概率论与数理统计

第一章 矩阵与行列式 第一节 矩阵及其运算 一、矩阵的概念 人们在从事经济活动、科学研究、社会调查时, 会获得许多重要的数据资料, 将这些数据排成一个矩形的数表

111212122212nn

mmmn

aaaaaaaaaLLMMML 以便于进行储存、运算和分析, 这种矩形的数表就是矩阵. 定义1 由mn个数1,2,,;1,2,,ijaimjnLL排成m行n列的矩形

数表 111212122212nn

mmmn

aaaaaaaaaLLMMML 称为m行n列矩阵, 简称为mn矩阵, 其中ija称为矩阵的位于第i行、第j

列的元素. 通常, 我们用大写字母,,ABL表示矩阵. 例如, 记

111212122212.nn

mmmn

aaaaaaAaaaLLMMML

其中小括号“” 也可用方括号“”代替. 有时, 矩阵也简记为ijmnAa



或ijAa. 特别地, 当mn时, 称A为n阶矩阵或n阶方阵, 其中一阶方 2 线 性 代 数

阵a是一个数, 括号可略去. 元素全为实数的矩阵称为实矩阵, 元素全为复数的矩阵称为复矩阵. 本书主要在实数范围内讨论问题. 对于由n个未知量、m个方程组成的线性方程组：

11112211211222221122,,.nnnn

mmmnnm

axaxaxbaxaxaxbaxaxaxbLLLLLLLLLLLLL

(1.1.1)

称矩阵 A11121121222212nn

mmmnm

aaabaaabaaabLLMMMML

(1.1.2)

为线性方程组(1.1.1)的增广矩阵；称矩阵 A111212122212nn

mmmn

aaaaaaaaaLLMMML

(1.1.3)

为线性方程组(1.1.1)的系数矩阵；矩阵 12

m

bbBb



M (1.1.4)

称为线性方程组(1.1.1)的常数项矩阵. 显然, 线性方程组(1.1.1)由矩阵(1.1.2)完全地确定. 下面介绍一些特殊的矩阵. (1) 零矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵, 记为O. (2) 列矩阵、行矩阵 在矩阵A中, 如果1n, 则 3 第 章 一 矩 式 阵 与 行 列

1121

1m

aaAa



M ,

称这种只有一列的矩阵为列矩阵；同样, 如果1m, 则 11121nAaaaL,

称这种只有一行的矩阵为行矩阵. 我们也将列矩阵和行矩阵分别称为列向量和行向量. 列向量和行向量统称为向量. 向量的元素称为分量, 有n个分量的向量称为n维向量. 矩阵与 向量有密切的联系, 矩阵ijmnAa可以看成由n个m维列向量

12,1,2,,jj

mj

aajnaLM

组成, 也可以看成由m个n维行向量12,1,2,,iiinaaaimLL组成. (3) 负矩阵 如果矩阵ijmnAa, 则ijmnAa称为矩阵A的负矩阵. (4) 行阶梯形矩阵 如果矩阵每一行的第一个非零元素所在的列中, 其下方元素全为零, 则称此矩阵为行阶梯形矩阵. 例如矩阵 10234023450056700018A, 12102032210003100000B







均为行阶梯形矩阵, 而矩阵 10232023450056700418

C



则不是行阶梯形矩阵. (5) 行最简形矩阵 如果行阶梯形矩阵中, 非零行的第一个非零元素均为1, 且其所在列的其余元素均为0, 则称此矩阵为行最简形矩阵. 例如, 矩阵 4 线 性 代 数

10603012050001100000

是行最简形矩阵. (6) 上(下)三角矩阵 n阶方阵的左上角到右下角元素的连线称为主对角线, 左下角到右上角元素的连线称为次(副)对角线. 如果方阵的主对角线下(上)方元素全为0, 则称此矩阵为上(下)三角矩阵. 矩阵

11121222000nn

nn

aaaaaaLLMMML 为上三角矩阵, 矩阵 112122

12000nnnn

aaaaaaLLMMML 为下三角矩阵. (7) 对角矩阵 如果方阵中除主对角线上的元素外, 其余元素全为0, 则称此矩阵为对角矩阵. 例如, 矩阵

12

000000nL

LMMML 为对角矩阵. (8) 单位矩阵 在对角矩阵中, 如果11,2,,iinL, 即为 100010001LLMMML

,

则称此矩阵为单位矩阵. 单位矩阵一般用E或I表示. 5 第 章 一 矩 式 阵 与 行 列

定义2 如果两个矩阵ijAa, ijBb的行数相同、列数也相同, 则称矩阵A与B为同型矩阵. 定义3 如果两个同型矩阵mnA, mnB的对应元素均相等, 即 1,2,,;1,2,,ijijabimjnLL, 则称矩阵A与B相等, 记作AB. 6 线 性 代 数

二、矩阵的运算 1. 矩阵的加法 定义4 由两个同型矩阵mnijmnAa, mnijmnBb对应元素的和, 即ijijab1,2,,;1,2,,imjnLL组成的mn矩阵称为矩阵A与B的和, 记作AB, 即 111112121121212222221122nnnn

mmmmmnmn

ababababababABabababLLMMML

.

由此定义及负矩阵的概念, 我们定义矩阵A与B的差为 ABAB.

注 只有同型矩阵才能相加(减).

2. 数与矩阵相乘(简称数乘) 定义5 数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数k与矩阵A的积, 记作kA, 即

111212122212.nn

mmmn

kakakakakakakAkakakaLLMMML 矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算, 其满足如下性质： (1) ABBA； (2) ABCABC； (3) AA； (4) AAA； (5) ABAB； (6) AOA； (7) 1AA； (8) AAO. 上面的, 都是任意常数.

例1 设112034A, 403123B, 求AB和23AB. 解 7 第 章 一 矩 式 阵 与 行 列

14102(3)5110(1)3(2)43117AB





；

224120923068369AB





102133121





.

3. 矩阵与矩阵相乘(矩阵的乘法) n个变量12,,,nxxxL与m个变量12,,,myyyL之间的关系式 11111221221122221122,,.nnnn

mmmmnn

yaxaxaxyaxaxaxyaxaxaxLLLLLLLLLLLL

(1.1.5)

表示一个从变量12,,,nxxxL到变量12,,,myyyL的线性变换. 设有两个线性变换

11111221332211222233

,.zayayayzayayay



(1.1.6)

和 111112222112223311322

,,.ybxbxybxbxybxbx





(1.1.7)

若要求出从12,xx到12,zz的线性变换, 可将(1.1.7)代入(1.1.6), 得 111111221133111112122213322221112221233112112222223322

()(),()().zabababxabababxzabababxabababx



(1.1.8)

线性变换(1.1.8)可看作是先作线性变换(1.1.7)、再作线性变换(1.1.6)的结果, 我们称线性变换(1.1.8)为线性变换(1.1.6)与(1.1.7)的乘积, 相应地, 我们将线性变换(1.1.8)所对应的矩阵定义为(1.1.6)与(1.1.7)所对应的矩阵的乘积, 即

111211121321222122233132

bbaaabbaaabb









111112211331111212221332211122212331211222222332.abababababababababababab





一般地, 我们有：