高中数学第一章三角函数第2课时1.2蝗制教案苏教版必修
高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.
1．2.1 任意角的三角函数课堂导学三点剖析1.任意角的正弦、余弦、正切的定义【例1】有下列命题，其中正确的命题的个数是( )①终边相同的角的同名三角函数的值相同②终边不同的角的同名三角函数的值不等③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角④若α是第二象限的角，且P （x,y ）是其终边上一点，则cosα=22y x x+-A.1B.2C.3D.4思路分析：运用概念判断.解析：由任意角三角函数定义知①正确；对②，我们举出反例sin3π=sin 32π； 对③，可指出sin 2π＞0，但2π不是第一、二象限的角；对④，应是cosα=22y x x +. 综上选A.答案：A温馨提示要准确地理解任意角的三角函数定义，可与三角函数线结合记忆.2．角、实数和三角函数值之间的对应关系【例2】 判断下列各式的符号.（1）tan250°·cos(-350°);(2)sin151°cos230°；(3)sin3cos4tan5;(4)sin(cos θ)·cos(sinθ)(θ是第二象限角).思路分析：本题主要考查三角函数的符号.角度确定了，所在的象限也就确定了.三角函数的符号也就确定了.进一步再确定各式的符号.对于（4），视sinθ、cosθ为弧度数. 解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0,∴tan250°·cos(-350°)＞0.(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,∴sin151°·cos230°＜0. (3)∵2π＜3＜π,π＜4＜23π,23π＜5＜2π, ∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,∴sin3·cos4·tan5＞0.(4)∵θ是第二象限角，∴0＜sin θ＜1＜2π, ∴cos(sinθ)＞0.同理，-2π＜-1＜cos θ＜0,∴sin(cosθ)＜0,故sin （cos θ）·cos(sinθ)＜0.温馨提示(1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.（2）sinθ既表示角θ的正弦值，同时也可以表示［-1，1］上的一个角的弧度数.（3）中解题的关键是将cosθ、sinθ视为角的弧度数.【例3】求函数y=)1cos 2lg(sin )4tan(-•-x x x π的定义域. 思路分析：运用等价及集合的思想. 解：只需满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-<≥+≠⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≥∈+≠-,11cos 20,0sin 43,0)1cos 2lg(,0sin ,,24x k x x x Z k k x πππππ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≠+<<-∈+≤≤∈+≠⇔.,2,3232,,)12(2,,43Z k k x k x k Z k k x k Z k k x πππππππππ且∴函数的定义域为{x|2kπ＜x ＜2kπ+3π,k∈Z }. 温馨提示利用图形，可直观找出不等式组的解集，体现了数形结合思想.各个击破类题演练1已知角α的终边经过点P （-6，-2），求α的三个三角函数值.解：已知x=-6,y=-2,所以r=102,于是sinα=10101022-=-=r y , cosα=,101031026-=-=r x tanα=3162=--=x y . 变式提升1已知角α的终边经过点P （2t,-3t ）(t ＜0),求sinα,cosα,tanα.解：∵x=2t,y=-3t ∴r=||13)3()2(22t t t =-+- ∵t＜0 ∴r=t 13-∴sinα=,13133133=--=t t r ycos α=13132132-=-=t t r x,tan α=2323-=-=tx y.类题演练2判断下列各式的符号（1）sin105°·cos230°;(2)sin 87π·tan 87π; (3)cos6·tan 6;(4)sin4·tan(π423-).解：(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角，∴sin105°＞0.cos230°＜0.sin105°·cos230°＜0. (2)∵2π＜87π＜π,∴87π是第二象限角. ∴sin 87π＞0,tan 87π＜0. ∴sin 87π·tan 87π＜0. (3)∵23π＜6＜2π,∴6弧度的角是第四象限角.∴cos6＞0,tan6＜0.∴cos6·tan6＜0.(4)∵π＜4＜23π,∴sin4＜0. 又π423-=-6π+4π,∴π423-与4π终边相同. ∴tan(π423-)＞0. ∴sin4·tan(π423-)＜0.变式提升2已知α是第三象限角，试判断sin （cosα）·cos（sinα）的符号.解：∵α是第三象限角.∴cosα＜0,sinα＜0.又|sinα|＜1,|cosα|＜1,∴-1＜cosα＜0,-1＜sinα＜0,∴sin(cosα)＜0,cos(sin α)＞0.∴sin(cosα)·cos（sin α）＜0.类题演练3已知角α的终边在直线y=-3x 上，求10sinα+3cosα的值.解：设α终边上任意一点P （k,-3k ）,则 r=|,|10)3(2222k k k y x =-+=+ 当k ＞0时，r=k 10,∴sinα=103103-=-kk, cosα=10110=kk . ∴10sinα+3cosα=10102710103103-=+-. 当k ＜0时，r=-10k,∴sinα=103103=--k k,cosα=101010110-=-=-k k. ∴10sinα+3cosα=10102710103103=-. 变式提升3已知α∈(0,2π),试比较α、sinα、tanα的大小. 解：如右图，设锐角α的终边交单位圆于点P ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 延长线于T ，并过点P 作PM⊥x 轴，则|MP|=sinα，|AT|=tanα，的长为α.连PA ，∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， 即21|OA |·|MP|＜21|OA|2·a＜21|OA|·|AT|,|MP|＜α＜|AT|, ∴sinα＜α＜tanα.。
高一数学新课标必修4第一章基本初等函数全套教案第一章 三角函数
第一章三角函数第一节任意角、弧度1．1．1 任意角教学目标：1．理解引入大于360°角和负角的意义．2．理解并掌握正、负、零角的定义．3．掌握终边相同角的表示法．4．理解象限角的概念、意义及其表示方法．教学重点：象限角的概念、意义及其表示方法．教学难点：1．理解并掌握正、负、零角的定义．2．掌握终边相同角的表示法．教学过程：第一课时任意角（PPT）教后记：本节课学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．1．1．2 弧度制教学目标：1.使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题；4.在理解弧度制定义的基础上，领会弧度制定义的合理性；5.通过学习，理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的. 教学重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．教学难点：弧度制定义的理解教学过程：第二课时弧度制（PPT）第三课时任意角、弧度制（PPT）（习题课）教后记：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示3rad sinπ表示πrad角的正弦。
第二节任意角的三角函数1．2．1 任意角的三角函数教学目标：1．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值．2．掌握已知角 终边上一点坐标，求四个三角函数值．（即给角求值问题）教学重点：任意角的三角函数的定义．教学难点：任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示．教学过程：第四课时任意角的三角函数(1)（PPT）第五课时任意角的三角函数(2)（PPT）教后记：为了便于掌握，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.1．2．2 同角三角函数关系教学目标：1．掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系．2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式；3．应用同角三角函数关系，化简三角式（求值）；并能证明简单的三角恒等式；4．通过同角三角函数的基本关系学习，提示事物之间的普通联系规律，培养学生辩证唯物主义要观．教学重点：重点是三个公式的推导和应用．（1）已知的三角函数值中的一个，表示它的其他三角函数值；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式．教学难点：（1）利用的某一三角函数值求的其他三角函数值；（2）三角恒等式的证明，证明恒等式可从左向右，也可从右向左，等价变形；（3）接受切化弦的思想，及恒等变形中等价转化的思想；（4）化简是最基本的解题思想，结果要求最简形式．教学过程：第六课时同角三角函数的基本关系（PPT）教后记：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。
高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系学案 苏教版必修4(2021年整理)
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1.2。
2 同角三角函数关系1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝错误!.(重点) 2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)［基础·初探]教材整理同角三角函数的基本关系阅读教材P16~P17的有关内容,完成下列问题．1．平方关系：sin2α＋cos2_α＝1.2．商数关系：tan α＝错误!错误!。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．( ）（2）对任意角α，错误!＝tan 错误!都成立．（）(3)若sin α＝错误!，则cos α＝错误!。
（)【解析】（1）√。
符合同角三角函数的关系．（2)×。
等式错误!＝tan 错误!的条件是错误!即α≠π＋2kπ，k∈Z。
（3）×。
因为α的范围不明，故cos α＝±错误!＝±错误!.【答案】(1）√(2)×（3）×2．已知α是第二象限角，且cos α＝－错误!，则tan α＝________。
【解析】∵α是第二象限角，∴sin α＞0.又sin2α＋cos2α＝1,∴sin α＝错误!＝错误!＝错误!，∴tan α＝错误!＝－2错误!.【答案】－2错误!［质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录，并与“小伙伴们"探讨交流:疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：［小组合作型］利用同角基本关系式求值已知sin α＝－错误!，求cos α，tan α的值．【精彩点拨】错误!错误!错误!错误!错误!【自主解答】因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－错误!2＝错误!。
江苏省徐州市高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系2教案 苏教版必修4
教学目标
掌握同角三角函数的两个基本关系式，并能够根据它进行三角函数的化简、求值和证明
教学重难点
同角三角函数的基本关系式的应用
教学参考
教材、教参
授课方法
启发、讲授、探究
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
一．知识回顾
同角三角函数的基本关系：
平方关系：
商数关系：
2、应用同角三角函数的基本关系式化简、求值、证明中常用的变形技巧：弦切互化，1的代换等
课外作业
教学小结
二.典型例题
例1、化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
让学生默写公式
练习：
（1）化简
（2）化简 ，其中 是第二象限角
教学过程设计
教
学
二次备课
例2、求证：
总结：证明恒等式的一般思路：
例3、已知 求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
思，第20题
三、学习小结
1、同角三角函数的基本关系式
高中数学苏教版《三角函数》教案
高中数学苏教版《三角函数》教案教案一：引言本教案旨在帮助高中数学学生系统学习苏教版《三角函数》内容，掌握相关概念、性质和应用。
通过合理的教学设计，帮助学生建立扎实的数学基础，提升解决实际问题的能力。
教案二：知识概述1. 什么是三角函数- 引入三角函数的概念和表达形式- 讲解正弦、余弦和正切的定义及特点2. 三角函数的基本性质- 解释周期性、奇偶性、单调性等概念- 探究正弦函数、余弦函数的周期、奇偶性质- 讨论正切函数的周期、奇偶性质及其渐近线教案三：三角函数的图像1. 正弦函数和余弦函数的图像- 利用单位圆介绍正弦函数和余弦函数的图像- 讲解振幅、周期、相位等概念- 分析正弦函数和余弦函数的变化规律及性质2. 正切函数的图像和性质- 探究正切函数的图像及其特点- 研究正切函数的渐近线和周期性- 讨论正切函数的单调性及零点教案四：三角函数的基本关系式1. 三角函数的基本关系式- 推导正弦函数、余弦函数和正切函数之间的基本关系 - 解释三角函数之间的互相转化关系及性质2. 三角函数的诱导公式- 推导正弦函数、余弦函数和正切函数的诱导公式- 利用诱导公式简化三角函数的计算教案五：三角函数的应用1. 三角函数在几何中的应用- 介绍正弦定理和余弦定理的概念和原理- 解答相关几何问题，如求解三角形的边长和角度2. 三角函数在物理中的应用- 探究三角函数在周期性振动中的应用- 分析简谐振动、声波等实际问题的数学模型教案六：综合应用题通过选取若干典型应用题，让学生综合运用所学的三角函数知识解决实际问题，提高应用能力和解决问题的思维方式。
教案七：知识总结与拓展总结各单元的要点和重难点，对学生进行知识的回顾和巩固。
提供相关拓展题目或探究性问题，引导学生进行拓展思考和自主学习。
教案八：教学反思与评价针对本教案的教学过程及效果进行反思和评价，总结教学经验，提出改进建议。
教案九：教学资源推荐与本教案相关的教学资源，包括教材、参考书、电子教学资源等。
高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式导学案 苏教版必修4
1.2.3 三角函数的诱导公式课堂导学三点剖析1.三角函数的诱导公式【例1】求下列各三角函数值. (1)sin(310π-); (2)cos(629π); (3)tan(-855°).思路分析：直接运用诱导公式进行变形求值即可.解：(1)sin(310π-)=-sin 310π =-sin(2π+34π) =-sin 34π =-sin(π+3π) =sin 3π=23. (2)cos629π=cos(4π+65π) =cos 65π=cos(π6π-) =-cos6π=23-. (3)tan(-855°)=-tan855°=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1.温馨提示对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于360°,再利用诱导公式一，化为0°—360°间的角的三角函数，若这时是90°—360°间的角，再利用180°+α或180°-α或360°-α的诱导公式化为0°—90°间的角的三角函数.【例2】化简：)313cos()313cos(απαπ--+++k k (k∈Z ). 思路分析：将k 分为奇数和偶数，再利用诱导公式.解法1：当k=2n,n∈Z 时，原式=cos(k π+3π+α)+cos(k π-3π-α) =cos(2n π+3π+α)+cos(2n π-3π-α) =cos(3π+α)+cos(3π+α)=2cos(3π+α). 当k=2n+1，n∈Z 时，原式=cos ［(2n+1)π+3π+α］+cos ［(2n+1)π-3π-α］=cos(π+3π+α)+cos(π-3π-α) =-cos(3π+α)-cos(3π+α)=-2cos(3π+α). 解法2：∵(k π+3π+α)+(k π-3π-α)=2k π, ∴cos(k π-3π-α)=cos ［2k π-（k π+3π+α）］=cos(k π+3π+α). ∴原式＝2cos （k π-3π-α）= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+=+-∈=+).,12)(3cos(2),,2)(3cos(2Z n n k Z n n k απαπ 温馨提示观察每组诱导公式的等号两边的角度，不难发现，这两个角度的和或差是一个轴线角，即为k π，k∈Z 的形式.于是诱导公式的一个重要的功能是：如果两个角的和或差是轴线角k π，k∈Z 的话，利用诱导公式总可以把它们变成同角函数来处理.2.关于直线y=x 对称的点的性质与（2π±α）的诱导公式 【例3】证明sin （-α）=-sin α,cos （-α）=cos α,tan(-α)=-tan α.思路分析：利用三角函数定义解析问题.证明：设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P 1（x,y ），由于角-α的终边与角α的终边关于x 轴对称，角-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1，关于x 轴对称，因此点P 2的坐标是（x,-y ），由三角函数的定义得sin α=y,cos α=x,tan α=xy ; sin(-α)=-y,cos(-α)=x,tan(-α)=-x y ; 从而得sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.温馨提示学习过程中，充分理解本节的宗旨，突出数形结合思想.3.诱导公式应用时符号的确定【例4】 已知sin （3π+θ）=31,求)23sin()cos()23sin()2cos(]1)[cos(cos )cos(θππθπθπθθπθθπ+----+--+的值.解析：∵sin(3π+θ)=31,∴sin θ=-31.∴原式=θθθθθθθcos )cos (cos cos )1cos (cos cos +-∙+--- =θθθ2sin 2cos 11cos 11=-++ =2)31(2-=18.温馨提示应用公式时，名称是否变化一般能观察明白，而函数符号的判断要注意，易出错. 各个击破类题演练1求下列各三角函数值. (1)sin(π316-);(2)cos(-945°).解：（1）解法1：sin(π316-)=-sin163π=-sin(4π+34π) =-sin 34π=-sin π+3π=sin 3π=23.解法2：sin(π316-)=sin(-6π+32π) =sin 32π=sin(π-3π)=sin 3π=23.(2)cos(-945°)=cos945°=cos（2×360°+225°）=cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-.变式提升1计算：（1）cos 5π+cos 52π+cos 53π+cos 54π;(2)tan10°+tan170°+sin1 866°-sin(-606°).解：(1)原式=(cos5π+cos 54π)+(cos 52π+cos 53π) =［cos 5π+cos(π-5π)］+［cos 52π+cos(π-52π)］ =(cos 5π-cos 5π)+(cos 52π-cos 52π)=0. (2)原式=tan10°+tan(180°-10°)+sin1 866°-sin(-606°) =tan10°+)10180cos()10180sin(︒-︒︒-︒+sin(5×360°+66°)-sin ［（-2）×360°+114°］ =tan10°-tan 10°+sin66°-sin66°=0.类题演练2 化简：)2cos()2sin(])12(sin[])12(sin[παπαπαπαn n n n -∙++-+++(n∈Z ). 思路分析：考查诱导公式的应用，关键在于去掉“n”.解：原式=.cos 2cos sin sin 2cos sin )sin()sin(ααααααπααπ-=∙-=∙-++ 变式提升2(1)已知tan(π-α)=2,求1sin 3cos 4cos cos sin 2sin 2222+---αααααα的值. 思路分析：首先求出tan α,其次将所求式子“弦化切”化简.解：由tan(π-α)=2得tan α=-2.则原式=ααααααααα222222tan 251tan 2tan sin 2cos 5cos cos sin 2sin ---=--- =37-. (2)已知：cos(4π-2α)=m,求cos(2α+43π)的值. 思路分析：根据（4π-2α）与（2α+43π）是互补的角，适当选择诱导公式计算. 解：∵（4π-2α）+(2α+43π)=π, ∴cos(2α+43π)=cos ［π-(4π-2α)］ =-cos(4π-2α)=-m. 类题演练3求证sin （π-α）=sin α,cos （π-α）=-cos α,tan(π-α)=-tan α.证明：设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P 1（x,y ），由于角（π-α）的终边与角α的终边关于y 轴对称，角（π-α）的终边与角α的终边关于x 轴对称，角（π-α）的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于y 轴对称，因此点P 2的坐标是（-x,y ），由三角函数的定义得：sin α=y,cos α=x,tan α=xy ; sin(π-α)=y,cos(π-α)=-x,tan(π-α)=-x y ; 从而得sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.变式提升3求证：sin(2π-α)=cos α,cos(2π-α)=sin α. 证明：设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为（x,y ）.由于角2π-α的终边与角α的终边关于直线y=x 对称，角2π-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是（y,x ）.于是我们有：cos α=x,sin α=y; cos(2π-α)=y,sin(2π-α)=x. 从而得sin （2π-α）=cos α,cos(2π-α)=sin α. 类题演练4在△ABC 中，①sin （A+B+C ）；②sin （A+B ）+sinC ；③cos （A+B ）+cosC ；④tan 2B A +·tan 2C ;⑤tan(A+B)-tanC,其中表示常数的有_______________. 解析：①sin(A+B+C)=sin π=0.②sin(A+B)+sinC=sin(π-C)+sinC=2sinC.③cos(A+B)+cosC=cos(π-C)+cosC=-cosC+cosC=0. ④tan 2B A +·tan 2C =tan(90°-2C )tan 2C =cot 2C ·tan 2C =1. ⑤tan(A+B)-tanC=tan(π-C)-tanC=-tanC-tanC=-2tanC.故应填①③④.答案：①③④变式提升4若f(sinx)=cos17x ，求f(21)的值. 思路分析：此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算，在运算的过程中，要理解函数表达式的意义，灵活运用诱导公式.解：f(21)=f(sin 6π)=cos 617π=cos(2π+65π)=cos 65π=cos(π6π-)=-cos 6π=23-.。
高中数学 第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系学案 苏教版必修4
1．2.2 同角三角函数关系1.理解同角三角函数的两种基本关系．2.了解同角三角函数的基本关系的常见变形形式．3．学会应用同角三角函数的基本关系化简、求值与证明．同角三角函数的基本关系式1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin 24α＋cos 24α＝1都成立．( ) (2)对任意角α，sinα2cosα2＝tan α2都成立．( )(3)对任意的角α，β有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (4)sin 2α与sin α2所表达的意义相同．( )解析：(1)正确．当角α∈R 时，sin 24α＋cos 24α＝1都成立，所以正确．(2)错误．当α2＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝2k π＋π，k ∈Z 时，tan α2没意义，故sinα2cosα2＝tanα2不成立，所以错误．(3)错误．当α＝π2，β＝0时，sin 2α＋cos 2β≠1，故此说法是错误的．(4)错误．sin 2α是(sin α)2的缩写，表示角α的正弦的平方，sin α2表示角α2的正弦，故两者意义不同，此说法是错误的．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则cos α等于( )A ．45B ．－45C ．－17D ．35答案：B3．化简：(1＋tan 2 α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：C4．已知tan α＝1，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝________．解析：原式＝2tan α－1tan α＋1＝2－11＋1＝12.答案：12已知一个三角函数值求其他三角函数值已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．【解】 因为cos α<0且cos α≠－1， 所以α是第二或第三象限角． 所以当α为第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－43.当α为第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝ －45，tan α＝sin αcos α＝43.已知角α的某一三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论．1.(1)已知α是第二象限角，且tan α＝－724，则cos α＝________．(2)已知sin θ＝a (a ≠0)，且tan θ>0，求cos θ、tan θ. 解：(1)因为α是第二象限角， 故sin α＞0，cos α＜0， 又tan α＝－724，所以sin αcos α＝－724，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝－2425.故填－2425.(2)因为tan θ＞0，则θ在第一、三象限，所以a ≠±1. ①若θ在第一象限，sin θ＝a ＞0，且a ≠1时， cos θ＝1－sin 2θ＝1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝a1－a2. ②若θ在第三象限，sin θ＝a ＜0，且a ≠－1时， cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝－a1－a2. 利用同角三角函数关系化简化简下列各式： (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°； (2)1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α，其中sin αtan α＜0.【解】 (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210° ＝（cos 10°－sin 10°）2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. (2)由于sin αtan α＜0，则sin α，tan α异号， 所以α是第二、三象限角，所以cos α＜0.所以1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝（1－sin α）21－sin 2α＋ （1＋sin α）21－sin 2α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.(1)三角函数式的化简过程中常用的方法①化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．②对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)对三角函数式化简的原则 ①使三角函数式的次数尽量低． ②使式中的项数尽量少． ③使三角函数的种类尽量少． ④使式中的分母尽量不含有三角函数． ⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号．⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.2.化简：1－sin 4x －cos 4x1－sin 6x －cos 6x.解：原式＝1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x cos 2x ]1－（sin 2x ＋cos 2x ）（sin 4x ＋cos 4x －sin 2x cos 2x ） ＝1－1＋2sin 2x cos 2x1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－3sin 2x cos 2x ] ＝2sin 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x ＝23. 利用同角三角函数关系式证明求证：(1)1＋tan 2α＝1cos 2α；(2)sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. 【证明】 证明：(1)因为1＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝ cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， 所以原式成立．(2)法一：由sin α≠0知，cos α≠－1， 所以1＋cos α≠0.于是左边＝sin α（1＋cos α）（1－cos α）（1＋cos α）＝sin α（1＋cos α）1－cos 2α＝sin α（1＋cos α）sin 2α＝1＋cos αsin α＝右边． 所以原式成立．法二：因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝1－cos 2α， 即sin 2α＝(1－cos α)(1＋cos α)． 因为1－cos α≠0，sin α≠0， 所以sin α1－cos α＝1＋cos αsin α.证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．3.(1)求证：1－2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1－tan x1＋tan x. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明：(1)左边＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2xcos 2x －sin 2x＝tan 2x －2tan x ＋11－tan 2x＝（tan x －1）2（1－tan x ）（1＋tan x ）＝1－tan x1＋tan x ＝右边． 所以原式成立．(2)因为右边＝tan 2α－sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2α（1－cos 2α）（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2αsin 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α ＝左边， 所以原等式成立．1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1.2．在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan 90°＝sin 90°cos 90°不成立．3．注意公式的变形，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝cos αtan α，cosα＝sin αtan α等． 4．在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．已知sin α＋cos α＝13，其中0＜α＜π，求sin α－cos α的值．【解】 因为sin α＋cos α＝13，所以(sin α＋cos α)2＝19，可得：sin α·cos α＝－49.因为0＜α＜π，且sin α·cos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＞0， 又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.(1)在处得到sin α·cos α＜0，为判断sin α，cos α的具体符号提供了条件，是解答本题的关键；若没有判断出处的关系式，则下一步利用平方关系求解sin α－cos α的值时，可能会出现两个，是解答本题的易失分点；若前边的符号问题都正确，但在处书写不正确，没有考虑前面的符号而出现sin α－cos α＝±173，则是解答本题的又一易失分点． (2)在解题过程中要充分利用题中的条件，判断出所求的三角函数式的符号．1．已知sin α＝23，tan α＝255，则cos α＝( )A ．13 B ．53 C ．73D ．55解析：选B ．因为tan α＝sin αcos α，所以cos α＝sin αtan α＝23255＝53.2．化简：⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ．⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin α. 3．已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值为________．解析：因为θ为第四象限角， 所以tan θ＜0，sin θ＜0，sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.答案：－434．已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，所以cos α＝－35，sin α＝－45.[学生用书P83(单独成册)])[A 基础达标]1．若cos α＝13，则(1＋sin α)(1－sin α)等于( )A ．13B ．19C ．223D ．89解析：选B ．原式＝1－sin 2α＝cos 2α＝19，故选B ．2．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A ．15B ．－14C ．513D ．－513解析：选D ．因为tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±513.因为α是第四象限角，所以sin α＝－513.3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A ．由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin 2θcos 2θ＝29.因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝23. 4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝( ) A ．73 B ．75 C ．54D ．53解析：选B ．法一：1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.法二：tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 所以(2cos θ)2＋cos 2θ＝1， 所以cos 2θ＝15.又tan θ＝2>0，所以θ为第一或第三象限角． 当θ为第一象限角时，cos θ＝55，此时sin θ＝1－cos 2θ＝255，则1＋sin θcos θ＝1＋255×55＝75；当θ为第三象限角时，cos θ＝－55， 此时sin θ＝－1－cos 2θ＝－255，则1＋sin θcos θ＝1＋(－255)×(－55)＝75.5．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A ．12 B ．2C ．－12D ．－2解析：选B ．由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1得(5sin α＋2)2＝0. 所以sin α＝－255，cos α＝－55.所以tan α＝2.6．已知tan α＝m ⎝⎛⎭⎪⎫π＜α＜3π2，则sin α＝________．解析：因为tan α＝m ，所以sin 2αcos 2α＝m 2，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1m 2＋1，sin 2α＝m 2m 2＋1.又因为π＜α＜3π2，所以tan α＞0，即m ＞0.因而sin α＝－mm 2＋1. 答案：－m1＋m27．已知sin α－cos αsin α＋cos α＝2，则sin αcos α的值为________．解析：由sin α－cos αsin α＋cos α＝2，等式左边的分子分母同除以cos α，得tan α－1tan α＋1＝2，所以tanα＝－3，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－310. 答案：－310 8．已知α是第二象限角，则sin α1－cos 2 α＋21－sin 2 αcos α＝________． 解析：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α1－cos 2α＋21－sin 2αcos α＝sin αsin α＋－2cos αcos α＝－1. 答案：－19．化简：sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x tan 2x －1. 解：原式＝sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x sin 2xcos 2x－1 ＝sin 2x sin x －cos x －cos 2x （sin x ＋cos x ）sin 2x －cos 2x＝sin 2x －cos 2x sin x －cos x＝sin x ＋cos x . 10．已知tan α＝2，求下列各式的值：(1)2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9 ＝2×22－34×22－9＝57. (2)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35. [B 能力提升]1．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为( ) A ．153 B ．－153 C ．53 D ．－53解析：选A ．因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13＞0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＞0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153. 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．解析：因为tan θ＝2，所以cos θ≠0，则原式可化为sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2cos 2θcos 2θsin 2θcos 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案：453．已知2sin θ－cos θ＝1，3cos θ－2sin θ＝a ，记数a 形成的集合为A ，若x ∈A ，y ∈A ，则以点P (x ，y )为顶点的平面图形是什么图形？解：联立⎩⎪⎨⎪⎧2sin θ－cos θ＝1，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以a ＝3cos θ－2sin θ＝－3或15，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，15.因此，点P (x ，y )可以是P 1(－3，－3)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，15，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－3.经分析知，这四个点构成一个正方形．4．(选做题)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cosθ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m2，②Δ＝4＋23－8m ≥0.③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由①平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34.又由②，得m 2＝34，所以m ＝32，由③，得m ≤2＋34， 所以m ＝32符合题意； (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32，sin θ＝12. 又因为θ∈(0，2π)，所以θ＝π3或π6.。
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第2课时 §1.2 弧度制
【教学目标】
一、知识与技能
（1）理解1弧度的角、弧度制的定义；
（2）掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；
（3）熟记特殊角的弧度数。
（4）掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式。
二、过程与方法：
（1）通过比较引入“弧度制”的概念；
（2）通过小组活动，熟练进行角度和弧度的换算。
（3）培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力
三、情感、态度与价值观：进一步加强对辩证统一思想的理解。
【教学重点】弧度的意义
【教学难点】弧度与角度的换算
【教学过程】
一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制
定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
它的单位是rad 读作弧度
如图：AOB=1 rad
AOC=2
rad
o l=r C 2rad 1rad r l=2r o
A A
B
周角
=2 rad
平角=
rad
1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数
是0
2． 角的弧度数的绝对值 rl（l为弧长，r为半径）
3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都
是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算
注意：360=2rad 180= rad
1=radrad01745.0180 '185730.571801rad
例1、 （1）把'3067化成弧度 （2）把rad53化成度
注意： 1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3
表示3rad
sin表示 rad角的正弦
2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见下表）
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 1
80°
弧0 π
度
角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 3
60°
弧度 2
π
3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能
在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R
例2、 用弧度制表示：
终边在x轴上的角的集合；终边在y轴上的角的集合；终边在坐标轴上的角
的集合
例3、 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34 ⑵ 165
例4、利用弧度制证明扇形面积公式lRS21其中l是扇形弧长，R是圆的半
径。
例5、如图，已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求
该扇形的面积。
例6、已知一扇形的周长为C(C>0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？
并求出面积的最大值。
小结：
通过本节课的学习，你能够运用弧度制来表示任意角吗？你还掌握了哪些新的公
式？