绝密)2019考研数学完整版及参考答案
2019考研数学完整版及参考答案 一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0x处的
增量，dyy与分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则（ ） (A) 0dyy. (B) 0dyy. (C) d0yy. (D) d0yy . （2）设()fx是奇函数，除0x外处处连续，0x是其第一类间断点，则0()dxftt是 （A）连续的奇函数. （B）连续的偶函数 （C）在0x间断的奇函数 （D）在0x间断的偶函数. （ ）
（3）设函数()gx可微，1()()e,(1)1,(1)2gxhxhg，则(1)g等于（ ） （A）ln31. （B）ln31. （C）ln21. （D）ln21.
（4）函数212eeexxxyCCx满足的一个微分方程是 [ ]
（A）23e.xyyyx （B）23e.xyyy （C）23e.xyyyx （D）23e.xyyy （5）设(,)fxy为连续函数，则1400d(cos,sin)dfrrrr等于（）
（Ａ）22120d(,)dxxxfxyy. （B）221200d(,)dxxfxyy. (C) 22120d(,)dyyyfxyx. (D) 221200d(,)dyyfxyx . （6）设(,)(,)fxyxy与均为可微函数，且(,)0yxy，已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xy下的一个极值点，下列选项正确的是（） (A) 若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy. (B) 若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy. (C) 若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy. (D) 若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy. （7）设12,,,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是 [ ] (A) 若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性相关. (B) 若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性无关. (C) 若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性相关. (D) 若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性无关.
（8）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记110010001P，则（）
（Ａ）1CPAP. （Ｂ）1CPAP. （Ｃ）TCPAP. （Ｄ）TCPAP.
一．填空题 （9）曲线4sin52cosxxyxx 的水平渐近线方程为
（10）设函数2301sind,0(),0xttxfxxax 在0x处连续，则a （11）广义积分220d(1)xxx. （12） 微分方程(1)yxyx的通解是 （13）设函数()yyx由方程1eyyx确定，则 0ddxyx
（14）设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则 B . 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
试确定,,ABC的值，使得
23e(1)1()xBxCxAxox，
其中3()ox是当0x时比3x高阶的无穷小. （16）（本题满分10分）
求 arcsinedexxx. （17）（本题满分10分） 设区域22(,)1,0Dxyxyx， 计算二重积分221dd.1Dxyxyxy （18）（本题满分12分） 设数列nx满足110,sin(1,2,)nnxxxn
（Ⅰ）证明limnnx存在，并求该极限；
（Ⅱ）计算211limnxnnnxx. （19）（本题满分10分） 证明：当0ab时， sin2cossin2cosbbbbaaaa.
（20）（本题满分12分）
设函数()fu在(0,)内具有二阶导数，且22zfxy满足等式
22220zzxy.
（I）验证()()0fufuu； （II）若(1)0,(1)1ff，求函数()fu的表达式. （21）（本题满分12分）
已知曲线L的方程221,(0)4xttytt （I）讨论L的凹凸性； （II）过点(1,0)引L的切线，求切点00(,)xy，并写出切线的方程； （III）求此切线与L（对应于0xx的部分）及x轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组
123412341234
1435131xxxxxxxxaxxxbx
有3个线性无关的解. （Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩2rA；
（Ⅱ）求,ab的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分） 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量TT121,2,1,0,1,1是线性方程组0Ax的两个解. (Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQAQ.
数学答案 1. A【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由()0,()0fxfx知，函数()fx单
调增加，曲线()yfx凹向，作函数()yfx的图形如右图所示，显然当0x时， 00d()d()0yyfxxfxx，故应选(Ａ).
【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：
0000()()(),yfxxfxfxxxx
因为()0fx，所以()fx单调增加，即0()()ffx，又0x， 则 0()()d0yfxfxxy，即0dyy. 定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.165【例6.1】，P.193【１（３）】. 2. B【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()fx去计算0()()dxFxftt，然后选择正确选项. 【详解】取 ,0()1,0xxfxx
.
则当0x时，22200011()()dlimdlim22xxFxfttttxx， 而0(0)0lim()xFFx，所以()Fx为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）. 【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效. 符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006文登最新模拟试卷（数学三）（8）.
3. C【分析】题设条件1()()egxhx两边对x求导,再令1x即可. 【详解】1()()egxhx两边对x求导,得 1()()e()gxhxgx
.
上式中令1x，又(1)1,(1)2hg，可得 1(1)1(1)1(1)e(1)2e(1)ln21gghgg
，故选（C）.
【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例12】，《数学复习指南》理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1【典例精析】. 4. D【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式. 【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为
121,2.
则对应的齐次微分方程的特征方程为 2(1)(2)0,20即.
故对应的齐次微分方程为 20yyy.
又*exyx为原微分方程的一个特解，而1为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()exfxC（C为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D）. 【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式.. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第7讲第2节【例9】和【例10】，《数学复习指南》P.156【例5.16】，《数学题型集粹与练习题集》（理工类）P.195（题型演练3），《考研数学过关基本题型》（理工类）P.126【例14】及练习.
5. C【分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可. 【详解】 由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Y型域，则
原式22120d(,)dyyyfxyx. 故选（Ｃ）. 【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节例4，《数学复习指南》（理工类）P.286【例10.6】，《考研数学过关基本题型》（理工类）P.93【例6】及练习.
6. D【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)Fxyfxyxy在000(,,)xy（0是对应00,xy的参数的值）取到极值的必要条件即可.
【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)Fxyfxyxy，并记对应00,xy的参数的值为0，则
000000(,,)0(,,)0xyFxyFxy， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0xxyy
fxyxyfxyxy
.
消去0，得 00000000(,)(,)(,)(,)0xyyxfxyxyfxyxy,
整理得 000000001(,)(,)(,)(,)xyxyfxyfxyxyxy.（因为(,)0yxy），
若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.故选（Ｄ）. 【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析（江南博哥）1 [单选题]当x→0时，x-tanx与x k是同阶无穷小，则k=( )．A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：因，若要x一tanx与x‘是同阶无穷小，则k=3，故选C项．2 [单选题]A.可导点，极值点B.不可导点，极值点C.可导点，非极值点D.不可导点，非极值点正确答案：B参考解析：因为不存在，所以x=0是f(x)的不可导点；又因为f(x)连续，当x<0时,f’(x)=-2x>0，当0<x<e-1时,f’(x)=lnx+1<0，所以x=0是f(x)的极值点．3 [单选题]设{u n}是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是( )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：由单调有界收敛定理知{u n}极限存在，由有界性知了C>0满足|u n|≤C，绝对收敛．4 [单选题]，如果对上半平面(y>O)内的任意有向光滑封闭曲线C都有Q(x，y)dy=0，那么函数P(x，y)可取为( )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：由题意知，积分与路径无关，则，故只需选择在上半平面有连续偏导数，且满足的P函数只有D项．5 [单选题]设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2+A=2E，且|A|=4，则二次型x T Ax的规范形为( )．A.B.C.D.正确答案：C参考解析：设λ是A的特征值，根据A2+A=2E，得λ2+λ=2，解得λ=1或-2，所以A的特征值是1或-2．因为|A|=4，所以A的三个特征值为1，-2，-2，从而二次型x T Ax的规范形为；，故选c项．6 [单选题]如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程a i1x+a i2y+a i3z=d i(i=1，2，3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A，，则( )．A.r(A)=2，r()=3B.r(A)=2，r()=2C.r(A)=1，r()=2D.r(A)=1，r()=1正确答案：A参考解析：由题意知3张平面无公共交点，且交线相互平行，所以r(A)≠r()，故排除B和D选项；又因为它们两两相交于一条直线，故其中任意两个平面不平行，所以2=r(A)，r()=3，故选A项．7 [单选题]设A，B为随机事件，则P(A)=P(B)的充分必要条件是( )．A.P(A∪B)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A)=P(B)D.P(AB)=P()正确答案：C参考解析：因为P(A)=P(A)-P(AB)，P(B)=P(B)-P(AB)，所以P(A)=P(B)(A)=P(B)，故选C项．8 [单选题]设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(μ，σ2)，则P{|X-Y|<1}( )．A.与μ无关，而与σ2有关B.与μ有关，而与σ2无关C.与μ，σ2都有关D.与μ，σ2都无关正确答案：A参考解析：X～N(μ，σ2)，Y～N(μ，σ2)，且X与Y相互独立，则E(X—Y)=0，D(X—Y)=D(X)+D(Y)=2σ2，与μ无关，而与σ2有关．故选A项．9 [填空题]设函数f(u)可导，z=f(siny-sinx)+xy，则参考解析：【解析】10 [填空题]微分方程2yy’-y2-2=0满足条件y(0)=1的特解为______．参考解析：【解析】11 [填空题]幂级数内的和函数S(x)=______．参考解析：【解析】12 [填空题]设∑为曲面x2+y2+4z2=4(z≥0)的上侧，则参考解析：【解析】将曲面方程代入积分表达式，原积分为13 [填空题]设A=1，2，3为三阶矩阵，若1，2线性无关，且3=-1+22，则线性方程组Ax=0的通解为_______．参考解析：【解析】∵1，2线性无关，∴r(A)≥2．∵3=-1+22，∴r(A)<3，∴r(A)=2，∴Ax=0的基础解系中有n-r(A)=3-2=1个线性无关的解向量．∵1-22+3=0，14 [填空题]设随机变量x的概率密度为F(X)为X的分布函数，E(X)为X的数学期望，则P{F(X)>E(X)-1}=．参考解析：【解析】方法一方法二易知Y=F(X)~U(0，1)，15 [简答题]设函数y(x)是微分方程满足条件y(0)=0的特解．(I)求y(x)；(Ⅱ)求曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点．参考解析：(I)16 [简答题]设a，b为实数，函数z=2+ax2+by2在点(3，4)处的方向导数中，沿方向l=-3i-4j的方向导数最大，最大值为10．(I)求a，b；(11)求曲面z=2+ax2+by2(z≥0)的面积．参考解析：(I)函数梯度为▽=(2ax，2by)，则函数在点(3，4)处的梯度为(6a，8b)，则可知沿方向(-3，-4)的最大方向导数为17 [简答题]求曲线y=e-x sinx(x≥0)与x轴之间所成图形的面积．参考解析：18 [简答题](Ⅰ)证明：数列{a n}单调递减，且(Ⅱ)参考解析：证明：19 [简答题]设Ω是由锥面x2+(y-z)2=(1-z)2(0≤z≤1)与平面z=0围成的锥体，求Ω的形心坐标．参考解析：设力的形心坐标为，根据对称性可知=0．对于0≤z≤1，记D z={(x，y)|x2+(y-z)2≤(1-z)2}，则20 [简答题]设向量组1=(1，2，1)T，2=(1，3，2)T，3=(1，a，3)T为R3的一个基，β=(1，1，1)T，在这组基下的坐标为(b，c，1)T．(I)求a，b，c；(Ⅱ)证明2，3，β为R3的一个基，并求2，3，β到1，2，3的过渡矩阵．参考解析：21 [简答题]已知矩阵(I)求x，y；(II)求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．参考解析：(Ⅱ)A的特征值与对应的特征向量分别为B的特征值与对应的特征向量分别为22 [简答题]设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为P{Y=-1}=p，P{Y=1}=1-p，(0<p<1)，令Z=XY．(I)求Z的概率密度；(Ⅱ)p为何值时，X与Z不相关?(Ⅲ)X与Z是否相互独立?参考解析：23 [简答题]设总体x的概率密度为其中μ是已知参数，σ>0是未知参数，A是常数，X1，X2，…，X n是来自总体X的简单随机样本．(I)求A；(Ⅱ)求σ2的最大似然估计量．参考解析：。
2019年考研《数学》考试试题及答案(卷三)
2019年考研《数学》考试试题及答案（卷三）一、选择题(1) 已知当0x 时，()3sin sin 3f x xx 与kcx 是等价无穷小，则( )(A) 1,4k c . (B) 1,4k c .(C) 3,4kc.(D)3,4kc.2．已知x f y 是由方程1ln cos x yxy 确定，则12lim nfn n（）（A ）2 （B ）1 （C ）-1（D ）-2(3) 设n u 是数列，则下列命题正确的是( )(A) 若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛. (B)若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛.(C) 若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛. (D)若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛.４．设函数exxx ex x x f ,ln11,)1(1)(11，且反常积分dx x f 收敛，则（）（A ）2（B ）2a（C ）02a （D ）20(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ，210000101P ，则A ( )(A) 12PP ．(B)112P P ．(C)21P P ． (D)121P P ．6．设k D 是圆域1|),(22yx y x D的第k 象限的部分，记kD kdxdy x yI )(，则（）（A ）01I （B ）2I （C ）3I （D ）4I (7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A) 12()()f x f x ． (B) 212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ．(D)1221()()()()f x F x f x F x ．8．矩阵1111aa b a a 与矩阵00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0b a （B ）0a ，b 为任意常数（C ）0,2ba（D ）2a，b 为任意常数二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．)(9) 设0lim 13xtt f xx t ，则f x.10．设函数dt e x f x t11)(，则)(x f y的反函数)(1y fx 在0y 处的导数|ydydx ．(11) 曲线tan4yx ye 在点0,0处的切线方程为 .12．曲线上21ln arctan t yt x 对应于1t 处的法线方程为．(13) 设二次型123,,Tfx x x x Ax 的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换xQ y 下的标准形为．14．设ij a A是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0j i a A ijij ，则A =．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分) 求极限012sin 1limln 1xx x x x．16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y，直线a x )0(a及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x。
2019考研数学二真题及答案解析
2019考研数学二真题及答案解析一、真题概述2019年考研数学二真题是考研数学科目中的一部分，该部分主要考察考生在数学理论和应用方面的基础知识和解题能力。
本文将针对2019年考研数学二真题进行全面的解析和分析。
二、选择题分析考研数学二中的选择题部分是考生需要迅速判断和作答的一部分。
以下是其中一道选择题的解析：题目：设函数 f(x)=x^2-4ax+a-2, g(x)=x-2a，则下列说法正确的是（）A. 若 a>4，则 f(x) 的最小值为负数；B. 若 a>1，则 f(x) 的最小值为正数；C. 若 a>0，则 f(x) 无最小值；D. 若 a<0，则 f(x) 无最小值；解析：首先，我们需要计算 f'(x) 和 f''(x) 分别为 2x-4a 和 2。
进而，我们要求得 f'(x) = 0，解得 x = 2a。
将 x = 2a 代入 f''(x) ，我们可以得到f''(x) = 2。
根据二阶导数的正负可以判断函数的凸凹性，即 f''(x) > 0 时，函数存在极小值；f''(x) < 0 时，函数存在极大值；f''(x) = 0 时，函数的极值可能是极大值或者极小值。
因此，根据题目给出的 a 的取值范围，我们可以得出准确答案为 C。
三、解答题分析解答题是考生在考研数学二中需要较大篇幅书写和计算的一部分。
以下是其中一道解答题的解析：题目：设随机变量 X 的概率密度函数为f(x) = k * (x^2 + 3x), -1 < x < 1求随机变量 X 的概率密度函数 f(x) 与 k 的值。
解析：首先，我们需要计算概率密度函数 f(x) 的值。
根据题目给出的概率密度函数，我们可以得到∫(f(x))dx = ∫(k * (x^2 + 3x))dx，积分区间为 -1 到 1。
(完整版)2019研究生数学考试数一真题
2019年考研数学—真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。
（1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3.（D ）4.（2）设函数(),0,ln ,0,x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则0x =是()f x 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.（3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是A.1mn n u n=∑B.()111mnn nu =-∑ C.111mn n n u u =+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑D.()2211mn n n u u +=-∑ （4）设函数()2,xQ x y y=..如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ，那么函数(),P x y 可取为A.23x y y-.B.231x y y-. C.11x y-. D.1x y-. （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3.阶单位矩阵。
若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为A.222123y y y ++.B.222123y y y +- C.222123y y y --D.222123y y y ---（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则A.()()2,3r A r A ==..........B.()()2,2r A r A == C.()()1,2r A r A ==..........D.()()1,1r A r A ==（7）设A ，B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 ....A..()()()P A B P A P B =+U .........B.()()()P AB P A P B =.C.()()P AB P BA =..................D.()()P AB P AB =（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布()2,N μσ，则{}1P X Y -< A.与μ无关，而与2σ有关..........B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,μσ都有关..................D.与2,μσ都无关.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ()9 设函数()f u 可导，()sin sin z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂（10）微分方程22220yy y --=满足条件()01y =的特解y =.......（11）幂级数()()012!nnn x n ∞=-∑在()0,+∞内的和函数()S x = ()12设∑为曲面()222440x y z z ++=≥的上侧，则z=()13设()123,,A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且312=2ααα-+。
2019考研数学三真题解析
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当0x →时，若tan x x −与kx 是同阶无穷小，则k =（）A. 1. B. 2.C. 3. D.4.【答案】 C.【解析】当0x →时，31tan 3x xx −−，则=3k .2．已知方程550x x k −+=有3个不同的实根，则k 的取值范围为（）A 、 (,4)−∞− B 、(4,)+∞C 、{}4,4−D 、(4,4)−【答案】 D.【解析】令5()5f x x x k =−+，由()0f x '=得1x =±，当1x <−时，()0f x '>，当11x −<<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，又由于lim ()x f x →−∞=−∞，lim ()x f x →+∞=+∞，方程要有三个不等实根，只需要(1)=40f k −+>，(1)4<0f k =−+，因此k 的取值范围为44k −<<.3．已知微分方程e x y ay by c '''++=的通解为12()e e xx y C C −=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、1,0,1B 、 1,0,2C 、2,1,3D 、2,1,4【答案】 D.【解析】由通解形式知，121λλ==−，故特征方程为221=21=0λλλ+++（），所以2,1a b ==，又由于e x y =是+2x y y y ce '''+=的特解，代入得4c =.4、若1n n nu ∞=∑绝对收敛，1nn v n ∞=∑条件收敛，则（ ） A 、1n nn u v∞=∑条件收敛B 、1n nn u v∞=∑绝对收敛C 、1()nn n uv ∞=+∑收敛D 、1()nn n uv ∞=+∑发散【答案】 B. 【解析】由1n n v n∞=∑条件收敛知，lim 0nn v n →∞=，故当n 充分大时，1n v n . 所以，nn n n n vu v nu nu n=⋅，由于1n n nu ∞=∑绝对收敛，所以1n n n u v ∞=∑绝对收敛.5、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组=Ax 0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *=. 6、设A 是3阶实对称，E 是3阶单位矩阵，若2=2A +A E 且4=A ，则二次型T x Ax 的规范形为（ ）A. 222123y y y ++ B.222123y y y +− C.222123y y y −− D.222123y y y −−−【答案】 C.【解析】22λλ+=，则λ只能为2−或1，又由于4=A ，则特征值分别为-2,-2,1，则二次型的规范形为222123y y y −−. 7、设,A B 为随机事件，则()()P A P B =充分必要条件是A.()()().P A B P A P B =+UB.()()().P AB P A P B =C.()().P AB P BA =D.()().P AB P AB =【答案】C【解析】()()()()()()()()P AB P BA P A P AB P B P AB P A P B =⇔−=−⇔=；选C.8、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ，则{1}P X Y −<A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与μ，2σ都有关. D.与μ，2σ都无关.【答案】A【解析】2~(0,2X Y N −σ，所以{1}21P X Y −<=Φ=Φ=Φ−；选A二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．9、111lim 1223(1)nn n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥⋅⋅+⎣⎦____________ 【答案】1e .−【解析】111+++1223(1)1nn n n n n ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⨯⨯⨯++⎝⎭⎣⎦L ，则1lim e .1nn n n −→∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭10、曲线π3πsin 2cos ()22y x x x x =+−<<的拐点坐标为____________ 【答案】 π2−（，）. 【解析】令sin0y x x ''=−=，可得πx =，因此拐点坐标为π2−（，）. 11、已知1()f x t =⎰，则120()d xf x x =⎰____________【答案】1(118−.【解析】依题意，()f x '=(1)0f =.因此，11123310000111()d ()d ()(13318x f x x f x x x f x x x ⎡⎤==−=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 12、A 、B 两商品的价格分别为、，需求函数,, ,求A 商品对自身价格的需求弹性____________ .【答案】0.4. 【解析】因为d (2)d A A A AA A B A A AP Q PP P Q P Q η=−⋅=−⋅−−，将，，1000A Q =代入，可得104000.41000AA η=⋅=. 13、2101111011a −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭A ，01a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ，=Ax b 有无穷多解，求____________ 【答案】1.【解析】因为=Ax b 由无穷多解，故()()3r r =<A A,b ，对矩阵()A,b 作初等行变换，因为P A P B Q A =500-P A 2-P A P B +2P B 2P A =10P B =20h AA =h >0()P A =10P B =20a =21010()01010011a a −⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭A,b ，故2110a a −=−=，因此1a =.14、为连续型随机变量，概率密度为, 为的分布函数，为的期望，求{}()1P F X EX >−=____________【答案】2.3【解答】由条件可得224()d d 23x EX xf x x x +∞−∞===⎰⎰，且可求得分布函数20,0,(),02,41, 2.x xF x x x <⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩故可得12{()1}{()}.33P F X EX P F X >−=>=三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e 1,0.x x x x f x x x ⎧>=⎨+⎩求()f x '，并求()f x 的极值.【答案】f ′(x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0，极大值f (0)=1.极小值1(1)1e f −=−，2e 1()e ef −=.【解析】解：当x >0时：f ′(x )=(e 2xlnx −1)′=(e 2xlnx )′=e 2xlnx (2lnx +2)=2x 2x (lnx +1)当x <0：f ′(x )=e x +xe x =e x (x +1)因此f ′(x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0当x =0：X f (x )=x2,0<x <20,elseìíïîïF (x )X EX Xf +′(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+x 2x −1x =lim x→0+e 2xlnx −1x =lim x→0+2xlnxx=−∞f −′(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+xe x x=lim x→0+e x =0当x >0时，f ′(0)<0，f (x )单调递减，当x <0时，f ′(0)>0，f (x )单调递增因此f (x )在x =0处取得极大值，且f (0)=1.令()0f x '=得，1x =−及1e x =. 又1(1)0,()0e f f ''''−>>，故极小值为1(1)1ef −=−，2e 1()e ef −=. 16、（本题满分10分）已知(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且(,)(,)g x y xy f x y x y =−+−，求22222g g gx x y y ∂∂∂++∂∂∂∂.【答案】112213.f f ''''−−【解析】依题意知，12(,)(,)gy f x y x y f x y x y x∂''=−+−−+−∂， 12(,)(,)gx f x y x y f x y x y y∂''=−+−++−∂. 因为(,)f u v 具有二阶连续偏导数，故1221f f ''''=，因此，2111221221112222()()2gf f f f f f f x ∂''''''''''''''=−+−+=−−−∂， 21112212211221()()1gf f f f f f x y∂''''''''''''=−−−−=−+∂∂， 2111221221112222()()2gf f f f f f f y∂''''''''''''''=−−+−=−+−∂. 所以，22211222213.g g gf f x x y y∂∂∂''''++=−−∂∂∂∂17、（本题满分10分）已知()y x 满足微分方程22ex y xy '−=，且满足(1)y =（1）求()y x ；（2）若{}(,)12,0()D x y x y y x =，求区域D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积.【答案】（1）22()e x y x =. （2）【解析】（1）22d d 22()e e e e (x xx x x x y x C C −−−⎛⎫⎰⎰=+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰因为(1)y =0C =，所以22()e .x y x =（2）由旋转体体积公式，222224211ππe )d πe d (e e).2x x V x x x ===−⎰⎰18、（本题满分10分）求曲线()esin 0xy x x −=与x 轴之间图形的面积.解:设在区间[π,(1)π]n n +(0,1,2,)n =上所围的面积记为n u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d n n xnx n n n u x x x x ++−−==−⎰⎰;记esin d xI x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰ ecos e dsin e cos (e sin sin de )xx x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22n nxn n n n u x x +−−+−=−−+=+;(这里需要注意cos π(1)nn =−)因此所求面积为ππππ111e 11e 221e 2e 1n n n n u −∞∞−−===+=+=+−−∑∑. 19、（本题满分10分）设()10,1,2n a x x n ==⋅⋅⋅⎰（1）证明数列{}n a 单调递减；且()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+（2）求1lim−∞→n nn a a .(1)证明:110(0n n n a a x x +−=−<⎰,所以{}n a 单调递减.1333111212212220011(1)[(1)(1)]33n n n n a x d x x x x dx −−−=−−=−−−−⎰⎰1220110021(131()31(),3n n n n n x x x n x x x x n a a −−−−=−−=−−=−⎰⎰⎰从而有()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+; (2)因为211n n n n n na a a a a a −−<<=,而21lim lim12n n n n a n a n →∞→∞−−==+,由夹逼准则知 1lim1nn n a a →∞−=.20、（本题满分11分）已知向量组I ：()()()21231,1,4,1,0,4,1,2,3TT Ta ===+αααII ：()()()21231,1,3,0,2,1,1,3,3TTTa a a =+=−=+βββ若向量组I 与II 等价，求a 的取值，并将3β用123,,ααα线性表示.【答案】1a ≠−；1a =时，3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；当1a ≠±时，3123=−+βααα.【解析】令123(,,)=A ααα,123(,,)=B βββ，所以，21a =−A ，22(1)a =−B .因向量组I 与II 等价，故()()(,)r r r ==A B A B ，对矩阵(,)A B 作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−+−−−−⎝⎭⎝⎭A B 当1a =时，()()(,)2r r r ===A B A B ；当1a =−时，()()2r r ==A B ，但(,)3r =A B ；当1a ≠±时，()()(,)3r r r ===A B A B . 综上，只需1a ≠−即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.①当1a =时，12331023(,,,)01120000⎛⎫⎪→−− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，故3112233x x x =++βααα的等价方程组为132332,2.x x x x =−⎧⎨=−+⎩故3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；②当1a ≠±时，12331001(,,,)01010011⎛⎫⎪→− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，所以3123=−+βααα.21、（本题满分11分）已知矩阵22122002A x −−⎛⎫ ⎪=− ⎪⎪−⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭相似.（1）求x ,y ;（2）求可逆矩阵P 使得1P AP B −=.解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B 又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−.(2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002P AP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭;同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B P P APP −−=,所以112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 22、（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为(1)P Y p =−=,(1)1P Y p ==−,(01p <<)，令Z XY =.（1）求Z 的概率密度;（2）p 为何值时，X 与Z 不相关;（3）X 与Z 是否相互独立?【答案】（1）e ,0,()(1)e ,0.z Z zp z f z p z −⎧<=⎨−⎩（2）12p =；（3）不独立.【解析】（1）Z 的分布函数为()()(1,)(1,)Z F z P XY z P Y X z P Y X z ===−−+=，因为X 与Y 相互独立，且X 的分布函数为1e ,0,()0,0.x X x F x x −⎧−>=⎨⎩因此，e ,0,()[1()](1)()(1)(1e ),0.z Z X X zp z F z p F z p F z p z −⎧<=−−+−=⎨−−⎩所以，Z 的概率密度为e ,0,()()(1)e ,0.z Z Z zp z f z F z p z −⎧<'==⎨−⎩（2）当22(,)()0Cov X Z EXZ EX EZ EX EY EX EY DX EY =−⋅=⋅−⋅=⋅=时，X 与Z 不相关. 因为1DX =，12EY p =−，故1.2p = （3）不独立. 因为(01,1)(01,1)(01)P X Z P X XY P X ==，而1(1)(1)(1)(1e )1Z P Z F p −==−−≠，故(01,1)(01)(1)P X Z P X P Z ≠⋅， 所以X 与Z 不独立. 23、（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()22e ,,(;)0,,x A x f x x μσμσσμ−−⎧⎪=⎨⎪<⎩μ是已知参数，0σ>是未知参数，A 是常数. 12,,,n X X X 是来自总体X 简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量. 【解答】（1）由密度函数的规范性可知()d 1f x x +∞−∞=⎰，即222222()2220ed ed d 12x t t AAx t t μσσσμσσ−−−−+∞+∞+∞−∞====⎰⎰⎰，得A =（2）设似然函数22()22211()(;)i x nni i i L f x μσσσ−−====∏，取对数22221()1ln ()ln ]22ni n x L μσσσ=−=−∑； 求导数2221224241()()d ln ()1[]d 2222nin i i i x x L nμμσσσσσσ==−−=−+=−+∑∑，令导数为零解得2211()ni i x n σμ==−∑，故2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==−∑.。
2019考研数学(二)真题及答案
（16）（本题满分 10 分）
求不定积分
(
x
3x 1)2 (x2
6
x
dx. 1)
（17）（本题满分 10 分）
设函数y(x)是微分方程y xy
1
x2
e 2 满足条件y(1)
e的特解.
2x
（1）求y ( x);
（2）设平面区域D (x, y)1 x 2,0 y y(x),求D绕x轴旋转所得旋转体的体积.
2 3 0
1 2 0
1 2 3
141，Aij表示 A中(i, j)元的代数余子式，则A11 A12
.
三、解答题：15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
已知函数f
(
x)
x2x
xe
x
,
1,
x 0,求f (x),并求f (x)的极值. x0
(B)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
（ 7 ） 设 A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax 0的基础解系只有2个向量，则
r A* （ ）
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
（8）设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2 A 2E, 且 A 4，则二次型xT Ax 的规范为
（）
(A) y12 y22 y32 (C) y12 y22 y32
(B) y12 y22 y32 (D) y12 y22 y32
二、填空题：9~14 题，每小题 4 分，共 24 分.
xHale Waihona Puke （9） lim x 2x 2 x0
x （10）曲线
y
2019年考研数学三真题及完全解析(Word版)
2019年考研数学（三）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 kx 是 同阶无穷小量，则k=（ ）A . 1.B . 2.C . 3.D . 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、已知方程550x x k -+=有三个不同的实根，则k 的取值范围是（ ）A 、(,4)-∞-B 、(4,)+∞C 、(4,0)-D 、(4,4)- 【答案】D . 【详解】设5()5f x x x k =-+，则(),f -∞=-∞(),f +∞=+∞4()55f x x '=-，令()0f x '=得121,1x x =-=且(1)20,(1)20f f ''''-=-=，也就是函数在11x =-处取得极大值(1)4f k -=+，在21x =处取得极小值(1)4f k =-；要使方程有三个不同实根，必须满足(1)40(1)40f k f k -=+>⎧⎨=-<⎩，也就得到 (4,4)k ∈-．3、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1ab == 。
又知~xy e =是方程2x y y y ce '''++=的特解，代入方程的4c =。
故选D 。
4、若级数1n n nu ∞=∑绝对收敛，1nn v n ∞=∑条件收敛，则（ ） A 、1n n n u v ∞=∑条件收敛. B 、1n n n u v ∞=∑绝对收敛. C 、1()n n n u v ∞=+∑收敛. D 、1()n n n u v ∞=+∑发散.【答案】（B ）【解析】由于1n n v n ∞=∑条件收敛，所以lim 0nn v n →∞=。
2019年考研数学二试题与解析
2019年考研数学二试题与解析【一】填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上〕〔1〕设xx y )sin 1(+=，那么|x dy π==______.〔2〕曲线x x y 23)1(+=的斜渐近线方程为______.〔3〕=--⎰1221)2(xxxdx______.〔4〕微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为______.〔5〕当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，那么k=______.〔6〕设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，假如1=A ，那么=B .【二】选择题〔此题共8小题，每题4分，总分值32分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内〕 〔7〕设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，那么f(x)在),(+∞-∞内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]〔8〕设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，那么必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. 〔B 〕F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. (D)F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数.[]〔9〕设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，那么曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)32ln 81+.(B)32ln 81+-.(C)32ln 8+-.(D)32ln 8+.[]〔10〕设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，那么=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A)πab .(B)π2ab .(C)π)(b a +.(D)π2b a +.[] 〔11〕设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ,其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，那么必有(A)2222y u x u ∂∂-=∂∂.〔B 〕2222y ux u ∂∂=∂∂.(C)222y u y x u ∂∂=∂∂∂.(D)222xu y x u ∂∂=∂∂∂.[]〔12〕设函数,11)(1-=-x xex f 那么 (A) x=0,x=1基本上f(x)的第一类间断点. 〔B 〕x=0,x=1基本上f(x)的第二类间断点.(C)x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. (D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.[]〔13〕设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，那么1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ.(B)02≠λ.(C)01=λ.(D)02=λ.[]〔14〕设A 为n 〔2≥n 〕阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B,**,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，那么(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B .(B)交换*A 的第1行与第2行得*B . (C)交换*A 的第1列与第2列得*B -.(D)交换*A 的第1行与第2行得*B -. []三、解答题〔此题共9小题，总分值94分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕〔15〕〔此题总分值11分〕设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x〔16〕〔此题总分值11分〕 如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象.过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l .记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 假如总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=〔17〕〔此题总分值11分〕如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x〔18〕〔此题总分值12分〕用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y 的特解. 〔19〕〔此题总分值12分〕函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：〔I 〕存在),1,0(∈ξ使得ξξ-=1)(f ；〔II 〕存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f 〔20〕〔此题总分值10分〕函数z=f(x,y)的全微分ydy xdx dz 22-=，同时f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.〔21〕〔此题总分值9分〕 计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .〔22〕〔此题总分值9分〕 确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2Ta =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.〔23〕〔此题总分值9分〕3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321〔k 为常数〕，且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.2005年考研数学二真题解析【一】填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上〕〔1〕设xx y )sin 1(+=，那么π=x dy=dx π-.【分析】此题属基此题型，幂指函数的求导〔或微分〕问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】方法一：xx y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，因此]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二：两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得xx x x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++='， 因此]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x+⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='〔2〕曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为23+=x y . 【分析】此题属基此题型，直截了当用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→xx x x x f x x []23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→x xx ax x f b x x ， 因此所求斜渐近线方程为.23+=x y〔3〕=--⎰1221)2(x xxdx4π. 【分析】作三角代换求积分即可. 【详解】令t x sin =，那么=--⎰1221)2(x xxdx⎰-22cos )sin 2(cos sin πdt tt tt =.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t ttd〔4〕微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直截了当套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】原方程等价为x y xy ln 2=+'， 因此通解为⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=〔5〕当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，那么k=43. 【分析】题设相当于1)()(lim0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】由题设，200cos arcsin 1lim )()(limkxxx x x x x x -+=→→αβ =)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim2x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k xx x x x ，得.43=k 〔6〕设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，假如1=A ，那么=B 2.【分析】将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 因此有.221941321111=⨯=⋅=A B【二】选择题〔此题共8小题，每题4分，总分值32分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内〕〔7〕设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，那么f(x)在),(+∞-∞内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[C] 【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】当1<x 时，11lim )(3=+=∞→n nn xx f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).〔8〕设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，那么必有(B) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. 〔B 〕F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. (D)F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数.[A]【分析】此题可直截了当推证，但最简便的方法依旧通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，因此)()1()(x F x F '=-⋅-'，即)()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，假设f(x)为奇函数，那么⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1,那么取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,那么取F(x)=221x ,排除(D);故应选(A). 〔9〕设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，那么曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)32ln 81+.(B)32ln 81+-.(C)32ln 8+-.(D)32ln 8+.[A]【分析】先由x=3确定t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标. 【详解】当x=3时，有322=+t t ，得3,1-==t t 〔舍去，如今y 无意义〕，因此81221111=++===t t t t dxdy ，可见过点x=3(如今y=ln2)的法线方程为： )3(82ln --=-x y ，令y=0,得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+,故应(A).〔10〕设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，那么=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A)πab .(B)π2ab .(C)π)(b a +.(D)π2b a +.[D] 【分析】由于未知f(x)的具体形式，直截了当化为用极坐标计算显然是困难的.此题可考虑用轮换对称性.【详解】由轮换对称性，有=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()(σd x f y f x f b y f a D⎰⎰++)()()()(=σd x f y f x f b y f a y f x f y f b x f a D ⎰⎰+++++])()()()()()()()([21 =.2241222ππσb a b a d b a D +=⋅⋅+=+⎰⎰应选(D). 〔11〕设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ,其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，那么必有(A)2222y u x u ∂∂-=∂∂.〔B 〕2222y u x u ∂∂=∂∂. (C)222y u y x u ∂∂=∂∂∂.(D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂.[B] 【分析】先分别求出22x u ∂∂、22yu ∂∂、y x u∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ， )()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 因此)()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ， )()()()(22y x y x y x y x y u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， 可见有2222yu x u ∂∂=∂∂，应选(B). 〔12〕设函数,11)(1-=-x xex f 那么 (B) x=0,x=1基本上f(x)的第一类间断点. 〔B 〕x=0,x=1基本上f(x)的第二类间断点.(C)x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(E) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.[D]【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类要紧考虑左右极限. 【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且∞=→)(lim 0x f x ，因此x=0为第二类间断点；0)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，因此x=1为第一类间断点，故应选(D).〔13〕设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，那么1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ.(B)02≠λ.(C)01=λ.(D)02=λ.[B]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】方法一：令0)(21211=++αααA k k ，那么022211211=++αλαλαk k k ，0)(2221121=++αλαλk k k .由于21,αα线性无关，因此有⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，如今1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，假设1α，)(21αα+A 线性无关，那么必定有02≠λ(,否那么，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二：由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).〔14〕设A 为n 〔2≥n 〕阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B,**,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，那么(B) 交换*A 的第1列与第2列得*B .(B)交换*A 的第1行与第2行得*B . (C)交换*A 的第1列与第2列得*B -.(D)交换*A 的第1行与第2行得*B -.[C]【分析】此题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵12E 〔交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得〕，使得B A E =12，因此12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).三、解答题〔此题共9小题，总分值94分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕 〔15〕〔此题总分值11分〕设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x【分析】此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法那么，但分子分母求导前应先变形.【详解】由于⎰⎰⎰=-=-=-0)())(()(xxxu t x du u f du u f dt t x f ,因此⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xxx x x xx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 0)()()(lim)()()(lim=⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=⎰⎰+→x xx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(limx f x duu f x dtt f xxx +⎰⎰→=.21)0()0()0(=+f f f〔16〕〔此题总分值11分〕 如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象.过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l .记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 假如总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=【分析】利用定积分的几何意义可确定面积)(),(21y S x S ，再依照)()(21y S x S =建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.【详解】如图，有⎰--=+-=x x t t x e dt e e x S 01)1(21)]1(21[)(，⎰-=ydt t t y S 12))((ln )(ϕ，由题设，得⎰-=--y xdt t t x e 1))((ln )1(21ϕ，而xe y =，因此⎰-=--y dt t t y y 1))((ln )1ln (21ϕ两边对y 求导得)(ln )11(21y y yϕ-=-， 故所求的函数关系为：.21ln )(yy y y x --==ϕ 〔17〕〔此题总分值11分〕如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x【分析】题设图形相当于f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值. 【详解】由题设图形知，f(0)=0,2)0(='f ;f(3)=2,.0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分，知⎰⎰⎰+''-''+=''+='''+330302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-3330)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f〔18〕〔此题总分值12分〕用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y 的特解.【分析】先将y y ''',转化为22,dtyd dt dy ，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可. 【详解】dtdyt dx dt dt dy y sin 1-=⋅='， )sin 1(]sin 1sin cos [222t dt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -⋅-=⋅'=''，代入原方程，得022=+y dtyd .解此微分方程，得221211sin cos x C x C t C t C y -+=+=， 将初始条件2,10='===x x y y代入，有1,221==C C .故满足条件的特解为.122x x y -+=〔19〕〔此题总分值12分〕函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明： 〔I 〕存在),1,0(∈ξ使得ξξ-=1)(f ；〔II 〕存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】〔I 〕令x x f x F +-=1)()(，那么F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0,因此由介值定理知，存在),1,0(∈ξ使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .〔II 〕在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f因此.1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f 〔20〕〔此题总分值10分〕函数z=f(x,y)的全微分ydy xdx dz 22-=，同时f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.【分析】依照全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式.而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值,可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值..【详解】由题设，知x xf2=∂∂，y y f 2-=∂∂， 因此)(),(2y C x y x f +=，且y y C 2)(-='，从而C y y C +-=2)(， 再由f(1,1)=2，得C=2,故.2),(22+-=y x y x f令0,0=∂∂=∂∂y fx f 得可能极值点为x=0,y=0.且2)0,0(22=∂∂=x f A ，0)0,0(2=∂∂∂=yx fB ，2)0,0(22-=∂∂=yfC ，042>=-=∆AC B ，因此点(0,0)不是极值点，从而也非最值点. 再考虑其在边界曲线1422=+y x 上的情形：令拉格朗日函数为 )14(),(),,(22-++=y x y x f y x F λλ，解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+='=+-=+∂∂='=+=+∂∂=',014,02122,0)1(2222y x F y y y y f F x x x fF y xλλλλλ 得可能极值点4,2,0===λy x ；4,2,0=-==λy x ；1,0,1-===λy x ；.1,0,1-==-=λy x 代入f(x,y)得,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ，可见z=f(x,y)在区域}14),{(22≤+=y x y x D 内的最大值为3，最小值为-2.〔21〕〔此题总分值9分〕计算二重积分σd y xD⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可. 【详解】记}),(,1),{(221D y x y x y x D ∈≤+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，因此σd y xD⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x=⎰⎰--2021)1(πθrdr r d ⎰⎰-++Ddxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x=8π+⎰⎰⎰⎰---+20102210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π〔22〕〔此题总分值9分〕 确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2Ta =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.【分析】向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示，相当与方程组：3,2,1,332211=++=i x x x i βββα.均有解，问题转化为),,(321βββr =3,2,1),,,(321=i r i αβββ 是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可.而向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，相当于至少有一个向量)3,2,1(=j j β不能由321,,ααα表示，即至少有一方程组3,2,1,332211=++=j x x x j αααβ，无解.【详解】对矩阵),,,,(321321αααβββ =A 作初等行变换，有),,,,(321321αααβββ =A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11411111221a a a a a a a→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-++--a a a a a a a a 110324001022011221→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----++--a a a a a a a 1)1(3040001022011221 ，当a=-2时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----330600030000211221 ,显然2α不能由321,,βββ线性表示，因此2-≠a ；当a=4时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----390000030660411221 ，然32,αα均不能由321,,βββ线性表示，因此4≠a .而当2-≠a 且4≠a 时，秩3),,(321=βββr ，如今向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示.又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321 βββααα⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++----→a a a a a a a a a 3240110220110221112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--++----→24360200220110221112a a a a a a a a a ，由题设向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，必有01=-a 或022=--a a ，即a=1或2-=a .综上所述，满足题设条件的a 只能是：a=1.〔23〕〔此题总分值9分〕3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321〔k 为常数〕，且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.【分析】AB=O,相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r〔1〕假设k 9≠,那么r(B)=2,因此r(A)1≤,显然r(A)1≥,故r(A)=1.可见如今Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2,矩阵B 的第【一】第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2)假设k=9，那么r(B)=1,从而.2)(1≤≤A r1） 假设r(A)=2,那么Ax=0的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.2） 假设r(A)=1,那么Ax=0的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,那么其通解为2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.3）。
2019年数学考研试题及答案
2019年数学考研试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 如果函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间(-∞, -3]上是减函数，则下列哪个选项是正确的？A. f(-1) < f(-2)B. f(-2) < f(-3)C. f(-3) < f(-4)D. f(-4) < f(-5)答案：B3. 以下哪个数不是有理数？A. √2B. πC. 1/3D. 0.333...答案：A4. 设集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案：B5. 如果一个数列是等差数列，且a3 = 7，a4 = 9，则该数列的公差d 等于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + y = 0的解？A. y = e^(-x)B. y = e^xC. y = e^(2x)D. y = e^(-2x)答案：A7. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，P(X=k)等于：A. λ^k / k!B. e^(-λ)λ^k / k!C. (λ^k / k!) * e^(-λ)D. k * λ^(k-1) / e^λ答案：B8. 以下哪个矩阵是可逆的？A. | 1 2 || 3 4 |B. | 1 0 || 0 1 |C. | 2 0 || 0 2 |D. | 0 1 || 1 0 |答案：B9. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且∫[a, b] f(x) dx = 5，则∫[a, b] f(x)^2 dx的值：A. 一定等于5B. 一定小于5C. 一定大于5D. 无法确定答案：D10. 以下哪个选项是傅里叶级数的特例？A. 泰勒级数B. 洛朗级数C. 傅里叶变换D. 拉普拉斯变换答案：A11. 设椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a > b > 0，若椭圆经过点(2a, 0)，则椭圆的离心率e等于：A. 0B. 1C. √2/2D. 2/3答案：A12. 以下哪个选项是线性方程组的解集？A. {(1, 2, 3)}B. {(x, y, z) | x + y + z = 1}C. R^3D. 空集答案：B二、填空题（每题4分，共24分）13. 若函数f(x) = 2x - 3，则f(5) = _______。
2019年考研数学二真题详细解析
g(a) ，
f
(a)
g(a) ，
f
(a)
g(a) ，由此可得在
x
a 处相切。
y
由曲率公式 k
3 可得两曲线在 x a 处曲率相同.
1 y2 2
（必要性）若函数 y f (x) ， y g(x) 在 x a 处相切可得 f (a) g(a) ， f (a) g(a) ；
2/9
f (a)
综合对比可得， I3 I2 I1 .
(6)
函数
f (x), g(x) 的二阶导函数在 x a 处连续，则 lim xa
f (x) g(x) (x a)2
0 是两条曲线 y
f (x) ，
y g(x) 在 x a 对应的点处相切及曲率相等的（ ）
(A)充分非必要条件
(B)充分必要条件
(C)必要非充分条件
0
arctan 1 x2
x
dx
0
arctan
xd
arctan
x
1 2
(arctan
x)2
0
2 8
.
（4）已知微分方程 y ay by cex 的通解为 y (C1 C2x)ex ex ，则 a, b, c 依次为（
）
(A) 1, 0 ,1
(B) 1, 0, 2
(C) 2,1, 3
(D) 2,1, 4
2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析
一、选择题：1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）当 x 0 时，若 x tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k （ ）