最优控制理论与系统胡寿松版部分习题答案

2-5 求通过(0)1x，(1)2x，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()xt： 02(1)fttJxdt



解：由题可知，始端和终端均固定 被积函数21Lx，0Lx，2Lxx， 2dLxdtx

代入欧拉方程0LdLxdtx，可得20x，即0x 故1xc 其通解为：12xctc 代入边界条件(0)1x，(1)2x，求出11c，21c 极值曲线为*()1xtt 2-6 已知状态的初值和终值为 (1)4x，()4fxt

式中ft自由且ft>1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()xt： 21

1[2()()]2ftJxtxtdt

解：由题可知，2122Lxx，4ft，14x，4fxt 欧拉方程：L0dLxdtx

横截条件：00txx，ffxtt，0fTtLLxx







易得到2dxdt 故12xtc

其通解为：2

12xttctc

根据横截条件可得：

12

2121114424fff

ff

xccxttctcxttc







解以上方程组得：12569ftcc 将ft，1c，2c代入J可得5*2

0

1500502150233Jxxdt

极值轨线为*269xttt 2-7 设性能泛函为 12

0(1)Jxdt



求在边界条件(0)0x，(1)x自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()xt。

解：由题可知，21Lx，00x，1x自由 欧拉方程：L0dLxdtx

横截条件：00txx，L0ftx，0fTtLLxx 易得到xta 其通解为：xtatb

代入边界条件fxta，00x，1ft，求出0a，0b 将ft，a，b代入J可得1*2

011Jxdt



极值轨线为*0xt

2-9 求使泛函 222

11220

(2)Jxxxxdt

为极值并满足边界条件

1(0)0x，2(0)0x

1()12x，2()12x 的极值轨线*1()xt和*2()xt。 解：由题可知，2211222Lxxxx，1(0)0x，2(0)0x，1()12x，2()12x

欧拉方程：1122L0L0dLxdtxdLxdtx 可得：21L2xx，11L2xx，112dLxdtx 12L2xx，22

L2xx，222dLxdtx





所以这时的欧拉方程为122100xxxx 对上述第一个方程求导两次，再由第二个方程，可以将2x消去，得 (4)110xx

不难求出此方程的解 11234cossinttxcecectct 对此式求导两次，得 21234coscosttxcecectct 利用给定的端点条件，可求出 1230ccc，41c

因此，极值轨线为*1*2()sin()sinxttxtt 2-12 设二次积分模型为 ()()tt，()()tut

性能指标 12

0

1()2Jutdt

已知初态(0)(0)1，末态(1)0，(1)自由，试求最优控制*()ut和最优轨迹*()t与*()t。 解：由题可知 构造H：21212THLfuu

正则方程：1210HH 由上式可得 11212()()tctctc 控制方程：20Huu 由上式可得 212()utctc

由状态方程()()tt，()()tut可得321234212311()621()2tctctctctctctc 横截条件2(1)0(1) 有12cc 由边界条件(0)(0)1，(1)1可求431234121111062cccccccc 即12346611cccc 所以 最优控制为*()66utt 最优轨线*32*2()31()361ttttttt 2-13 设系统状态方程 12()()xtxt，1(0)2x

2()()xtut，2(0)1x

性能指标如下： 20

1()2ftJutdt

要求达到()0fxt，试求 （1）5ft时的最优控制*()ut。 （2）ft自由时的最优控制*()ut。 解：由题可知 构造H：212212THLfuxu

正则方程：11212()0()HtxHtx 可求得 11212()()tctctc 控制方程：20Huu 由上式可得 212()utctc

由状态方程12()()xtxt，2()()xtut可得32112342212311()621()2xtctctctcxtctctc （1）5ft时 由边界条件1(0)2x，2(0)1x，1()0fxt，2()0fxt可得 34321234

2123

121155506215502ccccccccc



 得 123454125322512cccc





故32122916()2125252732()112525xttttxttt 有 25432()12525xtt 有最优控制*5432()12525utt （2）若5ft自由 由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件 21221()()()()()()02fffffff

Htuttxttutt



即2()0ft，从而21fcct，代入32122121120621102fffffctcttctct可得6ft 因为时间总为正值，所以此题无解。 2-14 设一阶系统

()()xtut，(0)1x 性能指标 122

0

1()2Jxudt

已知(1)0x。某工程师认为，从工程观点出发可取最优控制函数*()1ut。试分析他的意见是否正确，并说明理由。 解：由题可知 将()()utxt代入性能泛函，得122

0

1()2Jxxdt

于是，性能泛函中只含有一个宗量()xt。以上问题就变成了求性能泛函为极值的极值曲线问题 令22Lxx 则欧拉方程为：220LdLxxxdtx 解得：12()ttxtcece 根据横截条件(0)1x，(1)0x可得211212(1)(1)cece 因此，使给定性能泛函取极值的最优解为 *2121()(1)(1)ttxteeee

*2121()(1)(1)ttuteeee

由此知该工程师的意见不正确 3-4 给定一阶系统方程

()()()xtxtut，(0)1x

控制约束为()1ut，试求使下列性能指标： 101

[()()]2Jxtutdt

为极小值的最优控制*()ut及相应的最优轨线*()xt。 解：由题可知 构造H：1()()(1)()22uHxxuxu

哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求1()2u极小。且取其约束条件的边界值，即()1ut时，使哈密顿函数H达到最小值。所以，最优控制应取

*11,2()112ut



，

由协态方程 ()1Htx可得 ()1ttce 由横截条件 (1)0求得 1ce，于是有 1()1tte

显然，当()0.5st时，*()ut产生切换，其中st为切换时间。不难求得ln2set，故最优控制为

*1,0ln2()1,ln12etutet







将*()ut代入状态方程，得