2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
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圆与圆的位置关系
A
C1 E C2
B
[解] 解法 1：圆 C1 与圆 C2 的方程联立，得方程组
2 2 x ＋y ＋2x＋8y－8＝0，① 2 2 x ＋ y －4x－4y－2＝0，②
相减得 x＋2y－1＝0，即 x＝1－2y.③ 把③代入①并整理得 y2－1＝0. 解得 y＝1 或 y＝－1，代入③得 x＝－1 或 x＝3. 因此圆 C1 与圆 C2 相交于 A(－1,1)，B(3，－1)两点． (1)两圆的公共弦所在的直线即为直线 AB，方程为 y－1 x－－1 ＝ ，即 x＋2y－1＝0. －1－1 3－－1 (2)两圆的公共弦长|AB|＝ 42＋22＝2 5.
������-3 |������+√3������| 2 3
������ = 4, 解得 ������ = 0, ������ = 2.
= ������,
所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=4.
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变式训练3 以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的方程 是 . 解析:圆x2+y2=64的圆心为(0,0),半径r'=8,
解析:∵x2+y2=a 表示一个圆,∴a>0. 两圆的圆心、半径长分别为(0,0),√������与(-3,4),6. 由于两圆内切,则 (0 + 3)2 + (0-4)2 =|√������-6|, 解得 a=121 或 a=1.
答案:121或1
[变式训练 1] 圆 x2＋y2＋4x－4y＋7＝0 与圆 x2＋y2－ 4x＋10y＋13＝0 的公切线的条数是( A．1 B．2 C．3 D．4
高中北师大版数学课件必修二
必修2
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
直线和圆的位置关系
【问题导思】
x2＋y2＝9 1．方程组 3x＋4y－5＝0
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修2
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2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第 1 课时 直线与圆的位置关系
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)理解直线与圆的位置关系． (2)掌握用圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的比较，判断 直线与圆的位置关系．
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课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
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北师大版必修2高中数学第2章解析几何初步22.3直线与圆圆与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系
[解] 由例题知圆心 C(0,1)，圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝5. 因为 12＋(2－1)2<5，故点 M(1,2)在圆内． 则当 CM 与直线垂直时弦长最短，又 kCM＝1， 所以所求直线的斜率为－1，又过点 M(1,2)， 所以直线方程为 y－2＝－(x－1)，即 x＋y－3＝0.
线与圆相交弦长的求法：,1几何法：求圆心到直线的距离 d，
10 2.
可设直线斜率为 k，则直线方程为 y＝k(x－2)，
所以 d＝|－k12－＋21k|＝ 210，解得 k＝－3 或 k＝13，
所以直线方程为 y＝－3(x－2)或 y＝13(x－2)，
即 3x＋y－6＝0 或 x－3y－2＝0.
2．本例若改为“求过点 M(1,2)且被圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 所 截弦长最短时，直线的方程”，又如何求解？
提示：|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ x1－x22＋kx1－kx22 ＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2.
【例 3】 求直线 l：3x＋y－6＝0 被圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 截 得的弦长．
[思路探究] 本题可以考虑利用弦心距，半弦长和半径构成的直 角三角形求解，若交点坐标易求，则可以联立解方程组，求出交点坐 标，利用两点间的距离公式求解．
过圆外一点作圆的切线一定有两条.其求法有两种方法： 1几何法： 设切线方程为 y－y0＝kx－x0，即 kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到 直线的距离等于半径，可求得 k，进而求出切线方程.
2代数法： 设切线方程为 y－y0＝kx－x0，即 y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方 程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0 求得 k，切线方程即可 求出.,另外：要注意过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是 代数法.当求得 k 值是一个时，则另一条切线的斜率一定不存在.
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
[规范解答] (1)由题意，结合图(1)，可知圆心(3,0)，r＝2， 所以圆 C 的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(4 分) (2)如图(2)所示，过 C 作 CD 垂直于直线 x－y＋1＝0，垂足为 D. |3＋1| 由点到直线距离公式，可得|CD|＝ ＝2 2，(8 分) 2
又 P(x，y)是圆 C 上的任意一点，而圆 C 的半径为 2.结合图形 易知点 P 到直线 x－y＋1＝0 距离的最大值为 2 2＋2，最小值 为 2 2－2.(12 分)
自学导引 1．确定圆的条件 一个圆的 圆心 位置和 半径 一旦给定，这个圆就确定了，如 图所示．
2．圆的标准方程 (1)圆的定义：到定点的距离等于 定长 的点的集合叫圆，定点 叫做圆的 圆心 ，定长 称为圆的半径． (2)方程：圆心为 C(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 . 是
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值
规律方法
本题利用了点与圆心的距离与半径之间的大小关系
判定了点与圆的位置关系，①点在圆上⇔ d＝r；②点在圆外⇔ d ＞r；③点在圆内⇔ d＜r.
【变式 2】 已知点 A(1,2)在圆 C： (x－a)2＋(y＋a)2＝2a2 的内部， 求实数 a 的取值范围． 解 ∵点 A 在圆内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2， 5 ∴2a＋5＜0，∴a＜－2， ∴a
2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
r相比较，相比代数法，几何法显得要更方便些．
[例1]
当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆
x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？
[思路点拨] 利用代数法或几何法求解．代数法
注意判别式与交点个数的关系，几何法则要对圆心到直 线的距离与圆的半径的大小作比较．
[精解详析] 方程并化简得
法一：将直线mx－y－1＝0代入圆的
还记得巴金的《海上日出》吧，随着作家
的描写，我们领略到海上日出的壮丽景象．实
际上，日出是一个不断变化的动态过程，如果
把太阳(透视图)看作一个圆，把海平面(透视图)看作一条直
线，太阳升起的过程中与海平面的位置关系就是直线与圆的
位置关系的最好例证．
问题1：在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关 系？ 提示：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系， 来判断，即直线与圆相交⇔d<r； 直线与圆相切⇔d＝r
2
①当直线AB⊥x轴时，∵l过(4，－4)， ∴AB方程为x＝4，点C(1,2)到l的距离d＝|4－1|＝3， 满足题意． ②当AB与x轴不垂直时，设方程为 y＋4＝k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0. |k－2－4k－4| 3 ∴d＝ ＝3，解得k＝－4. k2＋－12 3 ∴l的方程为y＋4＝－4(x－4)，即3x＋4y＋4＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0.
|6k＋4| ∵圆心到直线的距离为 2，∴ ＝ 2， 1＋k2 7 即17k ＋24k＋7＝0.∴k＝－1或k＝－17.
2
∴所求直线的方程为x＋y－2＝0或7x＋17y＋26＝0.
[一点通]
求弦长的常用方法
(1)代数法： ①将直线与圆的方程联立，解得两交点，然后利 用两点间距离公式求弦长． ②设直线的斜率为k，直线与圆联立，消去y后所 得方程两根为x1，x2，则弦长d＝ 1＋k2|x2－x1|.
《直线与圆的位置关系》课件6 (北师大版必修2)
例1：已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆 x2+y2-2y-4=0，判断直线L与圆的位置关系； 如果相交，求它们交点的坐标. 点评：几何法和代数法体现了数形结合的思想 例2、已知过点M（-3，-3）的直线L被圆
x y 4 y 21 0 所截得的弦长
2 2
为4 5 ，求直线L的方程.
Y
港口
.
L
X
O
直线与圆的位置关系种类
种类: 相离(没有交点) 相交(二个交点) 相切(一个交点) 相离(没有交点) 相交(一个交点)
相交(二个交点)
直线与圆的位置关系的判定
代数方法
直线方程L：Ax+By+C=0 圆的方程C：(x-a)2+(y-b)2=r2 Ax+By+C=0 由方程组： (x-a)2+(y-b)2=r2
学习新课
• 在2004年12月26日的印尼大地震引发的大海 啸中，一艘轮船正在沿直线返回印尼雅加达 港口的途中，接到国际救援中心（SOS）的警 报。海啸生成中心位于轮船正西70km处，受 影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已 知港口位于海啸生成中心正北40km处，如果 这艘轮船不改变航线，那么它是否受到海啸 的影响？
直线与圆的性质
切线的性质： ①切线与圆有唯一公共点 ②切线与圆心的距离等于半径 ③切线垂直于经过切点的半径
A
P
（切线长定理） A
切线长定理 从圆外一点 引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的 连线平分两条切线的夹角。
O
B
C D
P
问题回顾
Y
我们以海啸中心为原点O，东 西方向为X轴，建立如图的平 面直角坐标系，其中取100海 里为单位长度，因此：受海啸 影响的圆形区域所对应的圆心 为O的圆的方程为： X2+Y2=9 ， 轮船航线所在直线L的方程为： 4X+7Y-28=0 所以有无影响， 就看圆心为O的圆与直线L有无 公共点了
《圆的标准方程》课件5 (北师大版必修2)
思考4:经过一个点、两个点、三个点分 别可以作多少个圆？ 思考5:集合{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2} 表示的图形是什么？
y r A o x
理论迁移 例1 写出圆心为A（2，-3），半径 长等于5的圆的方程，并判断点M（5， -7），N（ 5 ，-1）是否在这个圆上？
例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）， 求它的外接圆的方程. y A
o C B
x
例3 已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在 直线l ：x-y+1=0上，求圆C的标准方程.
y
程的结构特点. (2)点与圆的位置关系的判定. (3)求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
作业： P120练习： 1，3. P124习题4.1A组：2，3，4.
思考5:我们把方程 ( x a) ( y b) r 称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的 标准方程，那么确定圆的标准方程需要 几个独立条件？
2 2 2
思考6:以原点为圆心，1为半径的圆 称为单位圆，那么单位圆的方程是什 么？ x2+y2=r2
思考7:方程 ( x a) ( y b) r ， 2 2 2 2 2 ( x a) ( y b) r ，( x a) ( y b) m 是圆方程吗？
第四章 4.1 4.1.1
圆与方程 圆的方程 圆的标准方程
问题提出 1.在平面直角坐标系中，两点确定一条 直线，一点和倾斜角也确定一条直线， 那么在什么条件下可以确定一个圆呢？ 圆心和半径 2.直线可以用一个方程表示，圆也可 以用一个方程来表示，怎样建立圆的 方程是我们需要探究的问题.
高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第一课时 直线与圆的位置关系
位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2的全部内容。
与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题（每小题5分,共20分)1．直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．不确定解析: 圆C：x2＋（y－1）2＝5的圆心C为（0，1），半径为错误!.由圆心（0,1）到直线2x－y＋3＝0的距离：d＝错误!＝错误!错误!＜错误!.∴直线和圆相交．答案：A2．若圆心在x轴上、半径为错误!的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C 的方程是（）A．（x－5)2＋y2＝5 B．(x＋错误!）2＋y2＝5C．（x－5）2＋y2＝5 D．（x＋5)2＋y2＝5解析：设圆心为(x0，0)，则由题意知圆心到直线x＋2y＝0的距离为错误!，故有错误!＝错误!，∴|x0｜＝5.又圆心在y轴左侧，故x0＝－5.∴圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5，选D。
答案: D3．若点P（2，－1）为圆C：（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( ) A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0解析: 圆心是点C(1,0)，由CP⊥AB,得k AB＝1，所以直线AB的方程为x－y－3＝0,故选D。
高中数学必修二直线与圆、圆与圆的位置关系
高中数学必修二直线与圆、圆与圆的位置关系突破点(一) 直线与圆的位置关系
基础回顾
考点链接
考点一：直线与圆的位置关系问题
方法技巧
直线与圆位置关系问题的求解策略
(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较烦琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．
(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．
实战演练
考点二：弦长问题
方法技巧
求解弦长问题的常用方法
直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．常用的方法有：(1)根据平面几何知识结合坐标，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示；(2)通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题．
实战演练
考点三：切线问题
易错提醒
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．实战演练。
《直线与圆的位置关系》课件10 (北师大版必修2)
5 即 3 0 4 m 0 2
m 10
7. 直 线 3x+4y+m=0 与 圆 x2+y2-5y=0 交 于 两 点 A,B ， 且 OA⊥OB (O为原点），求m的值.
解(法二) : 设直线于圆的交点为 ( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) A y1 0 y2 0 由 OA OB 得 1 即 x1 x2 y1 y2 0, x1 0 x2 0 3x 4 y m 0 而( x1 , y1 )， 2 , y2 )是方程组 2 (x 的解， 2 x y 5 y 0 由 方程组得 25 y 2 (8m 45) y m2 0, 45 8m m2 2 2 , y1 y2 则 (8m 5) 100m 0, y1 y2 25 25 且 3x1 4 y1 m 0, 3x2 4 y2 m 0 1 x1 x2 y1 y2 (m 4 y1 )( m 4 y2 ) y1 y2 0 9 4m(45 8m) 2 即m 4m( y1 y2 ) 25 y1 y2 0 m2 0 25 解得m1 0, m2 10 分别代入方程组， 0舍去, 所求m 10 m
8. 求通过直线l:2x+y+4=0及圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的交点， 并且有最小面积的圆的方程.
解：圆C的方程为 x 1) ( y 2) 4 (
2 2
则直线CD的方程为x 2 y 5 0
设直线l 与圆C交于 A，B 两点，D为AB中点，
以D为圆心，AB为直径的圆是面积最小 的圆， 6 4 13 其方程是 x y 5 5 5
m 10
7. 直 线 3x+4y+m=0 与 圆 x2+y2-5y=0 交 于 两 点 A,B ， 且 OA⊥OB (O为原点），求m的值.
解(法二) : 设直线于圆的交点为 ( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) A y1 0 y2 0 由 OA OB 得 1 即 x1 x2 y1 y2 0, x1 0 x2 0 3x 4 y m 0 而( x1 , y1 )， 2 , y2 )是方程组 2 (x 的解， 2 x y 5 y 0 由 方程组得 25 y 2 (8m 45) y m2 0, 45 8m m2 2 2 , y1 y2 则 (8m 5) 100m 0, y1 y2 25 25 且 3x1 4 y1 m 0, 3x2 4 y2 m 0 1 x1 x2 y1 y2 (m 4 y1 )( m 4 y2 ) y1 y2 0 9 4m(45 8m) 2 即m 4m( y1 y2 ) 25 y1 y2 0 m2 0 25 解得m1 0, m2 10 分别代入方程组， 0舍去, 所求m 10 m
8. 求通过直线l:2x+y+4=0及圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的交点， 并且有最小面积的圆的方程.
解：圆C的方程为 x 1) ( y 2) 4 (
2 2
则直线CD的方程为x 2 y 5 0
设直线l 与圆C交于 A，B 两点，D为AB中点，
以D为圆心，AB为直径的圆是面积最小 的圆， 6 4 13 其方程是 x y 5 5 5