优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第二章第4讲知能训练轻松闯关
(新课标)高考数学一轮复习第二章第11讲知能训练轻松闯关
（新课标）高考数学一轮复习第二章第11讲知能训练轻松闯关【优化方案】（新课标） 2016 高考数学一轮复习第二章第11讲知能训练轻松闯关1．函数y＝x2cos x 在 x＝1处的导数是()A． 0 B ．2cos 1 － sin 1C． cos 1 － sin 1 D ．1分析：选 B. ∵ ′＝ (x2cos x)′＝ (x 2) ′ cosx＋x2(cos)′＝ 2x cos x－x2sin x，y x ∴ y′|＝ 2cos 1 － sin 1.x ＝ 12．(2015 ·河南郑州第一次质量展望) 已知曲线y＝x2－ 3ln x 的一条切线的斜率为2，2则切点的横坐标为 ()A． 3 B ．21C．1 D. 2分析：选 A. 设切点坐标为 ( x，y ) ，且x >0，00033由 y′＝ x－x，得 k＝ x0－x0＝2，∴x0＝3.3．已知f(x) 与() 是定义在 R 上的两个可导函数，若f(x) ， () 知足′()＝′()，g x g x fx g x则 f ( x)与 g( x)知足()A．f ( x) ＝g( x)B．f ( x) ＝g( x) ＝ 0C．f ( x) －g( x) 为常数函数D．f ( x) ＋g( x) 为常数函数分析：选 C. 由f′(x) ＝g′(x) ，得f′(x) －g′(x) ＝ 0，即 [ f ( x) －g( x)] ′＝ 0，因此f ( x) －g( x) ＝C( C为常数 ) ．1＋ cos xπ， 14．设曲线y＝sin x在点2处的切线与直线x－ ay＋1＝0平行，则实数 a 等于()1A．－ 1B. 2C．－ 2 D ．2分析：选 A. ∵ ′＝－ 1－ cos x，∴yπ＝－ 1，由条件知1＝－ 1，∴ ＝－ 1，应选2′ | x＝y sin x2a aA.1π－ππ5．若函数 f ( x ) ＝ cos x ＋2 xf ′ 6 ，则 f3 与 f 3 的大小关系是 ()π ππ πA ． f－＝ f3B ．f －3 >f33C ． f π <f πD ．不确立－ 3 3π 分析：选 C. 依题意得 f ′(x ) ＝－ sinx ＋ 2f ′ 6，π π π π1∴ f ′ 6 ＝－ sin6 ＋ 2f ′ 6，f ′ 6 ＝2， f ′ ( x ) ＝－ sin x ＋ 1，∵当 x ∈－ π ， π时， f ′ ( x )>0 ，2 2∴ f ( x ) ＝ cos x ＋ xππ在 －，上是增函数，2 2 又－ π π π π f π π<－ < 3 < ，∴ － <.2 3 2 3 f 3sin x6．函数 y ＝ x 的导数为 ________．（sinx ）′ x － sin x · x ′x cos x － sin x分析： y ′＝x 2＝x 2.x cos x － sin x答案：x 27．已知函数 f ( x ) ＝ ln x － f ′( － 1) x 2＋ 3x － 4，则 f ′(1) ＝ ________．1分析：∵ f ′(x ) ＝ x － 2f ′( － 1) x ＋ 3，f ′ ( －1) ＝－ 1＋ 2f ′( － 1) ＋ 3，∴ f ′ ( － 1) ＝－ 2，∴ f ′(1) ＝ 1＋4＋ 3＝ 8.答案： 88．若点 P 是曲线 y ＝ x 2－ ln x 上随意一点，则点 P 到直线 y ＝ x －2 的最小距离为 ________． 分析：设 P ( x ， y ) 到直线 y ＝ x － 2 的距离最小，则 y ′ | x ＝ x ＝ 2x 1 ＝ 1，得 x ＝ 1－x0 0 0 0 01或 x 0＝－ 2( 舍去 ) ．∴P 点坐标为 (1，1) ．|1 －1－ 2|∴点 P 到直线 y ＝ x － 2 的距离 d ＝＝ 2.1＋ 1答案： 29．求以下函数的导数．(1) y ＝x n lg x ；12 1(2) y ＝ x ＋ x 2＋ x 3.n － 1n1解： (1) y ′＝ nx lgx ＋ x ·x ln 102＝ x n－1( n lg x＋1) ．ln 10121(2)y′＝x′＋x2′＋x3′＝( x－1) ′＋ (2 x－2) ′＋ ( x－3) ′＝－ x－2－4x－3－3x－41 43＝－x2 －x3－x4.13210．已知点M是曲线 y＝3x －2x ＋3x＋1上随意一点，曲线在M处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线 l 的倾斜角α的取值范围．解： (1) ∵y′＝x2－ 4x＋ 3＝ ( x－ 2) 2－1≥－ 1，5∴当 x＝2时， y′＝－1， y＝3，5∴斜率最小的切线过2，3，斜率 k＝－1，11∴斜率最小的切线方程为x＋ y－3＝0.(2)由 (1) 得k≥－ 1，∴ tan α≥－ 1，π3π∴α∈0，2∪ 4 ，π.1．下边四个图象中，有一个是函数f ( x)＝1x3＋ ax2＋( a2－1) x＋1( a∈R)的导函数 y＝3′( ) 的图象，则f (－1)＝()fxA.1B ．－2 33C.7 D ．－1或 5333分析：选 D. ∵f′ ( x) ＝x2＋ 2ax＋a2－ 1，∴f′ ( x) 的图象张口向上，则②④清除．若f′(x)的图象为①，此时＝ 0，( － 1) ＝5；若′( ) 的图象为③，此时2－ 1＝0，又对称轴x＝af3fx a1－a>0.∴ a＝－1，∴ f (－1)＝－.32．曲边梯形由曲线y＝ x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线 y＝x2＋1( x∈[1，2])上一点 P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的一般梯形，则这一点的坐标为()3A.3， 2 B.3， 132 2 45 13 5C. ，D.， 224 222－ ( 分析：选 B. 设 P ( x 0，x 0＋ 1) ，x 0∈[1 ，2] ，则易知曲线 y ＝ x ＋1 在点 P 处的切线方程为y x 02＋1)＝2 0( x － x 0)，∴ y ＝ 2 x 0( x － 0)＋ x 02＋1. 设 ( )＝2 0( x － 0)＋ x 02＋1，则g (1) ＋xxg x x xg (2) ＝ 2( x 2(1 － x ＋ 2 － x ) ，∴ Sg （ 1）＋ g （ 2）2 ＋ 3x ＋ 1＝－＋ 1) ＋ 2x一般梯形＝× 1 ＝－ x232133， 13时， S 一般梯形 最大．x 0 － ＋ ，∴点 P 坐标为 242 43．已知 f 1( x ) ＝sin x ＋ cos x ，记 f 2( x ) ＝ f 1′( x ) ， f 3( x ) ＝ f 2′ ( x ) ， ， f n ( x ) ＝f n －1′*， n ≥ 2) ，则 fππ＋ ＋ fπ＝ ________．( x )( n ∈ N12 ＋ f22 2 0162分析： f 2( x ) ＝ f 1′ ( x ) ＝ cos x － sin x ，f 3( x ) ＝ (cos x － sin x ) ′＝－ sin x － cos x ，f ( x ) ＝－ cosx ＋sinx ，f( x ) ＝ sin x ＋ cos x ，45以此类推，可得出 f n ( x ) ＝f n ＋ 4( x ) ，又∵ f 1( x ) ＋ f 2( x ) ＋ f 3( x ) ＋ f 4( x ) ＝ 0，π π π∴ f 12 ＋ f 22 ＋ ＋ f 2 016 2ππ ππ＝ 504 f 1 2 ＋ f 2 2 ＋ f 3 2 ＋f 4 2 ＝ 0.答案： 04．(2015 ·浙江宁波四中高三月考 ) 给出定义： 若函数 f ( x ) 在 D 上可导，即 f ′(x ) 存在，且导函数 f ′()在 D 上也可导，则称 f ( x ) 在 D 上存在二阶导函数， 记 f ″ ( x ) ＝ (f ′()) ′. xx 若 f ″(x ) ＜ 0 在 D 上恒建立，则称 f ( x ) 在 D 上为凸函数．以下四个函数在π0， 2上是凸函数的是 ________( 把你以为正确的序号都填上 ) ．① f ( x ) ＝ sin x ＋ cos x ；② f ( x ) ＝ ln x － 2x ；③ f ( x ) ＝－ x 3＋ 2x － 1；④ f ( x ) ＝ x e x .分析：①中， f ′ ( x ) ＝ cosx － sin x ， f ″ ( x ) ＝－ sinx －cos x ＝－ 2sinx ＋π ＜ 04π11 π在区间 0， 2 上恒建立；②中， f ′ ( x ) ＝x － 2( x ＞ 0) ， f ″ ( x ) ＝－ x 2＜ 0 在区间 0， 2上恒建立；③中， f2在区间0，π上恒小于0. 故①②③为凸 ′ ( x ) ＝－ 3x ＋ 2， f ″ ( x ) ＝－ 6x2 函数．④中， f ′ ( x ) ＝ e x ＋ x e x ， f ″( x ) ＝ 2e x ＋ x e x ＝ e x ( x ＋2) ＞ 0 π在区间 0， 2 上恒建立， 故④中函数不是凸函数．答案：①②③5．已知函数 f ( x ) ＝ x 3＋ x －16.(1) 求曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (2 ，－ 6) 处的切线的方程； (2) 直线 l 为曲线 y ＝ f ( x ) 的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；4(3) 假如曲线y ＝(x) 的某全部线与直线y＝－1＋ 3 垂直，求切点坐标与切线的方程．f4x解： (1) 可判断点 (2 ，－ 6) 在曲线y＝f ( x) 上．∵ f ′( x)＝( x3＋ x－16)′＝3x2＋1.∴ f ( x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝ f ′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13( x－2)＋(－6)，即 y＝13x－32.(2)设切点为 ( x0，y0) ，2则直线 l 的斜率为 f ′(x0)＝3x0＋1，∴直线 l 的方程为y＝ (3x2x－ 0)＋30－16，0＋1)(0＋xx x又∵直线 l 过点(0，0)，23∴ 0＝ (3 x0＋ 1)( －x0) ＋x0＋x0－ 16，3整理得， x0＝－8，∴ x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．1(3) ∵切线与直线y＝－4x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为( x0，y0) ，2则 f ′(x0)＝3x0＋1＝4，∴ x0＝±1.x0＝1x0＝－1，∴y ＝－14或y ＝－18，00即切点坐标为 (1 ，－ 14) 或 ( － 1，－ 18) ，切线方程为 y＝4( x－1)－14或 y＝4( x＋1)－18.即y＝4 －18 或y＝ 4 －14.x x26． ( 选做题 ) 已知函数f ( x) ＝x－x，g( x) ＝a(2 －ln x)( a＞0)．若曲线 y＝ f ( x)与曲线y＝ g( x)在 x＝1处的切线斜率同样，求 a 的值．并判断两条切线能否为同一条直线．解：依据题意有：曲线 y＝ f ( x)在 x＝1处的切线斜率为 f ′(1)＝3，曲线 y＝ g( x)在 x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－ a.因此 f ′(1)＝ g′(1)，即 a＝－3.曲线 y＝ f ( x)在 x＝1处的切线方程为y－ f (1)＝3( x－1)，得 y＋1＝3( x－1)，即切线方程为3x－y－ 4＝ 0.曲线y＝ () 在x＝ 1处的切线方程为y－ (1) ＝3(－1)，g x g x得 y＋6＝3( x－1)，即切线方程为3x－y－ 9＝ 0，因此两条切线不是同一条直线．56。
2020高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入知能训练轻松闯关理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入知能训练轻松闯关理北师大版1．(2016·西安地区八校联考)已知i是虚数单位，则＝( )B.1＋iA.2D.－1＋iC.2解析：选B.＝＝＝，选B.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )B．－2＋iA．－2－iC．2－iD．2＋i解析：选C.因为 (z－1)i＝i＋1，所以z－1＝＝1－i，所以z＝2－i.3．(2016·唐山质量监测)已知a∈R，若为实数，则a＝( )B．－2A．2D.1C．－2解析：选C.＝（1＋ai）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝＝＋i，因为为实数，所以＝0，所以a＝－.4．(2016·商丘模拟)已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝( )A．－7B．7D．4C．－4解析：选A.因为＝1＋＋4i2＝－3－4i，所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，所以a＋b＝－7，故选A.5．(2016·河北省衡水中学模拟)复数的共轭复数为( )B．－iA．iD．－2＋iC．2－i解析：选B.＝＝＝＝i，所以所求的共轭复数为－i，故选B.6．设z1，z2是复数，则下列命题中为假命题的是( )A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z＝z2解析：选D.对于A ，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，是真命题；对于B ，C 易判断是真命题；对于D ，若z1＝2，z2＝1＋i ，则|z1|＝|z2|，但z ＝4，z ＝－2＋2i ，是假命题．7．已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m(1＋i)＝1＋ni ，则＝________． 解析：由m(1＋i)＝1＋ni ，得m ＋mi ＝1＋ni ，即m ＝n ＝1，所以＝＝i2＝－1. 答案：－1 8．(2016·河北省教学质量检测)已知m ∈R ，复数－的实部和虚部相等，则m ＝________．解析：－＝－12＝－＝， 由已知得m ＝1－m ，则m ＝.答案：12 9．已知复数z ＝(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________．解析：z ＝＝＝＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.答案：－510．已知复数z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，且|z －2|＝，则的最大值为________．解析：因为|z －2|＝ （x －2）2＋y2＝，所以(x －2)2＋y2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max＝＝. 答案：3 11．计算：(1)；(2)＋；(3).解：(1)＝－3＋4i ＋3－3i2＋i ＝＝＝＋i.(2)＋＝＋＝＋＝－1.(3)＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2 ＝＝（－i ）（3－i ）4＝－－i.12．已知复数z 的共轭复数是z ，且满足z ·z ＋2iz ＝9＋2i.求z.解：设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，则z ＝a －bi.因为z·z＋2iz ＝9＋2i ，所以(a ＋bi)(a －bi)＋2i(a ＋bi)＝9＋2i ，即a2＋b2－2b ＋2ai ＝9＋2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2－2b ＝9，①2a ＝2.② 由②得a ＝1，代入①，得b2－2b －8＝0.解得b ＝－2或b ＝4.所以z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.1．(2016·宁夏银川一中一模)已知复数(1＋i)(a ＋bi)＝2＋4i(a ，b ∈R)，则函数f(x)＝2sin ＋b 图像的一个对称中心是( ) A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18，0C. D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π18，1 解析：选D.因为(1＋i)(a ＋bi)＝2＋4i ，所以a ＋bi ＝＝＝3＋i ，所以a ＝3，b ＝1.f(x)＝2sin ＋1，令3x ＋＝k π，k∈Z，所以x ＝－＋， k∈Z，令k ＝1，得x ＝，所以f(x)＝2sin ＋1的一个对称中心为，故选D.2．设x ，y 为实数，且＋＝，则x ＋y ＝________．解析：因为＋＝，所以x ＋y ＝×5，利用实部和虚部对应相等可知x ＋y ＝4.答案：43．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m2＋5m ＋6)＋(m2－2m －15)i(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数；(3)对应的点在x 轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得解得m ＝－1.(2)根据共轭复数的定义得解得m ＝1.(3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m2－2m －15＞0，解得m ＜－3或m ＞5. 4．复数z1＝＋(10－a2)i ，z2＝＋(2a －5)i ，若z1＋z2是实数，求实数a 的值．解：z1＋z2＝＋(a2－10)i ＋＋(2a －5)i＝＋[(a2－10)＋(2a －5)]i＝＋(a2＋2a －15)i.因为z1＋z2是实数，所以a2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.因为a ＋5≠0，所以a≠－5，故a ＝3.。
(新课标)高考数学一轮复习第二章第6讲知能训练轻松闯关
（新课标）高考数学一轮复习第二章 第 6 讲 知能训练轻松闯 关【优化方案】（新课标） 2016 高考数学一轮复习 第二章 第 6 讲 知能训练轻松闯关x1x1．(2015 ·北京模拟 ) 在同一坐标系中， 函数 y ＝ 2 与 y ＝ 2 的图象之间的关系是 ()A ．对于 y 轴对称B ．对于 x 轴对称C ．对于原点对称1xD ．对于直线 y ＝ x 对称－ x分析：选 A ．∵ y ＝ 2＝ 2 ，∴它与函数 y ＝2 x 的图象对于 y 轴对称．2．已知 f ( x ) ＝ 3x －b (2 ≤ x ≤4， b 为常数 ) 的图象经过点 (2 ，1) ，则 f ( x ) 的值域为 ( )A ． [9 ， 81]B ．[3 ，9]C ．[1 ， 9]D ． [1 ，＋∞) x － 2分析：选 C ．由 f ( x ) 过定点 (2 ，1) 可知 b ＝2，因 f 在 [2 ，4] 上是增函数， f ( x ) min( x ) ＝ 3 ＝ f (2) ＝ 1， f ( x ) max ＝ f (4) ＝ 9，可知 C 正确．3．(2015 ·浙江绍兴一中月考 ) 函数 f ( x ) ＝ a | x ＋ 1| ( a ＞0， ≠ 1) 的值域为 [1 ，＋∞ ) ，则af ( － 4) 与 f (1) 的关系是 ()A ． f ( － 4) ＞ f (1)B ． f ( － 4) ＝ f (1)C ． f ( － 4) ＜ f (1)D ．不可以确立分析：选 A ．由题意知a ＞ 1，∴ f ( － 4) ＝a 3， f (1) ＝a 2，由单一性知 a 3＞ a 2，∴ f ( － 4)＞f (1) ．1 x4．函数 y ＝ 2＋ 1 的图象对于直线 y ＝ x 对称的图象大概是 ( )1x分析：选 A ．由题易知，函数 y ＝ 2 ＋ 1 的图象过点 (0 ，2) 对于直线 y ＝x 对称的图象必定过 (2 ，0) 这个点．因为原函数为减函数，故所求函数也为减函数，由此能够清除 B ， C ， D ． x x5．(2015 ·浙江丽水模拟 ) 当∈( －∞，－ 1] 时，不等式 ( 恒建立，则x 2－ ) ·4－ 2 <0 实数 m 的取值范围是 ()m mA ． ( －2， 1)B ．( －4，3)C ． ( －1， 2)D ．( －3，4)21x分析：选 C ．原不等式变形为 m － m < 2 ，1 x∵函数 y ＝ 2在( －∞，－ 1] 上是减函数，1x1 － 1∴ 2≥ 2＝2，当 x ∈( －∞，－ 1] 时，21 x－ <2恒建立，m m2．等价于 m － m <2，解得－ 1<m <26．(2015 ·四川绵阳一诊 ) 计算： 23× 361.5 × 12＝ ________．1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 分析： 2×32× 33× 126＝2×32× 33× 2－ × 36× 23＝2×3＋ ＋ × 2－ ＋ ＝ 6．232 3 63 3答案： 67．已知正数 a 知足 a 2－ 2a － 3＝ 0，函数 f ( x ) ＝ a x ，若实数 m 、n 知足 f ( m ) ＞ f ( n ) ，则 m 、n 的大小关系为 ________．分析：∵ a 2－ 2 －3＝ 0，∴ a ＝3或 ＝－1(舍去)．a a函数 f ( x ) ＝ a x 在 R 上递加，由 f ( m ) ＞ f ( n ) ，得 m ＞ n ． 答案： ＞ nm8．已知函数 f ( x ) ＝ a 2x －4＋ n ( a >0 且 a ≠1) 的图象恒过定点 P ( m ，2) ，则 m ＋ n ＝ ________． 分析：当 2x － 4＝ 0，即 x ＝ 2 时， y ＝ 1＋n ，即函数图象恒过点 (2 ，1＋ n ) ，又函数图象恒过定点 P ( m ， 2) ，所以 m ＝2， 1＋ n ＝2，即 m ＝2， n ＝ 1，所以 m ＋n ＝ 3．答案： 3 9．求以下函数的定义域和值域．1 2x － x2 2x －11 (1) y ＝2 ； (2) y ＝3－9．解： (1) 明显定义域为 R ．∵ 2 － x 2＝－ ( x －1) 2＋1≤1，x1x且 y ＝ 2 为减函数．1 2x － x 21 11 ∴2 ≥ 2 ＝ 2 ．1 2x －x2 1 故函数 y ＝ 2 的值域为 2，＋∞ ．2x － 112x － 11－ 2(2)由3－ 9≥ 0，得3 ≥9＝3 ，x1∵ y ＝ 3 为增函数，∴ 2x －1≥－ 2，即 x ≥－ 2， 1 此函数的定义域为－ 2，＋∞ ，2x －11由上可知 3－9≥ 0，∴ y ≥ 0． 即函数的值域为 [0 ，＋∞ ) ．1 ax 2－ 4x ＋ 310．已知函数 f ( x ) ＝ ．3(1) 若 a ＝－ 1，求 f ( x ) 的单一区间； (2) 若 f ( x ) 有最大值 3，求 a 的值；(3) 若 f ( x ) 的值域是 (0 ，＋∞ ) ，求 a 的值．1 －x 2－ 4x ＋ 3解： (1) 当 a ＝－ 1 时， f ( x ) ＝ 3 ，2令 g ( x ) ＝－ x － 4x ＋ 3，因为 g ( x ) 在 ( －∞，－ 2) 上单一递加，在 ( － 2，＋∞ ) 上单一递减，1 t而 y ＝ 3 在 R 上单一递减，所以 f ( x ) 在 ( －∞，－ 2) 上单一递减，在 ( － 2，＋∞ ) 上单一递加，即函数 f ( x ) 的单一递加区间是 ( －2，＋∞ ) ， 单一递减区间是 ( －∞，－ 2) ．(2)令 () ＝ax 2－4 ＋ 3， ( x ) ＝ 1 g （ x ） ， g x x f 3因为 f ( x ) 有最大值 3，所以 g ( x ) 应有最小值－ 1，＞ 0，a所以必有 3a － 4解得 a ＝ 1，a＝－ 1，即当 f ( x ) 有最大值 3 时， a 的值为 1．(3) 由指数函数的性质知， 1g （ x ）要使 y ＝ 3 的值域为 (0 ，＋∞ ) ．应使 ( ) ＝ax 2－4 ＋ 3 的值域为 R ，g xx所以只好 a ＝ 0． ( 因为若 a ≠0，则 g ( x ) 为二次函数，其值域不行能为 R ．)故 a 的值为 0．xx1．已知 f ( x ) ＝a 和 g ( x ) ＝b 是指数函数，则“ f (2)> g (2) ”是“ a >b ”的 ( )B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件分析：选 C ．由题可得， a ，b >0 且 a ，b ≠ 1，充足性： f (2) ＝ a 2，g (2) ＝ b 2，由 f (2)> g (2)知， a 2>b 2，再联合 y ＝ x 2 在 (0 ，＋∞ ) 上单一递加，可知 a >b ，故充足性建立；必需性：由题f （ x ） axaxaa 2可知 a >b >0，结构 h ( x ) ＝ （） ＝ x ＝ b，明显 >1，所以 h ( x ) 单一递加， 故 h (2) ＝2>h (0)g x bb b ＝1，所以 a 2>b 2，故必需性建立．应选 C ．2．偶函数 f ( x ) 知足 f ( x － 1) ＝ f ( x ＋ 1) ，且在 x ∈[0 ，1] 时，f ( x ) ＝ x ，则对于 x 的方程 f ( x )1x＝ 10 在 x ∈[0 ， 4] 上解的个数是 ()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：选 D ．由 f ( x － 1) ＝ f ( x ＋ 1) ，可知 T ＝ 2．∵ x ∈ [0 ， 1] 时， f ( x ) ＝ x ，又∵ f ( x ) 是偶函数，∴可得图象如下图．1 x ∴ f ( x ) ＝在 x ∈[0 ， 4] 上解的个数是 4．应选 D ．x1f （ x ）， x ≥ 0，3．已知函数f ( x ) ＝ 2 － 2 x ，函数g ( x ) ＝f （－ x ）， x ＜0，则函数g ( x ) 的最小值是________．分析：当x ≥0 时，() ＝ ( x ) ＝ x1( x ) ≥ (0) ＝0；当x ＜ 02－ x 为单一增函数，所以g xf2gg－ x1时， g ( x ) ＝f ( － x ) ＝2 －2－ x 为单一减函数，所以g ( x ) ＞ g (0) ＝ 0，所以函数 g ( x ) 的最小值是 0．答案： 0| x |的定义域为 [ a ， b ] ，值域为4．定义区间 [ x 1，x 2] 的长度为 x 2－ x 1，已知函数 f ( x ) ＝ 3 [1 ， 9] ，则区间 [ a ，b ] 的长度的最大值为 ________，最小值为 ________．分析：由 3 | x | ＝ 1，得 x ＝ 0，由 | x |＝ 9，得 x ＝± 2，故知足题意的定义域能够为[ －2， 3 m ](0 ≤ m ≤2) 或 [ n ， 2]( －2≤ n ≤0) ，故区间 [ a ，b ] 的最大长度为 4，最小长度为 2．答案： 4 2 b － 2－x5．已知定义域为 是奇函数．R 的函数 f ( x ) ＝ － x ＋ 12 ＋ 2(1) 求 b 的值；(2) 对于随意的 t ∈ R ，不等式 f ( t 2－2t ) ＋ f (2 t 2－k )<0 有解，求 k 的取值范围．b － 1解： (1) 由 f ( x ) 为奇函数，知 f (0) ＝ 4 ＝0，∴ b ＝ 1．f ( t 2－ 2 2－ k )<0 ，得(2) ∵ f ( x ) 为奇函数，由 t ) ＋f (2 t f ( t 2－ 2t )< f ( k － 2t 2) ．1－ 2－x由(1) 知＝1 时， f (x11t 2－ 2 < － 2 t 2 ．) ＝ －x ＋1＝－＋ －x在 R 上是增函数，∴b2 ＋ 22 2 ＋ 1t k即>32－ 2 ＝ 3 t －1 2－1≥－ 1．k tt3331∴ k 的取值范围为 k >－ 3．1x26． ( 选做题 ) 已知函数 f ( x ) ＝ 3 ， x ∈ [ － 1， 1] ，函数 g ( x ) ＝[ f ( x )] － 2af ( x ) ＋ 3 的最小值为 h ( a ) ．(1) 求 h ( a ) ；(2) 能否存在实数 m ， n 同时知足以下条件： ① m >n >3；②当 h ( a ) 的定义域为 [ n ，m ] 时，值域为 2 2m ，n 的值；若不存在，[ n ，m ] ？若存在，求出 说明原因．解： (1) ∵ x ∈[ － 1， 1] ，∴ f ( x ) ＝1 x13∈， 3 ，3设 t 1x1＝ 3 ∈3，3．则 y ＝φ( t ) ＝ t 2－2at ＋ 3＝( t － a ) 2＋ 3－ a 2．当 a 1 y min ＝ ( ) ＝ 1 28 2a< 时， ＝ － ；3 h a φ 3 9 31当 3≤ a ≤3时， y min ＝ h ( a ) ＝ φ( a ) ＝ 3－a 2； 当 a >3 时， y min ＝ h ( a ) ＝ φ (3) ＝ 12－ 6a ．282a19－3， a<3，∴ h( a)＝3－a2，1≤a≤3，312－ 6a，a>3.(2)假定存在 m， n 知足题意．∵>>3，()＝12－ 6在 (3 ，＋∞ ) 上是减函数，m nh a a22又∵ h( a)的定义域为[ n，m] ，值域为 [ n，m] ，12－ 6m＝n2，①∴212－ 6n＝m，②②－①得 6( m－n) ＝ ( m－n)( m＋n) ，即 m＋n＝6，与 m>n>3矛盾，∴知足题意的 m， n 不存在．。
优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第一章第1讲知能训练轻松闯关
【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第一章 第1讲 知能训练轻松闯关1．(2015·河南省洛阳市统一考试)已知集合A ＝{1，2，4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9解析：选D ．集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共9个．2．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )A ．AB B ．B AC ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：选B ．由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，∴B A ，故选B ．3．(2014·高考江西卷)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－3，0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3，3)解析：选C ．由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}， ∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}．4．(2015·福建南安一中期末)全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x ≤1}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D ．阴影部分表示的集合是A ∩B ．依题意知，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |－1≤y ≤1}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}，故选D ．5．(2015·山东临沂期中)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D ．∵x 2－3x ＋2>0，∴x >2或x <1． ∴A ＝{x |x >2或x <1}，∵B ＝{x |x ≤a }， ∴∁U B ＝{x |x >a }．∵∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D ．6．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1． 答案：(－∞，1]7．(2015·江西八校联考)已知R 是实数集，集合M ＝{x |3x<1}，N ＝{y |y ＝t －2t －3，t ≥3}，则N ∩∁R M ＝________．解析：解不等式3x<1，得x <0或x >3，所以∁R M ＝[0，3]．令t －3＝x ，x ≥0，则t ＝x 2＋3，所以y ＝x 2－2x ＋3≥2，即N ＝[2，＋∞)．所以N ∩∁R M ＝[2，3]．答案：[2，3]8．已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________． 解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ， 当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意； n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1； n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1； n ≤－2时，x ∉Z ．故A ＝{－2，2，1，－1}，又U ＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U A ＝{0}． 答案：{0}9．已知集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a ，9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B ．解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝3或a ＝－3． 当a ＝5时，A ＝{－4，9，25}，B ＝{0，－4，9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7，9}，B ＝{－8，4，9}， 所以a ＝5或a ＝－3．(2)由(1)可知，当a ＝5时， A ∩B ＝{－4，9}，不合题意， 当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}． 所以a ＝－3．10．(2015·河北衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1＞5－a ，得a ＞3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝25－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．1．(2015·河南郑州模拟)已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|x2＋y 2＝1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ．法一：(解方程组)集合A ∩B 的元素个数即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2＋y 2＝1解的个数，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，有两组解，故选C ．法二：(数形结合)在同一坐标系下画出直线x ＋y －1＝0和圆x 2＋y 2＝1的图象，如图，直线与圆有两个交点．即A ∩B 的元素个数是2，故选C ．2．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1，3，4}为“权集”B ．{1，2，3，6}为“权集”C ．“权集”中可以有元素0D ．“权集”中一定有元素1解析：选B ．由于3×4与43均不属于数集{1，3，4}，故A 不正确；由于1×2，1×3，1×6，2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1，2，3，6}，故B 正确；由“权集”的定义可知a j a i需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C ，D 错误，选B ．3．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m (m －3)≤0，m ∈R }，若A ∩B ＝[2，4]，则实数m ＝________．解析：由题知A ＝[－2，4]，B ＝[m －3，m ]，因为A ∩B ＝[2，4]，故⎩⎪⎨⎪⎧m －3＝2m ≥4，则m ＝5．答案：54．某校田径队共30人，主要专练100 m ，200 m 与400 m ．其中练100 m 的有12人，练200 m 的有15人，只练400 m 的有8人．则参加100 m 的专练人数为________．解析：用Venn 图表示A 代表练100 m 的人员集合，B 代表练200 m 的人员集合，C 代表练400 m 的人员集合， U 代表田径队共30人的集合，设既练100 m 又练200 m 的人数为x ，则专练100 m 的人数为12－x ． ∴12－x ＋15＋8＝30， 解得x ＝5．所以专练100 m 的人数为12－5＝7． 答案：75．(2015·福建三明模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13．综上知m ≥0即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．6．(选做题)(2015·浙江金丽衢十二校第一次联考)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．判断下列四个集合是否为“垂直对点集”．①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y ＝1x ；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}；③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；④M ＝{(x ，y )|y ＝e x－2}．解：依题意， 要使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，只需过原点任作一直线l 1与该函数的图象相交，再过原点作与l 1垂直的直线l 2也与该函数的图象相交即可．对于①，取l 1：y ＝x ，则l 2：y ＝－x 与函数y ＝1x图象没有交点，①中M 不是“垂直对点集”；③中取l 1：y ＝0，则l 2：x ＝0与函数y ＝log 2x 图象没有交点，③中M 不是“垂直对点集”；如图所示，作出②④中两个函数的图象知：过原点任作一直线l 1与该函数的图象相交，再过原点作与l 1垂直的直线l 2也与该函数的图象相交．故②④中的集合M 是“垂直对点集”．。
【优化方案】(新课标)高考数学一轮复习 第八章 第3讲 知能训练轻松闯关
【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第八章 第3讲 知能训练轻松闯关1．经过点(1，0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝1B ．．(x －1)2＋(y －1)2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选B ．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1．2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“F ＝E ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A ．由题意可知，要求圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，0，而D 可以大于0．3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选D ．由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝5．4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析：选A ．由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a ，1)，又圆与直线4x－3y ＝0相切，可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1．5．(2015·温州模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ． 2解析：选C ．圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形PACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0，1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k2＝5，解得k ＝±2，又k ＞0，所以k ＝2．6．如果直线l 将圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大距离为________．解析：由题意，知直线l 过圆心C (2，－3)，当直线OC ⊥l 时，坐标原点到直线l 的距离最大，|OC |＝22＋（－3）2＝13．答案：137．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________．解析：设圆心坐标为M (x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9．答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝98．(2015·太原市模拟)已知点P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，点C 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，那么|PC |的最小值是________．解析：点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点P 的最小距离即为点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，而圆心C 的坐标是(1，1)，因此最小距离为|3×1＋4×1＋8|5＝3．答案：39．在平面直角坐标系xOy 中，求与x 轴相交于A (1，0)和B (5，0)两点且半径为5的圆的标准方程．解：法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5． 因为点A ，B 在圆上，所以可得到方程组：⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（0－b ）2＝5，（5－a ）2＋（0－b ）2＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝±1.所以圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5．法二：由于A ，B 两点在圆上，那么线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可以设圆心为C (3，b )．又AC ＝5，得 （3－1）2＋b 2＝5． 解得b ＝1或b ＝－1．因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5．10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0． (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上， 得a ＋b －3＝0．①又∵直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210，∴(a ＋1)2＋b 2＝40．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3，6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．1．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D ．曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4， 其为圆心为(－a ，2a )，半径为2的圆， 要使圆C 的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a ，2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径， 易知圆心到坐标轴的最短距离为|－a |， 则有|－a |>2，得a >2．2．已知两点A (0，－3)、B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6B ．112C ．8D ．212解析：选B ．如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112．3．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________．解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4．答案：3π44．(创新题)已知直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆O ：x 2＋y 2＝1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形，点P (a ，b )是以点M (0，1)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最小值为________．解析：因为直线与圆O 相交所得△AOB 是直角三角形，可知∠AOB ＝90°，所以圆心O到直线的距离为12a 2＋b 2＝22，所以a 2＝1－12b 2≥0，即－2≤b ≤2．设圆M 的半径为r ，则r ＝|PM |＝a 2＋（b －1）2＝12b 2－2b ＋2＝22(2－b )，又－2≤b ≤2，所以2＋1≥|PM |≥2－1，所以圆M 的面积的最小值为(3－22)π．答案：(3－22)π5．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为23．(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ．由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3．故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1．(2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22．又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝3． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝3．故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3．6．(选做题)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O ．(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8． ∵直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ， ∴O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8b a＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2．由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0， ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8． (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＋y 2＝16，（x ＋2）2＋（y －2）2＝8， 解之得x ＝45或x ＝0(舍去)．∴存在点Q (45，125)，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长．。
(新课标)高考数学一轮复习第十章第2讲知能训练轻松闯关
（新课标）高考数学一轮复习第十章第2讲知能训练轻松闯关【优化方案】（新课标） 2016 高考数学一轮复习第十章第2讲知能训练轻松闯关1．把样本容量为20 的数据分组，分组区间与频数以下：[10 ， 20) ， 2； [20 ， 30) ，3；[30 ， 40) ，4； [40 ，50) ，5；[50 ，60) ，4；[60 ，70] ， 2，则在区间 [10 ， 50) 上的数据的频率是()A． 0．05 B ．0． 25C． 0．5 D ．0． 7分析：选 D．由题知，在区间[10 ，50) 上的数据的频数是2＋ 3＋ 4＋5＝ 14，故其频次为1420＝ 0． 7．2．(2014 ·高考广东卷 ) 已知某地域中小学生人数和近视状况分别如图①和图②所示．为认识该地域中小学生的近视形成原由，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行检查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A． 200， 20 B ．100， 20C． 200， 10 D ．100， 10分析：选A．该地域中小学生总人数为 3 500 ＋ 2 000 ＋ 4 500 ＝ 10 000 ，则样本容量为10 000 ×2%＝ 200，此中抽取的高中生近视人数为 2 000 ×2%× 50%＝ 20，应选 A．3．某同学进入高三后， 4 次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是()A． 125 B ．55C． 45 D ．35分析：选 C．由茎叶图知均匀值为114＋ 126＋ 128＋ 132212＋4＝ 125，∴s＝ [(125 － 114)4(125 － 126) 2＋(125 － 128) 2＋ (125 － 132) 2] ＝45．4．某厂 10 名工人在一小时内生产部件的个数分别是15， 17， 14， 10， 15， 17， 17，16， 14， 12，设该组数据的均匀数为a，中位数为 b，众数为 c，则有()A． >>B．>>aa b c b cC．c>a>b D ．c>b>a分析：选D．把该组数据按从小到大的次序摆列为10， 12， 14， 14， 15， 15， 16，17，117，17，其均匀数a＝10×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14．7，中位数 b ＝15＋ 15＝ 15，众数＝ 17，则< <．2c a b c5．某地域为认识中学生的日均匀睡眠时间( 单位：h) ，随机选择了n位中学生进行检查，依据所得数据画出样本的频次散布直方图，以下图，且从左到右的第 1 个、第4个、第 2个、第 3 个小长方形的面积挨次构成公差为0．1 的等差数列，又第一小组的频数是10，则n 等于()A． 80 B ．90C． 100 D ．110分析：选 C．设第 1 个小长方形的面积为S，44×3则 4 个小长方形的面积之和为＋×0.1，S24×3由题意知， 4S＋× 0．1＝1，210故 S＝0．1，又由于n＝0．1，所以 n＝100．6．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数同样，均匀数也同样，则图中的 m＋ n＝________．分析：依据茎叶图，可得甲组数据的中位数为20＋22＝ 21，依据甲、乙两组数据的中位2数相等，得乙组数据的中位数为21＝ 20 ＋n，解得n ＝1．又甲组数据的均匀数为10＋m＋ 20＋ 22＋ 2880＋m19＋ 21＋ 2680＋m＝，乙组数据的均匀数为＝ 22，所以＝ 22，解得4434m＝8，所以 m＋ n＝9．答案： 97．(2015 ·湖北八校联考 ) 对某市“四城同创”活动中 800 名志愿者的年纪抽样检查统计后获得频次散布直方图 ( 如图 ) ，可是年纪组为 [25 ，30) 的数据不慎丢掉，则依照此图可得：(1)[25 ， 30) 年纪组对应小矩形的高度为________；(2) 据此预计该市“四城同创”活动中志愿者年纪在[25 ， 35) 的人数为 ________．分析： (1) 设 [25 ， 30) 年纪组对应小矩形的高度为h，则 5(0 ． 01＋h＋ 0． 07＋0． 06＋ 0． 02) ＝ 1，h＝ 0．04．(2) 志愿者年纪在[25 ， 35) 的频次为5(0 ． 04＋ 0． 07) ＝ 0． 55，故志愿者年纪在[25 ，35) 的人数约为0．55×800＝ 440．答案： (1)0 ． 04(2)4408．(2014 ·高考江苏卷) 为了认识一片经济林的生长状况，随机抽测了此中60 株树木的底部周长 ( 单位： cm)，所得数据均在区间 [80 ， 130] 上，其频次散布直方图以下图，则在抽测的 60 株树木中，有 ________株树木的底部周长小于 100 cm．分析：底部周长在[80 ， 90) 的频次为0．015×10＝ 0． 15，底部周长在 [90 ， 100) 的频率为 0．025×10＝ 0．25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为 (0 ．15＋0． 25) ×60＝ 24．答案： 249．(2015 ·西安模拟) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60 名学生，将其数学成绩 ( 均为整数 ) 分红六组 [90 ， 100) ， [100 ，110) ，， [140 ， 150] 后获得以下部分频次散布直方图，察看图形的信息，回答以下问题：(1)求分数在 [120 ， 130) 内的频次；(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值( 如：区间 [100 ，110) 的中点值为100＋ 1102＝105) 作为这组数据的均匀分，据此，预计本次考试的均匀分；(3) 用分层抽样的方法在分数段为[110 ， 130) 的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本当作一个整体，从中任取2 人，求至多有 1 人在分数段 [120 ， 130) 内的概率．解： (1) 分数在 [120 ， 130) 内的频次为1－ (0 ． 1＋ 0． 15＋ 0． 15＋ 0． 25＋ 0． 05) ＝ 1－ 0． 7＝ 0． 3． (2) 预计均匀分为－x ＝95×0． 1＋105×0． 15＋115×0． 15＋125×0． 3＋135×0． 25＋145×0． 05＝ 121．(3) 由题意， [110 ， 120) 分数段的人数为 60×0． 15＝9( 人 ) ．在 [120 ， 130) 分数段的人数为 60×0． 3＝ 18( 人 ) ．∵用分层抽样的方法在分数段为[110 ，130) 的学生中抽取一个容量为6 的样本， ∴需在[110 ， 120) 分数段内抽取 2 人，并分别记为m ，n ；在 [120 ， 130) 分数段内抽取 4 人，并分别记为 a ， b ， c ， d ；设“从样本中任取 2 人，至多有 1 人在分数段 [120 ， 130) 内”为事件 A ，则基本领件共有 { m ， n } ， { m ， a } ， ， { m ， d } ，{ n ， a } ， ， { n ， d } ， { a ，b } ， ， { c ， d } ，共 15 个．则事件 A 包括的基本领件有 { m ， n } ，{ m ， a } ， { m ， b } ， { m ， c } ， { m ， d } ， { n ， a } ， { n ， b } ， { n ， c } ， { n ， d } ，共 9 个．93∴ P ( A ) ＝ 15＝ 5．10．(2015 ·昆明市高三上学期调研 ) 在数学兴趣知识培训活动中，甲、乙两名学生的6次培训成绩如茎叶图所示：(1) 从甲、乙两人中选择一人参加数学兴趣知识比赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明原由；(2) 从乙的 6 次成绩中随机选择 2 个成绩，求选到 123 分的概率．－ 99＋ 107＋ 108＋ 115＋ 119＋ 124解： (1) x 甲＝ 6＝ 112，－102＋105＋ 112＋ 113＋ 117＋ 123x 乙＝ 6＝ 112，21 － 112)2 ＋ (107 － 112) 2 ＋ (108 － 112) 2 ＋ (115 － 112) 2 ＋ (119 － 112) 2 ＋ (124 －s 甲 ＝ [(996112) 2] ＝206，321222 ＋ (113 － 112) 2－ 112) 2＋ (123 － s＝6 [(102 － 112)＋ (105 － 112)＋ (112 － 112) ＋ (117乙2 148112) ]＝3，－－22，∴ x甲 ＝ x乙， s>s甲乙说明甲、乙的均匀水平同样，但乙的方差小，乙发挥更稳固，应选择乙同学． (2) 从 6 个成绩中随机选择2 个，共有 15 个基本领件，分别是：{102 ，105} ，{102 ，112} ，{102 ，113} ，{102 ，117} ，{102 ，123} ，{105 ，112} ，{105 ， 113} ，{105 ，117} ，{105 ，123} ，{112 ，113} ，{112 ，117} ，{112 ，123} ，{113 ，117} ，{113 ，123} ， {117 ， 123} ，51此中知足条件的基本领件有5 个，故所求概率P ＝ 15＝ 3．1．一个样本 a ， 3， 5， 7 的均匀数是 b ，且 a 、 b 是方程 x 2－5x ＋ 4＝ 0 的两根，则这个样本的方差是 ()A ． 3B ．4C ． 5D ．6分析：选 C ．由x 2－ 5 ＋ 4＝ 0 的两根分别为 1， 4，xa ＝ 1 a ＝ 4∴有或．b ＝ 4b ＝ 1又 a ，3， 5， 7 的均匀数是 b ．a ＋ 3＋5＋ 7 a ＋ 15 ， ＋15＝4 ，即 ＝ ， ＝4 4∴ a ＝ 1切合题意，则方差 s 2＝5．b ＝ 42．(2015 ·安徽省名校模拟 ) 一个样本容量为 10 的样本数据，它们构成一个公差不为0 的等差数列 { a n } ，若 a 3＝ 8，且 a 1 ，a 3，a 7 成等比数列，则此样本的均匀数和中位数分别是()A ． 13， 12B ．13， 13C ． 12， 13D ．13， 14分析：选 B ．设等差数列 { a n } 的公差为 d ( d ≠0) ， a 3＝ 8， a 1a 7＝ ( a 3) 2＝ 64， (8 － 2d )(8 ＋4 ) ＝64，(4 － )(2 ＋ ) ＝8，2 － d 2＝ 0，又 ≠0，故 ＝ 2，故样本数据为： 4， 6， 8，10，ddddddS（4＋ 22）×512＋ 1412， 14， 16， 18， 20， 22，均匀数为 10＝ 13，中位数为＝ 13．10＝1023．某班有 48 名学生，在一次考试中统计出均匀分为70，方差为 75，以后发现有 2 名同学的分数登记错了，甲实质得80 分却记成了 50 分，乙实质得70 分却记成了 100 分，更正后均匀分为 ________，方差为 ________．分析：因甲少记了 30 分，乙多记了 30 分，故均匀分不变，设改正后的方差为s 2，则由题意可得21－ 70) 2－70) 2 ＋ ＋ (80 － 70) 2 ＋(7022，而改正前s ＝48[( x＋ ( x－ 70) ＋ ＋ ( x－70) ]1248有1－ 70) 22－ 70) 222] ，化简整75＝48[( x＋ ( x － 70)＋ ＋ (50＋ (100 －70)＋ ＋ ( x － 70)1248理得 s 2＝ 50．答案： 70504．为认识本市的交通状况，某校高一年级的同学分红了甲、乙、丙三组，从13 点到18 点，分别对三个路口的灵活车经过状况进行了实质检查，并绘制了频次散布直方图( 如图) ．若定义“整体均匀数的预计值等于频次散布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底－ － －大小关系为 ________．分析：依据题中整体均匀数的预计值的定义可得，－＝ 0． 3× 13． 5＋ 0．2×14． 5＋x 1－0．1×15．5＋ 0．1×16．5＋ 0．3×17．5＝ 15．4，x 2 ＝ 0．2×13．5＋0．2×14．5＋ 0．3×15．5－＋0．2×16．5＋ 0．1×17．5＝ 15．3，x 3 ＝ 0．1×13．5＋ 0．3×14．5＋ 0．3×15．5＋0．2×16．5＋0．1×17． 5＝ 15． － － －．4，故 x 1 ＝ x 3 >x 2 － － －答案： x 1 ＝ x 3 >x 25．(2015 ·宁波模拟 ) 甲、乙两名战士在同样条件下各射靶10 次，每次命中的环数分别是：甲： 8， 6， 7， 8， 6， 5，9， 10，4， 7； 乙： 6， 7， 7， 8， 6， 7，8， 7， 9， 5．(1) 分别计算两组数据的均匀数； (2) 分别计算两组数据的方差；(3) 依据计算结果，预计一下两名战士的射击水平谁更好一些．解： (1)－1x 甲 ＝ 10(8 ＋6＋ 7＋ 8＋6＋ 5＋ 9＋ 10＋ 4＋7) ＝ 7，－1x 乙＝ (6 ＋ 7＋ 7＋ 8＋ 6＋ 7＋ 8＋ 7＋ 9＋5) ＝ 7．1021 －2－2－ 2 2 2(2) 由方差公式 s ＝n [( x 1－ x ) ＋( x 2 － x )＋ ＋ ( x n － x ) ] 可求得 s 甲 ＝ 3．0，s 乙＝1 ．2．－ －(3) 由 x 甲 ＝ x 乙，说明甲、乙两战士的均匀水平相当；22又∵ s 甲 >s 乙 ，说明甲战士射击状况颠簸大，所以乙战士比甲战士射击状况稳固．6． ( 选做题 ) 某高三年级有 500 名学生，为了认识数学学科的学习状况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成以下频次散布表：分组 频数 频次[85 ， 95)①②[95 ， 105)0． 050[105， 115)0． 200[115 ， 125)120． 300[125， 135)0． 275[135， 145)4③[145， 155]0． 050共计④(1)依据上边图表，求出①②③④处应填的数值；(2)在所给的坐标系中画出 [85 ， 155] 的频次散布直方图及折线图；(3) 依据题中信息预计整体均匀数，并预计整体落在[129 ， 155] 中的频次．12解：(1) 由题意和表中数据可知，随机抽取的人数为0.300＝ 40．由统计知识知④处应填41，③处40＝ 0．100，应填 0．100，②处 1－ 0．050－ 0．100－ 0．275－0．300－ 0．200－ 0．050＝0． 025，应填 0．025，①处 0．025×40＝ 1，应填 1．(2)频次散布直方图及折线图以下图．(3)利用组中值算得均匀数为： 90×0． 025＋100×0． 05＋110×0． 2＋120×0． 3＋6130×0．275＋140×0． 1＋150× 0．05＝ 122．5；整体落在 [129 ，155] 上的频次为10× 0．275＋0． 1＋ 0． 05＝ 0．315．故整体均匀数约为122．5，整体落在 [129 ，155] 上的频次约为0． 315．。
优化方案(新课标)高考数学一轮复习第二章第12讲知能训练轻松闯关
【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第二章 第12讲 知能训练轻松闯关1．若函数y ＝cos x ＋ax 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选 D.y ′＝－sin x ＋a ，若函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，则a ≥sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上恒成立，所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 2．若f (x )＝ln xx，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1解析：选A.f ′(x )＝1－ln xx2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，f (a )>f (b )．3．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D.由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．4．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12f ′（x ）的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)和(2，＋∞)C ．(1，2)D ．R解析：选B.因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是R 上的减函数，所以f ′(x )>0的充要条件是0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12f ′（x ）<1，f ′(x )<0的充要条件是⎝ ⎛⎭⎪⎫12f ′（x ）>1.由图象可知，当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12f ′（x ）<1，即f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．故选B.5．(2015·内蒙古鄂尔多斯模拟)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1，1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A ．0<a <34 B.12<a <34C ．a ≥34D ．0<a <12解析：选 C.f ′(x )＝(2x －2a )e x＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意当x ∈[－1，1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≤0，g （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋（2－2a ）·（－1）－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.6．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是________．解析：在(0，2π)上有f ′(x )＝1－cos x >0，所以f (x )在(0，2π)上单调递增． 答案：单调递增7．(2015·河南省三市调研)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1，4]上单调递减，则实数a 的值为________．解析：∵f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1，4]上单调递减，∴－1，4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝(－1)×4＝－4.答案：－48．(2015·东城期末)若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )>0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，由f ′(x )<0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.答案：(－3，－1)∪(1，3)9．设函数f (x )＝x (e x－1)－12x 2，求f (x )的单调区间．解：f ′(x )＝e x－1＋x e x－x ＝(e x－1)(x ＋1)． 当x ∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1，0)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上是单调递增函数；在(－1，0)上是单调递减函数．10．(2014·高考重庆卷节选)已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e －2x－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )恒成立，即2(a －b )·(e 2x －e －2x)＝0恒成立，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1. (2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x－e －2x－3x ，那么f ′(x )＝2e 2x＋2e －2x－3≥22e 2x ·2e－2x－3＝1>0，故f (x )在R 上为增函数．1．已知函数f (x )＝ln x ＋mex(m 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求m 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －m e x， 又f ′(1)＝1－me ＝0，故m ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．2．已知函数f (x )＝x 2＋b sin x －2(b ∈R )，F (x )＝f (x )＋2，且对于任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数g (x )＝f (x )＋2(x ＋1)＋a ln x 在区间(0，1)上单调递减，求实数a 的取值范围．解：(1)F (x )＝f (x )＋2＝x 2＋b sin x －2＋2＝x 2＋b sin x ， 依题意，对任意实数x ， 恒有F (x )－F (－x )＝0.即x 2＋b sin x －(－x )2－b sin(－x )＝0， 即2b sin x ＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝x 2－2.(2)∵g (x )＝x 2－2＋2(x ＋1)＋a ln x ，∴g (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，g ′(x )＝2x ＋2＋ax.∵函数g (x )在(0，1)上单调递减， ∴在区间(0，1)内，g ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax≤0恒成立，∴a ≤－(2x 2＋2x )在(0，1)上恒成立． ∵y ＝－(2x 2＋2x )在(0，1)上单调递减， ∴a ≤－4为所求．3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)内总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a （1－x ）x(x >0)， 当a >0时，f (x )的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)； 当a <0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数． (2)由(1)得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2.∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)内总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t ，3)内有变号零点． 由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′（t ）<0，g ′（3）>0. 当g ′(t )<0，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9， 即m <－9； 由g ′(3)>0， 即m >－373，所以－373<m <－9.。
【优化方案】(新课标)高考数学一轮复习 第三章 第5讲 知能训练轻松闯关
【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第三章 第5讲 知能训练轻松闯关1．函数y ＝cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R解析：选C.∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 2．函数f (x )＝(1＋sin x )(sin 2x ＋cos 2x －sin x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 解析：选B.f (x )＝(1＋sin x )(1－sin x )＝1－sin 2x ＝cos 2x ＝12cos 2x ＋12，所以f (x )是最小正周期为π的偶函数．3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．－1－ 3B ．－1C ．0D ．2－ 3 解析：选D.∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.4．如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A.依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.5．(2014·高考安徽卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32C ．0D ．－12解析：选A.∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12. ∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.6．比较大小：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 解析：因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数且－π18＞－π10，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.答案：＞7．(2014·高考山东卷)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：∵y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π8．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1，1]，且当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值．答案：[－1，1]π129．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x . (1)求f (x )的单调减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标． 解：f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )． ∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．(2)由sin(2x ＋π6)＝0，得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π12(k ∈Z )． ∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)．10．(2014·高考天津卷)已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值.解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数． f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以，函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.12B.22C.32D ．1解析：选C.由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32.2．(2015·开封市第一次摸底)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R )，其中φ为实数，且f (x )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9对任意实数R 恒成立，记p ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，r ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，则p 、q 、r 的大小关系是( )A ．r <p <qB ．q <r <pC ．p <q <rD ．q <p <r解析：选C.f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＝sin(2x ＋φ)， ∴f (x )的最小正周期T ＝π.∵f (x )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9是最大值．∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π18，∴p ＝sin 25π18，q ＝sin 31π18，r ＝sin 7π18，∴p <q <r .3．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：7824．(2015·内蒙古包头一模)给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0； ②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22； ③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β.其中所有真命题的序号是________．解析：对于①，令x ＝－512π，则2x ＋π3＝－56π＋π3＝－π2，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，0为f (x )的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但sin390°＝12＜sin 60°＝32，故③为假命题，所以真命题为①②. 答案：①②5．(2015·辽宁省五校联考)设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，又x ∈R ，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z .即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z .(2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ，又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，此时其最小正周期为π.6．(选做题)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第五章第4讲知能训练轻松闯关
【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第五章 第4讲 知能训练轻松闯关1．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n，n ∈N *，则S 60的值为( ) A ．990 B ．1 000 C ．1 100 D ．99解析：选A.n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，a n ＝2；n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，a n ＝n .故S 60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.2．(2015·山东济南期末)已知{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( )A ．40B ．200C ．400D ．20解析：选C.S 20－2S 10＝20（a 1＋a 20）2－2×10（a 1＋a 10）2＝10(a 20－a 10)＝100d .又a 10＝a 2＋8d ，∴33＝1＋8d ，∴d ＝4. ∴S 20－2S 10＝400.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5C.3116D.158解析：选C.设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9（1－q 3）1－q ＝1－q61－q，解得q ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.4．(2015·皖西七校联考(一))已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan 225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 016＝( )A ．2 016B ．－2 016C ．3 024D ．－3 024解析：选C.∵a 1＝tan 225°＝1，∴a 5＝13a 1＝13，则公差d ＝a 5－a 15－1＝13－14＝3，∴a n ＝3n －2，∴(－1)n a n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 016＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＋…＋(a 2 016－a 2 015)＝1 008d ＝3 024.5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前8项和为( )A ．－34B ．－815C.34D.815解析：选 B.设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5， 解得a 1＝1，d ＝－1，故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .所以1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前8项和为12⎝⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋116－3－116－1 ＝－815.6．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为________．解析：a 1＋...＋a k ＋...＋a 10 ＝240－(2＋...＋2k ＋ (20)＝240－（2＋20）×102＝240－110＝130.答案：1307．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________．解析：a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n－1－12. 答案：－2 2n －1－128．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．(2014·高考安徽卷)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列{a n n }是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a n n＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2. 从而b n ＝n ·3n.S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.② ①－②得，－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32.所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.10．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k 对任意n ∈N *恒成立．若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由． 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， ∵a 3－a 2＝8，则a 2＝8， ∴q ＝2.∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n （n ＋3）4.∴1S n ＝4n （n ＋3）＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3. ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13<229， ∴存在正整数k 的最小值为3.1．(2015·唐山市第一次模拟)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n＋1，则∑k ＝1na 2k ＝( )A.n （n ＋5）2B.3n （n ＋1）2C.n （5n ＋1）2D.（n ＋3）（n ＋5）2解析：选B.当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2，即3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3，当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得：3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，又∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴∑k ＝1na 2k ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n （n －1）2×3＝3n （n ＋1）2.2．已知F (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝n －1B ．a n ＝nC ．a n ＝n ＋1D ．a n ＝n 2解析：选C.∵F (x )＋F (－x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋12＝2， 即若a ＋b ＝1，则f (a )＋f (b )＝2.于是，由a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，得2a n ＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋[f (1)＋f (0)]＝2n ＋2，∴a n ＝n ＋1.故选C.3．(2015·辽宁省五校上学期联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)na n ＝1.记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________．解析：依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292×1＝465；当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{a n }中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15.因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480.答案：4804．(2015·湖南长郡中学、衡阳八中等十二校联考)定义：称nx 1＋x 2＋…＋x n为n 个正数x 1，x 2，…，x n 的“平均倒数”，若正项数列{c n }的前n 项的“平均倒数”为12n ＋1，则数列{c n }的通项公式为c n ＝________．解析：由已知可得，数列{c n }的前n 项和S n ＝n (2n ＋1)，所以数列{c n }为等差数列，首项c 1＝S 1＝3，c 2＝S 2－S 1＝10－3＝7，故公差d ＝c 2－c 1＝7－3＝4，得数列的通项公式为c n ＝c 1＋(n －1)×4＝4n －1.答案：4n －15．(2015·广东广州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋pn ＋q (p ，q ∈R )，且a 2，a 3，a 5成等比数列．(1)求p ，q 的值；(2)若数列{b n }满足a n ＋log 2n ＝log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)法一：当n ＝1时， a 1＝S 1＝1＋p ＋q ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋pn ＋q －[(n －1)2＋p (n －1)＋q ]＝2n －1＋p . ∵{a n }是等差数列，∴1＋p ＋q ＝2×1－1＋p ，得q ＝0. 又a 2＝3＋p ，a 3＝5＋p ，a 5＝9＋p ， ∵a 2，a 3，a 5成等比数列， ∴a 23＝a 2a 5，即(5＋p )2＝(3＋p )(9＋p )，解得p ＝－1.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .∵S n ＝n 2＋pn ＋q ，∴d 2＝1，a 1－d2＝p ，q ＝0. ∴d ＝2，p ＝a 1－1，q ＝0. ∵a 2，a 3，a 5成等比数列， ∴a 23＝a 2a 5，即(a 1＋4)2＝(a 1＋2)(a 1＋8)，解得a 1＝0. ∴p ＝－1.(2)由(1)得a n ＝2n －2. ∵a n ＋log 2n ＝log 2b n ，∴b n ＝n ·2a n ＝n ·22n －2＝n ·4n －1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n ＝40＋2×41＋3×42＋…＋(n －1)·4n －2＋n ·4n －1，①4T n ＝41＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n，②①－②得－3T n ＝40＋41＋42＋…＋4n －1－n ·4n ＝1－4n 1－4－n ·4n＝（1－3n ）·4n－13.∴T n ＝19[(3n －1)·4n＋1]．6．(选做题)(2015·浙江杭州第一次质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n，其中n ∈N *.(1)设b n ＝22a n －1，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设c n ＝4a n n ＋1，数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2(常数)， ∴数列{b n }是等差数列． ∵a 1＝1，∴b 1＝2，因此b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，由b n ＝22a n －1，得a n ＝n ＋12n.(2)由c n ＝4a n n ＋1，a n ＝n ＋12n ，得c n ＝2n，∴c n c n ＋2＝4n （n ＋2）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<3，依题意要使T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立，只需1c m c m ＋1≥3，即m （m ＋1）4≥3，解得m ≥3或m ≤－4，又m 为正整数，所以m 的最小值为3.。
优化方案(新课标)高考数学一轮复习第三章第2讲知能训练轻松闯关
【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第三章 第2讲 知能训练轻松闯关1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( )A ．－45B ．45C.35D ．－35解析：选B.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45. 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D.∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|<π2，∴θ＝π3.3．已知角θ的终边上有一点M (3，m )，且sin θ＋cos θ＝－15，则m ＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：选D.由题意得sin θ＝m m 2＋9，cos θ＝3m 2＋9，所以m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15，即m ＋3m 2＋9＝－15，解得m ＝－4.4．(2015·成都外国语学校月考)已知tan ()α－π＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B.tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45.5．已知f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）cos （－π－α）tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( )A.12 B ．－13C ．－12D.13解析：选C.∵f (α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.6．(2015·浙江宁波模拟)如果sin α＝15，且α为第二象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________．解析：∵sin α＝15，且α为第二象限的角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－265， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α＝265.答案：2657．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）＝________．解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：08．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________．解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)， 故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：3109．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin （5π2＋α）cos （5π2－α）的值．解：∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin （5π2＋α）cos （5π2－α）＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. (1)当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.(2)当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.10. 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解：由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，两式平方相加得2cos 2A ＝1. 即cos A ＝22或cos A ＝－22. (1)当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又角A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝7π12.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又角A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.1．(2015·广东深圳调研)若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于( )A ．－2B ．2C ．－2或2D ．0解析：选D.原式＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α，由题意知角α的终边在第二、四象限的角平分线上，sin α与cos α的绝对值相等、符号相反，所以原式＝0.2．(2015·湖北黄州联考)若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B >π2，∴A >π2－B >0，B >π2－A >0，∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，sin B >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A＝cos A ，∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0， ∴点P 在第二象限．3．已知cos(75°＋α)＝13，－180°<α<－90°，则tan ()15°－α＝________．解析：由－180°<α<－90°，得－105°<α＋75°<－15°， 故sin(75°＋α)＝－1－cos 2（75°＋α）＝－223. 而cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)， sin(15°－α)＝sin[90°－(75°＋α)]＝cos(75°＋α)， 所以tan(15°－α)＝－24. 答案：－244．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin 2x －sin 2xcos 2x＝________． 解析：∵f (x )＝sin x ＋cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －sin x ，∴sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )， 即3sin x ＝cos x ，得tan x ＝13，于是sin 2x －sin 2x cos 2x ＝sin 2x －2sin x cos x cos 2x ＝tan 2x －2tan x ＝19－23＝－59.答案：－595．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.解：∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β.②由①÷②得9cos 2α＝4cos 2β.③由①＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4.又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝38，∴cos α＝±64.6．(选做题)已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ] ＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ） ＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x } ＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）] ＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ） ＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )．综上得f (x )＝sin 2x . (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016＝sin 2π2 016＋sin 21 007π2 016 ＝sin 2π2 016＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 016 ＝sin 2π2 016＋cos 2π2 016＝1.。
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【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第二章第4讲知能训练轻松闯关1．(2014·高考湖南卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x解析：选A．A中f(x)＝1x2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．2．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图象，则f(2 014)＋f(2 015)＝( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选A．因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 014)＋f(2 015)＝f(671×3＋1)＋f(672×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 014)＋f(2 015)＝1＋2＝3．3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C．A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．4．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f（x2）－f（x1）x2－x1<0，则( )A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)解析：选A ．由题意知x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数且当x ∈R 时，f (x )的图象关于直线x ＝0对称，所以f (1)>f (－2)>f (3)，故选A ．5．(2015·山东威海模拟)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4} 解析：选C ．由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)·(ax ＋b )，(2a －b )·x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ．则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0．f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4．故选C ．6．f (x )＝k ·2x ＋2－x为偶函数，则k ＝________，为奇函数，则k ＝________． 解析：f (x )为偶函数时，f (－1)＝f (1)， 即k 2＋2＝2k ＋12，解得k ＝1． f (x )为奇函数时，f (0)＝0，即k ＋1＝0，∴k ＝－1(或f (－1)＝－f (1)， 即k 2＋2＝－2k －12，解得k ＝－1)． 答案：1 －17．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝________．解析：由f (x ＋2)f (x )＝1，得f (x ＋2)＝1f （x ），进而得f (x ＋4)＝f (x )，所以f (－5)＝f (－5＋4)＝f (－1)＝1f （－1＋2）＝1f （1）＝－15．答案：－158．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0．若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3．答案：(－1，3)9．设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )．若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求实数a 的取值范围．解：因为f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (3)＝1，所以2＝2f (3)＝f (3)＋f (3)＝f (9)． 又f (a )>f (a －1)＋2，所以f (a )>f (a －1)＋f (9)，再由f (xy )＝f (x )＋f (y )，可知f (a )>f (9(a －1))．因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a >09（a －1）>0a >9（a －1），解得1<a <98．故实数a 的取值范围为(1，98)．10．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ． (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间． 解：(1)∵由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4． (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4． (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1，4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1，4k ＋3](k ∈Z )．1．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1) 解析：选C ．f (x )的图象如图．当x ∈(－1，0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1，0)； 当x ∈(0，1)时，由xf (x )<0，得x ∈∅；当x ∈(1，3)时，由xf (x )>0，得x ∈(1，3)． 故x ∈(－1，0)∪(1，3)．2．(2015·皖北协作区联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x 、y ∈R ，x＋y ≠0，都有f （x ）＋f （y ）x ＋y>0，若x >2y ，则( )A ．f (x )>f (2y )B ．f (x )≥f (2y )C ．f (x )<f (2y )D ．f (x )≤f (2y )解析：选A ．因为f （x ）＋f （y ）x ＋y>0，令x ＝x 1，y ＝－x 2， 则f （x 1）＋f （－x 2）x 1－x 2>0．又函数f (x )是奇函数，所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，即函数f (x )是定义在R 上的增函数．因为x >2y ，所以f (x )>f (2y )，故选A ．3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是____________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x．解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1) 4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．解析：∵f (x )为奇函数并且f (x －4)＝－f (x )．∴f (x －4)＝－f (4－x )＝－f (x )，即f (4－x )＝f (x )，且f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )， 即y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称，并且是周期为8的周期函数． ∵f (x )在[0，2]上是增函数，∴f (x )在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上为减函数，据此可画出y ＝f (x )的图象．其图象也关于x ＝－6对称， ∴x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4， ∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8． 答案：－85．已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R )有最小值． (1)求实数a 的取值范围；(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝f (x )，求g (x )的解析式．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）x －4，x ≥2，（a －2）x ＋4，x <2，要使函数f (x )有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a －2≤0，∴－2≤a ≤2，故a 的取值范围为[－2，2]．(2)∵g (x )为定义在R 上的奇函数，∴g (－0)＝－g (0)，∴g (0)＝0．设x >0，则－x <0． ∴g (x )＝－g (－x )＝(a －2)x －4，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x －4，x >0，0， x ＝0，（a －2）x ＋4，x <0.6．(选做题)(2015·山东菏泽模拟)已知函数y ＝f (x )在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0；(2)若f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立． 若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1，∵f (x )在[－1，1]上是减函数且为奇函数，∴f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)，∴f (x 1)＋f (x 2)＞0． ∴[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立． 若x 1＋x 2＞0，则1≥x 1＞－x 2≥－1，同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0．∴[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．综上得证，对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)∵f (1－a )＋f (1－a 2)＜0⇔f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，∴由f (x )在定义域[－1，1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0，解得0≤a ＜1． 故所求实数a 的取值范围是[0，1)．。