北京四中数学必修五1.2解三角形应用举例提高版

解三角形应用举例

编稿：张希勇审稿：李霞

【学习目标】

1.能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；

2.提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；

3.掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.

【学习策略】

解斜三角形的知识主要用于测量及航海两大类型问题.实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形问题，即应用哪个定理来解决.

【要点梳理】

要点一、解三角形应用题的步骤

解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：

(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；

(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；

(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；

(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.

要点二、解三角形应用题的基本思路

实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解

要点三、实际问题中的一些名词、术语

仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：

坡角和坡度

坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i 表示。坡比是坡角的正切值。

方位角与方向角：

方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°～360°。

如图，点B 的方位角是0

135α=。

方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。

如图为南偏西060方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转0

60）；

如图为北偏东030方向（指从正北开始向正东方向旋转0

30）.

东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；

要点四、解三角形应用中的常见题型

正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：

1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.

2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.

3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高

【典型例题】

类型一：距离问题

例1如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），测量者在河岸边选定两点C 、D ，测得40CD m =，并且在C 、D 两点分别测得060ACB ∠=，060ADB ∠=，030BCD ∠=，045ADC ∠=，求河的对岸的两点A 、B 间的距离。

【思路点拨】

这是一道关于研究两个不可到达的点之间的距离测量问题。题目条件告诉了边CD 的长以及以C 、D 为顶点的四个角，根据三角形的内角和定理和正弦定理很容易算出AC 、AD 、BC 或BD ；然后选择恰当的三角形，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。

【解析】在ADC ∆中， 030BCD ∠=，060ACB ∠=，045ADC ∠=

∴000603090ACD ACB BCD ∠=∠+∠=+=，

∴在ADC Rt ∆中，0402cos sin 45

CD AD ADC ===∠（m ）

在BDC ∆中，060ADB ∠=，030BCD ∠=，0

45ADC ∠=，

∴0006045105BDC ADB ADC ∠=∠+∠=+=，045DBC ∠= 由正弦定理得：0

0sin 40sin 30202sin sin 45

CD BCD BD m DBC ∠===∠（） 在ABD ∆中，由余弦定理得：2202cos60206AB AD BD AD BD =

+-⨯=（m ）

故A 、B 间的距离为206m .

【总结升华】此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.

举一反三：

【变式1】如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是42m ，∠BAC=45︒，∠ACB=︒75。求

A 、

B 两点的距离.

【答案】180457560ABC ∠=︒-︒-︒=︒

根据正弦定理，得

sin sin AB AC ACB ABC

=∠∠， ∴sin 42sin 42sin 7521276()sin sin sin 60AC ACB ACB AB m ABC ABC ∠∠︒====+∠∠︒ 答:A 、B 两点间的距离为21276m +.

【变式2】为了开凿隧道，要测量隧道上D 、E 间的距离，为此在山的一侧选取适当点C ，如图，测得CA=400m ，CB=600m ， ∠ACB=60°，又测得A 、B 两点到隧道口的距离AD=80m ，BE=40m(A 、D 、E 、B 在一条直线上)，计算隧道DE 的长.

【答案】在△ABC 中，CA=400m ，CB=600m ， ∠ACB=60°，

由余弦定理得2222cos60AB AC BC AC BC =+-⋅⋅︒

∴22140060024006002007529.2()2

AB m =+-⨯⨯⨯=≈