xo)=0再按 相应定理判断。

3. 探索确定区间上连续函数的最值的方法 (1)回顾有界闭区间上连续函数的最值性

若f 在闭区间［a,b ］上连续，则f 在［a,b ］上有最大值与最小值

(2)考察函数f(x)=x 2, f(x)=l xl 在卜1,2］上的最大值和最小值的分布,以及f(x)=sinx 在［0, n ］内最

函数

最小值点

最大值点

f(x)=x 2 x=o 极小值点 X=2端点 f(x)=l xl x=o 极小值点 X=2端点 f(x)=sinx

X=0和n 端点

X=n/2极大值点

值点，而这个极值点正好就是最值点

3 得出结论：a.若函数f 在(a, b)内取得极大或极小值则相应的极大或极小值中某一个也为 f 在［a,b ］内的最大或最小值

b.除极大或极小值可能成为最大或最小值外，端点值也可能最大或最小值

4 求f 在闭区间［a,b ］内的最值的方法：先求出f 在其中的极值，端点值，再比较所求极值，

端点值的大小，得到相应的最值。

5 进一步观察函数f(x)=x 2和f(x)=l xl 在［・1,2］上极值点的个数。可以看到二者都只有一个极

注：该定理为充分条件，例如f(x)=

因为f'k,(xo)<()无法川该定理。

xHO

x=0

在x=0处取极小值。但