专题2 立方和(差)公式、和(差)的立方公式(必讲)(张俊)

专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；

（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；

（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；

（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。

反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。

例1 计算：

（1）2(32)(964)y y y +-+；

（2）22151(5)(25)224

x y x xy y -++； （3）2(21)(421)x x x +++。

分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+；

（2）原式=333311(5)(

)12528x y x y -=-； （3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。

说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式 中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算

23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x x x ++=+=+⋅+⋅+=+++。 例2 计算：

（1）3639

(1)(1)(1)x x x x -+++；

（2）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-++-+；

（3）2222(2)(24)x y x xy y +-+；

分析：利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的两个因式，是计算的关键. 解：（1）原式9918

(1)(1)1x x x =-+=-；

（2）解法一：原式22336[(1)(1)][(1)(1)](1)(1)1x x x x x x x x x =+-+-++=+-=-；

解法二：原式22(1)(1)[(1)][(1)]x x x x x x =+-+++-

2222(1)[(1)]x x x =-+- 242(1)(1)x x x =-++

61x =-；

（3）原式222

[(2)(24)]x y x xy y =+-+ 332(8)x y =+

63361664x x y y =++。

说明：第（2）、（3）题往往先用立方和（差）公式计算简捷.相反，如第（2）题的第二种解法就比较麻烦.

例3因式分解：

（1）33125x y +；

（2）4

27a a -；

（3）66x y -。

分析：对照立方和（差）公式，正确找出对应的,a b 是解题关键，然后再利用立方公式分解因式。

解：（1）原式3322()5(5)(525)xy xy x y xy =+=+-+；

（2）原式3332(127)[1(3)](13)(139)a a a a a a a a =-=-=-++

（3）原式 323233332222()()()()()()()()x y x y x y x y x xy y x y x xy y =-=+-=+-+-++。 说明：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。

例４设5,1x y xy +==-,试求33

x y +的值。

分析：对于立方和公式3322

()()a b a b a ab b +=+-+，我们不难把它变成： 332()[()3]a b a b a b ab +=++-，即333()3()a b a b ab a b +=+-+，再应用两数和、两数积解题较为方便。

解：3333()3()53(1)5140x y x y xy x y +=+-+=-⨯-⨯=。

说明：立方和（差）与和（差）的立方之间可以相互转化。

例5 如果ABC ∆的三边,,a b c 满足3222230a a b ab ac bc b -+-+-=，试判断ABC ∆的 形状。

分析：直接看不出三角形边之间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形三边之间的关系。

解：因为322223

0a a b ab ac bc b -+-+-=，

所以332222()()0a b a b ab ac bc -+-++-+=，

即222()()()()0a b a ab b ab a b c a b -++----=， 222()(c )0a b a b -+-=，

所以a b =或222a b c +=，

因此ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.

说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形.

练习

1.计算：

（1）2(4)(164)a a a +-+；

（2）22121(2)(4)339a b a ab b -+

+； （3）2(1)(1)x x x ---+；

（4）22

(2)(24)(2)x x x x x ---++。

2.计算：

（1）222(2)(2)(24)(24)x x x x x x +--+++；