旋转法解几何证明题分类解析

旋转法解题例析

（一）正三角形类型

在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC 重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。

例1. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.

（二）正方形类型

在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC 三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。

例4 如图，P 是正方形ABCD 内一点，且满足PA ：PD ：PC=1：2：3，则∠APD= . 分析与解：设PA=k ，则PD=2k ，PC=3k(k>0)，而PA 、PD 、PC 三条线段较为分散，故可考虑旋转法，目的就是将三条线段以等线段替换方式集中在一个三角形中．

3、直角三角形

例1 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，M 、N 是斜边AB 上的点，且∠MCN= 45°，AM=3，BN=5，则MN= ．

分析：基于在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC 及AM 、BN 、MN 共线特点的考虑，选择旋转法解答，目的就是设法将这三条线段以等线段替换的方式集中在一个三角形中

例2 如图，四边形ABCD 中， ∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边 形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）

A ．2225y x =

B ．2425y x =

C ．225y x =

D ．245

y x =

练习:如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）

A．2 B．3 C．D．

2 如图，P是等边三角形△ABC内一点，∠APC、∠BPC、∠BPA的大小之比是5：6：7，则以PA、PB、PC的长为边的三角形三个内角从小到大依次是．

分析与解：易得∠APC=100°，∠BPC=120°，∠BPA

=140°．欲求以PA、PB、PC的长为边的三角形三个

内角，因为三条线段分散，故可考虑旋转法，目的就是将三

条线段通过等线段替换方式集中在一个三角形中．

4、与边的中点相关的问题

例5在△ABC中，AB=7，AC=5，AD是BC边的中线，求AD的取值范围．

例6如图，在正方形ABCD中，E是AB边的点，G、F分别是AD、BC边上的点，且AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长是．

练习：

1. 如图：（1-1）：设P 是等边ΔABC 内的一点，PC=3， PB=4，PA=5，∠APB 的度数是________.

A

P

C

B

2如图，P 为正方形ABCD 内一点，123PA PD PC ===，，，将PDC ∆绕着D 点按逆时针

旋转90︒到PQD ∆ 的位置。

（1）求:PQ PD 的值；（2）求APD ∠的度数。

Q

P

D

C

B

A

3 在四边形ABCD 中，30ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD CD =，求证：222BD AB BC =+．

60︒

30︒D

B

A