BCH码的编码方法
BCH编码资料
7
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of
Science
and
Technology
of
China
n≤ 31的本原BCH码
n
7
15
k
4
11
t
1
1
g(x)
13
23
15
15 31
7
5 26
2
3 1
721
2467 45
31
31 31 31
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21
16 11 6
8
2
3 5 7
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2018/11/7 6 University of Science and Technology of China
d d0 2t 1 2 3 1 7
部分不可约多项式表 2阶 3阶 4阶 1 1 1 7 13 3 3 37 5 07
5阶
1
45
3
75
5
67
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举例说明
例3.1: BCH(15,5)码，可纠正3个随机独立 差错，即t=3 n=15=2m-1, so m=4 查不可约多项式表可得 m1(x)=(23)8=010011=x4+x+1 m3(x)=(37)8=011111=x4+x3+x2+x+1 m5(x)=(07)8=000111=x2+x+1 这样 g(x)=LCM[m1(x),m3(x),m5(x)] =(x4+x+1)(x4+x3+x2+x+1)(x2+x+1) 4+x2+x+1 = x10+x8+x5+x5 University of Science and Technology of China 2018/11/7
bch编码例 -回复
bch编码例-回复什么是BCH编码？BCH（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem）编码是一种线性纠错编码，用于在数据传输过程中检测和纠正错误。
它由雷纳德·波斯（R.H. Bose）、德比普·乔杜里（D.K. Ray-Chaudhuri）和阿历克斯·霍肯胡（A.S.Hocquenghem）于1960年代中期独立地开发。
BCH编码通过添加冗余位来建立一种错误检测和纠正机制，以提高数据传输的可靠性。
BCH编码的基本原理是在发送数据之前，将数据块分成一定数量的子块，每个子块的长度为n（n-1为数据位，1为冗余位）。
然后，在每个子块的末尾添加一个冗余位，这个冗余位是根据子块中的数据位通过一种特定的算法计算得到的。
接收方在接收到数据后，会对每个子块的数据位以及冗余位进行校验，从而判断是否有错误出现，如果有错误出现，还可以根据冗余位的值进行纠正。
BCH编码的一个重要特点是可以检测并纠正多个错误。
在编码过程中，通过在数据块中添加足够的冗余位，可以确保在传输过程中，即使发生多个错误，接收方仍然能够准确地恢复原始数据。
这使得BCH编码在一些对数据传输可靠性要求较高的应用中得到了广泛应用，比如无线通信、存储系统等。
为了更好地理解BCH编码的原理，我们举一个简单的例子。
假设发送方要发送一个8位的数据（11011011），并采用BCH编码进行纠错。
首先，将数据分成4个子块（11，01，10，11），然后根据特定的算法计算每个子块的冗余位。
假设冗余位经过计算后为（0，1，0，1）。
发送方发送的实际数据为（11 0，01 1，10 0，11 1）。
当接收方接收到数据后，会对每个子块的数据位以及冗余位进行校验。
假设在传输过程中，由于噪声或其他因素，第二个子块的第二位数据位发生了错误（从1变为0）。
接收方在校验时会发现第二个子块的冗余位（1）与计算得到的冗余位（1）不匹配，说明存在错误。
BCH码的译码
BCH码的常用译码方法优点：译码速度快，而且硬件实现比较容易；缺点：当错误位数比较多时，存储表格将会消耗大量的硬件资源；优点：使用的硬件资源相对较少，对错误位数不敏感；缺点：运算速度与纠错位数成线性关系，硬件复杂度较高；Gorenstein-Zierler 译码算法对于线性分组码的纠错来说，我们需要两个信息就可以确定码中存在的错误：（1） 错误发生的位置；（2） 错误的大小；Gorenstein-Zierler迭代算法的译码过程，就是利用BCH码的生成多项式的特点确定这两个信息的过程。
12211e x e x e x e e(x)n n n n ++++=---- vv i i i i i i xe x e x e e(x)+++= 2211其中 表示第 k 个错误的大小。
k i e 对于一个码长为n的BCH码，其纠错能力为t，其错误多项式.,,,21v i i i 假设实际发生了v 个错误， 0 ≤ v ≤ t。
错误发生位置为它的系数中最多有t个非零系数。
在域元素 处的伴随式其中：其中 是第k个错误的位置， 是这个位置对应的域元素。
错误大小：错误位置：在j=1,2,…,2t处，有V个未知的错误大小Y1,Y2,…,Y v)xX ()xX )(xX (x Λx Λx ΛΛ(x)v v v v v ---=+++=--111121111 错误位置的倒数 就是这个多项式的零点。
1-k X定义错误位置多项式为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΛΛΛ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++---++-v v v v v v v v v v v v v S S S S S S S S S S S S S S S 2211112221132121 通过解这个方程组，就可以求出错误位置多项式的所有系数 的值。
i Λ1) 先尝试设 ，计算伴随式矩阵的行列式 。
tv =)det(M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--++-12221132121v v v v v v v v S S S S S S S S S S S S M 如果 ，说明伴随式矩阵是奇异的，接收码字中没有发生t 个错误。
bch编码 移位 -回复
bch编码移位-回复您好！以下是关于[bch编码移位]的文章，共计1500-2000字。
标题：理解BCH编码中的移位操作介绍：在编码和解码领域中，BCH编码被广泛用于错误检测和纠正。
其中，移位操作是BCH编码算法中关键的一步。
本文将逐步解释移位操作在BCH编码中的作用和具体实现流程。
一、BCH编码基础BCH编码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem）是一种线性分组码，用于检测和纠正数据传输过程中的错误。
它的主要特点是具有良好的纠错能力和编码效率，常用于数字通信和数据存储领域。
BCH编码的核心是通过增添校验位来引入冗余信息。
这些校验位根据数据位的值进行计算，以便在接收端识别和纠正错误。
在进行BCH编码之前，首先需要确定编码字长、校验位数以及生成多项式。
二、移位操作的作用移位操作在BCH编码中是非常重要的一步。
它有助于确保在不同的数据块之间进行编码时，使用不同的生成多项式，从而提高纠错能力。
通过对数据进行逐位移位，我们可以生成一系列不同的BCH编码，使得接收端可以更准确地识别和纠正错误。
三、移位操作的具体实现流程1. 确定生成多项式：移位操作的第一步是确定生成多项式。
基于BCH编码的应用需求，我们可以选择不同的生成多项式。
生成多项式是一个二进制数，其位数等于校验位数加一。
一般情况下，生成多项式是不可约的，即不能拆分为较低次幂的多项式相乘。
2. 数据移位：在BCH编码中，我们对数据块进行逐位移位。
移位的数量等于编码字长减去校验位数。
例如，如果编码字长是16位，校验位数是5位，则我们对11位的数据块进行5次移位。
3. 进行异或运算：在移位的同时，我们需要将生成多项式与数据进行异或运算。
具体地说，我们将数据的每一位与生成多项式的对应位进行异或操作，以生成校验位。
这样，我们就得到了一个完整的BCH编码。
4. 重复移位和异或操作：在编码过程中，为了提高纠错能力，我们可以重复进行移位和异或操作。
ECC-BCH算法研究
12概述BCH(Bose一Chaudhuri一Hocquenghem)码是1959年由霍昆格姆(Hocquenghem),1960年由博斯(Bose)和雷·查德胡里(Ray Chaudhuri)提出的纠正多个随机错误的循环码，可以用生成多项式g(x)的根来描述。
它是具有严格的代数结构，纠错能力强、构造简单、编码较其它码容易等特点的线性分组码。
定义：给定任一有限域GF(q)及其扩域GF（q m），其中q是素数或素数的幂，m为某一正整数。
若码元取自GF(q)上的一循环码，它的生成多项式g(x)的根集合R中含有以下δ-1个连续根：{αM0，αM0+1，…，αM0+δ-2}时，则由g(x)生成的循环码称为q进制BCH码。
在实际应用中用得最多的是码元取自有限域GF(2)中的二进制BCH码，对于一个正整数m0则有:取m0=1, δ=2t十1，设α是伽罗华域GF(2m)的本原域元素，则码以α，α2，…，α2t为根生成多项式:g(x)= LCM(m1(x) m2(x)…m2t(x)),式中m i(x)是αi(1≤i≤2t)相应的最小多项式，t为纠正错误个数。
由于在特征为2的G(2m)域上，α2i的最小多项式与αi的相同，所以生成多项式简化为: g(x)= m1(x) m3(x)…m2t-1(x).相应地，二进制BCH码以α,α3,α5,…, α2t-1为根，码长n=LCM(φ1，φ3，…,φ1t-1)，码的校验矩阵就为其中φ1，φ3，…,φ2t-1分别是α,α3,α5,…, α2t-1对应元素的级，所以二进制BCH码的码长是n≤2m-1，当n=2m-1时，称为本原长码，当n＜2m-1时则称为缩短码(shortenedc ode)。
校验位数目至多为ð0g(x)=mt个，设计最短距离d min=2t十1，可纠正≤t个随机错误。
3编码设输入信息多项式I(x)=I0+I1x+…+I k-1x k-1，校验多项式P(x)=P0+P1x+P2x2+P n-k-1x n-k-1,则x2t I(x)对生成多项式g(x)求模得到的余式就是校验多项式P(x)，即P(x)= x2t I(x)(modg(x))，那么生成码子的多项式为C(x)= x2t I(x)+ P(x)。
bch编码 移位 -回复
bch编码移位-回复"bch编码移位"是关于BCH编码中的移位操作的主题。
在本文中，我们将一步一步回答这个主题，向读者介绍BCH编码的基本概念和移位操作的实现。
BCH编码是一种错误检测和纠正编码的方法，其设计目的是为了检测和纠正传输通道中产生的错误。
BCH编码是一种二进制循环编码，可以将一串输入数据转换为更长的编码序列。
在编码过程中，移位操作是必不可少的一步，它将输入数据转换为BCH编码的形式。
现在，让我们一起来了解BCH编码和移位操作的细节。
首先，我们需要明确BCH编码的基本原理。
BCH编码的基础是一个重要的数学概念：有限域。
有限域是一种特殊的数学结构，其中的运算规则与传统的实数域有所不同。
在BCH编码中，我们使用二进制有限域GF(2^n)，其中的元素可以视为长度为n的二进制序列。
有限域的特点是具有封闭性、可逆性和可分解性，这些特性使得BCH编码能够有效地进行错误检测和纠正。
接下来，我们需要了解BCH编码的移位操作。
在BCH编码中，移位操作是指将输入数据的每个比特位向左或向右移动若干位置。
移位操作可以通过一些位操作运算符（如“<<”和“>>”）来实现。
移位操作的目的是将输入数据转换为BCH编码的形式，使其满足编码规则。
具体而言，移位操作的步骤如下：1. 将输入数据表示为二进制数。
假设我们的输入数据是一个长度为m的二进制序列。
2. 将输入数据的每个比特位分组，每组长度为n。
这些比特位组成了输入数据的分组码字。
3. 对于每个分组码字，将其左移或右移若干位。
移位的具体位数取决于BCH编码的参数。
移位操作将分组码字转换为BCH编码的形式。
4. 将移位后的码字组合起来，得到BCH编码的输出数据。
输出数据的长度为m+n。
需要注意的是，移位操作不仅仅是简单的移动比特位的位置。
它还包括对输入数据的合理填充和调整，以保持编码的一致性和可靠性。
移位操作的细节取决于BCH编码的具体参数和实现细节。
BCH码——精选推荐
BCH码BCH码的原理及BCH (15, 5)码MA TLAB编译码仿真过程——基于MATLAB7.0摘要：本⽂简要介绍了BCH码概念，编码原理，解码过程，并利⽤MATLAB仿真出了编译码过程。
关键词：BCH编译码BCH (15, 5)码MA TLAB仿真1、引⾔提⾼信息传输的可靠性和有效性，始终是通信⼯作所追求的⽬标。
纠错码是提⾼信息传输可靠性的⼀种重要⼿段。
1948年⾹农（Shannon）在他的开创性论⽂“通信的数学理论”中，⾸次阐明了在有扰信道中实现可靠通信的⽅法，提出了著名的有扰信道编码定理，奠定了纠错码的基⽯。
根据⾹农的思想，研究者先后给出了⼀系列设计好码和有效译码的⽅法。
以后，纠错码受到了越来越多的通信和数学⼯作者，特别是代数学家的重视，使纠错码⽆论在理论上还是在实际中都得到了飞速发展。
BCH、卷积码，Turbo码、LDPC码等现代数据传输通信中,常常因传输差错造成误码错码,尤其在⽆线通信中,空中的突发或随机⼲扰噪声会造成编码差错。
为了提⾼传输的正确率,往往采⽤⼀些校验⽅法,以检验纠正传输差错。
通信中校验的⽅法很多, 如BCH、卷积码，Turbo码、LDPC码等，其中的BCH编码有其独特的优点:它的纠错能⼒很强，特别在短和中等码长下，其性能很接近于理论值，构造⽅便，编码简单，不仅可以检纠突发性错误,还能检纠随机差错。
因此, 在通信系统中得到⼴泛应⽤，如在我国地⾯数字电视⼴播标准中就选⽤了BCH（762 .752）码。
2、BCH 编码基本原理BCH 码1959 年由Hocquenghem、1960 年由Bo se和Chandhari 分别独⽴提出。
BCH码是纠正多个随机错误的循环码，可以⽤⽣成多项式g(x)的根描述。
给定任⼀有限域GF(q)及其扩域GF(qm)，其中q是素数或素数的幂，m为某⼀正整数。
若码元取⾃GF(q)上的⼀循环码，它的⽣成多项式g(x)的根集合R中含有以下δ-1个连续根：时，则由g(x)⽣成的循环码称为q进制BCH码。
BCH码(百度百科)
/view/2207324.htm（百度百科）BCH码科技名词定义中文名称：BCH码英文名称：BCH code定义：一种用于纠错，特别适用于随机差错校正的循环检验码。
由R. C. Bose、D. K.Chaudhuri和A. Hocquenghem共同提出。
所属学科：通信科技（一级学科）；通信原理与基本技术（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布BCH码是一类重要的纠错码，它把信源待发的信息序列按固定的κ位一组划分成消息组,再将每一消息组独立变换成长为n(n＞κ)的二进制数字组,称为码字。
如果消息组的数目为M(显然M≤2),由此所获得的M个码字的全体便称为码长为n、信息数目为M的分组码,记为n，M。
把消息组变换成码字的过程称为编码，其逆过程称为译码。
目录编辑本段分组码就其构成方式可分为线性分组码与非线性分组码。
线性分组码是指[n,M]分组码中的M个码字之间具有一定的线性约束关系,即这些码字总体构成了n维线性空间的一个κ维子空间。
称此κ维子空间为(n，κ)线性分组码，n为码长，κ为信息位。
此处M＝2。
非线性分组码[n，M]是指M个码字之间不存在线性约束关系的分组码。
d为M 个码字之间的最小距离。
非线性分组码常记为[n，M，d]。
非线性分组码的优点是：对于给定的最小距离d,可以获得最大可能的码字数目。
非线性分组码的编码和译码因码类不同而异。
虽然预料非线性分组码会比线性分组码具有更好的特性，但在理论上和实用上尚缺乏深入研究（见非线性码）。
编辑本段线性分组码的编码和译码用V n表示GF(2)域的n维线性空间，Vκ是V n的κ维子空间，表示一个(n，κ)线性分组码。
E i=（vi1，vi2…,v in）是代表Vκ的一组基底(i=1，2，…，κ)。
以这组基底构成的矩阵称为该(n,κ)线性码的生成矩阵。
对于给定的消息组m＝(m1，m2，…，mκ)，按生成矩阵G，m被编为mG＝m1E1＋m2E2＋…＋mκEκ这就是线性分组码的编码规则。
BCH码是循环码的一个重要子类,它具有纠多个错误的能力,BCH码
BCH码是循环码的一个重要子类，它具有纠多个错误的能力，BCH码有严密的代数理论，是目前研究最透彻的一类码。
它的生成多项式与最小码距之间有密切的关系，人们可以根据所要求的纠错能力t很容易构造出BCH码，它们的译码器也容易实现，是线性本原循环码是一类重要的码。
汉明码、BCH码和某些大数逻辑可译码都是本原码。
本原码的特点是:1、码长为2^m-1，m为整数。
2、它的生成多项式由若干m阶或以m的因子为最高阶的多项式相乘构成。
要判断(2^m-1,k)循环码是否存在，只需判断2^m-1-k阶生成多项式是否能由D^(2^m-1)+1的因式构成。
代数理论告诉我们，每个m阶既约多项式一定能除尽D^(2^m-1)+1.BCH译码：(返回)BCH码的译码方法可以有时域译码和频域译码两类。
频移译码是把每个码组看成一个数字信号，把接受到的信号进行离散傅氏变换(DFT)，然后利用数字信号处理技术在“频域”内译码，最后进行傅氏反变换得到译码后的码组。
时域译码则是在时域直接利用码的代数结构进行译码。
BCH的时域译码方法有很多，而且纠多个错误的BCH码译码算法十分复杂。
常见的时域BCH译码方法有彼得森译码、迭代译码等。
BCH的彼得森译码基本过程为：1、用的各因式作为除式，对接收到的码多项式求余，得到t个余式，称为“部分校验式”。
2、用t个部分校验式构造一个特定的译码多项式，它以错误位置数为根。
3、求译码多项式的根，得到错误位置。
4、纠正错误。
事实上，BCH码是一种特殊的循环码，因此它的编码器不但可以象其它循环码那样用除法器来实现，而且原则上所有适合循环码译码的方法也可以用于BCH码的译码。
.cn/wsxy/digi/d6z.htm第六章差错控制1 差错控制的基本概念1.1 差错的特点由于通信线路上总有噪声存在，噪声和有用信息中的结果，就会出现差错。
噪声可分为两类，一类是热噪声，另一类是冲击噪声，热噪声引起的差错是一种随机差错，亦即某个码元的出错具有独立性，与前后码元无关。
第七章 BCH码与Goppa码
第7章 BCH码与Goppa码
例7.1 m=4， α∈GF(24)是本原域元素， 它是x4+x+1的
根。 求码长n=24-1=15的二进制BCH码。 (1) t=1， 则码以α， α2， α4， α8为根， α的最小多项 式m1(x)=x4+x+1， 所以码的生成多项式 g(x)=m1(x)=x4+x+1
第7章 BCH码与Goppa码
β3=(α3)3=α9的最小多项式m3(x)=x3+x2+1， 所以码的生成多项式 g(x) =m1(x)m3(x) =(x6+x4+x2+x+1)(x3+x2+1) =x9+x8+x7+x5+x4+x+1 n=LCM(21， 7)=21 得到一个［21， 12， 5］非本原BCH码。
取自GF(q)上的一循环码，它的生成多项式 g(x)的根集
合R中含有以下δ-1个连续根：
第7章 BCH码与Goppa码
R { ,
m0
m0 1
,,
m0 2
}
时， 则由g(x)生成的循环码称为q进制BCH码。
第7章 BCH码与Goppa码
设mi(x)和ei分别是
m i (i=0， 1， …， δ-2)元素
得到一个［15， 1， 15］码， 这是一个重复码， 最小
距离d=15， 能纠正7个随机错误。 该码虽以α， α3， α5， α7为根， 但由于共轭根系的原因， 该码实际上以 αi， 1≤i＜14， 14个连续元素为根， 故设计距离δ=15， 实际最小距离也为1５。
第7章 BCH码与Goppa码
例7.2 求码长n=21， 纠2个随机错误的BCH码。
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一、实验目的
1、掌握循环码的编码原理
2、掌握BCH码的编码方法
3、了解编码与对误码性能的改善
二、实验内容
1、自行设置BCH码的参数，给出生成的BCH码；
2、利用encode库函数实现编码；
3、搭建一个通信仿真模块，并给出运行结果，分析BCH码对通信
性能的影响；
3、整理好所有的程序清单，并作注释。
三、实验结果
1、 本原多项式4()1pxxx，可纠正2位错误时，生成多项式为
1)(4678xxxxxg
，写出生成矩阵，给出产生（15，7，2）
BCH码的源程序，并给出运行结果。
（1）生成矩阵
由（15,7,2）BCH码的生成多项式1)(4678xxxxxg
可知其生成矩阵1)()()()()()()()(467857892689107910114810111259111213610121314234563xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxgxxgxgxxgxxgxxgxxgxxG
则可知其生成矩阵
100010111000000010001011100000001000101110000000100010111000000010001011100000001000101110000000100010111G
（2）源程序：
function f=bchencod(a)%对信息元a进行编码
G=[1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0;
0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0;
0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0;
0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0;
0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0;
0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0;
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1];%（15,7,2）的生成矩阵
t=input('输入0或者1'); %t=0时产生（3,1），汉明编码所有码字t=1时对输入序列
进行编码
if t==1
a=input('输入信息元序列：');%当t=0时，则用户手动输入信息元序列
c=mod(a*G,2);%对应码字
disp('（编码后的序列为：）');
disp(c);%显示编码后的结果
else
disp('(15,7,2)BCH码为：');%当t=0时，对for循环得到的信息元序列进行编码
for i=0:1:(2^7-2)%进行for循环，得到信息元序列
a=dec2bin(i,7);%限定产生的二进制为7位
c=mod(a*G,2);%对信息元a进行编码
disp(a);%显示信息元
disp('对应码字为：');
disp(c);%显示编码结果
end
end
（3）结果
输入1时，结果如下：
输入0时，结果如下：
中间部分已省略，
2、用encode函数对随机产生的序列进行BCH编码，给出编码结果。
（1）、源代码
msg=randint(15,11);%随机生成的信息元
code=encode(msg,15,11,'bch');%对随机生成的msg进行BCH编码
disp(code)%显示编码结果
（2）、运行结果
3、搭建一个通信仿真模块（采用BCH编码），并给出运行结果，分析
哪些参数误码率有影响。
运行结果为:
参数设置如下：
Bernoulli BinaryGenerator和 BCH Encoder：
Binary Symmetric Channel： BCH Decoder:
参数为10000、
上图为设置不同参数时对误码率的影响：
分析：（1）、实验中，软件的参数设置不正确会对误码率产生很大的影响，其中取样
的大小同样会影响，当取样的值为1000时，误差要大于取样值为10000时的误码率。
（2）、在Bernoulli Binary Generator中，产生0的概率的设置对其误码率产生影
响，当0和1随机产生的概率不相等时，根据信息序列和译码规则的不同会相应的
对其误码率产生影响。
（3）、在Binary Symmetric Channel中，错误概率的设置同样影响其误码率。若错
误概率大于0.5时，误码率相对偏高错误概率小于0.5时，误码率相对偏低。
（4）、BCH Encoder、BCH Decoder
参数为编码与译码对应的BCH码的形式。N为码元长度，K为信息位长度。
Binary Symmetric Channel
（5）、Error probability为译码时，码元的错误率。它的值直接影响结果，值越
大，则结果出现的错误码元数也就越多，差错率也越大。通信系统的传输性能也越
差。
三、 实验心得
通过本实验，加深了对BCH码编码原理的理解，学会了使用MATLAB软件进行模拟仿
真编写BCH码，其中实现的方法有，用编程的方法实现，也可以用仿真模块来实现。
并且在用仿真模块实现BCH编码时，通过对参数的设置，知道了影响误码率的各因
素。