Ch2 地图的数学基础
地图的数学基础new
WGS-84世界大地坐标系 WGS-84是CTS, 坐标系的原点是地球的质心，Z 轴指向 BIH1984.0 CTP方向，X轴指向 BIH1984.0零子午面和 CTP 赤道的交点，Y 轴和 Z、X 轴构成右手坐标系
陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系” 大地坐标的起算点——大地原点。
§2 地球坐标系与大地定位
① 天文经纬度 ② 大地经纬度 ③ 地心经纬度
2.1 地理坐标 —— 用地理经纬度表示地面点位的球面坐标。
地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。
地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。
用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。
大地控制网
平面控制网 : 按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。 由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。
高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。
中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》 取代《黄海平均海水面》 其比《黄海平均海水面》 上升 29毫米。
地图的数学基础
第二章：地图的数学基础§2-1 地球体1.1 地图的自然表面极不规则凸凹不平极其复杂难于描述地球的大小和形状球的形状近似于一个两级略扁平,赤道略鼓,北极略长,南极略短的象倒放的梨。
称“梨状体”（图 6）.1．2地球的物理表面设想当海水完全处于静止状态时,将这个静止的海水面延伸到大陆内部,包围整个地球,形成一个封闭的曲面,这个静止的海水面,称之为水准面，通过平均海水面的一个称之为大地水准面，由它所包围的球体成之为大地球体。
大地水准面的意义1.大地体是地球形状的很好近似,表达了自然表面的基本形状,大地体多出的陆地质量基本上就是陆地下缺少的质量2.大地体表面的波动对大地测量和地球物理学具研究价值.但对制图无影响3.大地水准面是等势面,可测得海拔高程.1.3地球的数学表面地球体是一个有起伏的复杂曲面,不规则，无法建立数学模型。
数学表面：椭圆绕其短轴旋转而成的椭球体,称之为地球椭球体.a=6378140mb=6356755me=1:289.257§2-2 地球坐标系与大地定位2.1地理坐标用经纬度表示点位的球面坐标在大地测量中的三种提法:1)天文经纬度，其纬度为铅垂线与赤道面的夹角2)大地经纬度，其纬度为参考椭球面上某点的法线与赤道面的夹角。
3)地心经纬度，其纬度是指参考图球面上任一点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角。
天文、大地、地心经纬度的关系用经纬度表示点位的球面坐标：2.2球心坐标系：以椭球体球心O为坐标原点，用三维立体坐标X、Y、Z表示空间点位置。
2.3 我国的大地坐标系统历史上，一个国家或地区，可能采用过不同的坐标系；在使用其成果时，对坐标系的状况必须注意。
我国沿用了两个大地坐标系；即:(1) 1954年北京坐标系;我国于1954年以前苏联采用的克拉索夫斯基椭球元素(其坐标原点为苏联西部的普尔科夫42年定位)作为参考椭球体，以北京为原点，联测、平差后引伸到全国，这个过渡性的大地坐标系，称1954年北京坐标系。
第三章 地图的数学基础资料
第三章地图的数学基础第一节地图投影的概念地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。
地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究的领域也相当广泛，实际上它已经形成了一门独立的学科。
我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用、最基本的投影性质和特点以及他们的变形分布规律，从而能够正确的辨认使用各种常用的投影。
一、地球的形状和大小地球的形状近似于一个球体，但并不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近似于梨形的椭球体。
这个不规则的地球体满足不了测绘工作的需要，于是人们选择了一个最接近地球形状的旋转椭圆体表示地球，称为地球椭球体。
地球椭球体的大小，由于推算所用资料、年代和方法不同，许多科学家所测定地球椭球体的大小也不尽相同，我国1953年以前采用海福特椭球体，从1953年起采用克拉索夫斯基椭球体，它的长半径a=6378245m，短半径b=6356863m ，偏率d=a-b/a=1：298.3 这是原苏联科学家克拉索夫斯基1940年测定的。
由于地球椭球体长短半径差值很小，约21km，在制作小比例尺地图时，因为缩小的程度很大，如制作1：1000万地图，地球椭球体缩小1000万倍，这时长短半径之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地图时，可忽略地球扁率，将地球视为圆球体，地球半径为6371km。
制作大比例尺地图时必须将地球视为椭球体。
二、地图表面和地球球面的矛盾地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，因此制图时首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。
无论是将球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。
三、地图投影的概念球面上任一点的位置是用地理坐标（φ、λ）表示的，而平面上点的位置是用直角坐标（纵坐标是x,横坐标是y）表示的，所以要将地球球面上的点转移到平面上，必须采用一定的数学方法来确定地理坐标与平面坐标之间的关系。
CH2 度量几何学
A
A
B
按这定理
DH C
B D CH
AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2BD ?DH ,
相加得
AC2 ? AD2 ? DC 2 ? 2DC ?DH .
AB2 ? AC2 ? 2( AD2 ? BD2 ).
以AB ?
c, AC ?
b, BD
?
a , AD ? 2
ma 代入, 得
? ? ma
?
1 2
2 b2 ? c2 ? a 2 .
若量数为无理数 (即无限不循环小数 ),则a与u称为无公度或 不可公度.这时, 没有任何线段能同时量尽 a和u.如正方形的对角线 和它的一边无公度 .
一、长度公理:
? 长度是非负的数.单位线段[0,1]的长度是1.
一般地,[a,b的] 长度是b-a.
? 长度是运动不变的.即一个物体的长度无论 放在什么地方(经过平移、旋转、反射变换 的移动)长度都是一样的.
? 当且仅当x2 ? y2时, x2 y2达到极大.
? 当且仅当 x ? y时, p ? x ? y达到极大 ,即圆内接矩形中 ,正方 形的周长最大 .
CH2 度量几何学
最早的几何学从度量开始.通常说 ,尼罗河泛滥产生了几何学. 中国古代的数学也是从几何度量开始的. ?? 九章算术 ?? 的第一章 就是“方田”,内容是土地面积的测量.此外, 埃及、巴比伦和中国 都先后发现了有关直角三角形三边之长平方关系的定理 (我国称 之为勾股定理).这是度量几何的光辉成就.
§2.1 线段和圆弧的 长度
要测量一个几何量(如线段、角、面积),须取一同类量为单位, 即研究此量含单位量的多少倍,这倍数(不限为整数)便称为该几何 量对于这个单位的量数(或度量).
第二章地图的数学基础
第二章地图的数学基础地图的数学基础，是指使地图上各种地理要素与相应地面景物之间保持一定对应关系的经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等数学要素。
第一节地球的形状与大小地球的表面是一个不可展平的曲面，而地图是在平面上描述各种制图现象，这给地图工作者提出了一个问题，如何建立球面与平面间的对应关系。
要解决这个问题首先必须对地球的形状和大小进行研究。
一、地球的自然表面（自然球体）由地球自然表面所包围的形体我们称之为地球自然球体。
地球自然表面是一个崎岖不平的不规则表面，有高山、丘陵、平原、盆地和海洋。
世界第一高峰珠穆朗玛峰高出海平面8844.43m，而在太平洋西部的马利亚纳海沟的斐查兹海渊，低于海平面11034m。
人们对地球形状的认识曾经历了漫长的过程，古人在实现了环球航行后才发现地球是球形的，近代大地测量发现更接近于两极扁平的椭球。
长短半径大约差21km。
通过人造地球卫星对地球观察的资料分析，发现地球是一个不规则的“近似于梨形的椭球体”，它的极半径略短，赤道半径略长，北极略突出，南极略扁平(图2--1)。
这里所讲的梨形，是一种形象的夸张。
因为地球南北半球的极半径之差在近几十米范围之内，这与地球的自然表面起伏、极半径和赤道半径之差都在20 km左右相比是十分微小的。
所以，地球自然表面是一个极复杂而又不规则的球形曲面，不能用数学公式表达。
二、地球的物理表面（大地体）当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。
在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。
它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面(图2--2)。
由于地球的自然表面极其复杂与不规则，大地测量学家就引入了大地体的概念。
所谓大地体是由大地水准面所包围的地球形体。
大地水准面是地球形体的一级逼近。
由于地球引力的大小与地球内部的质量有关，而地球内部的质量分布又不均匀，致使地面上各点的铅垂线方向产生不规则的变化，因而大地水准面实际上是一个略有起伏的不规则曲面。
第二章地图数学基础分析
一、地理坐标系——地球椭球面
这是一个纯粹的数学表面，用 简单的数学公式即可表达 ：
x2 y2 z2 a2 a2 b2 1
常用的符号有a、b、α、
e、e，这些符号的含义
叫做地球椭球的基本元
素。
第二章地图数学基础分析
短 半 径
b
0
长半径a
地球椭球面
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——地球椭球面 其中 α 、e、e 的名称和公式为：
第二章地图数学基础分析
1954年北京坐标系、1980西安坐标系是 参心坐标系，
WGS84坐标系、2000 国家大地坐标系是 地心坐标系
参心坐标系 是以参考椭球的几何中心为原点的 大地坐标系。 地心坐标系 以地球质心为原点建立的空间直角 坐标系
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——椭球体的采用
一、地理坐标系——经纬线与地理坐标
纬线圈 起始经线
B——纬度，从赤道起算
P
L——经度，从格林尼治
A
首经线起算
B L
P＇
地理坐标系中某点 的纬度和经度，是用大 地测量的方法测定的， 赤道 故又称这种地理坐标系 为大地地理坐标系，简 称大地坐标系。
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——经纬线与地理坐标
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系 经差1°的纬线弧长
二、平面直角坐标系 纬 度（度） 长 度（公里）
0
111 321
10
109 641
20
104 649
30
96 448
40
85 396
50
71 698
地图学的数学基础
不同的比例尺适用于不同的制图需求和目的，应根据实际情况进行选择。
04 地图符号与注记
地图符号的分类与特点
分类
按性质可分为几何符号、艺术符号和 透视符号；按形状可分为点状符号、 线状符号和面状符号。
特点
具有形象性、约定性、定位性和可量 测性。
地图注记的要素与原则
动态可视化
运用动画技术实现地图数据的动态可视化表达，展示要素的空间变 化过程和趋势。
交互式可视化
提供用户与地图的交互功能，如缩放、平移、旋转等，以及要素选择、 属性查询等交互操作，增强用户体验和数据分析效果。
06 地图制图的数学方法
制图综合的数学方法
地图综合算法
包括基于规则的算法、基于知识的算法和基于机器学习的算法等， 用于从大量地理数据中提取关键信息并进行综合。
地图比例尺是表示地图上某一长 度与相应地面长度之间的比例关
系。
比例尺反映了地图对地面的缩小 程度，是地图的基本要素之一。
比例尺通常表示为分数或比值的 形式，如1:10000，表示地图上 1单位长度对应地面上10000单
位长度。
地图比例尺的表示方法
数字式
用数字直接表示比例尺， 如1:50000，简洁明了。
利用数学方法确定注记的位置、方向和排列方式，确保注记在地图上的正确配置 和显示。同时，还可以通过数学运算对注记进行缩放、旋转和平移等操作，以适 应不同比例尺和投影方式下的地图显示需求。
05 地图数据的处理与分析
地图数据的获取与处理
数据来源
地图数据可以通过多种途径获取， 包括卫星遥感、航空摄影、地面 测量等。
网络分析方法
如最短路径分析、可达性分析、中心性分析等，用于研究地理网 络的结构和功能。
ch2常用数值计算方法
y y1 y2 y1 x x1 x 2 x1 x x2 x x1 y F (x ) ( )y 1 ( )y 2 x1 x 2 x 2 x1
计算机应用多媒体课件
2.1数据处理技术——二.多项式插值
1.线性插值 方程即为： F ( x ) l 1( x ) y 1 l 2 ( x ) y 2 且有：
n
l i ( x )y i i n
1
n
y F ( x ) a0 a1x an1x
计算机应用多媒体课件
2.1数据处理技术
三、曲线拟合与最小二乘法
1.曲线拟合概念 2.一元线性拟合 3.多元线性拟合 4.曲线拟合软件求解
计算机应用多媒体课件
2.1数据处理技术
——三、曲线拟合与最小二乘法
一、多项式
1.多项式的根 2.多项式相加 3.多项式相乘 4.多项式求值
计算机应用多媒体课件
2.1数据处理技术
一、多项式
1.多项式的根 4 3 2 ax bx cx dx e 定义多项式 在MATLAB命令窗口p=[a b c d e] p= x1 abcde r=roots(p) r= x2 x3
y a1x a2 x
am x am1
计算机应用多媒体课件
2.2线性方程组求解
一、基本概念 二、Gauss顺序消去法 三、软件求解 x=inv(A)*b x=A\b chol分解
计算机应用多媒体课件
y f ( x 1708)
C
计算机应用多媒体课件
1708 co2
2.3213KJ /( m k )
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——我国大地坐标系
39
不同的球面地理坐标系
54—80坐标系地形图邻接状况 （中间部分为两个坐标系邻接“真空”带）
——我国大地坐标系
40
• 1980年国家大地坐标系——优点
– 说明地图的编制状况，为应用提供相关内容，在主 要图形的外侧，如图名、图号、图例、比例尺等
– 对主要图件在内容和形式上的补充，如同基图表、 剖面图、测图时间、出版单位等
地图的类型
5
• 按地图的图形内容分类：
– 普通地图
– 专题地图
• 按比例尺分类
– 大比例尺地图（≥ 1：10万） – 中比例尺地图（1：10万 ～ 1：100万）
高程控制网的建立，必须规 定一个统一的高程基准面。
hAB=HB-HA
——我国高程系
45
• 新中国前：使用过坎门平均海水面、吴淞零点、废黄
河零点和大沽零点等多个高程基准面。
• 1956年黄海高程系
– 观测记录：1950年－1956年共7年的验潮资料 – 水准原点：青岛观象山（高程为：72.289米）
——我国大地坐标系
38
• 1952年前采用海福特（Hayford）椭球体
• 1954年北京坐标系
–椭球体：克拉索夫斯基椭球体 – 坐标原点：苏联玻尔可夫天文台北京原点 – 缺点：椭球体面与我国大地水准面不能很好的符合， 产生的误差较大，大地坐标控制点多为局部平差逐 次获得的，不能连成一体。
• 1980年国家大地坐标系（西安坐标系）
自然、物理面、数学面关系图
19
• 大地水准面：无法用数学公式表达
– 受地球内部物质密度分布不均等多种因素的
影响而产生重力异常，致使铅垂线的方向发
生规则变化；
– 大地水准面：处处与铅垂线方向垂直；是不
规则表面
三.地球数学表面
20
• 地球椭球体：
– 假想将大地体绕地轴飞速旋转，即能形成一 个表面光滑的球体，即地球椭球体 – 是一个规则的数学表面——地球的数学表面， 代表地球大小和形状。
上节内容回顾
1
什么是地图?地图的特性? 地图学的概念?
地图的定义
2
• 地图：是按照一定的数学法则，将地球表面
（或其他星体）上的空间信息，通过科学的概
括综合，运用符号系统以可视化、数字或触摸
的符号形式，缩小表达在一定载体上的图形模
型，用以传递、模拟和认知它们的数量、质量
在时间和空间上的分布规律和发展变化。
– 小比例尺地图（≤ 1：100万）
– 缩微地图
地图学的概念
6
• 地图学：是以地图信息传递为中心的、探 讨地图的理论实质、制作技术和使用方法 的综合性科学
现代地图理论体系
7
• 理论地图学：研究地图理论
– 地图学概论
– 地图信息理论 – 地图模型理论等
• 地图制图学：制作方法和技术
– 普通地图制图学 – 遥感制图学 – 机助制图学等 中科院地理研究所 廖克研究员
21
自然、物理面、数学面关系图
22
• 地球椭球体：
– 在测量和制图中代替大地球体的旋转椭球体。 – 是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的 基准面。
23
• 地球椭球体的表示： （椭球体三要素）
– 长轴 a（赤道半径） – 短轴 b（极半径） – 椭球的扁率 f= （a-b）/a：椭球体的扁平程 度
：
24
25
我国曾经或正在采用的椭球体
椭球体名称 海福特 长半轴 扁率 使用年代
6378388 1:297.0 1953 年前
克拉索夫斯基 6378245 1:298.3 1953 年后 GRS75 6378140 1:298.257 1980 年后
26
• 地球椭球体定位：
– 确定大地水准面与椭球体之间的相对关系，
– 椭球体参数精度高； – 定位采用的椭球体面与我国大地水准面符合 好； – 天文大地坐标网传算误差和天文重力水准路 线传算误差都不太大，而且天文大地坐标网 坐标经过全国性整体平差，坐标统一，精度 优良，可以满足1比5千甚至更大比例尺测图 的要求等。
——我国大地坐标系
41
• 1980年国家大地坐标系——缺点：
30
——确定地面点在地球椭球体上的位置
–平面位置
–高程
一.地面点的表示
31
1 球面上的地理坐标（经纬度）
天文经纬度、大地经纬度、地心经纬度
2 平面上的直角坐标
国家坐标系、地方坐标系
3 高程
绝对高程（海拔）、相对高程、高差
一.地面点的球面表示—地理坐标系
32
1 地理坐标系：是指用经纬度表示地面点 位的球面坐标系。
四.大地控制网
48
• 高程控制网
– 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成 – 以水准测量或三角高程测量完成 – 依精度不同，分为四等。
五.全球定位系统(GPS)
49
• 是以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提 供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导 航服务。
§3 地图比例尺
50
一、地图比例尺的含义 二、地图比例尺的表示形式 三、地图比例尺的作用
– 在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。
35
③ 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基
点。
– 地心经度：同大地经度
– 地心纬度：指参考椭球面上某点和椭球中心 连线与赤道面之间的夹角 – 在地理学研究及地图学的小比例尺制图中， 通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬 度。
地面点的高程表示——高程系
一.地图比例尺的含义
51
——地球与地图的大与小的矛盾
• 地图比例尺：表示地球和制图区域缩小的程度
52•
当制图区域比较小：
– 景物缩小的比例也比较小，这时不论采用何种
投影，图上各处长度缩小的比率都可以看成是
相等的；
– 地图比例尺的含义：图上长度与地面相应水平
长度之比。 – 1/M=d/D：d：地图上线段的长度，D：地面
地图的基本特性
3
• 地图必须遵循一定的数学法则
• 地图必须经过科学概括
• 地图具有完整的符号系统 • 地图是地理信息的载体
地图的构成要素
4
• 地理要素（图形要素）——主体
– 地图上的主体，用地图符号表示
• 数学要素——骨架
– 地图坐标、投影、比例尺、控制点等 – 保证地图的可量测性、可比性
• 图边要素（辅助要素）——润滑剂
物理表面
测量实施的 基础面
一.地球自然表面
13 宇宙中地球是一个表面光 滑、蓝色美丽的正球体 地表是一个有些微起伏、 极其复杂的表面
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略 长，北极略突出、南极略扁平的椭球体。
14
• 不能用数学公式表 达； • 不能作为测量和制 图的基准面
二.地球物理表面
29
我国曾经或正在采用的椭球体
椭球体名称 长半轴 扁率 使用年代
海福特
6378388
1:297.0
1:298.3
1953年前
1953年后
克拉索夫斯基 6378245 GRS75
6378140 1:298.257 1980年后
CGCS2000
6378137 1:298.257 2008.7.1后
§2 大地控制
部比例尺。
54•
地图比例尺的精确定义：
– 地图上沿某方向的微分线段和地面上相应微分
线段水平长度之比。
55
• 地图比例尺特点： – 只是一个比值，没有单位。
15
• 水准面：当海洋静止时，自由水面与该面上各
点的重力方向（铅垂线）成正交。
• 大地水准面：在众多的水准面中，有一个与
静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、 岛屿形成一个闭合曲面。
16
• 大地水准面实际是一个起伏不平的重力等 位面——地球物理表面。它所包围的形体 称为大地体。
17
• 大地水准面的意义：
上相应直线距离的水平投影长度，M：比例尺
分母
53•
当制图区域相当大
– 对景物的缩小比率也相当大，采用的地图投影
比较复杂，地图上的长度也因地点和方向不同
而有所变化。
– 比例尺含义：是在进行地图投影时，对地球半
径缩小的比率，称为地图主比例尺，地图经过 投影后，地图上只有个别的点或线没有长度变
形。其它大于或小于主比例尺的比例尺称为局
– 现有各类测绘成果，在过渡期内可沿用现行 国家大地坐标系；2008年7月1日后新生产的 各类测绘成果应采用2000国家大地坐标系。
– 现有地理信息系统，在过渡期内应逐步转换 到2000国家大地坐标系；2008年7月1日后新 建设的地理信息系统应采用2000国家大地坐 标系。
三. 高程系的建立
44
– 在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理 坐标。
34
② 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的
位置，用大地经度 、大地纬度和大地高表示。
– 大地经度 ：指参考椭球面上某点的大地子午 面与本初子午面间的两面角。东经为正，西 经为负。
– 大地纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线 （法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南 纬为负。
36
hAB=HB-HA
二.大地坐标系的建立
37
椭球体及其定位:按一定的条件将具有确定元
素的地球椭球同大地体的相关位置固定下来， 从而获得大地测量计算基础面和大地起算数据。
椭球体定位的条件:
椭球短轴与地轴相平行 椭球面与大地水准面充分接近