2020高考数学第36讲基本不等式
2019高考数学(全国、理科)一轮复习课件：第36讲 基本不等式
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
课前双基巩固
知识聚焦
3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为______，几何平均数为 ab，基本不等式 可叙述为：__________． 4．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则 (1) 如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是______(简记： (2) 积定和最小)． (3) 如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是______(简记： (4) 和定积最大)．
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
课前双基巩固
对点演练
题组一 常识题
1．[教材改编] 若实数 a，b 满足 a＋b ＝2，则 3a＋3b 的最小值是________．
[答案] 6
[解析] 由基本不等式，得 3a＋3b≥2 3a·3b＝ 2 3a＋b＝6，当且仅当 a＝ b＝1 时取等号，所以 3a ＋3b 的最小值是 6.
[答案] 9
[解析] 原不等式等价于 2 1 2 1 m≤a＋b(2a＋b)，而a＋b(2a＋ 2b 2a 2b 2a b)＝5＋ a ＋ b ≥5＋2 a · b ＝9，所以 m≤9，即 m 的最大值 为 9.
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
栏目 导引
[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 a，b，c 分别 且(2＋b)· (sin A－sin B)＝(c－b)sin C， 则△ABC 面积的最大值为________．
■ [2016－2011]课标全国卷真 题再现
基本不等式说课稿
基本不等式说课稿学习必备欢迎下载一. 教材分析1、教材地位和作用本节是选自人教社普通高中课程实验标准数学（必修5）《不等式》一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．同时也是为了以后学习（选修4―5）《不等式选讲》中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。
本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力，是学数学用数学的好素材。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质。
“基本不等式”在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值是高考的热点。
它在科学研究、经济管理、工程设计上都有广泛的作用。
2、教学目标 A．知识目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件.B．能力目标：通过实例探究基本不等式；C．情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣3、教学重点、难点： a?b重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?的证明过程；2a?b难点：用基本不等式求最大最小值，基本不等式ab?等号成立条件24、教材处理本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解重要不等式a2?b2?2ab和基本不等式a?b(a?0,b?0)及它们的几何解释，掌握应用基本不等式解决某些数学问题．第二课时讲解2利用基本不等式：ab?a?b(a?0,b?0)来解决实际问题．2ab?二．教法分析 1、教学方法本节内容从实际问题出发，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题。
这样安排是为了体现数学知识的产生与发展过程，体现数学的应用价值。
新课标中对知识的发生的过程提出了较高的要求，多次使用了“经历”、“感受”、“探索”等情感，态度与价值观要求行为动词，重视学生对问题的探究能力。
基本不等式课件(公开课)
（当且仅当a=b时，取“=”号）
2.注意公式的正向、逆向使用的条件以及“=”
成立的条件.
3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
课本第100页习题3.4A第1﹑2题。
３.S与S′有什么关系？
形的角度 D
G
F
C
A
HE
B
当直角三角形变为等腰直角三角形时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有正方形的面积等于四个 等腰直角三角形的面积和.
数的角度
当a=b时，a2+b2=2ab
5.当a,b为任意实数时， a2 b2 2a b
还成立吗？
结论1：一般地,对于任意实数a、b，我们有
变式1：x
1
有最小值吗？
x
变式2：
x2
2
1
最小值是2吗？
x2 2
变式3：若x>1，求 x 1 的1最小值.
变式4：若x>1，求 x 的1最小x 值1能直接用均值不等式
吗？
x 1
课堂小结
1.本节课主要学习了基本不等式的证明与 初步应用.
(1)若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
3.4.1基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家 大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦 图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车， 代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
探究１：
1.正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C
２.四个直角三角形的
面积和S′=＿2＿ab
高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)
高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇）篇一：高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。
2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。
教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。
人教B版新课标高中数学必修一教案《基本不等式》
《基本不等式Jab色丰（第1课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛•同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.1. 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 通过实例探究抽象基本不等式；3. 通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.♦教学重难点-------------- -- --------------- J【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式.ab 的证明过程;2 【教学难点】基本不等式■. ab -―b等号成立条件21•课题导入基本不等式，ab 乞上的几何背景：2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.【设计意图】由北京召开的第24界国际数学家大会的会标引出新课，使数学贴近实际，来源于生活.2 •讲授新课1 •探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a, b那么正方形的边长为「a2b2.这样，4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为a2 b2.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2 b2 2ab .当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2 2a b 2ab.2.得到结论:般的，如果a,b R,那么a2 b2 2ab(当且仅当a b时取""号)3. 思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为a2 b2 2ab (a b)22 2当a b时,(a b) 0,当 a b时,(a b) 0, 所以，(a b)20，即(a2 b2)2ab.a b4. (1)从几何图形的面积关系认识基本不等式,ab2特别的，如果a>0, b>0，我们用分别代替a、b，可得a b 2. ab ,通常我们把上式写作：ab ^-b(a>0,b>0)2(2)从不等式的性质推导基本不等式、ab 乞上22显然，(4)是成立的.当且仅当 a=b 时，(4)中的等号成立. (3)理解基本不等式•一不 的几何意义探究:用分析法证明： 要证a b ab2只要证a+b要证(2),只要证a+b-要证(3),只要证 (-)2(1) (2)(3) ⑷2在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是AB 上的一点，AC=a , BC=b .过点 作垂直于 AB 的弦DE ，连接 AD 、BD .你能利用这个图形得出基本不等式ab〒的几何解释吗?易证 R 让 A C D S R t △ D C B ，那么 C D 2= C A • C B 即 C D = ab .这个圆的半径为，显然，它大于或等于 CD ，即.. ab ，其中当且仅当点2 2C 与圆心重合，即a = b 时，等号成立._ a b因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”2评述：1•如果把看作是正数a 、b 的等差中项，.ab 看作是正数a 、b 的等比中2项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称 为a 、b 的算术平均数，称.ab 为a 、b 的几何平均数.本2节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.［补充例题］例1 已知x 、y 都是正数，求证： (1) 1> 2;x y(2) (x + y ) (x 2 + y 2) ( x 3 + y 3)>8 x 3y 3.分析：在运用定理： 丄上 ,ab 时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把 2 握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：T x , y 都是正数/• — >0, — >0, x 2>0, y 2 >0, x 3>0, y 3> 0y x/ 八 x v o i'x y 口口 x v (1)2 y = 2 即> 2.y x \ y x y x(2)x + y >2 . xy >0 x 2+ y 2>2 x y 2 >0 x 3+y 3>2 . x 3y 3•••( x+ y) (x2+ y2) (x3+ y3)> 2 xy • 2 x2y2• 2. x3y3=8 x3y3即(x+ y) (x2+ y2) (x3+ y3)>8 x3y3.【设计意图】例题讲解，学以致用.3•随堂练习1. 已知a、b、c都是正数，求证(a+ b) (b+ c) (c+ a)>8 abc分析：对于此类题目，选择定理：- ab (a>0, b>0)灵活变形，可求得结2果.解：••• a, b, c都是正数•- a+ b》2-/ab > 0b + c》2 be > 0c+ a > 2 - ac > 0■'■( a+ b) (b + c) (c+ a)》2 ■丿ab • 2、.，bc • 2 -h ac = 8 abc即(a+ b) (b + c) (c+ a)》8 abc.【设计意图】讲练结合，熟悉新知.4. 课时小结a b本节课，我们学习了重要不等式a2+ b2》2ab;两正数a、b的算术平均数( )，2几何平均数(JOb )及它们的关系(仝上》宅ab ).它们成立的条件不同，前者只要求a、2b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用) .我们还可以用它们下面的等价变形来解决2 b2问题：ab w a ----------- , ab w2【设计意图】课时小结，内化知识.本次课通过实例探究抽象基本不等式；由北京召开的第境引入，贴近24界国际数学家大会的会标情生活，贴近数学，能让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.《基本不等式,ab 乎（第2课时）》教学设计♦教材分析L_ 」“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛•同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.1. 进一步掌握基本不等式.ab ；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解2决一些简单的实际问题2. 通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式.Ob电上，并会用此定理求某些2函数的最大、最小值.3. 引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.♦教学重难点♦教学重点基本不等式、.ab的应用2教学难点利用基本不等式ab以求最大值、最小值.1•课题导入1. 重要不等式:如果a,b R,那么a2 b2 2ab(当且仅当a b时取""号)2.基本不等式：如果a, b是正数，那么 $卫..ab(当且仅当a b时取""号).a b --我们称 -------- 为a b的算术平均数，称J ab为a, b的几何平均数2 ，a2 b22ab和-__b. ab成立的条件是不同的：前者只要求a, b都是实数，2而后者要求a, b都是正数.【设计意图】复习引入.2•讲授新课例1 (1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？(2)段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：(1)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,贝U xy=100，篱笆的长为2 (x+y) m.由可得x y 2 100 , 2(x y) 40 .等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.(2)解法一：设矩形菜园的宽为x m,则长为(36 —2x) m,其中0v x v丄，其面积21 c " c、 1 2x 36 2x2 362S= x (36 —2x)= —• 2x (36 —2x)w —( )2 2 2 8当且仅当2x= 36 —2x,即x = 9时菜园面积最大，即菜园长9m,宽为9 m时菜园面积最大为81 m2解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m，则2 ( x+y) =36 , x+y=18，矩形菜园的面积为xy m 2.由当且仅当x=y ,即x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a , b € R +，且a + b = M ,则a + b 》2、P ，等号当且仅当a = b 时成立.例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ,如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低 总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化， 即建立函数关系式， 然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm ,水池的总造价为I 元，根据题意，得1600240000 720(x)x1600240000720 2 x ——240000 720 2 40297600当x 空°,即x 40时,1有最小值2976000.x因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600 元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用， 应注意数学语言的应用即函数解析式的建 立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行:x y 189，可得 xy 81M 为定值，则M ab w4，等号当且仅当a =b 时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ,b € R +，且 ab = P , P 为定值,(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.【设计意图】讲解例题，熟悉方法.3•随堂练习811. 已知X M 0,当x取什么值时，x2+ 2的值最小？最小值是多少？x2. 课本练习.【设计意图】讲练结合，巩固新知.4. 课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1 )函数的解析式中，各项均为正数；(2 )函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.【设计意图】课时小结，内化知识.本次课通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式 '、不丄卫，并会用此定理求某2些函数的最大、最小值.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.《基本不等式、、不¥ (第3课时)》教学设计“基本不等式”是必修5的重点内容, 它是在系统学习了不等关系和不等式性质,握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究, 同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫， 起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利 好的思维品质.1.进一步掌握基本不等式 ab 皂上；会用此不等式证明不等式，会应用此不等式2求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题; 2. 通过例题的研究，进一步掌握基本不等式 的最大、最小值.3. 引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际 相结合的科学态度和科学道德.♦教学重难点----------- -------------教学重点掌握基本不等式..Ob，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的2 最值 教学难点利用此不等式求函数的最大、最小值.1•课题导入 1. 基本不等式：如果 a , b 是正数，那么 仝上 .ab （当且仅当a b 时取""号）.22. 用基本不等式.ab求最大（小）值的步骤.2 【设计意图】复习引入. 2•讲授新课1）利用基本不等式证明不等式基本不等式.于培养学生良 ..ab 丈亠，并会用此定理求某些函数 224已知m>0，求证 6m24. ［思维切入］因为m>0 ,所以可把24 一和6m 分别看作基本不等式中的 a 和b ,直接利用［证明］因为 m>0,,由基本不等式得246m 2m J 24 6m 2j24 6 2 12 2424 当且仅当24 =m=6m ，即m=2时，取等号. 规律技巧总结 24注意: m>0这一前提条件和 —— 6m =144为定值的前提条件.m 【设计意图】例题讲解，利用基本不等式证明不等式，熟练使用基本不等式. 3•随堂练习1［思维拓展1］已知a , b , c , d 都是正数，求证(ab cd)(ac bd) 4abcd .2 2 2 2 2［思维拓展 2］求证(a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd)2. 例2求证: 4 当且仅当 =a-3即a=5时，等号成立.a 3 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值9例3 (1)若x>0，求f (x) 4x 的最小值； x9(2)若x<0,求f(x) 4x 的最大值.x9 ［思维切入］本题(1) x>0和4x - =36两个前提条件；(2)中x<0,可以用-x>0来转化.［思维切入］ 由于不等式左边含有字母a ，右边无字母，直接使用基本不等式，无法约 掉字母a ，而左边 a 丄(a a 3 3) 3 .这样变形后，在用基本不等式即可得证.［证明］3 a 34 厂(a 3)(a 3) 3 2.4 3 7解(1)因为x>0由基本不等式得9 j 9』— 9 3 n . f(x) 4x 2 4x 2.36 12，当 且仅当 4x 即 x= 时 x \ xx 29f (x) 4x 取最小值12. x (2)因为x<0, 所以-x>0,由基本不等式得： 所以 f (x) 12 .9 39即x=-时，f (x) 4x 取得最大-12. x 2x 规律技巧总结 利用基本不等式求最值时， 个项必须为正数，若为负数，则添负号变正.随堂练习29［思维拓展1］求f (x) 4x ( x>5)的最小值.x 5 2 8［思维拓展2］若x>0, y>0，且 1，求xy 的最小值.x y 【设计意图】讲练结合，巩固新知.4. 课时小结用基本不等式王上证明不等式和求函数的最大、最小值.2【设计意图】总结基本不等式在某些方面的运用，锻炼学生自我总结的能力.5•评价设计f(x)9 (4x -) x (4x)( -)2^( 4x)( 9) X x当且仅当 4x1.证明：a2 b2 2 2a 2b42 .若x 1，则x为何值时x ——有最小值，最小值为几？x 1【设计意图】将课堂知识延伸至课外，在巩固知识的同时，锻炼了学生的自主学习能力. ♦教学反思本次课是一次常规的习题课，复习知识、举例运用、学生练习、课外练习，从而达到巩固知识的效果.其实这次课还是可以采用老师引导，学生分组讨论研究，得到结果，得到解题方法，从而让学生体验自主研究题目，得到结论的乐趣.。
考点36 基本不等式(教师版) 备战2020年高考理科数学必刷题集
考点36 基本不等式1．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）若x ，y ，z 是正数，且3412x y z ==，(),1x yn n z+∈+，n N ∈，则n 的值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令3412x y z k ===，得3log x k =，4log y k =，12log z k =，则111x y z +=，得1x y xy z +=，所以()22x y x y x y z xy y x++==++，注意到432y x x =>，即2y x >，且y x <，所以112y x >>，设y t x =，则1924,2x y t z t +⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.所以4n =.故选B.2．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2 BC ．2D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.3．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=， 又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤； 因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B4．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（ ）A ．（4，+∞）B ．[3)++∞C ．[6，+∞）D ．(4,3+【答案】B 【解析】∵函数f （x ）＝|ln （x ﹣1）|，f （a ）＝f （b ），且x ＞1，不妨设a b <，则12a b <<<. ∴﹣ln （a ﹣1）＝ln （b ﹣1），∴11a -＝b ﹣1，∴b ＝11a -+1，∴a+2b ＝a+2221332(311a a a a +=-+++=+--，当且仅当a 取等号，∴a+2b的取值范围是[3)++∞ 故选：B ．5．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A．3+B．3 C．2+ D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+， 当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立， 所以11m n+的最小值为3+ A.6．（天津市南开区2019届高三下学期模拟考试理）已知x ，y均为正实数，且272x y xy +=，则x+3y的最小值为_____________ 【答案】2; 【解析】 x ，y 均为正实数,22172x y xy y x +=+=+,)12113233)7722y xx y x y y x x y ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭17 2.72≥+==时等号成立.故答案为：2.7．（天津市河北区2019届高三一模数学理）若lg lg 0a b +=，则21a b+的最小值是_____________. 【答案】【解析】∵lga+lgb ＝lgab ＝0， ∴ab ＝1，且a ＞0，b ＞0， 则2122a b ab+≥=22， 当且仅当21a b =且ab ＝1时即a 2=，b 22=取得最小值22． 故答案为228．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，10cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【答案】1655【解析】 因为10cos2ABC ∠=， 所以22101cos 2cos121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭因为3CD AD =，所以3CD DA =即()3BD BC BA BD -=-， 整理得到3144BD BA BC =+，两边平方后有22291316168BD BA BC BA BC =++⋅， 所以22913216168BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684BA BC BA BC =++⋅⨯， 整理得到2233292BA BC BA BC =++⋅， 设,c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，35c a +≤=，当且仅当a =，15c =时等号成立，故填5. 9．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.【解析】()()2222211122x ty t y x y x y xy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++=10．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试理）点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+= 则曲线C 表示圆心为2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离则max 515d ==2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=()111111*********b a a ba b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又112211b a b a a b a b+++≥⋅=++（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b ++的最小值为1 本题正确结果：111．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为______．【答案】256【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时, 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12, 即4612a b +=,即236a b +=, 而2323236a b a b a b +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭1313252666b a a b ⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭．故答案为：256． 12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试理）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为_____. 【答案】12【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =22222cos 22a c b a c acB ac ac+-+-==， 由基本不等式可以得到2221222a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，故cos B 的最小值为12. 13．（山东省威海市2019届高三二模考试理）直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BC A A A ︒∠==，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________． 【答案】16π. 【解析】如图，在Rt ABC ∆中，设,AB c BC a ==，则22AC a c =+．分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111Rt A B C ∆和Rt ABC ∆外接圆的圆心， 连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心． 连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1，即1()1132OABCacV-=⨯⨯=，∴6ac=．在2Rt OO C∆中，可得2222222212()()()11224O OAC a c a cR++=+=+=+，∴222244(1)4(1)1644a c acS Rππππ+==+≥+=球表，当且仅当a c=时等号成立，∴O球表面积的最小值为16π．故答案为：16π．14．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学（理）在ABC中,角A的平分线交BC于点D,22BD CD==,则ABC面积最大值为_________.【答案】3【解析】在ABC中,角A的平分线交BC于点D,22BD CD==,如下图所示：则1CD=，由三角形内角平分线定理可知：2AB BDAC CD==，设,2AC x BACα=∠=，则2,0,2AB xπα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得：2223422cos2x x x xα=+-⋅⋅⋅，即22954cos2x xα=-，可得2954cos2xα=-，ABC面积为219sin22sin2sin2254cos2S x x xαααα=⋅⋅⋅==-22222tan918tan181tan311tan19tan19tan5429tantan1tan tanSαααααααααα⋅+⇒====-++-⋅⋅+,当且仅当31tan=α时，等号成立，故ABC面积最大值为3.15．（江西省新八校2019届高三第二次联考）在锐角三角形ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，若3sinc b A=，则tan tan tanCA B++的最小值是_______．【答案】12 【解析】由正弦定理可得：sin 3sin sin C B A =得：()sin sin cos cos sin 3sin sin A B A B A B B A +=+=sin cos cos sin 3sin sin cos cos cos cos A B A B B AA B A B+∴=，即tan tan 3tan tan A B A B +=又()tan tan tan tan tan tan tan tan tan A B C A B C A B A B ++==-+22tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan A B A BA B A B A B+-=-=-- 令tan tan A B t =，得：()()()22231613333tan tan tan 3161111t t t t A B C t t t t t -+-+-++====-++----ABC ∆为锐角三角形 ()tan tan tan tan 01tan tan A BC A B A B+∴-=+=<-得：tan tan 1A B >，即1t > 10t ∴->()3tan tan tan 3166121A B C t t ∴++=-++≥=- 当且仅当()3311t t -=-，即tan tan 2t A B ==时取等号 ()min tan tan tan 12A B C ∴++=本题正确结果：1216．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）若正数,a b 满足3ab a b ++=，则+a b 的最小值为__________． 【答案】2 【解析】因为,a b 2a b+≤成立. 所以()24a b ab +≤所以()()234a b ab a b a b =++++≤+即：()()21240b a a b +-+≥+ 解得：2a b +≥或6a b +≤-（舍去） 当3a bab a b =⎧⎨++=⎩时，等号成立，即：1a b ==时，等号成立.所以+a b 的最小值为217．（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中衡阳八中等理)2019届高三第二次调研联考）在菱形中，为边的中点，，则菱形面积的最大值是______．【答案】12 【解析】以对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，在菱形ABCD 中，设，，，则，，，， 又E 为CD 边的中点，则，，， ，由基本不等式有，，，当且仅当时取“”，即，菱形ABCD 的面积为，即菱形面积的最大值为12．故答案为：12．18．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试）已知正实数满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】∵正实数满足，∴（2a+b），当且仅当时取等号．∴的最小值为故答案为．19．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测理）如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．【答案】【解析】因为的面积为，所以,因此，因为，所以因此， 当且仅当时取等号 即，的最小值为.20．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知函数()f x x a x b =++-.（1）当1a =，1b =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若0a >，0b >，()f x 的最小值为2，求12a b +的最小值. 【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）322+ 【解析】（1）当1a =，1b =时，()114f x x x =++-≤， 得124x x ≤-⎧⎨-≤⎩或1124x -<<⎧⎨≤⎩或124x x ≥⎧⎨≤⎩，解得：22x -≤≤， ∴不等式()4f x ≤的解集为{}22x x -≤≤.（2）()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+，∴2a b +=， ∴()121121212333222222b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=++≥+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当222a =，422b =-. ∴12a b +的最小值为32221．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知函数()211f x x x =--+．（1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析.【解析】（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩， 故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤， 综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+=当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立， ∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭． 22．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知()221f x x x =-++．（1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤．【答案】(1) ()1,3- (2)见证明【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解， 综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-；（2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =，∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=，∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥，∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤．23．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >.（1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c aa b c ++≥.【答案】（1）2m =（2）见证明【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x mm x x ≤⎧⎨-+≤⎩ 化简得：3x mm x >⎧⎪⎨≤⎪⎩或xmx m ≤⎧⎨≤-⎩0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤-2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++= 由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b +≥，22a c a c +≥ 三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c ++≥24．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试理）已知()()0f x x a a =->． （1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =--的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n +的最小值．【答案】（1）6（2）2【解析】（1）0a >，2a a ∴<，∴函数()()3222232x a x a a F x x a x a xx a a a x x ⎧⎪->⎪⎪⎛⎫=-+-=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2ax =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =--+，()()22224x x x x --+≤--+=，4k ∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 所以当343nmm n =，即2n =1m =时，123m n +最小值为2。
《基本不等式》教案
《基本不等式》教学设计教材：人教版中学数学必修5第三章一、教学目标1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想：2.进•步提炼、完善其本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基木不等式的相识，提高逻辑推理论证实力：3.结合课本的探究图形，引导学生进•步探究基本不等式的几何说明，强化数形结合的思想：4.借助例1尝试用其本不等式解决简洁的增值问题，通过例2与其变式引导学生领悟运用基本不等式向“空的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的实力，体会方法与策略.以上教学目标结合了教学实际，将学问与实力、过程与方法、情感看法价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点内<a+b K点,应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究不等式"T的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1.动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是依据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现/以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不行分的.探究一：在这张“弦图”中能找出•些相等关系和不等关系吗？在正方形48CD中有4个全等的直角三处形.设直角三角形两条直角边长为40，则正方形的边长为"于是，4个直角三角形的面积之和S L.，正方形的面积S?=/+从.由图可知乡＞$,即3产＞加探究二；先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折春).假设两个正方形的面积分别为。
和b(αNb),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发觉一个不等式吗？加4a+b通过学生动手操作，探究发觉：22.代数证明，得出结论依据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若aMJΓ,则/+从＞2曲.若如尤，则匹吟学生探讨等号取到状况，老师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直•观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论:KVa+b(1)若aMR.,则/.乂工9；(2)若aMR.,则“~请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.证法一（作差法>:炉♦户之2而，“初”时取等号.（在该过程中，可发觉久》的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由FaMR.,「是要证明毕而只要证明a+b≥.汨，即证Ja+√⅛-2√afc>0f。
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：36一元二次不等式及其解法含解析
课时作业36 一元二次不等式及其解法一、选择题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B等于( D )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式1－x2＋x ≥1的解集为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－12 C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 解析：1－x 2＋x ≥1⇔1－x 2＋x －1≥0⇔1－x －2－x 2＋x ≥0⇔－2x －12＋x ≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0 ⇔－2<x ≤－12.故选B.3．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( C ) A ．x ≥0 B ．x <0或x >2 C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3解析：不等式2x 2－5x －3≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥3或x ≤－12，由题意，选项中x的范围应该是上述解集的真子集，只有C 满足．故选C.4．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( C )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0， ∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1，3)．5．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( C )A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )>0恒成立，即b 2－b －2>0恒成立，解得b <－1或b >2.6．(2019·安徽阜阳质检)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( B )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)解析：由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x＋23x .∵3x ＋23x ≥22，当且仅当3x ＝23x ，即x ＝12log 32时，等号成立，∴k ＋1<22，即k <22－1，故选B.二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，则不等式f (x )>3的解集为{x |x >1}．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1.故原不等式的解集为{x |x >1}．8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a .解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a . 9．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x－a >0的解集为(－2,3)．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0， 即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0， 解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x <0为奇函数，则不等式f (x )<4的解集为(－∞，4)．解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0.当x ≥0时，由x 2－3x <4解得0≤x <4；当x <0时，由－x 2－3x <4解得x <0，所以不等式f (x )<4的解集为(－∞，4)．三、解答题11．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立， ∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数， ∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ， ∴10＋t ≤0，即t ≤－10. ∴t 的取值范围为(－∞，－10]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0， 解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ， 由题意及(1)可知0<a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.13．若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)<0，则实数k 的取值范围是[1,4]．解析：容易判断k ＝0或k <0时，均不符合题意，所以k >0.所以原不等式即为kx －k 2＋4k (x －4)<0，等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 2＋4k (x －4)<0，依题意应有4≤k 2＋4k ≤5且k >0，所以1≤k ≤4.14．(2019·江西八校联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”， 只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34. 则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( D )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]解析：∵关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0，∴不等式可化为(x －1)(x －a )<0. ①当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4<a ≤5； ②当a <1时，得a <x <1， 则－3≤a <－2；③当a ＝1时，(x －1)(x －1)<0，无解．综上可得，a 的取值范围是[－3，－2)∪(4,5]．故选D.16．(2019·山东潍坊质检)若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n≥0对任意n ∈N *在x∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是(－∞，－1]．解析：原不等式可化为x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12，故x 2＋12x ≥12在区间(－∞，λ]上恒成立，即x 2＋12x －12≥0在区间(－∞，λ]上恒成立，画出二次函数y ＝x 2＋12x －12的图象如图所示，由图可知λ≤－1.。
高考数学总复习课时作业(三十六)第36讲基本不等式理(2021年整理)
2019年高考数学总复习课时作业（三十六）第36讲基本不等式理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学总复习课时作业（三十六）第36讲基本不等式理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学总复习课时作业（三十六）第36讲基本不等式理的全部内容。
课时作业(三十六)第36讲基本不等式基础热身1。
［2017·北京海淀区一模］若m〈n<0，则下列不等式中正确的是（)A。
〉B。
>C.+>2D.m+n〉mn2.[2017·青岛质检］已知x〉1,y〉1，且lg x,2，lg y成等差数列，则x+y 有(）A.最小值20B。
最小值200C。
最大值20D.最大值2003。
[2017·赤峰模拟］若函数f=x+(x>2)在x=a处取得最小值,则a= ()A.1+B。
1+C。
3D.44.[2017·天津河东区二模］已知a〉0，b〉0，且2a+b=4,则的最小值是。
5。
[2017·成都九校联考]设正数a,b满足a+2b=1，则+的最小值为.能力提升6.[2017·郑州三模]若实数a，b，c均大于0,且（a+c)·（a+b)=6—2,则2a+b+c的最小值为(）A.—1B.+1C。
2+2D.2-27。
［2017·雅安三诊］对一切实数x,不等式x2+a+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A。
B.C.D.8.[2017·乌鲁木齐三模］已知x，y∈R,x2+y2+xy=315，则x2+y2-xy的最小值是()A.35B.105C.140 D。
高考数学不等式方法技巧及题型全归纳(100页)
g(x) 0
f
(x)
0
（2） f (x) 0 f x g x 0
g(x)
f (x) g(x)
0
f (x) g(x) g(x) 0
0
2.2 含有绝对值的不等式
（1） f x g x f (x) g(x) 或 f (x) g(x) ；
（2）| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x) ；
到的 与原式是恒等的，则称 1, 2, ⋅⋅⋅ , 是完全对称的.
如
+
+
，
b
a
c
c
b
a
a
c
b
等.
设 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是一个 元函数. 若作置换 1 → 2, 2 → 3, ⋅⋅⋅ , −1 → , → 1，得到
的 与原式是恒等的，则称 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是轮换对称的.
如3
+
3
+
3 ， a b c 等. ab bc ca
显然，完全对称的一定是轮换对称的.
2
2、重要不等式
2.1 无理式、分式
（1）
f
(x)
g(x)
g(x) 0
f
(x)
0
g(x) 0
或
f
(x)
g 2(x)
g(x) 0
f
(x)
g(x)
f
(x)
0
f (x) g 2 (x)
f (x)
g(x) 0 g(x) 0 或
2.1 无理式、分式............................................................................................................... 3 2.2 含有绝对值的不等式................................................................................................... 3 2.3 一元二次不等式........................................................................................................... 3 2.4 基本不等式................................................................................................................... 4 2.5 柯西不等式................................................................................................................... 4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第36讲 基本不等式
1.基本不等式与常用重要不等式
基本不等式
≤
(1)基本不等式成立的条件: ;
(2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号
重要不
等式链
若a≥b>0,则a≥
≥ ≥ ≥
≥b>0
几个重要
的不等式
a
2+b2
≥ (a,b∈R)
.
+ ≥ (a,b同号).
ab≤ (a,b
∈R)
2.利用基本不等式求最值问题
已知x,y∈R+,x+y=P,xy=S.有下列命题:
如果S是定值,那么当且仅当 时,x+y有最小值 ;(简记:积定和最小)
如果P是定值,那么当且仅当 时,xy有最大值 .(简记:和定积最大)
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知函数
y=x+
(x>0),则当x= 时,y取得最小值,最小值为 .
2.[教材改编] 设x>0,y>0,且xy=81,则x+y存在最 值.
3.[教材改编] 若正数m等于两个正数a与b之和,则当a= ,b= 时,ab有最大
值 .
4.[教材改编] 若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 m2.
题组二 常错题
◆
索引:基本不等式的易错点:(1)忽视不等式成立的条件a>0且b>0;(2)忽视定值存在;(3)忽视等号成立的条件
.
5.函数f(x)
=x+
的值域为 .
6.当x≥2时,
x+
的最小值为 .
7.函数y=sin
x+
,x∈
的最小值为 .
探究点一 利用基本不等式求最值
微点1 利用配凑法求最值
例
1 (1)若函数f(x)=x+ - (x>2)在x=a处取得最小值,则a等于 ( )
A. 1+ B. 1+
C. 3 D. 4
(2)函数y= - (x>1)的最小值为 .
[总结反思] (1)利用基本不等式解题时一定要注意应用的前提是:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一
正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的
条件.(2)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,利用基
本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.
微点2 常数代换法求最值
例
2 (1)[2018·河南豫南九校联考] 已知x>0,y>0,z>0,且
+
=1,则x+y+z的最小值为 (
)
A.8 B.9
C.12 D.16
(2)[2018·甘肃西北师大附中诊断] 已知a>0,b>0,且a+b=1,则 + 的最小值为 .
[总结反思] 条件最值问题中,将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然
后利用基本不等式求解最值.
微点3 消元法求最值
例
3 (1)若正数a,b满足 + =1,则 - + - 的最小值为 ( )
A. 1 B. 6
C. 9 D. 16
(2)[2018·北京朝阳区期中] 已知x>1,且x-y=1,则x+ 的最小值是 .
[总结反思] 消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解
.
有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.
应用演练
1.【微点2】已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为 ( )
A.8 B.4
C.2 D.0
2.【微点1】已知2x+3y=6(x>0,y>0),则xy的最大值是 .
3.【微点3】[2018·江苏南通、徐州、扬州等六市二模] 已知a,b,c均为正数,且abc=4(a+b),则
a+b+c
的最小值为 .
4.【微点3】若a,b,c都是正数,且a+b+c=2,则
+
的最小值是 .
探究点二 基本不等式与函数的综合问题
例
4 (1)已知函数f(x)
=x
2
-ax-a,若对任意x≥0,f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是 .
(2)已知函数f(x)= - 若f(a)=f(b)(0 [总结反思] (1)利用基本不等式求函数的最大(小)值是求最大(小)值的常用方法,常用来解决以函数为载 ②a 变 A. B. M= 2 ,N=log2 ,Q=ln A.M>N>Q B.M>Q>N 探究点三 基本不等式的实际应用 年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=3- (k为常数),如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能 公司负责挖掘机的维护,第一年的维护费为2万元,随着机器磨损,以后每年的维护费比上一年多2万元,
体的综合问题,特别是一些不等式有解、恒成立等问题.
(2)解含参数的不等式在指定区间内恒成立(有解)问题时,常先分离参数转化为a>f(x)或a
①a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max,a>f(x)有解⇔a>f(x
)min;
式题 (1)已知f(x)= (x∈N*),则f(x)在定义域上的最小值为 ( )
C. D.2
(2)[2018·安徽亳州涡阳一中模拟] 设函数f(x)=|lg x|,若存在实数0
log
的关系为 ( )
C.N>Q>M D.N>M>Q
例
5 某厂家拟在2018年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与
是1万件.已知2018年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家
将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资
金).
(1)将2018年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数.
(2)该厂家2018年的促销费用为多少万元时,厂家获得的利润最大?
[总结反思] 解实际应用题的基本思路是:(1)设变量时一般把要求的变量定义为函数;(2)根据实际问题
抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值;(3)在求函数的最值时,一定要在定义域
(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
变
式题 某基建公司年初以100万元的价格购进一辆挖掘机,以每年22万元的价格出租给工程队.基建
同时该机器第x(x∈N*,x≤16)年年末可以以(80-5x)万元的价格出售.
(1)写出基建公司到第x年年末所得总利润y(单位:万元)关于x的函数解析式,并求其最大值.
(2)为使经济效益最大化,即年平均利润最大,基建公司应在第几年年末出售挖掘机?说明理由.
完成课时作业(三十六)