概率论与数理统计课后习题及答案-高等教育出版社
概率论与数理统计课后习题及答案-高等教育出版社
概率论与数理统计课后习题问案之阳早格格创做下等培养出版社1.将一枚匀称的硬币扔二次，事变C B A ,,分别表示“第一次出现正里”，“二次出现共部分”，“起码有一次出现正里”.试写出样原空间及事变C B A ,,中的样原面. 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）}{=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2.正在掷二颗骰子的考查中，事变D C B A ,,,分别表示“面数之战为奇数”，“面数之战小于5”，“面数相等”，“起码有一颗骰子的面数为3”.试写出样原空间及事变D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样原面. 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A C B A ,,分别表示某皆会住户订阅日报、早报战体育报.试用C B A ,,表示以下事变：（1）只订阅日报； （2）只订日报战早报；（3）只订一种报； （4）正佳订二种报；（5）起码订阅一种报； （6）不订阅所有报；（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸皆订阅；（9）三种报纸不齐订阅.解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或者C B C A B A ++（8）ABC ； （9）C B A ++4.甲、乙、丙三人各射打一次，事变321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中.试道明下列事变所表示的截止：2A ,32A A +,21A A ,21A A +,321A A A ,313221A A A A A A ++.解：甲已打中；乙战丙起码一人打中；甲战乙至多有一人打中或者甲战乙起码有一人已打中；甲战乙皆已打中；甲战乙打中而丙已打中；甲、乙、丙三人起码有二人打中.C B A ,,谦脚Φ≠ABC ，试把下列事变表示为一些互不相容的事变的战：C B A ++，C AB +，AC B -.解：如图：C B A ,,谦脚C B C A +=+，试问B A =是可创造？举例道明. 解：纷歧定创造.比圆：{}5,4,3=A ，{}3=B ，{}5,4=C ，那么，C B C A +=+，然而B A ≠.C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是可创造？举例道明. 解：纷歧定创造. 比圆：{}5,4,3=A ，{}6,5,4=B ，{}7,6=C ，那么{}3)(=--C B A ，然而是{}7,6,3)(=+-C B A .8. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试便以下三种情况分别供)(A B P ： （1）Φ=AB ，（2）B A ⊂，（3）81)(=AB P .解：（1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ；（2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ；（3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P . 9. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 供事变C B A ,,齐不爆收的概率. 解：())(1)(C B A P C B A P C B A P ++-=++==[])()()()()()()(1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-83016116104141411=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---++-= 10.每个路心有黑、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的启关是等大概的.一部分骑车通过三个路心，试供下列事变的概率：=A “三个皆是黑灯”=“齐黑”；=B “齐绿”；=C “齐黄”；=D “无黑”；=E “无绿”；=F “三次颜色相共”；=G “颜色齐不相共”；=H “颜色不齐相共”. 解：271333111)()()(=⨯⨯⨯⨯===C P B P A P ；278333222)()(=⨯⨯⨯⨯==E P D P ；91271271271)(=++=F P ；92333!3)(=⨯⨯=G P ；98911)(1)(=-=-=F P H P . 11.设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任性抽与3件（分三种情况：一次拿3件；屡屡拿1件，与后搁回拿3次；屡屡拿1件，与后不搁回拿3次），试供：（1） 与出的3件中恰有1件是次品的概率；（2） 与出的3件中起码有1件是次品的概率. 解：一次拿3件：（1）0588.0310012298==C C C P ； （2）0594.031001982229812=+=C C C C C P ；屡屡拿一件，与后搁回，拿3次：（1）0576.0310098232=⨯⨯=P ； （2）0588.010098133=-=P ；屡屡拿一件，与后不搁回，拿3次：（1）0588.03989910097982=⨯⨯⨯⨯⨯=P ； （2）0594.098991009697981=⨯⨯⨯⨯-=P 9,,2,1,0 中任性选出3个分歧的数字，试供下列事变的概率： {}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A . 解：157)(310381==C C A P ；15142)(31038392=-=C C C A P 或者15141)(310182=-=C C A P 9,,2,1,0 中任性选出4个分歧的数字，估计它们能组成一个4位奇数的概率. 解：9041454102839=-=P P P P 14.一个宿舍中住有6位共教，估计下列事变的概率：（1）6人中起码有1人死日正在10月份；（2）6人中恰有4人死日正在10月份；（3）6人中恰有4人死日正在共一月份；解：（1）41.01211166=-= P ； （2）00061.012116246=⨯= C P ；（3）0073.012116246112== C C P 15.从一副扑克牌（52弛）任与3弛（不沉复），估计与出的3弛牌中起码有2弛花色相共的概率. 解：602.03521392131431314=+= C C C C C C P 或者602.0135211311311334=-= C C C C C P1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任与一件，截止不是三等品，供与到的是一等品的概率.解：令=i A “与到的是i 等品”，3,2,1=i 329.06.0)()()()()(3133131====A P A P A P A A P A A P . 2.设10件产品中有4件分歧格品，从中任与2件，已知所与2件产品中有1件分歧格品，供另一件也是分歧格品的概率.解：令=A “二件中起码有一件分歧格”，=B “二件皆分歧格”511)(1)()()()|(2102621024=-=-==C C C C A P B P A P AB P A B P 3.为了预防不料，正在矿内共时拆有二种报警系统I 战II.二种报警系统单独使用时，系统I 战II 灵验的概率分别0.92战0.93，正在系统I 得灵的条件下，系统II 仍灵验的概率为0.85，供（1） 二种报警系统I 战II 皆灵验的概率；（2） 系统II 得灵而系统I 灵验的概率；（3） 正在系统II 得灵的条件下，系统I 仍灵验的概率.解：令=A “系统（Ⅰ）灵验”，=B “系统（Ⅱ）灵验”则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P （1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P （2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P （3）8286.093.01058.0)()()|(=-== B P B A P B A P4. 设1)(0<<A P ，道明事变A 与B 独力的充要条件是 证：⇒：A 与B 独力，A ∴与B 也独力.)()|(),()|(B P A B P B P A B P ==∴)|()|(A B P A B P =∴⇐： 1)(01)(0<<∴<<A P A P 又)()()|(,)()()|(A P B A P A B P A P AB P A B P == 而由题设)()()()()|()|(A P B A P A P AB P A B P A B P =∴=即)]()()[()()](1[AB P B P A P AB P A P -=-)()()(B P A P AB P =∴，故A 与B 独力.5. 设事变A 与B 相互独力，二个事变惟有A 爆收的概率与惟有B 爆收的概率皆是41，供)(A P 战)(B P . 解：41)()(==B A P B A P ，又 A 与B 独力∴41)()](1[)()()(=-==B P A P B P A P B A P 41)](1)[()()()(=-==B P A P B P A P B A P 41)()(),()(2=-=∴A P A P B P A P 即21)()(==B P A P . 6. 道明 若)(A P >0，)(B P >0，则有（1） 当A 与B 独力时，A 与B 相容；（2） 当A 与B 不相容时，A 与B 不独力.道明：0)(,0)(>>B P A P （1）果为A 与B 独力，所以0)()()(>=B P A P AB P ，A 与B 相容.（2）果为0)(=AB P ，而0)()(>B P A P ，)()()(B P A P AB P ≠∴，A 与B 不独力.7. 已知事变C B A ,,相互独力，供证B A 与C 也独力. 道明：果为A 、B 、C 相互独力，∴)(])[(BC AC P C B A P =)()()()]()()([)()()()()()()()()()(C P B A P C P AB P B P A P C P B P A P C P B P C P A P ABC P BC P AC P =-+=-+=-+=B A ∴与C 独力.8. 甲、乙、丙三机床独力处事，正在共一段时间内它们不需要工人照应的概率分别为0.7，0.8战0.9，供正在那段时间内，最多惟有一台机床需要工人照应的概率.解：令321,,A A A 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照应，那么9.0)(,8.0)(,7.0)(321===A P A P A P 令B 表示最多有一台机床需要工人照应，那么)()(321321321321A A A A A A A A A A A A P B P +++=902.01.08.07.08.02.07.09.08.03.09.08.07.0)()()()(321321321321=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+++=A A A P A A A P A A A P A A A P 9. 如果形成系统的每个元件能平常处事的概率为)10(<<p p ，（称为元件的稳当性），假设各元件是可平常处事是相互独力的，估计底下各系统的稳当性.解：令A 常处事”i A n i 2,,2,1 =n i A A A P A P 221,,,,)( =相互独力.那么[])()()(22121n n n n A A A A A A P A P +++=][[])2(2)()()()()()(22121122122121n n n n ni i n n i i n i i n n n n n P P P P A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-=-+=-+=∏∏∏=+==++ )]())([()(22211n n n n A A A A A A P B P +⨯⨯++=++ n nni n i i n i i n i ni i n i P P P P A P A P A P A P A A P )2(]2[)]()()()([)(1211-=-=-+=+=∏∏∏==++=+注：利用第7题的要领不妨证 明)(i n i A A ++与)(j n j A A ++j i ≠时独力.系统I 系统II10. 10弛奖券中含有4弛中奖的奖券，每人买买1弛，供（1） 前三人中恰有一人中奖的概率；（2） 第二人中奖的概率.解：令=i A “第i 部分中奖”，3,2,1=i (1))(321321321A A A A A A A A A P ++)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)|()|()()|()|()()|()|()(213121213121213121A A A P A A P A P A A A P A A P A P A A A P A A P A P ++=21859410684951068596104=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=或者213102614==C C C P （2）)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=529410693104=⨯+⨯= 11. 正在肝癌诊疗中，有一种甲胎蛋黑法，用那种要领不妨查看出95%的真正在患者，然而也有大概将10%的人误诊.根据往常的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试供：（1）某人经此考验法诊疗患有肝癌的概率；（2）已知某人经此考验法考验患有肝癌，而他真真是肝癌患者的概率.解：令=B “被考验者患有肝癌”，=A “用该考验法诊疗被考验者患有肝癌”那么，0004.0)(,10.0)|(,95.0)|(===B P B A P B A P （1）)|()()|()()(B A P B P B A P B P A P +=10034.01.09996.095.00004.0=⨯+⨯=（2）)|()()|()()|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=0038.01.09996.095.00004.095.00004.0=⨯+⨯⨯= 12. 一大批产品的劣量品率为30%，屡屡任与1件，连绝抽与5次，估计下列事变的概率：（1）与到的5件产品中恰有2件是劣量品；（2） 正在与到的5件产品中已创造有1件是劣量品，那5件中恰有2件是劣量品.解：令=i B “5件中有i 件劣量品”，5,4,3,2,1,0=i （1）3087.0)7.0()3.0()(32252== C B P （2）)()()|()|(00202512B P B B P B B P B B P i i === 371.0)7.0(13087.0)(1)(502=-=-= B P B P 13. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等大概的.启箱考验时，从中任与1件，如果考验是次品，则认为该箱产品分歧格而拒支.假设由于考验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试估计：（1）抽与的1件产品为正品的概率；（2）该箱产品通过查支的概率.解：令=A “抽与一件产品为正品”=i A “箱中有i 件次品”，2,1,0=i =B “该箱产品通过查支”（1）9.0101031)|()()(2020=-⨯==∑∑==i i i i i A A P A P A P （2）)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=887.005.01.098.09.0=⨯+⨯=14. 假设一厂家死产的仪器，以概率0.70不妨间接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80不妨出厂，并以概率0.20定为分歧格品不克不迭出厂.现该厂新死产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的死产历程相互独力），供：（1）局部能出厂的概率；（2）其中恰有2件不克不迭出厂的概率；（3）其中起码有2件不克不迭出厂的概率.解：令=A “仪器需进一步调试”；=B “仪器能出厂”=A “仪器能间接出厂”；=AB “仪器经调试后能出厂”隐然AB A B +=，那么8.0)|(,3.0)(==A B P A P 24.08.03.0)|())(=⨯==A B P PA AB P 所以94.024.07.0)()()(=+=+=AB P A P B P 令=i B “n 件中恰有i 件仪器能出厂”，n i ,,1,0 =（1）nn B P )94.0()(=（2）2222222)06.0()94.0()06.0()94.0()(----==n n n n n n C C B P （3）n n nn n n k k C B P B P B P )94.0()94.0(06.01)()(1)(11120--=--=---=∑15. 举止一系列独力考查，屡屡考查乐成的概率均为p ，试供以下事变的概率：（1）直到第r 次才乐成；（2）第r 次乐成之前恰波折k 次；（3）正在n 次中博得)1(n r r ≤≤次乐成；（4）直到第n 次才博得)1(n r r ≤≤次乐成.解：（1）1)1(--=r p p P （2）k r r k r p p C P )1(11-=--+（3）r n r r n p p C P --=)1(（4）r n r r n p p C P ----=)1(11 16. 对于飞机举止3次独力射打，第一次射打掷中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 打中飞机一次而飞机被打降的概率为0.2，打中飞机二次而飞机被打降的概率为0.6，若被打中三次，则飞机必被打降.供射打三次飞机已被打降的概率.解：令=i A “恰有i 次打中飞机”，3,2,1,0=i =B “飞机被打降”隐然：09.0)7.01)(5.01)(4.01()(0=---=A P 36.07.0)5.01()4.01()7.01(5.0)4.01()7.01()5.01(4.0)(1=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=A P 41.07.05.0)4.01(7.0)5.01(4.0)7.01(5.04.0)(2=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=A P 14.07.05.04.0)(3=⨯⨯=A P 而0)|(0=A B P ，2.0)|(1=A B P ，6.0)|(2=A B P ，1)|(3=A B P 所以458.0)|()()(30==∑=i i i A B P A P B P ；542.0458.01)(1)(=-=-=B P B P1. 设X 为随机变量，且k k X P 21)(==( ,2,1=k ), 则 （1） 推断上头的式子是可为X 的概率分散；（2） 假如，试供）为偶数X P (战)5(≥X P .解：令 ,2,1,21)(====k p k XP kk （1）隐然10≤≤k p ，且1121212111=-==∑∑∞=∞=k k k k p 所以,2,1,21)(===k k X P k 为一致率分散.（2）X P (为奇数31121)41411212=-===∑∑∞=∞=k k k k p 161121)5(2121555=-===≥∑∑∞=∞=k k k k p X Pλλ-==e k C k X P k!)(( ,2,1=k ), 且0>λ，供常数C . 解：1!1=-∞=∑λλe k c k k ，而1!0=-∞=∑λλe k k k 1!010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∴-λλe c ，即1)1(---=λe c)10(<<p p ，不竭举止沉复考查，直到尾次乐成为止.用随机变量X 表示考查的次数，供X 的概率分散.解： ,2,1,)1()(1=-==-k p p k X P k4.设自动死产线正在安排以来出现成品的概率为p=0.1，当死产历程中出现成品时坐时举止安排，X 代表正在二次安排之间死产的合格品数，试供（1）X 的概率分散； （2）)5(≥X P .解：（1） ,2,1,0,1.0)9.0()1()(=⨯=-==k p p k X P k k （2）555)9.0(1.0)9.0()()5(=⨯===≥∑∑∞=∞=k k k k X P X P5.一弛考卷上有5讲采用题，每讲题列出4个大概问案，其中有1个问案是精确的.供某教死靠预测能问对于起码4讲题的概率是几？解：果为教死靠预测问对于每讲题的概率为41=p ，所以那是一个5=n ,41=p 的独力沉复考查.641)43()41(43)41()4(0555445=+⨯=≥C C XP6.为了包管设备平常处事，需要配备适合数量的维建人员.根据体味每台设备爆收障碍的概率为0.01，各台设备处事情况相互独力.（1）若由1人控制维建20台设备，供设备爆收障碍后不克不迭即时维建的概率；（2）设有设备100台，1台爆收障碍由1人处理，问起码需配备几维建人员，才搞包管设备爆收障碍而不克不迭即时维建的概率不超出0.01？解：（1）0175.0)99.0(01.020)99.0(11920≈⨯⨯--（按Poisson (泊紧)分散近似）（2）λ==⨯==101.0100,100np n （按Poisson (泊紧)分散近似）01.0!1)99.0()01.0()1(100111001100100≤⨯≈=+≥∑∑+=-+=-N k k N k kk k k e CN X P 查表得4=NX遵循参数为λ的Poisson(泊紧)分散，且21)0(==X P ，供（1）λ； （2）)1(>X P . 解：2ln ,21!0)0(0=∴===-λλλe X P )]1()0([1)1(1)1(=+=-=≤-=>X P X P X P X P )2ln 1(21]2ln 2121[1-=+-=8.设书籍籍上每页的印刷过得的个数X 遵循Poisson(泊紧)分散.经统计收当前某原书籍上，有一个印刷过得与有二个印刷过得的页数相共，供任性考验4页，每页上皆不印刷过得的概率.解：)2()1(===X P X P ，即2,!2!121==--λλλλλe e20-==∴e X P ）（842)(--==∴e e P9.正在少度为的时间隔断内，某慢救核心支到慢迫呼救的次数遵循参数为的Poisson 分散，而与时间隔断的起面无关（时间以小时计），供（1）某一天从中午12时至下午3时不支到慢迫呼救的概率；（2）某一天从中午12时至下午5时支到1次慢迫呼救的概率；9.正在少度为t 的时间隔断内，某慢救核心支到慢迫呼救的次数X 遵循参数为2t 的Poisson(泊紧)分散，而与时间隔断的起面无关（时间以小时计）. 供（1）某一天从中午12时至下午3时不支到慢迫呼救的概率；（2）某一天从中午12时至下午5时支到1次慢迫呼救的概率；解：（1）23)0(23,3-====e X P t λ（2）251)0(1)1(25,5--==-=≥==e X P X P t λX试供（1）a ； （2）12-=X Y 的概率分散.解：（1）12312=+++++a a a a a 101=∴a .（2）X的概率稀度直线如图1.3.8所示.试供:（（3）2(<-X P ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+-=其它，0)3,0[,216121)(x x x f （3）1211)2161()2121()22012=+-++=≤<-⎰⎰-dx x dx x X P （ X的概率稀度为试决定常数a 并供)6(π>X P .解：令1)(=⎰+∞∞-dx x f ，即1sin 0=⎰dx x a 1cos 0=-∴ax ，即2,0cos π==a a 23|cos sin )6(2626=-==>⎰πππππx xdx X P xx e+-2形成概率稀度函数?解：令 12=⎰+∞∞-+-dx ce x x 即141)21(2=⎰+∞∞---dx e ec x 即141=πce411-=∴e c π),(~2σμN X ，其概率稀度函数为644261)(+--=x x e x f π(+∞<<∞-x )试供2,σμ；若已知⎰⎰∞-+∞=C Cdx x f dx x f )()(，供C .解：222)3(2)2(64432161)(--+--==x x x eex f ππ2=∴μ ,32=σ若⎰⎰∞-+∞=ccdx x f dx x f )()(，由正态分散的对于称性可知2==μc .X的概率稀度为以Y 表示对于X 的三次独力沉复考查中“21≤X ”出现的次数，试供概率)2(=Y P .解：412)21(21==≤⎰xdx XP 649)43()41()2(223===C Y P . X遵循[1,5]上的匀称分散，试供)(21x X x P <<. 如果 （1）5121<<<x x ； （2）2151x x <<<. 解：X 的概率稀度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,051,41)(x x f （1）⎰-==<<21221)1(4141)(x x dx x X x P （2）⎰-==<<51211)5(4141)(x x dx x X x P X（以分计）遵循51=λ的指数分散.某主瞅等待服务，若超出10分钟，他便离启.他一个月要来等待服务5次，以Y 表示一个月内他已等到服务而离启的次数，试供Y 的概率分散战)1(≥Y P .解：21051]1[1)10(1)10(-⨯-=--=<-=≥e e X P X P 5,4,3,2,1,0,)1()()(5225=-==∴---k e e C k Y P k k k5167.0)1(1)1(52≈--=≥-e Y PX的概率分散为2.0)1(==X P ，3.0)2(==X P ，5.0)3(==X P ，试供X 的分散函数；)25.0(≤≤X P ；绘出)(x F 的直线.解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3,132,5.021,2.01,0)(x x x x x F ； 5.0)25.0(=≤≤X P )(x F 直线：2.试供:)1|2≠X .（2 3.从家到书籍院的途中有3个接通岗，假设正在各个接通岗逢到黑灯的概率是相互独力的，且概率均是0.4，设X 为途中逢到黑灯的次数，试供（1）X 的概率分散；（2）X 的分散函数.解：（1）3,2,1,0,)3()2()(33===-k C k X P k k k 列成表格（2）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=3,132,12511721,1258110,125270,0)(x x x x x x F X的分散函数，并绘出)(x F 的直线.解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤++-<≤-++-<=313041211210141214110)(22x x x x x x x x x F5. 设连绝型随机变量X 的分散函数为试供:（1）B A ,的值；（2）)11(<<-X P ；（3）概率稀度函数)(x f .解：（1）11)(lim )(2=∴=+=+∞-+∞→A Be A F x x 又10)0()(lim 20-=-=∴==+-→+A B F Be A x x （2）21)1()1()11(--=--=<<-e F F X P （3）⎩⎨⎧≤>==-0,0,2)(')(2x x e x F x f x 6. 设X 为连绝型随机变量，其分散函数为试决定)(x F 中的d c b a ,,,的值.解： 10)(=∴=-∞a F 又11)(=∴=+∞d F 又10)1ln (lim 1-=∴==++-→c a cx x bx x 又111)1ln (lim =+-∴==+--→e be d x x bx ex 即1=bX的概率稀度函数为)1()(2x a x f +=π，试决定a 的值并供)(x F 战)1(<X P .解：1)1(2=+⎰+∞∞-dx x aπ 即 11|arctan =∴=∞+∞-a x aπ+∞<<∞-+=+=⎰∞-x x dt t a x F x,arctan 121)1()(2ππ5.0)]1arctan(121[)1arctan 121()1()1()1|(|=-+-+=--=<ππF F X Pt (年)的时间隔断内爆收天震的次数)(t N 遵循参数为1.0=λ的Poisson(泊紧)分散，X 表示连绝二次天震之间相隔的时间（单位：年），试供:（1）道明X 遵循指数分散并供出X 的分散函数； （2）以后3年内再次爆收天震的概率；（3）以后3年到5年内再次爆收天震的概率.解：（1） 当0≥t 时，t e t N P t X P 1.0)0)(()(-===>t e t X P t X P t F 1.01)(1)()(--=>-=≤=∴当0<t 时，0)(=t F ⎩⎨⎧<≥-=∴-01)(1.0x x e x F xX 遵循指数分散（1.0=λ）（2）26.01)3(31.0≈-=⨯-e F （3）13.0)3()5(≈-F F 9. 设)16,1(~-N X ，试估计（1）)44.2(<X P ；（2）)5.1(->X P ；（3）)4(<X P ；（4）)11(>-X P .解：（1）8051.0)444.3()4)1(44.2()44.2(=Φ=--Φ=< X P （2）)5.1(1)5.1(-≤-=->X P X P 5498.0)81(1)415.1(1=-Φ-=+-Φ-= （3）)414()414()4|(|+-Φ-+Φ=<X P )43()45(-Φ-Φ=6678.01)43()45(=-Φ+Φ= （4）[])2()0()2()0()1|1(|>+<=><=>-X P X P X X P X P )412(1)410(+Φ-++Φ=8253.0)43(1)41(=Φ-+Φ=X近似遵循正态分散)10,70(2N ，第100名的结果为60分，问第20名的结果约为几分？解：10020)60|(=≥≥X x X P 而[])60()()60()60()()60|(≥≥=≥≥≥=≥≥X P x X P X P X x X P X x X P 又8413.0)1(1070601)60(=Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=≥ X P 16826.08413.02.0)(=⨯=≥∴x X P 即16826.0)1(10701)(=Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=≥x x X P 83174.01070=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ∴x ，96.01070≈-x ，6.79≈x 11. 设随机变量X 战Y 均遵循正态分散，)4,(~2μN X ，)5,(~2μN Y ，而)4(1-≤=μX P p ，)5(2+≥=μY P p ，试道明 21p p =. 道明：)1(44)4(1-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ=-≤=μμμX P p )1()1(1551)5(2-Φ=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-+Φ-=+≥=μμμY P p 21p p =∴.12. 设随机变量X 遵循[a,b]上的匀称分散，令d cX Y +=()0≠c ，试供随机变量Y 的稀度函数.解：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=其它,0,||1)(b cdy a c c d y f y f X Y 当0>c 时，⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+-=其他,0,)(1)(d cb y d a c a b c y f Y 当0<c 时，⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+--=其他,0,)(1)(d ca y d b c a b c y f Y。
概率论与数理统计课后习题答案(高等教育出版社)(浙江大学)(盛骤_、谢式千、潘承毅)
浙大第四版（高等教育出版社）(浙江大学)第一章 概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn o S 1001, ，n 表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一] 2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
表示为：C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C )（2）A ，B 都发生，而C 不发生。
表示为：C AB 或AB －ABC 或AB －C（3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A ，B ，C 都发生，表示为：ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：C A C B B A ++。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生。
相当于：C B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。
相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。
故 表示为：AB +BC +AC6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B )(*)（1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6，（2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。
概率论答案(高等教育出版社_谢式千版)【整理版】
以为自己患癌症，且确实患癌症；有 45%的人以为自己患癌症，但实
际上未患癌症；有 10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最
后 40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以 A 表示事件“一
病人以为自己患癌症”，以 B 表示事件“病人确实患了癌症”，求下列
概率。
（1） P( A), P(B) ；（2） P(B | A) ；（3） P(B | A) ；（4） P( A | B ) ；（5） P( A | B) 。
6 张，求依次排列结果为 ginger 的概率。
解：根据题意，这 11 个字母中共有 2 个 g，2 个 i，3 个 n，3 个 e，
1 个 r。从中任意连抽 6 张，由独立性，第一次必须从这 11 张中抽出
2 个 g 中的任意一张来，概率为 2/11；第二次必须从剩余的 10 张中
抽出 2 个 i 中的任意一张来，概率为 2/10；类似地，可以得到 6 次抽
P( A) 1 − 50%
（4） P( A | B ) = P( AB ) = 45% = 9 ；
P(B ) 1 −15% 17
（5） P( A | B) =
P( AB) =
5%
= 1。
P(B) 15% 3
5
概率论与数理统计及其应用习题解答
11，在 11 张卡片上分别写上 engineering 这 11 个字母，从中任意连抽
解：在 100，101，…，999 这 900 个 3 位数中不包含数字 1 的 3 位数 的个数为8 × 9 × 9 = 648 ，所以所求得概率为
648 = 0.72 900
4，在仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字至多出现一次的全
体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该
概率论与数理统计课后习题参考问题详解高等教育出版社
概率论与数理统计课后习题参考答案高等教育习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。
解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。
解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。
解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++（8）ABC ； （9）C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。
(高等教育出版)概率论与数理统计教程课后习题答案
4
P ( A) = 1 - P ( A) = 1 −
94 ⎛9⎞ = 1− ⎜ ⎟ 10000 ⎝ 10 ⎠
4
1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是 1； (2)该数的四次方的末位数字是 1； (3)该数的立方的最后两位数字都是 1； 1 解 (1) 答案为 。 5 (2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答案 4 2 为 = 10 5 (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本 空间包含 10 2 个样本点。用事件 A 表示“该数的立方的最后两位数字都是 1” ，则该 数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为 a ，则该数的立方的最后两位数 字为 1 和 3 a 的个位数，要使 3 a 的个位数是 1，必须 a = 7 ，因此 A 所包含的样本 点只有 71 这一点，于是 。 1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接， 6 个尾也两两相接。 求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的概率。 并把上述结果推广到 2n 根草的情形。 解 (1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取另 一头，它又可以与其它未接过的 3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对 头而言有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种接法，同样对尾也有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种接法，所以样本点总数为 (5 ⋅ 3 ⋅ 1) 2 。 用 A 表示“6 根草恰好连成一个环” ，这种连接，对头而言仍有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种连接法，而 对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一 尾，它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环， 故 尾 的 连 接 法 为 4 ⋅ 2 。 所 以 A 包 含 的 样 本 点 数 为 (5 ⋅ 3 ⋅ 1)(4 ⋅ (3) 指 定 的 m 个 盒 中 正 好 有 j 个 球 的 概 率 为 ⎜ ⎝ m − 1 ⎠⎝
概率论与数理统计 浙江大学第四版 课后习题答案 word 完整版
概率论与数理统计浙江大学第四版课后习题答案word 完整版完全版概率论与数理统计课后习题答案第四版盛骤浙江大学浙大第四版(高等教育出版社)第一章概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)([一] 1),n表小班人数(3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。
([一] 2)S10,11,12,………,n,………(4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。
查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满4次才停止检查。
([一] 3)S00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,2.[二] 设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。
(1)A发生,B与C不发生。
表示为: 或A- AB+AC或A- B∪C(2)A,B都发生,而C不发生。
表示为: 或AB-ABC或AB-C(3)A,B,C中至少有一个发生表示为:A+B+C(4)A,B,C都发生,表示为:ABC(5)A,B,C都不发生,表示为:或S- A+B+C或(6)A,B,C中不多于一个发生,即A,B,C中至少有两个同时不发生相当于中至少有一个发生。
故表示为:。
(7)A,B,C中不多于二个发生。
相当于:中至少有一个发生。
故表示为:(8)A,B,C中至少有二个发生。
相当于:AB,BC,AC中至少有一个发生。
故表示为:AB+BC+AC6.[三] 设A,B是两事件且P A0.6,P B0.7. 问1在什么条件下P AB取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P AB取到最小值,最小值是多少?解:由P A 0.6,P B 0.7即知AB≠φ,(否则AB φ依互斥事件加法定理, PA∪BP A+P B0.6+0.71.31与P A∪B≤1矛盾).从而由加法定理得P ABP A+P B-P A∪B*(1)从0≤PAB≤PA知,当ABA,即A∩B时PAB取到最大值,最大值为PABPA0.6,(2)从*式知,当A∪BS时,PAB取最小值,最小值为PAB0.6+0.7-10.3 。
概率论与数理统计高教版第四版课后习题答案共31页文档
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
概率论与数理统计高教版第四版课后习题 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回
概率论与数理统计习题答案(王勇主编)高等教育出版社
·1·习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =，135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
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概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社习题解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。
解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。
解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。
解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++（8）ABC ； （9）C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。
试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A ,313221A A A A A A ++.解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。
5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -.解：如图：BCA CBC AB A B BCA CB AC AB AC B C C AB C AB C B A C B A BC A ABC C AB C B A C B A C B A +=+=++=-+=+++++++=++;;6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立举例说明。
解：不一定成立。
例如：{}5,4,3=A ，{}3=B ，{}5,4=C ，那么，C B C A +=+，但B A ≠。
7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立举例说明。
解：不一定成立。
例如：{}5,4,3=A ，{}6,5,4=B ，{}7,6=C ， 那么{}3)(=--C B A ，但是{}7,6,3)(=+-C B A 。
8. 设31)(=A P ，，试就以下三种情况分别求)(AB P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）81)(=AB P . 解：（1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ； （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。
CB A CB A CB A ABCBCA CAB CB A ΩABCCB A9. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。
解：())(1)(C B A P C B A P C B A P ++-=++==[])()()()()()()(1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-83016116104141411=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---++-=10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。
一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G“颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。
解：271333111)()()(=⨯⨯⨯⨯===C P B P A P ；278333222)()(=⨯⨯⨯⨯==E P D P ； 91271271271)(=++=F P ；92333!3)(=⨯⨯=G P ；98911)(1)(=-=-=F P H P .11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解：一次拿3件：（1）0588.0310012298==C C C P ； （2）0594.031001982229812=+=C C C C C P ； 每次拿一件，取后放回，拿3次：（1）0576.0310098232=⨯⨯=P ； （2）0588.010098133=-=P ； 每次拿一件，取后不放回，拿3次： （1）0588.03989910097982=⨯⨯⨯⨯⨯=P ；（2）0594.098991009697981=⨯⨯⨯⨯-=P 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：{}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。
解：157)(310381==C C A P ；15142)(31038392=-=C C C A P 或15141)(310182=-=C C A P 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。
解：9041454102839=-=P P P P 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份；解：（1）41.01211166=-= P ； （2）00061.012116246=⨯= C P ； （3）0073.012116246112== C C P15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
解：602.03521392131431314=+= C C C C C C P 或602.0135211311311334=-= C C C C C P习题解答1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解：令=i A “取到的是i 等品”，3,2,1=i329.06.0)()()()()(3133131====A P A P A P A A P A A P 。
2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解：令=A “两件中至少有一件不合格”，=B “两件都不合格”511)(1)()()()|(2102621024=-=-==C C C C A P B P A P AB P A B P 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。
两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别和，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为，求（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率； （2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率； （3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。
解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P （1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P（2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P （3）8286.093.01058.0)()()|(=-==B P B A P B A P4. 设，证明事件A 与B 独立的充要条件是)|()|(A B P A B P =证：⇒：A 与B 独立，A ∴与B 也独立。
)()|(),()|(B P A B P B P A B P ==∴ )|()|(A B P A B P =∴⇐： 1)(01)(0<<∴<<A P A P又)()()|(,)()()|(A P B A P A B P A P AB P A B P ==而由题设)()()()()|()|(A P B A P A P AB P A B P A B P =∴=即)]()()[()()](1[AB P B P A P AB P A P -=- )()()(B P A P AB P =∴，故A 与B 独立。
5. 设事件A 与B 相互独立，两个事件只有A 发生的概率与只有B 发生的概率都是41，求)(A P 和)(B P .解：41)()(==B A P B A P ，又 A 与B 独立∴41)()](1[)()()(=-==B P A P B P A P B A P41)](1)[()()()(=-==B P A P B P A P B A P41)()(),()(2=-=∴A P A P B P A P即21)()(==B P A P 。
6. 证明 若)(A P >0，)(B P >0，则有 （1） 当A 与B 独立时，A 与B 相容； （2） 当A 与B 不相容时，A 与B 不独立。
证明：0)(,0)(>>B P A P（1）因为A 与B 独立，所以0)()()(>=B P A P AB P ，A 与B 相容。