【数学】2.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大版必修2)
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2. 2.3 第二课时 圆与圆的位置关系课件(北师大版必修二)
其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5 2. 圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离 |1－2×－5＋4| d＝ ＝3 5， 2 1＋－2 设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45 ＋l2，解得l＝ 5，所以公共弦长2l＝2 5.
[一点通]
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.其 中C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2. (1)如果C1与C2外切，则有 m＋12＋m＋22 ＝3＋2， 即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25. ∴m2＋3m－10＝0，解得m＝－5，或m＝2.
(2)如果C1与C2内切，则有 m＋12＋m＋22＝ 3－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝1， ∴m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2，或m＝－1. ∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切； 当m＝－2或m＝－1时，圆C1与圆C2内切．
解得a＝3，或a＝－2， ∴D(3，－1)或D(－2,4)． ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋ (y－4)2＝9.
1．讨论圆与圆的位置关系问题，一般有两 种方法，即代数法和几何法，代数法有时比较麻烦且 只提供交点的个数；几何法就比较简洁，只要将圆心 距d与|r1－r2|，r1＋r2比较即可得出位置关系．
②方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)
＝0，表示过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线ax＋
by＋c＝0交点的圆．
6．(2011· 江西九江检测)求与直线x＋y－2＝0和曲线
x2＋ y2－12x－12y＋54＝0都相切，且半径最小的
解：如图x2＋y2－12x－12y＋54＝0化为标准方 圆的标 程为(x－6)2＋(y－6)2＝18. 准方程．
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
[一点通]
判断两圆的位置关系有几何法和代数法两
种方法，几何法比代数法简便，解题时一般用几何法．
用几何法判断两圆位置关系的操作步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程． (2)求两圆的圆心坐标和半径R、r. (3)求两圆的圆心距d. (4)比较d与|R－r|、R＋r的大小关系．
1．两圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和x2＋y2－4x＋2y＋＝0的
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．
[例2]
＋2y－8＝0.
已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x
其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5 2. 圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离 |1－2×－5＋4| d＝ ＝3 5， 2 1＋－2 设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45 ＋l2，解得l＝ 5，所以公共弦长2l＝2 5.
[一点通]
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 x－2y＋4＝0. (3)法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0.
① ② ③
两式相减得x＝2y－4，
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
x ＝－4， 1 ∴ y1＝0， x ＝0， 2 或 y2＝2.
[例1]
已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，
【数学】2.2圆与圆的位置关系课件(北师大版必修2)
作业布置
必做：
1、课本P130：练习 2、P132习题4.2：A组1
选做：习题4.2：B组1
小结：判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径（配方 法）
圆心距d
（两点间距离公式）
比较d和r1，r2 的大小，下结
论
代数方法
(
(x a1)2 ( y b1)2 x a2 )2 ( y b2 )2
圆C1x2 y2 2x 8y 8 0 圆C2 x2 y2 2x 8y 8 0
y
A
o
Bx
画出圆C1与圆C2以及 方程 表示直线，你 发现了什么？你能说 明为什么吗？
思考题
圆C1：x2 y2 2mx 4 y m2 5 0， 圆C2：x2 y2 2x - 2my m2 3 0, m为何值时, 两圆 (1)相切 (2)相交 (3)相离 (4)内含
圆与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
？
回顾：如何判断直线和圆的位置关系
形：距离
数：方程
求圆心坐标及半径r 圆心到直线的距离d
(x a)2 ( y b)2 r2 Ax ByC 0
消去y（或x）
px2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
圆与圆的位置关系
r12 r22
消去y（或x）
px2 qx r 0
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
？
图示
Rr
O1
O2
Rr
O1
O2
Rr O1 O2
R
O1
O
r
2
RO1ຫໍສະໝຸດ Or2位置关系
外离
圆心距离与半径关系
|O1O2|>|R+r|
新版高中数学北师大版必修2课件2.2.3.2圆与圆的位置关系
C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(������22 + ������22-4F2>0),
联立以上两个方程得
������2 ������2
+ +
������2 ������2
+ +
������1 ������ ������2 ������
+ ������1 ������ + ������1 + ������2������ + ������2
2.公共弦长的求法
(1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离
公式求出弦长.
(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、
弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
3.(1)当两圆内切时,两圆方程相减所得直线方程即为两圆的公切
线方程;当两圆外切时,两圆方程相减所得直线方程为两圆的内公
∴圆M的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.
-16-
第2课时 圆与圆的位置关系
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D当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究三与两圆相切有关的问题
【例3】已知点F(0,1),一动圆过点F且与圆x2+(y+1)2=8内切,求动 圆圆心的轨迹方程.
(1)求公共弦AB所在直线的方程; (2)求圆心在直线y=-x上,且经过A,B两点的圆的方程.
解:(1)由已知得
������2 + ������2 + 2������ + 2������-8 = 0 ①
2. 2.3 第二课时 圆与圆的位置关系课件(北师大版必修二)
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.其 中C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2. (1)如果C1与C2外切，则有 m＋12＋m＋22 ＝3＋2， 即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25. ∴m2＋3m－10＝0，解得m＝－5，或m＝2.
(2)如果C1与C2内切，则有 m＋12＋m＋22＝ 3－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝1， ∴m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2，或m＝－1. ∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切； 当m＝－2或m＝－1时，圆C1与圆C2内切．
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．
[例2]
已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2
由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径 |3k－4－k| 3 2，即 ＝2，解之得k＝4. 2 k ＋1 所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)依题意设D(a,2－a)，又已知圆C的圆心(3,4)， r＝2，由两圆外切，可知|CD|＝5， ∴可知 a－32＋2－a－42＝5，
位置关系是
A．相切 C．内含 B．外离 D．相交
(
)
解析：两圆的圆心和半径分别为O1(1，－2)，r1＝1， 1 O2(2，－1)，r2＝ ，则圆心距d＝|O1O2|＝ 2 1 1 2 2 1－2 ＋－2＋1 ＝ 2，由1－ 2 <d<1＋ 2 ，得两圆相 交．
(2)如果C1与C2内切，则有 m＋12＋m＋22＝ 3－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝1， ∴m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2，或m＝－1. ∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切； 当m＝－2或m＝－1时，圆C1与圆C2内切．
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．
[例2]
已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2
由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径 |3k－4－k| 3 2，即 ＝2，解之得k＝4. 2 k ＋1 所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)依题意设D(a,2－a)，又已知圆C的圆心(3,4)， r＝2，由两圆外切，可知|CD|＝5， ∴可知 a－32＋2－a－42＝5，
位置关系是
A．相切 C．内含 B．外离 D．相交
(
)
解析：两圆的圆心和半径分别为O1(1，－2)，r1＝1， 1 O2(2，－1)，r2＝ ，则圆心距d＝|O1O2|＝ 2 1 1 2 2 1－2 ＋－2＋1 ＝ 2，由1－ 2 <d<1＋ 2 ，得两圆相 交．
2. 2.3 第二课时 圆与圆的位置关系课件(北师大版必修二)
由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径 |3k－4－k| 3 2，即 ＝2，解之得k＝4. 2 k ＋1 所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)依题意设D(a,2－a)，又已知圆C的圆心(3,4)， r＝2，由两圆外切，可知|CD|＝5， ∴可知 a－32＋2－a－42＝5，
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．
[例2]
已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2
因为点(1， 3)和(1，－ 3)都在直线 x＝1 上， 故过这两个点的圆的圆心在 x 轴上， 又圆心在直线 x－ 3y－6＝0 上， ∴圆心为(6,0)，半径 r＝ 6－12＋ 32＝ 28. ∴圆的方程为(x－6)2＋y2＝28.
法二：设所求圆的方程为： x2＋y2－4＋λ(x2＋y2－4x)＝0(λ≠－1)． 4λ 4 整理得：x ＋y － x－ ＝0， 1＋λ 1＋λ
圆心(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为 |6＋6－2| d＝ ＝5 2， 2 ∴所求圆的圆心在过点(6,6)且与直线x＋y－2＝0垂 直的直线上，并且直径为2r＝5 2－3 2＝2 2，
∴所求圆的圆心在直线y＝x上，且圆心到直线x＋y－2 ＝0的距离为 2. |a＋a－2| 设圆心为(a，a)，则 ＝ 2 ⇒a＝2或a＝0，但 2 圆心应在直线x＋y－2＝0上方， ∴a＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
[一点通]
高中数学北师大版必修二 2.2.3.2圆与圆的位置关系 课件(29张)
预习交流 2
在判定直线与圆的位置关系时,可用直线方程与圆的方程联立组 成的方程组的解的个数来判断,那么,用两圆的方程组成的方程组有一 解或无解时能否准确判定两圆的位置关系?若不能准确判定,怎么办? 提示:不能.当两圆方程组成的方程组有一解时,两圆有外切、内切 两种可能情况,当方程组无解时,两圆有相离、内含两种可能情况.下一 步应考查圆心距与两半径的和与差的大小关系 ,以此来判断两圆到底 是外切还是内切,是相离还是内含.
C.相切 D.内含 解析:圆 x2+y2+6x-7=0 可化为(x+3)2+y2=16,圆心(-3,0),半径 r1=4, 圆 x2+y2+6y-27=0 可化为 x2+(y+3)2=36,圆心(0,-3),半径 r2=6,圆心距 d=3 2,因此|r1-r2|<d<r1+r2,两圆相交. 答案:B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题导学
当堂检测
解:(1)∵ m=1,∴ 两圆的方程分别可化为 C1:(x-1)2+(y+2)2=9.C2:(x+1)2+y2=1. 两圆的圆心距 d= (1 + 1)2 + (-2)2 =2 2, 又∵ r1+r2=3+1=4,|r1-r2|=|3-1|=2, ∴ |r1-r2|<d<r1+r2.∴ 圆 C1 与圆 C2 相交. (2)当 m=4 时,两圆的方程分别可化为 C1:(x-4)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+y2=1. 两圆的圆心距 d= (4 + 1)2 + (-2)2 = 29, 又∵ r1+r2=3+1,∴ d>r1+r2. ∴ 圆 C1 与圆 C2 相离.
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
利用半径、弦心距先求半弦长，即得弦长． (2)求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般 不用求交点的方法，常用如下方法：
4．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－12＝0的相交 弦方程为 A．x＋2y－6＝0 C．x－2y＋6＝0 B．x－3y＋5＝0 D．x＋3y－8＝0 ( )
解析：两圆方程相减得：
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 x－2y＋4＝0. (3)法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0.
① ② ③
两式相减得x＝2y－4，
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
x ＝－4， 1 ∴ y1＝0， x ＝0， 2 或 y2＝2.
解得a＝3，或a＝－2， ∴D(3，－1)或D(－2,4)． ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋ (y－4)2＝9.
1．讨论圆与圆的位置关系问题，一般有两种方 法，即代数法和几何法，代数法有时比较麻烦且只提 供交点的个数；几何法就比较简洁，只要将圆心距d 与|r1－r2|，r1＋r2比较即可得出位置关系．
a＝1.
答案：1
[例3]
过两圆x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交点，且
圆心在直线x－ 3y－6＝0上的圆的方程． [思路点拨] 求出交点，再求圆心和半径得圆的方程．
[精解详析]
法一：
x2＋y2－4＝0， 由 2 2 x ＋y －4x＝0， x＝1， 得 y＝ 3， x＝1， 或 y＝－ 3，
F1－F2＝0表示两圆的公共弦所在的直线方程．
②方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0，
4．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－12＝0的相交 弦方程为 A．x＋2y－6＝0 C．x－2y＋6＝0 B．x－3y＋5＝0 D．x＋3y－8＝0 ( )
解析：两圆方程相减得：
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 x－2y＋4＝0. (3)法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0.
① ② ③
两式相减得x＝2y－4，
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
x ＝－4， 1 ∴ y1＝0， x ＝0， 2 或 y2＝2.
解得a＝3，或a＝－2， ∴D(3，－1)或D(－2,4)． ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋ (y－4)2＝9.
1．讨论圆与圆的位置关系问题，一般有两种方 法，即代数法和几何法，代数法有时比较麻烦且只提 供交点的个数；几何法就比较简洁，只要将圆心距d 与|r1－r2|，r1＋r2比较即可得出位置关系．
a＝1.
答案：1
[例3]
过两圆x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交点，且
圆心在直线x－ 3y－6＝0上的圆的方程． [思路点拨] 求出交点，再求圆心和半径得圆的方程．
[精解详析]
法一：
x2＋y2－4＝0， 由 2 2 x ＋y －4x＝0， x＝1， 得 y＝ 3， x＝1， 或 y＝－ 3，
F1－F2＝0表示两圆的公共弦所在的直线方程．
②方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0，
《圆与圆的位置关系》课件2 (北师大版必修2)
O
P
后退 前进
例1、如图 O 的半径为5cm，P是 O 外一点， OP=8cm，求 （1）以 P为圆心作 P 与 O 外切，小圆 的半径是多少？
O
R
r P
解： (1)设 O与 P相切于A， 则PA=OP-OA
所以PA=3cm
后退 前进
例1、如图 O 的半径为5cm，P是 O 外一点， OP=8cm，求 （2）以 P为圆心作 P 与 O 内切，大圆 的半径是多少？
x 2 7 x 12 0 的两根， （3）两圆的半径为 且圆心距为8，则两圆 外离
后退 前进
例1、如图 O 的半径为5cm，P是 O 外一点， OP=8cm，求 （1）以 P为圆心作 P 与 O 外切，小圆 的半径是多少？ （2）以 P为圆心作 P 与 O 内切，大圆 的半径是多少？
两圆内切
两圆内含
d 指 圆 心 距
后退 前进
练习一：填表 Βιβλιοθήκη 2 o1的半径4 7 2 4 5 3 4 5 2
的半径
圆心距d 9 8
两圆的位 置关系
外离 相交
外切
7
1 2
内含
内切
后退 前进
7或3
练习二：填空
（1）两圆半径为7+t，7-t(0<t<7),圆心距 为2t，则两圆相 外切 （2）两圆外切时圆心距为12，内切时圆心距 为4，则两圆半径为 8 和 4
两个圆有一个公共点
两个圆没有公共点
后退 前进
两个圆没有公共点
两圆外离 两圆内含
两个圆有一个公共点
两圆外切
相切 两圆内切
后退 前进
两圆外离
两个圆没有公共点，并且每个 圆上的点都在另一个圆的外部 两个圆有一个公共点，并且除 了这个公共点以外，每个圆上 的点都在另一个圆的外部 两个圆有两个公共点 两个圆有一个公共点，并且除 了这个公共点以外，一个圆上 的点都在另一个圆的内部 两个圆没有公共点 （两圆同心是内含的特例）后退 前进
P
后退 前进
例1、如图 O 的半径为5cm，P是 O 外一点， OP=8cm，求 （1）以 P为圆心作 P 与 O 外切，小圆 的半径是多少？
O
R
r P
解： (1)设 O与 P相切于A， 则PA=OP-OA
所以PA=3cm
后退 前进
例1、如图 O 的半径为5cm，P是 O 外一点， OP=8cm，求 （2）以 P为圆心作 P 与 O 内切，大圆 的半径是多少？
x 2 7 x 12 0 的两根， （3）两圆的半径为 且圆心距为8，则两圆 外离
后退 前进
例1、如图 O 的半径为5cm，P是 O 外一点， OP=8cm，求 （1）以 P为圆心作 P 与 O 外切，小圆 的半径是多少？ （2）以 P为圆心作 P 与 O 内切，大圆 的半径是多少？
两圆内切
两圆内含
d 指 圆 心 距
后退 前进
练习一：填表 Βιβλιοθήκη 2 o1的半径4 7 2 4 5 3 4 5 2
的半径
圆心距d 9 8
两圆的位 置关系
外离 相交
外切
7
1 2
内含
内切
后退 前进
7或3
练习二：填空
（1）两圆半径为7+t，7-t(0<t<7),圆心距 为2t，则两圆相 外切 （2）两圆外切时圆心距为12，内切时圆心距 为4，则两圆半径为 8 和 4
两个圆有一个公共点
两个圆没有公共点
后退 前进
两个圆没有公共点
两圆外离 两圆内含
两个圆有一个公共点
两圆外切
相切 两圆内切
后退 前进
两圆外离
两个圆没有公共点，并且每个 圆上的点都在另一个圆的外部 两个圆有一个公共点，并且除 了这个公共点以外，每个圆上 的点都在另一个圆的外部 两个圆有两个公共点 两个圆有一个公共点，并且除 了这个公共点以外，一个圆上 的点都在另一个圆的内部 两个圆没有公共点 （两圆同心是内含的特例）后退 前进
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
位置关系
满足条件
图示
两圆内含
d < |r1－r2|
[小问题·大思维]
1．当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定相离？ 只有一组解时，一定外切吗？ 提示：不一定．当两圆组成的方程组无解时，两圆无公共
点，两圆可能相离也可能内含；只有一组解时，两圆只有
一个公共点，两圆相切，可能外切，也可能内切． 2．圆A：x2＋y2－8x＋7＝0和圆B：x2＋y2＋8x＋7＝0的位置 关系如何？ 提示：外离．圆A，圆心(4,0)，半径3.圆B，圆心(－4,0)，半
[通一类] 4．已知直线l：4x＋3y－2＝0和圆C：x2＋y2－12x－ 2y－13＝0相交于A、B两点，求过A、B两点的圆 中面积最小的圆的方程．
4x＋3y－2＝0， 解：法一：联立方程 2 2 x ＋y －12x－2y－13＝0， x＝－1， 解得 y＝2， x＝5， 或 y＝－6，
(3)法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0，
① ② ③
两式相减得 x＝2y－4.
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
x ＝－4， 1 ∴ y1＝0， x ＝0， 2 或 y2＝2，
求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直
线y＝0相切的圆的方程．
[错解] 由题意知，所求圆与直线y＝0相切且半
径为4，设其圆心C的坐标为(a,4)，且其方程为 (x－a)2＋(y－4)2＝42， 又圆x2＋y2－4x－2y－4＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝32， 其圆心为A(2,1)，半径为3. 由两圆相切，得|CA|＝3＋4， 所以(a－2)2＋(4－1)2＝72， 解得a＝2± 10， 2 所以所求圆的方程为(x－2－2 或(x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16. 10 )2＋(y－4)2＝16