高一数学不等式部分经典习题及答案

高一数学不等式部分经典习题及答案一、不等式一、不等式的性质：1.同向不等式可以相加；异向不等式可以相减。

例如：若a>b。

c>d，则a+c>b+d（若a>b。

cb-d），但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减。

2.左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘。

例如：若a>b>0.c>d>0，则ac>bd（若a>b>0.0b/d）。

3.左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方。

例如：若a>b>0，则a>b或a^n>b^n。

4.若ab>0，a>b，则a/b>1；若abb，则a/b<-1.例如：对于实数a,b,c，给出下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若ac>bc，则a>b；③若a<b<c，则a<b<ab；④若ab^2；⑤若a1；⑥若ab；⑦若c>a>b>d，则(c-a)/(c-a+b-d)>0；其中正确的命题是②③⑥⑦⑧。

2）已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，则3x-y的取值范围是1≤3x-y≤7.3）已知a>b>c，且a+b+c=1，则c的取值范围是[-2,-1)。

二、不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2.作商（常用于分数指数幂的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6.利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

例如：1）设a>1且a不等于1，t>0，比较(1+t)/loga和2loga(t)的大小。

当a>1时，(1+t)/loga=2loga(t)（t=1时取等号）。

2）设a>2，p=a+√a-2.q=2a-√a-2，比较p和q的大小。

p>q。

3）比较1+log3(x)和2log2(x)的大小（x>0且x不等于1）。

当02时，1+log3(x)>2log2(x)；当1<x<2时，1+log3(x)<2log2(x)。

当x=1时，两者相等。

三．在利用重要不等式求函数最值时，需要注意到“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

下列命题中，正确的是C，即y=2-3x-4(x>0)的最小值是2-4/3.若x+2y=1，则2x+4y的最小值是22.正数x,y满足x+2y=1，则(1/x)+(1/y)的最小值为3+2/2=4.根据目标不等式左右的运算结构，可以选用4种常用不等式，如(1)2/(1+a^2)+1/(1+b^2)>=5/4(当且仅当a=b=1时，取等号)；(2)a,b,c∈R，a+b+c>=ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时，取等号)；(3)若a>b>0,m>0，则(b/(a+m))<(b/a)<((b+m)/a)；(4)对于任意实数x，有x-1/x<=sqrt(x^2+1)-1<=x。

如果正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是[9,+∞)。

五．证明不等式的方法有比较法、分析法、综合法和放缩法。

常用的放缩技巧有：1-1/2+1/3-1/4+。

+1/(2n-1)-1/2n<ln(n+1)；n/(n+1)<1-1/(n+2)<n/(n+1)-1/(n+2)；k+1-k)/(k+1+k^2)=1)；2/(n+1)<1+1/2+。

+1/n-ln(n)<1/(n+1)；1)已知a>b>c，求证：ab+bc+ca>ab+bc+ca；(2)已知a,b,c∈R，求证：ab+bc+ca>=abc(a+b+c)；(3)已知a,b,x,y∈R，且(x+y)/(a+b)>1，x>y，求证：loga+logb+logc<log(x+a)+log(y+b)+logc；4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：loga+logb+logc>=3log((a+b+c)/3)；5)已知a,b,c∈R，求证：ab+bc+ca>=abc(a+b+c)；6)若n∈N，求证：(n+1)^2+1-(n+1)<*n^2+1-n；7)已知|a|≠|b|，求证：|a-b|/|a+b|≤|a|-|b|/|a|+|b|；8)求证：1+1/2+1/4+。

+1/2^n<2.六．一元一次不等式的解法：首先要通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax>b的形式。

如果a>0，则x>b/a；如果a0的解集为{x|x<-3}。

七．一元二次不等式的解集（联系图象）。

特别是当Δ=0和Δ0，x1，x2是方程ax^2+bx+c=0的两实根，且x1<x2，则其解集如下表：ax^2+bx+c>0 ax^2+bx+c≥0 ax^2+bx+c0 {x|xx2} {x|x≤x1或x≥x2} {x|x1<x<x2} {x|x1≤x≤x2} Δ=0 {x|x=x1=x2} {x|x=x1或x=x2} {x|x≠x1≠x2} {x|x≠x1或x≠x2} Δ<0 {x|x∈R} {x|无解}{x|x∈R} {x|x∈R}例如，解关于x的不等式：ax^2-(a+1)x+11；当a1或x1时，1<x<1/a）八．简单的一元高次不等式的解法：标根法。

其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。

例如，解不等式(x-1)(x+2)≥0.（解集为{x|x≥1或x≤-2}）又如，不等式(x-2)x^2-2x-3≥0的解集是{x|x≥3或x≤-1}。

再例如，设函数f(x)、g(x)的定义域都是实数集，且f(x)≥0的解集为{x|1≤x0的解集为(-∞,1)∪[2,∞)。

最后，要使满足关于x的不等式2x-9x+a<0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x-4<x^2+3和x-6<x^2+8中的一个，则实数a的取值范围是[7,∞)。

注意到这里不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可以去分母。

例如，解不等式(5-x)/(x^2-2x-3)<-1.（解集为(-1,1)∪(3,5)）关于不等式的解法和XXX成立问题给定不等式 $ax-b>0$ 的解集为 $(1,+\infty)$，求不等式$\frac{ax+b}{x-2}>0$ 的解集。

解：首先，我们可以将 $\frac{ax+b}{x-2}$ 分解为$\frac{ax-2ax+2ax+b}{x-2}=\frac{ax-2ax}{x-2}+\frac{2ax+b}{x-2}=a-\frac{2a}{x-2}+\frac{2ax+b}{x-2}$。

因此，原不等式的解集为 $x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$。

关于绝对值不等式的解法，有以下几种方法：1.分段讨论法：对于不等式 $|2-\frac{3}{x}|\geq 2-\frac{|x+4|}{2}$，我们可以分别讨论 $x<-4.-4\leq x<0.0\leqx<\frac{3}{2}。

x\geq \frac{3}{2}$ 四个情况，最后得到解集为$x\in\mathbb{R}$。

2.利用绝对值的定义：对于不等式 $|x|+|x-1|>3$，我们可以将其转化为 $x^2-x-4>0$ 或 $x^2-x+2<0$，解得 $x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$。

3.数形结合：对于不等式 $|x+1|+|x-2|<4$，我们可以画出$y=|x+1|+|x-2|$ 的函数图像，发现其最小值为 $0$，因此得到解集为 $x\in(-1,2)$。

4.两边平方：对于不等式 $|3x+2|\geq |2x+a|$，我们可以将其平方得到 $9x^2+12x+4\geq 4x^2+4ax+a^2$，化简得到 $(a-3)x^2-3x+(a^2-4)\leq 0$。

因为不等式对于所有 $x$ 都成立，所以判别式 $\Delta=9-4(a-3)(a^2-4)\leq 0$，解得XXX。

对于含参不等式的解法，我们通常需要先确定其定义域，然后根据函数的增减性进行分类讨论。

例如：1.对于不等式 $\log_a 4-\log_a 30$ 且 $a\neq 1$，然后将其转化为 $a^{\log_a\frac{4}{3}}<a^{\log_a\frac{1}{2}}$，即$\frac{4}{3}<\frac{1}{2}$，解得 $a\in(0,1)\cup(4,+\infty)$。

2.对于不等式$ax^2>x(a-1)$，我们可以先确定$a\neq 0$，然后根据 $a$ 的正负和 $x$ 的正负进行分类讨论，最后得到解集为 $a=0$ 时为 $\{x|x0$ 时为 $\{x|x0\}$，$a<0$ 时为$\{x|0<x<1\}\cup\{x|x<0\}$。

对于不等式的恒成立问题，我们可以根据函数的最值来进行判断。

例如：1.对于不等式 $x+(y-1)>1$，我们可以将其转化为 $y<0$，因此 $c$ 的取值范围为 $(2-\infty)$。

2.对于不等式 $x-4+\frac{x}{x-3}>a$，我们可以将其转化为$\frac{x^2-3x-4}{x-3}>a$，然后根据函数的最值得到$a<1$。

3.对于不等式 $2x-1>m(x-1)$，我们可以将其转化为$x>\frac{m+1}{2}$，然后根据 $m$ 的取值范围得到$x\in(\frac{7-13\sqrt{2}}{2},+\infty)$。

1.若不等式$(-1)a<2^n$对于任意正整数$n$恒成立，则实数$a$的取值范围是$[-2,+\infty)$。

2.若不等式$x-2mx+2m+1>0$对于$x\in[-1,1]$的所有实数$x$都成立，则$m>-\frac{1}{2}$。

3.已知不等式$x-4+x^{-3}1$。

4.对于方程$ax^2+bx+c=0$有实数解的条件是：$a\neq0$且$\Delta=b^2-4ac\geq 0$。