选修2-1 第三章 3.1.2 空间向量的数乘运算

合集下载

人教A版高中数学选修2-1课件3.1.2空间向量的数乘运算1()

运算律
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律
(a b) c a (b c)
数乘分配律
•
(a b) a＋ b
(a b) a＋ b
•
a
D A B
•
C
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC (2) AB AD AA1
1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 (4) AB AD CC1 2
D1 A1 B1
C1
D A B
加法交换律：
ab ba
加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k (a b) k a＋k b
•
（6）平面向量加法结合律：
(a b) c a (b c)
O O
a
A
a
b
C
A
+
c
C
b
B
c
(平面向量)
•
b
B
c
（6）空间向量加法结合律：
D
A
C B
(4)设M是线段CC1的中点,则
1 AM CM AB AD CC1 AC • 2
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC ) 2
D G
(1)原式＝AB BM MG
(a b) c a (b c)
O O
a
C
A

高中数学人教A版选修21课件3.1.2空间向量的数乘运算(系列三)

④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当 θ＝___0_______时，a·b＝|a|·|b|，当 θ＝__π____时，a·b＝－|a|·|b|.
⑤对于实数 a、b、c，若 ab＝ac，a≠0，则 b＝c；对于向量 a、b、c，若 a·b＝a·c，a≠0，却推不出 b＝c，只能得出 a⊥(b－c)．
新知导入
1．已知两个非零向量 a、b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，
→ OB
＝
b
，
则
角
___∠__A_O_B___
叫
做
向
量
a
与
b
的夹角，记作
〈a，b〉．
通常规定 0°≤〈a，b〉≤180°，且〈a，b〉＝〈b，a〉，
如果〈a，b〉＝____9_0_°____，则称 a 与 b 互相垂直，记作
a⊥b.
预习自测
1．下列式子中正确的是( ) A．|a|·a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2 C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a·b|≤|a||b| [答案] D [解析] |a|·a是与a共线的向量，a2是实数，故A不对； (a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故B错； (a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故C错． |a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|≤|a|·|b|.
4．设 a，b 都是非零向量，〈a，b〉＝θ， ①a∥b 时，θ＝___0____或 π，θ＝___0_时，a 与 b 同向； θ＝__π___时，a π与 b 反向． ②a⊥b⇔θ＝___2___⇔a·b＝0.
③θ 为锐角时，a·b______>____0，但 a·b>0 时，θ 可能为 ______0____；θ 为钝角时，a·b_____<_____0，但 a·b<0 时，θ 可能为____π___.

2018年高中数学人教A版选修2-1： 3.1.2 空间向量的数乘运算 (55张)

(3) AF AD x AB y AA '
D
B 2019年4月29日
C 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专
20
业文档
例题: P课本 89 练习第 2 题
2. 如图, 已知正方体 ABCD - A’B’C’D’, 点 E、F 分别是上底面 A’C’ 和侧面 CD’ 的中心. 求下列各式中 x、 y 的值:
业文档
一、平面向量：2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a
向量加法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
a
b
k a (k>0)
a
向量减法的三角形法则
ka
2019年4月29日
向量的数乘眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档
(k<0)
8
一、平面向量：
3、平面向量的运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k(a b) ka＋kb
并在图中标出化简结果的向量：
D1
C1
(1) AB BC
(2) AB AD AA1
(3)
AB

AD

1 2
CC1
(4)
1 3
(
AB

AD

AA1 )
A1
G D
B1 M
C
A
B
P课本 85 探究
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的
平行20六19年面4月体29日的以公共始点眼皮为蹦跳始跳点专业业的文文档档对眼皮角蹦线跳跳所专示向量.
(2) AB AD AA1

高中数学选修2-1精品教案2-3.1.2 空间向量的数乘运算教学设计

3.1.2 空间向量的数乘运算教学目标知识与技能1．了解共线向量、方向向量；2．理解共面向量，并掌握判断三点共线与四点共面的充要条件；3．综合运用向量的线性运算及充要条件，进行简单的几何证明。

过程与方法从对直线及平面的认识出发，认识方向向量以及共线、共面的充要条件。

情感态度价值观体会运用向量解决几何问题的简便性。

重点共线向量、三点共线、四点共面难点三点共线、四点共面关键理解点在线上、点在面上的含义。

教学方法及课前准备熟悉平面向量的共线、基本定理。

教学流程一、引入新课提出问题：平面向量的数乘运算的意义、性质、满足什么条件。

由同学们互相交流，讨论，教师引导，并得出结果。

二、新课讲解思考：能否直接推广到空间向量，？空间向量的数乘运算的定义，方向，大小，运算律是怎样的？利用道具和动画演示向量的平移，指出空间中任何两个向量都可以平移到同一个平面当中来，并指出任何两个空间向量的问题都可以用平面向量的结论来完成。

并引出空间向量的数乘运算以及它的运算律。

思考：1.空间中任意两个向量共面吗？2.两个向量贡献的充要条件是什么？能否推广到空间向量呢？3.空间中三点共线上的充要条件是什么?1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

读作：a r 平行于b r ，记作：//a b r r ．2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠r r r r r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r （λ唯一）．由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a r 的直线，那么对空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式t +=①，其中向量a r叫做直线l 的方向向量。

在l 上取AB a =u u u r r ，则①式可化为OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r 或(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ② 当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ③ ①和②都叫空间直线的向量表示式，③是线段AB 的中点公式．（1）空间任意一直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定；（2）利用（2）式可以判定空间任意三点A 、B 、P 共线。

【优化方案】2012高中数学第3章3.1.2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修2-1

的中心，的中点，求下列各式中，，的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中，x，y 的值．的值． → → → → (1)OQ＝PQ＋xPC＋yPA； → → → → (2)PA＝xPO＋yPQ＋PD.
思路点拨】【思路点拨】解答本题需准确画图，解答本题需准确画图，先利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等，求出、的值即可的值即可．根据对应向量的系数相等，求出x、y的值即可．
(4)用上述结论证明或判断三点 A、B、C 共线时，只需证用上述结论证明(或判断用上述结论证明或判断)三点、、共线时， → → → → 即可．也可用“ 明存在实数 λ，使AB＝λBC或AB＝µAC即可．也可用“对， → → → 空间任意一点 O，有OB＝tOA＋(1－t)OC”来证明三点共，－线． 2．对向量共面的充要条件的理解． (1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有空间一点 → → → 序实数对(x，使 y)，序实数对，， MP＝xMA＋yMB.满足这个关系式的点满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
→ → → ∴EF＝A1F－A1E 4 2 2 2 2 ＝ a－ b－ c＝ (a－ b－c)．－－＝－－． 5 15 5 5 3 2 2 → → → → 又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－ b－c＋a＝a－ b－c，－＋＝－－， 3 3 → 2→ 所以，，三点共线． ∴EF＝ EB.所以 E，F，B 三点共线． 5

2019-2020年高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.2 空间向量的数乘运算课件1

⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/18
最新中小学教学课件
26
谢谢欣赏！
2
F
BEC来自练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A B
E C
D (1)AC ' x(AB BC CC ') (2)AEAA' xAByAD
(3)AFADxABy AA '
A B
D C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
由此可判断空间任意三点共线。.
OPOAtAB
进一步，OP 还可表示为： OP _1-t_O __ A_t_O __B
因为 ABOBOA,
所以 O POAt(O BOA)
aP
B A
O
(1t)OAtOB
1 特别的，当t = 2
时，则有
OP1(OAOB) 2
P点为A,B 的中点
并且此平行四边 a， b确形定在的平面内，
pxayb在 a， b确定的,平即 p与面 a， b共内面
a 2.共面向量定理：如果两个向量， b 不共线， a 则向量 p与向量，共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p xa yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
22
对空间任一点O,有OP OA xAByAC ③
C
p
P
b

高中数学选修2-1精品教案1：3.1.2 空间向量的数乘运算教学设计

3.1.2 空间向量的数乘运算教学目标：1.掌握空间向量的数乘运算及其几何意义； 2．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．教学重、难点：共线、共面定理及其应用．教学过程：一.复习引入空间向量的概念及表示；向量的加减运算的几何意义．二.思考分析问题1：向量a 与b 共线的条件是什么？提示：存在唯一实数λ，使a ＝λb .问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．问题3：空间两非零向量a ，b 共面，能否推出a ＝λb (λ∈R)? 提示：不能．三.抽象概括1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． (2)向量a 与λa 的关系：(3)①分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . ②结合律：λ(μa )＝(λμ)a . 2．共线向量如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP u u u r＝OA u u r＋ta ，①其中a 叫做直线l 的方向向量，如图所示. 若在l 上取AB u u u r＝a ，则①式可化为OP u u u r ＝OA u u r ＋tAB u u u r .如图，空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r，或对空间任意一点O 来说，有OP u u u r ＝OM u u u r ＋x MA u u u r ＋y MB u u u r . 2．平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立．3．共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b ≠0不可遗漏． 4．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．5．共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来．另外，还可以用OP u u u r ＝x OA u u r ＋y OB u u u r ＋z OC u u u r，且x＋y ＋z ＝1判断P ，A ，B ，C 四点共面．四.例题分析及练习[例1] 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AM u u u r ＝12MC u u ur ，1A N u u u r ＝2 ND u u u r .设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u r ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN u u u r .[思路点拨] 先利用三角形法则进行向量的加减运算，将MN u u u r表示成其他向量，然后进一步用a ，b ，c 表示MN u u u r.[精解详析] 如图所示，连接AN ，则MN u u u r ＝AN u u u r －AM u u u r ＝1AA u u u r ＋1A N u u u r －13AC u u u r＝1AA u u u r ＋231A D u u u r －13(AB u u u r ＋BC u u ur )＝1AA u u u r ＋23(AD u u u r －1AA u u u r )－13(AB u u u r ＋AD u u u r)＝c ＋23(b －c )－13(a ＋b )＝－13a ＋13b ＋13c .[感悟体会] 用已知向量表示未知向量，体现了向量的数乘运算．解题时要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量逐渐转化为已知向量．本题也可以先将MNu u u r表示为MN u u u r ＝MA u u u r ＋1AA u u ur ＋1A N u u u r .训练题组11.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若11A B u u u u r ＝a ，11AD u u u u r＝b ，1A A u u u r ＝c ，则下列向量中与1B M u u u u r相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c解析：1B M u u u u r ＝1B B u u u r ＋BM u u u r ＝1B B u u u r ＋12(AD u u u r －AB u u u r )＝1B B u u u r ＋12AD u u u r －12AB u u u r ＝－12a ＋12b ＋c .答案：A2．已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：(1) OQ u u u r ＝PQ u u u r ＋x PC u u u r ＋y PA u u r；(2) PA u u r ＝x PO u u u r ＋y PQ u u u r ＋PD u u u r.解：(1)∵OQ u u u r ＝PQ u u u r －PO u u u r ＝PQ u u u r －12(PA u u r ＋PC u u ur )＝PQ u u u r －12PA u u r －12PC u u u r ，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA u u r ＋PA u u r ＝2PO u u u r ，∴PA u u r＝2PO u u u r －PC u u u r .又∵PC u u u r ＋PD u u u r ＝2PQ u u u r ，∴PC u u u r ＝2PQ u u u r －PD u u u r .从而有PA u u r ＝2PO u u u r －(2PQ u u u r －PD u u u r )＝2PO u u u r －2PQ u u u r ＋PD u u u r.∴x ＝2，y ＝－2.[例2] 如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE u u u r 与MN u u u r是否共线．[思路点拨] 分析题意u u u r u u r u u u ru u u r →[精解详析] ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，∴MN u u u r ＝MC u u u r ＋CB u u r ＋BN u u u r ＝12AC u u u r ＋CB u u r ＋12BF u u u r ＝12(BC u u u r －BA u u r )＋CB u u r ＋12(BA u u r ＋BE u u u r )＝12BC u u ur ＋CB u u r ＋12BE u u u r ＝12(CB u u r ＋BE u u u r )＝12CE u u u r . ∴CE u u u r ∥MN u u u r ，即CE u u u r 与MN u u u r共线．[感悟体会] 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x ，使a ＝xb 成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形，化简得出a ＝xb ，从而得出a ∥b ，即a 与b 共线．训练题组23．已知空间向量a ，b ，且AB u u u r＝a ＋2b ，BC u u u r ＝－5a ＋6b ，CD u u u r ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：BD u u u r ＝BC u u ur ＋CD u u u r ＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2AB u u u r，∴A ，B ，D 三点共线．答案：A4.已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF u u u r ＝23CB u u r ，CG u u u r ＝23CD u u u r.求证：四边形EFGH 是梯形．证明：∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴AE u u u r ＝12AB u u u r ，AH u u u r ＝12AD u u u r ，EH u u u r ＝AH u u u r －AE u u u r ＝12AD u u u r －12AB u u u r ＝12(AD u u u r －AB u u u r )＝12BD u u ur ＝12(CD u u u r －CB u u r )＝12(32CG u u u r －32CF u u u r )＝34(CG u u u r －CF u u u r )＝34FG u u u r ，∴EH u u u r ∥FG u u u r 且|EH u u u r |＝34|FG u u u r |≠|FG u u u r |.又点F 不在EH u u u r上，∴四边形EFGH 是梯形.[例3] 对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．试证：EF u u u r 与BC u u u r ，AD u u u r共面．[思路点拨] 分析题意→应用向量共面的充要条件→得出结论[精解详析] 空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，则EF u u u r ＝EA u u r ＋AD u u u r ＋DF u u u r ，EF u u u r ＝EB u u r ＋BC u u ur ＋CF u u u r .①又E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故有EA u u r ＝－EB u u r ，DF u u u r＝－CF u u u r .②将②代入①中，两式相加得2 EF u u u r ＝AD u u u r ＋BC u u ur .所以EF u u u r ＝12AD u u u r ＋12BC u u u r ，即EF u u u r 与BC u u u r ，AD u u u r共面．[感悟体会] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本题实质上是证明存在实数x ，y 使向量EF u u u r ＝x AD u u u r＋y BC u u u r 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AD u u u r ，BC u u u r 表示EF u u u r.训练题组35．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM u u u r ＝3OA u u r －2OB u u u r －OC u u u r B ．OM u u u r ＋OA u u r ＋OB u u u r ＋OC u u u r ＝0C ．MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u ur ＝0D ．OM u u u r ＝14OB u u u r －OA u u r ＋12OC u u u r解析：∵MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u u r ＝0，∴MA u u u r ＝－MB u u u r －MC u u ur ，∴M 与A ，B ，C 必共面．答案：C6．已知e 1，e 2为两个不共线的非零向量，且AB u u u r ＝e 1＋e 2，AC u u u r ＝2e 1＋8e 2，AD u u u r＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 四点共面．证明：设存在实数λ，μ，使得AB u u u r ＝λAC u u u r ＋μAD u u u r ，即e 1＋e 2＝λ(2e 1＋8e 2)＋μ(3e 1－3e 2)＝(2λ＋3μ)e 1＋(8λ－3μ)e 2. ∵e 1，e 2为两个不共线的非零向量，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋3μ＝1，8λ－3μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝15，μ＝15，即AB u u u r ＝15AC u u u r ＋15AD u u u r.从而点B 位于平面ACD 中，即A ，B ，C ，D 四点共面．五.课堂小结与归纳1．共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)⇒a ∥b ，可以作为以后证明线线平行的依据．2．共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据．其推论是判定空间四点共面的依据(若对空间任一点O ，有OP u u u r ＝αOA u u r ＋βOB u u u r ＋γOC u u u r(α＋β＋γ＝1)成立，则P ，A ，B ，C共面)．3．在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量都共线．要注意：向量的共线与共面不具有传递性．六.当堂训练1．下列命题中正确的个数是( )①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线． ②向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面． ③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . A ．0 B ．1C ．2 D ．3①当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误； ③当b 为零向量，a 不为零向量时，λ不存在．解析：①当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误； ③当b 为零向量，a 不为零向量时，λ不存在．答案：A2．在四面体O －ABC 中，OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE u u u r＝( )A.12a －14b ＋14c B ．a －12b ＋12c C.12a ＋14b ＋14c D .14a ＋12b ＋14c 解析：OE u u u r ＝OA u u r ＋AE u u u r ＝OA u u r ＋12AD u u u r ＝OA u u r ＋12×12(AB uu u r ＋AC uuur )＝OA u u r ＋14(OB u u u r －OA u u r ＋OC u u u r －OA u u r )＝12OA u u r ＋14OB u u u r ＋14OC u u u r ＝12a ＋14b ＋14c .答案：C3．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：若a ∥e 1，则存在实数t 使得a ＝te 1，∴te 1＝λe 1＋μe 2，∴(t －λ)e 1＝μe 2，则e 1与e 2共线，不符合题意．同理，a 与e 2也不平行．由向量共面的充要条件知C 正确．答案：C4．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP u u u r ＝34OA u u r ＋18OB u u u r ＋18OC u u u r，则P ，A ，B ，C四点( ) A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面解析：OP u u u r ＝34OA u u r ＋18OB u u u r ＋18OC u u u r ＝34OA u u r ＋18(OA u u r ＋AB u u u r )＋18(OA u u r ＋AC u u u r )＝OA u u r ＋18AB u u u r ＋18AC u u u r ， ∴OP u u u r －OA u u r ＝18AB u u u r ＋18AC u u u r ，∴AP u u u r ＝18AB u u u r ＋18AC u u u r .由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面．答案：B5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB u u u r ＋12BC u u u r －32BE u u u r －AD u u u r化简的结果为________．解析：延长DE 交边BC 于点F ，则有AB u u u r ＋12BC u u u r ＝AF u u u r ，32DE u u u r ＋AD u u u r ＝AD u u u r ＋DF u u u r ＝AF u u u r ，故AB u u u r ＋12BC u u u r －32DE u u u r －AD u u u r＝0.答案：06．设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB u u u r＝2e 1＋ke 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD u u u r ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.解析：AD u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r ＝AB u u u r －CB u u r ＋CD u u ur ＝3e 1＋(k －4)e 2.由A ，B ，D 三点共线可知，存在λ使AB u u u r ＝λAD u u u r，即2e 1＋ke 2＝3λe 1＋λ(k －4)e 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λ，k ＝λk －4，可得k ＝－8.答案：－87.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：A ，E ，C 1，F 四点共面．证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体，∴1AA u u u r ＝1BB u u u r ＝1CC u u u r ＝1DD u u u u r ，∴BE u u u r ＝131AA u u u r ，DF u u u r ＝231AA u u ur ，∴1AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋131AA u u ur ＋231AA u u u r＝(AB u u u r ＋131AA u u u r )＋(AD u u u r ＋231AA u u u r )＝AB u u u r ＋BE u u u r ＋AD u u u r ＋DF u u u r ＝AE u u u r ＋AF u u u r.由向量共面的充要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且1A E u u u r ＝21ED u u u r，F 在对角线A 1C上，且1A F u u u r ＝23FC u u ur .求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u r ＝c .∵1A E u u u r ＝21AA u u u r ，1A F u u u r ＝23FC u u u r ，∴1A E u u u r ＝2311A D u u u u r ，1A F u u u r ＝251AC u u u r ，∴1A E u u u r ＝23AD u u u r ＝23b ，1A F u u u r ＝25(AC u u u r －1AA u u u r )＝25(AB u u u r ＋AD u u u r －1AA u u ur )＝25a ＋25b －25c .∴EF u u u r ＝1A F u u u r －1A E u u u r ＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB u u r ＝1EA u u u r ＋1A A u u u r ＋AB u u u r ＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF u u u r ＝25EB u u r.所以E ，F ，B 三点共线．。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1-3.1.2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修2-1

第三章空间向量与立体几何
[知识提炼·梳理]
1．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λ·a，称为向量的数乘运算． (2)向量 a 与向量 λa 的关系．
类型 1 空间向量的数乘运算(自主研析)
[典例 1] 如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，A→M＝12M→C，＝2N→D，设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，试用 a，b，c 表示M→N.
[变式训练] 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1
中，E 在 A1D1 上，且A→1E＝2E→D1， F 在对角线 A1C 上，且A→1F＝23F→C. 求证：E，F，B 三点共线．
证明：设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c.
因为A→1E＝2E→D1，A→1F＝23F→C，所以A→1E＝23A→1D1，A→1F＝25A→1C，
类型 2 向量共线问题
[典例 2] 如图所示，已知空间四边形 ABCD，E、H 分别是边 AB、AD 的中点，F、G 分别是 CB、 CD 上的点，且C→F＝23C→B， C→G＝23C→D.利用向量法求证四边形 EFGH 是梯形．
证明：因为 E，H 分别是边 AB、AD 的中点，所以A→E＝12A→B，A→H＝12A空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：
(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为 0.
[变式训练] 已知在空间四边形 OABC 中，M，N 分
别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在 MN 上，且 MG＝2GN，如图所示，记O→A＝a， O→B＝b，O→C＝c，试用向量 a，b，c 表示向量O→G.

高中数学选修2-1精品教案5：3.1.2空间向量的数乘运算教学设计

3.1.2空间向量的数乘运算教学目标 1.知识与技能会用图形说明空间向量的线性运算及其运算律，初步应用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题．2．过程与方法学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．3．情感、态度与价值观培养学生的空间观念和系统学习概念的意识．教学重点：空间向量的概念及线性运算．教学难点：共线向量、共面向量定理及推论的应用．空间向量的线性运算问题导思1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？【答案】平面向量的加法满足三角形法则与平行四边形法则，减法满足三角形法则． 2．平面向量中，数乘向量怎样定义的？【答案】平面中，实数λ与向量a 的乘积λa 仍是一个向量，称为向量的数乘；当λ＞0时，λa 与a 方向相同，当λ＜0时，λa 与a 方向相反，λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．1．(1)空间向量的加、减法运算(如图3－1－1)图3－1－1OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；CA →＝OA →－OC →＝a －b . (2)运算律：①a ＋b ＝b ＋a ； ②(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 2．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． (2)运算律：①λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；②λ(μa )＝(λμ)a .共线向量与共面向量 1.共线向量(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量；(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .2．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .推论空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使AP →＝xAB →＋yAC →；或对空间任一定点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →. 课堂探究空间向量的线性运算例1如图3－1－2所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 的三等分点(靠近A 点)，N 是A 1D 的三等分点(靠近D 点)．设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.图3－1－2解 MN →＝MA →＋AA 1→＋A 1N → ＝－13AC →＋AA 1→＋23A 1D →＝－13(AB →＋AD →)＋AA 1→＋23(AD →－AA 1→)＝－13(a ＋b )＋c ＋23(b －c )＝－13a ＋13b ＋13c .规律方法用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面：(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律． (2)要注意数形结合思想的运用．变式训练图3－1－3如图3－1－3所示，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量OG →.解 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(MA →＋AB →＋BN →)＝12OA →＋23(12OA →＋OB →－OA →＋12BC →) ＝12OA →＋23[OB →－12OA →＋12(OC →－OB →)] ＝16OA →＋13OB →＋13OC →＝16a ＋13b ＋13c . 向量的共线及判定图3－1－4例2 如图3－1－4所示，已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．解 ∵E ，H 分别是AB 、AD 的中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12(32CG →－32CF →) ＝34(CG →－CF →)＝34FG →， ∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上， ∴四边形EFGH 是梯形．规律方法1．本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别． 2．判断或证明两向量a ，b (b ≠0)共线，就是寻找实数λ，使a ＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．变式训练图3－1－5如图3－1－5，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1D 1、AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，判断ME →与NF →是否共线？解由题意：ME →＝MD 1→＋D 1A 1→＋A 1E →＝12BA →＋CB →＋13A 1A →＝－NB →＋CB →＋13C 1C →＝CN →＋FC →＝FN →＝－NF →，即ME →＝－NF →，∴ME →与NF →共线.向量共面问题例3 已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内．解如图：(1)由已知，得OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)． ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →. ∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，向量MA →，MB →，MC →共面，表面三个向量的有向线段又过同一点M ， ∴M ，A ，B ，C 四点共面．∴点M 在平面ABC 内．规律方法1．证明空间三个向量共面，常用如下方法：①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c ，则向量a 、b 、c 共面；②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．2．对空间四点P 、M 、A 、B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面： ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →，或PB →∥AM →)．变式训练如图3－1－6，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分图3－1－6别为BB 1和A 1D 1的中点，证明：向量A 1B →、B 1C →、EF →共面．证明 EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B → ＝12B 1C →－A 1B →，由向量共面的充要条件知，A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量. 课堂小结1．空间向量的线性运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.2．利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题. 当堂训练1．下列说法正确的是( ) A ．若|a |＜|b |，则a ＜bB ．若a 、b 为相反向量，则a ＋b ＝0C ．空间内两平行向量相等D ．四边形ABCD 中，AB →－AD →＝DB →【解析】向量的模有大小，但向量不能比较大小，A 错；相反向量的和为0，不是0，B 错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C 错；D 正确．【答案】 D2．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量【解析】由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A3．(a ＋2b )－3(a －b )＝________.【解析】原式＝a ＋2b －3a ＋3b ＝－2a ＋5b . 【答案】－2a ＋5b4．如图3－1－8，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，M 为AC ′的中点．化简下列各式．图3－1－8(1)AA ′→－CB →； (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (3)12AD →＋12AB →－12A ′A →. 解 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→＋BC →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→； (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→；(3)12AD →＋12AB →－12A ′A →＝12AD →＋12AB →＋12AA ′→＝12(AD →＋AB →＋AA ′→)＝12AC ′→＝AM →.。

人教A版选修2-1第三章第二课时同步练习3.1.2空间向量的数乘运算(一)(稍改)

§3.1.2 空间向量的数乘运算(一)一、选择题1. 下列说法正确的是（） A. 与非零向量共线, 与共线，则与共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a = b2．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为( )A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 33．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．共面B ．不共面C ．共线D ．无法确定4．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( ) A.AA ′→＋12AB →＋12AD → B.12AA ′→＋12AB →＋12AD → C.12AA ′→＋16AB →＋16AD → D.13AA ′→＋16AB →＋16AD → 5．以下命题：①若a ，b 共线，则a 与b 所在直线平行；②若a ，b 所在直线是异面直线，则a 与b 一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面一定平行或重合．其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．在三棱锥S —ABC 中，G 为△ABC 的重心，则有( )A.SG →＝12(SA →＋SB →＋SC →)B.SG →＝13(SA →＋SB →＋SC →) C.SG →＝14(SA →＋SB →＋SC →) D.SG →＝SA →＋SB →＋SC →二、填空题7．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝_______________.8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1A ，B 1B 的中点，O 为BD 1的中点．设AB →＝a ，AA 1→＝b ，AD →＝c ，用a ，b ，c 表示下列向量：(1)D 1N →＝_______________；(2)OM →＝_______________.三、解答题9．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →、A 1M →共面．10．已知i 、j 、k 是不共面向量，a ＝i －2j ＋k ，b ＝－i ＋3j ＋2k ，c ＝－3i ＋7j.证明这三个向量共面．参考答案一、选择题1. [答案]A2．[答案] D[解析] M 为△ABC 重心，则AM →＝23⎣⎡⎦⎤12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)＝13(c －b )． 3．[答案] A[解析] 本题考查空间两向量的关系．由空间任何两个向量一定为共面向量可知选A.4．[答案] D[解析] 由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ， ∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ，∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13(AA ′→＋12A ′C ′→) ＝13AA ′＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →. 5．[答案] A[解析] a ，b 共线是指a ，b 的方向相同或相反，因此a ，b 所在直线可能重合，故①错；由于向量是可以自由平移的，所以空间任意两个向量一定共面，故②错；从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量，虽然是两两共面，但这三个向量不共面，故③错；在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB →，A 1B 1→，DC →三向量共面，然而平面ABCD与平面ABB 1A 1相交，故④错，故选A.6．[答案] B[解析] SG →＝SA →＋AG →＝SA →＋13(AB →＋AC →)＝SA →＋ 13(SB →－SA →)＋13(SC →－SA →)＝13(SA →＋SB →＋SC →)．二、填空题7．[答案] －13i ＋2j ＋7k8．[答案] a －12b －c －12a －12c [解析] (1)D 1N →＝a －12b －c (2)OM →＝－12a －12c 三、解答题9．[解析] A 1B →＝AB →－AA 1→，A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)． ∴A 1N →＝AN →－AA 1→＝23(AB →＋AD →)－AA 1→ ＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →. ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．10．[解析] 设a ＝λb ＋μc ，则i －2j ＋k ＝(－λ－3μ)i ＋(3λ＋7μ)j ＋2λk ，∵i ，j ，k 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ－3μ＝13λ＋7μ＝－22λ＝1，∴⎩⎨⎧ λ＝12μ＝－12，故存在实数λ＝12，μ＝－12，使a ＝λb ＋μc ，故a ，b ，c 共面．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

[解析] M、N 分别是 AC、BF 的中点，而 ABCD、ABEF 都是平行四边形， → → → → 1→ → 1→ ∴MN＝MA＋AF＋FN＝2CA＋AF＋2FB.
→ → → → → 又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN 1 → → → 1→ ＝－2CA＋CE－AF－2FB， 1→ → 1→ 1→ → → 1→ ∴2CA＋AF＋2FB＝－2CA＋CE－AF－2FB. → → → → → → → ∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)． → → → → → → ∴CE＝2MN，∴CE∥MN，即CE与MN共线．
新知导学
6．a∥α是指a所在的直线____________ 在平面α内或_____________. 平行于平面α 同一个平面的向量叫做共面向量，共面向量所在平行于____________ 异面．的直线可能相交、平行或________
7.空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．例如，图中的长 → → → 方体，向量AB、AC、AD，无论怎样平移都不能使它们在同一平面内．
指明两向量有公共点，同理证明二直线平行方法类似．
如右图，已知四边形 ABCD 是空间四边形， E、 H 分别是边 AB、 AD 的中点， → F、G 分别是边 CB、CD 上的点，且CF＝ 2→ → 2 → 3CB，CG＝3CD. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
[证明] ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点， → 1→ → 1 → ∴AE＝2AB，AH＝2AD. → 2→ → 2 → ∵CF＝3CB，CG＝3CD， → 3→ → 3 → ∴CB＝2CF，CD＝2CG，
共线向量温故知新回顾复习平面向量中数乘向量与共线向量的概念与定理，运算律．思维导航 1 ．参照平面向量思考，空间向量中，数乘向量的定义，运算律，共线向量定理还成立吗？
新知导学
1．实数λ与向量a的乘积λa是一个向量，λ____0时， > λa 与 a
< λa 与 a 方向相反， λ______0 时，＝方向相同， λ_____0 时， λa ＝ 0 |a| ____，其方向是任意的， |λa|＝__________. |λ|·
(3)∵M 是 AA1 的中点， → → → 1→ → ∴MP＝MA＋AP＝2A1A＋AP 1 1 1 1 ＝－2a＋(a＋c＋2b)＝2a＋2b＋c. → → → 1→ → 1→ → 1 又NC1＝NC＋CC1＝2BC＋AA1＝2AD＋AA1＝2c＋a， 1 1 1 3 1 3 → → ∴MP＋NC1＝(2a＋2b＋c)＋(a＋2c)＝2a＋2b＋2c.
牛刀小试 → 1．已知平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，且OA＝a， → → OB＝b，则BC＝( A．－a－b 1 C.2a－b
[答案] A
) B．a＋b D．2(a－b)
[解析]
→ → → → → BC＝BO＋OC＝BO－OA＝－b－a，故选 A.
2．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的 → → → → 交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是( ) 1 1 B．2a＋2b＋c 1 1 D．－2a－2b＋c 1 1 A．－2a＋2b＋c 1 1 C．2a－2b＋c
1 → ＋A1B1)，∴x＝y＝2.
7．已知平行六面体 ABCD－A′B′C′D′，点 M 是棱 AA′的中点，点 G 在对角线 A′C 上且 CG GA′＝，设 → → → → → CD＝a， CB＝b， CC′＝c，试用向量 a、 b、 c 表示向量CA、 CA′、 → → CM、CG.
[解析] 如图所示． → → → CA＝CB＋CD＝a＋b， → → → CA′＝CA＋CC′＝a＋b＋c， → → → → → CM＝CA＋AM＝CB＋CD＋ 1 → 1 2CC′＝a＋b＋2c， 2 → 2 → CG＝3CA′＝3(a＋b＋c)．
[分析] 由题目可以获取以下主要信息： ① ABCD 是正方形， O 为中心， PO⊥ 平面 ABCD ， Q 为 CD 中点； ②用已知向量表示指定向量．
解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表
示出指定向量，再根据对应向量的系数相等．求出x、y即可．
[解析] 如图，
→ → → (1)∵OQ＝PQ－PO → 1→ → → 1→ 1 ＝PQ－2(PA＋PC)＝PQ－2PA－2PC， 1 ∴x＝y＝－2.
共线向量
如图所示，ABCD－ABEF 都是平行四边形，且不共面，M、 → → N 分别是 AC、BF 的中点，判断CE与MN是否共线？
→ → [分析] 要判断CE与MN是否共线，由共线向量定理就是判 → → → → 定是否存在实数 x，使CE＝xMN.若存在则CE与MN共线，否则 → → CE与MN不共线．
[答案] A
[解析]
→ → → B1M＝B1B＋BM
→ 1→ ＝A1A＋2BD → 1 → → ＝A1A＋2(B1A1＋B1C1) 1 1 ＝－2a＋2b＋c.∴应选 A.
3．已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点且 → → → → 2OA＋OB＋OC＝0，那么AO＝__________. → [答案] OD
共面问题
正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N、P、Q 分别为 A1D1、D1C1、AA1、CC1 的中点，求证：M、N、P、Q 四点共面．
→ → [分析] 要证 M、N、P、Q 四点共面，只需证明MP、MN、 → → → → MQ共面，即寻求实数 λ、μ、k，使得 λMP＋μMN＋kMQ＝0.为 → → → → → → 此，令D1A1＝a，D1C1＝b，D1D＝c，将MP、MN、MQ都用 a、 → → b、c 线性表示，再寻求它们系数之间关系或者令MQ＝λMP＋ → μMN，建立 λ、μ 的方程组解之．
5．如果 l 为经过点 A 平行于已知非零向量 a 的直线，那么对于空间任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t， → → 方向向量，使OP＝OA＋ta①，其中 a 叫做直线 l 的__________ 如图所示．
→ → → → OP ＝ OA ＋ tAB 若在 l 上取AB＝a，则①式可化为_____________.
2．设λ、μ是实数，则有
①分配律：λ(a＋b)＝__________ λa＋λb
②结合律：λ(μa)＝__________. (λμ)a
3 ．表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重共线向量或__________ 平行向量．合，则这些向量叫做__________ 4．对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是 a＝λb 存在实数λ使__________.
[解析] ∵D 为 BC 中点， → → → ∴OB＋OC＝2OD， → → → 又OB＋OC＝－2OA， → → → → ∴OD＝－OA即OD＝AO.
共面向量
思维导航 2 ．在平面向量中，如果两个向量经过平移可以移到一条
直线上，我们称这两个向量共线．在空间中，两个向量可以移
到同一平面内吗？三个向量呢？如何理解向量与平面平行？如何理解向量共面？
6．在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，若 E 为矩形 ABCD 对 → → → → 角线交点，则A1E＝A1A＋xA1B1＋yA1D1中的 x，y 值应为 x＝ __________，y＝__________.
[答案]
[解析]
1 1 2 2
→ → → → 1 → → → 1 → A1E＝A1A＋AE＝A1A＋2(AB＋AD)＝A1A＋2(A1D1
牛刀小试
4．下列命题中正确的是( ) A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面 C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
[答案] C [解析] 由零向量定义知选C.而A中b＝0，则a与c不一定共线；D中要求b≠0；B中a，b，c所在的直线可能异面．
[点评] 行．
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，运
用三角形法则或平行四边形法则及向量线性运算的运算律进
空间向量的数乘运算
已知 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面外一点， P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心 O.Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x、y 的值： → → → → (1)OQ＝PQ＋xPC＋yPA； → → → → (2)PA＝xPO＋yPQ＋PD.
[ 方法规律总结 ]
1.判断或证明向量 a 与b 共线，即寻找实
数 λ ，使 a ＝ λb(b≠0) ，可先设 a ＝ λb ，建立关于 λ 的方程，解出 λ ，即获证；若判断 a 与 b 是否共线，方法同上，若 λ 有解则共线，否则不共线．运用上述方法还可求参数的值．
2 ．用共线向量定理证明三点共线得出向量平行后，还应
[解析] (1)∵P 是 C1D1 的中点， → → → → → 1 → ∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋2D1C1 1→ 1 ＝a＋c＋2AB＝a＋c＋2b. (2)∵N 是 BC 的中点， → → → → ∴A1N＝A1A＋AB＋BN 1→ 1→ 1 ＝－a＋b＋2BC＝－a＋b＋2AD＝－a＋b＋2c.
人教A版 ·选修2-1 数学
第三章
空间向量与立体几何
第三章 3.1 空间向量及其运算
第2课时空间向量的数乘运算
1.理解共线向量定理、共面向量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理．
2．熟练进行向量的线性表示．
3 ．会利用共线向量定理、共面向量定理解决向量的共线、共面问题．
重点：向量的线性运算，共线向量与共面向量定理．难点：共线向量和共面向量的理解与运用．
5．已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任一点， → 1→ 2→ → 若由OP＝5OA＋3OB＋λOC确定的一点 P 与 A， B， C 三点共面，则 λ＝__________.