(新)高一数学不等式测试题
高一数学4周周测不等式
第二章 不等式 测试题一、单项选择题1．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．ab <b 2 C ．－ab <－a 2 D ．－1a <－1b2．设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3 设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4. “x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.236.设实数b a ,满足,0b a <<且,1=+b a 则下列四数中最大的是（ ）A.22b a +B.ab 2C. aD. 1/27. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ． 88．已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 选B 9 .不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切实数x 都成立，，则实数a 的取值范围是 ( )(A)]2,(-∞ (B))2,(--∞ (C)]2,2(- (D)(－2,2)10．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,4) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C ．(－4,1) D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)二、不定项项选择题11 下列命题中，不正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<b c 2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d12 若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：A ad ＞bc ；B a d ＋b c ＜0；C a －c ＞b －d ；D a (d －c )＞b (d －c )中，成立的是( )二、填空题13. 已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________． 14.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________． 15.已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．16设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的________条件17．不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________． 三、解答题18．求下列关于x 的不等式的解（1） 05322≥--x x (2) 0342<-+-x x(3)091242>+-x x （4）22222x x x ->+18．已知c b a ,,是正实数,求证：(1)abc c a c b b a 8))()((≥+++；(2)c b a cab b ac a bc ++≥++．20．已知y x ,都是正数.(1)12=+y x ，求yx 11+的最小值； （2）若 ,32=+y x 求y x 11+的最小值．21.若正数b a ,满足3++=b a ab ，求ab 和b a +的取值范围．22. 已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 使得对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．.。
高一数学不等式测试题
高一数学不等式测试题1. 不等式的基本性质题目：请证明对于任意实数a、b、c，不等式\( a < b \) 时，\( a + c < b + c \) 成立。
2. 解一元一次不等式题目：解不等式 \( 5x - 3 > 2x + 7 \)。
3. 解绝对值不等式题目：解绝对值不等式 \( |x - 4| < 3 \)。
4. 解二次不等式题目：解不等式 \( x^2 - 4x + 3 > 0 \)。
5. 不等式与函数题目：已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，求函数值大于0的x的取值范围。
6. 不等式组的解集题目：解不等式组 \( \begin{cases} x + 2 > 0 \\ 3x - 7 < 0 \end{cases} \)。
7. 不等式的变换题目：将不等式 \( x^2 - 4x + 4 \geq 0 \) 转化为标准形式，并找出其解集。
8. 不等式的应用题目：一个矩形的长为 \( 2x + 3 \)，宽为 \( x - 1 \)，当x取何值时，矩形的面积最大？9. 不等式与数列题目：若数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{n+1} \leq 2a_n \) 对所有正整数 n 成立，证明数列 \( \{a_n\} \) 是递增的。
10. 不等式的证明题目：证明对于所有正实数 \( x \) 和 \( y \)，不等式\( \sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} \) 成立。
11. 不等式与几何题目：在三角形ABC中，如果 \( a + b > c \)，证明三角形ABC 是锐角三角形。
12. 不等式的综合应用题目：若 \( x, y \) 为正实数，且 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求\( x^2y + xy^2 \) 的最大值。
13. 不等式的解法题目：解不等式 \( \frac{2x}{x^2 - 1} < 1 \)。
高一数学不等式性质检测试题
典型例题一例1比较X3 3与3x的大小，其中x・R .解：(x23) -3x二x2_3x 3 ,2 3 2 3 2二[x -3x ()] -L) 3 ,2 23 2 3"2)4，_3 0,4x2亠3 3x .说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①a—b .0= a b ;② a — b = 0 ：= a = b :③ a — b ：： 0 ：= a ::: b .典型例题二例2比较x6 1与x4 x2的大小，其中R解：(x61)-(x4• x2)-X4 -X2 1= x4(x2-1)-(x2-1),= (x2-1)(x4-1),= (x2-1)(x2-1)(x21),= (x2-1)2(x21),二当X 二 1 时，x6x4 x2；当X 二1 时，x6 1 x4 x2.说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是:第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0,还是等于0,还是小于0.最后得结论.概括为“三步，一结论”，这里的“变形”一步最为关键.典型例题三例 3 X • R，比较(x 1)(x2 | 1)与(x 1) ( x2 x 1 )的大小.分析：直接作差需要将(x T)(x2• x• 1)与(x -) ( x2 x 1 )展开,2 2过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差.解：(x 1)(x2 x■ 1) = (x 1) ( X2 x —x 1 )=(x 1)(x2 x 1) -?(x 1),2A A(x -)(x2 X 1) =(X 1「—)(x2 X 1)2 22 1 2二(x 1)(x X 1) (x X 1),2x 1二(x 1)(X ■■■「1) -(x )(x x 1)2 21 2 1 1(x ■ x 1) x(x 1)0 .2 2 2则有x・ R时，(x 1)(x2•专T) • (x • 1)( x2 x 1 )恒成立.说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差.典型例题四161816解: 1618161/9、16硬珂8）1=1 —X ；1 x例4设x. R ，比较丄与1-x 的大小.1 x解:作差 11x-（^x ）=1/xX 21）当X =0时，即 0 ,1 + X2) 当 1 x ：：： 0，即 x -1 时，X 21 c1 —x ；3)当 1x0 但 x = 0，即-1 ：：： x ：：： 0 或 x 0 时，X 2说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字 母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号.此 号, 时要注意分类合理恰当.典型例题五例5比较1816与1618的大小分析：两个数是幕的形式，比较大小一般采用作商法。
高一数学第2章基本不等式测试题
基本不等式测试题A 组一．填空题(本大题共8小题；每小题5分；共40分)1.若xy>0；则x y y x+的最小值是 。
1.2.提示：x y y x +≥x y y x=2. 2. 已知a ；b 都是正数；则 错误!、错误!的大小关系是 。
2.错误!≤错误!。
提示：平方作差；利用a 2+b 2≥2ab 可得。
3.若x ＋y ＝4；x ＞0；y ＞0；则lg x ＋lg y 的最大值是 。
3.lg4.提示：lg x ＋lg y =lg x y ≤lg(2x y +)2=lg4. 121(0,0),m n m n+=>>则mn 的最小值是4. 121mn m n =+≥≥ 5.已知：226x y +=； 则 2x y +的最大值是＿＿＿： 6 = 22x y +≥22x y ； ∴22x y ≤9 。
故2x y +的最大值是9；此时x=y=2log 3。
6 某公司租地建仓库；每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比；而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比；如果在距车站10公里处建仓库；这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元；那么要使这两项费用之和最小；仓库应建在离车站__________公里处由已知y 1=x20；y 2=0 8x (x 为仓库与车站距离)； 费用之和y =y 1+y 2=0 8x + x 20≥2x x 208.0⋅=8；当且仅当0 8x =x 20即x =5时“=”成立。
7.已知正数x y 、满足3xy x y =++；则xy 的范围是 。
7.[9,)+∞。
提示：由0,0x y >>；则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥；即230-≥解得13≤-≥(舍)；当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号；故xy 的取值范围是[9,)+∞。
8. 给出下列命题：①a ；b 都为正数时；不等式a+b ≥才成立。
高一数学不等式测试题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高一数学不等式测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若a ＜b ＜0，则（ ）A ．b11<a B ． 0＜ba ＜1 C ． ab ＞b 2 D ．bb a a > 2．若|a ＋c|＜b ，则 （ ）A ． |a |＜|b|－|c| B ． |a |＞|c|－|b| C ． |a |＞|b|－|c| D ． |a |＜|c|－|b|3．设a ＝26c ,37b ,2-=-=，则a ,b,c 的大小顺序是 （ ） A ． a ＞b ＞c B ． a ＞c ＞b C ． c ＞a ＞b D ． b ＞c ＞a 4． 设b ＜0＜a ,d ＜c ＜0，则下列各不等式中必成立的是 （ ）A ． a c ＞bd B ．db >c a C ． a ＋c ＞b ＋d D ． a －c ＞b －d5．下列命题中正确的一个是（ ）A ．ba ab +≥2成立当且仅当a ,b 均为正数B ．2222ba b a +≥+成立当且仅当a ,b 均为正数C ．log a b ＋log a b ≥2成立当且仅当a ,b ∈(1,＋∞)D ．|a ＋a1|≥2成立当且仅当a ≠06．函数y ＝log ⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+-2134223x x x x 的定义域是（ ）A ．x ≤1或x ≥3B ．x ＜－2或x ＞1C ．x ＜－2或x ≥3D ．x <－2或x ＞37．已知x,y ∈R ，命题甲: |x －1|＜5,命题乙: ||x |－1|＜5，那么（ ）A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充要条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 8．已知实数x ,y 满足x 2＋y 2＝1，则代数式(1－x y)(1＋x y)有 （ ） A ．最小值21和最大值1 B ．最小值43和最大值1C ．最小值21和最大值43D ．最小值19．关于x 的方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正的实根的充要条件是 （ ） A ．a ≥0 B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－110．函数y ＝x x x +++132(x ＞0)的最小值是 （ ）A ．23B ．－1＋23C ．1＋23D ．－2＋23二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．关于x 的不等式a x 2+b x +2>0的解集是}3121|{<<-x x ，则a +b=_____________。
高一数学 不等式测试
高一数学不等式测试时间120分钟 满分100分一、选择题（共10题，共30分）1．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A.a+c>b+d B.a －c>b －d C.ac>bd D.cb d a > 解：选A2. 若x x f 21log )(=, A )2(b a f +=, G )(ab f =,H )2(ba abf +=，其中,a b ∈R +，则A ，G ，H 的大小关系是( )A ．A ≤G ≤H B.A ≤H ≤G C.H ≤G ≤A D.G ≤H ≤A 解：A3.不等式1(13)(0)3y x x x =-<<的最大值是（ ）A.4243B.112C.164D.172解：B4．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- C 212520,(21)(2)0,22x x x x x -+->--<<<，22212221423x x x x x -=-+-=-+-=5．下列各对不等式中同解的是（ ） A ．72<x 与 x x x +<+72 B ．0)1(2>+x 与 01≠+xC ．13>-x 与13>-xD ．33)1(x x >+与xx 111<+B 对于A ．727,,2x x <<与 7272x x <+≤< 对于C ．31,3131x x x ->->-<-或与13>-x对于D ．33)1(x x >+与x x 111<+， 当10x -<<时，xx 111<+ 不成立6．若122+x ≤()142x -，则函数2x y =的值域是（ ） A ．1[,2)8B ．1[,2]8C ．1(,]8-∞D ．[2,)+∞B 122+x ≤2421()24x x --=,221142,230,31,28x x x x x y +≤-+-≤-≤≤≤≤7．如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( )A ．3B ．51C ．4D ．5D 设cos ,sin ,343cos 4sin 5sin()5x y x y θθθθθϕ==-=-=+≤8．若方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（ ）． A ．4-≤m 或4≥m B ． 45-≤<-m C ．45-≤≤-m D ． 25-<<-mB 21212(2)4(5)0(2)0,5450m m x x m m x x m ⎧∆=+-+≥⎪+=-+>-<≤-⎨⎪=+>⎩ 9．若()a ax x x f ++-=12lg )(2在区间]1,(-∞上递减，则a 范围为（ ） A ．[1,2) B ． [1,2] C ．[)1,+∞ D ． [2,)+∞A 令(]221,,1u x ax a =-+--∞是的递减区间，得1a ≥而0u >须恒成立，∴min 20u a =->，即2a <，∴12a ≤<； 10．若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6B 当20x ax a -+=仅有一实数根，240,04a a a a ∆=-===或，代入检验，不成立或21x ax a -+=仅有一实数根，2440,2a a a ∆=-+==，代入检验，成立！二、填空题（共8题，共20分）1．若方程2222(1)34420x m x m mn n ++++++=有实根，则实数m =_______；且实数n =_______。
高一数学基本不等式练习题
高一数学基本不等式练习题高一数学基本不等式练习题数学是一门既有趣又具挑战性的学科。
在高中阶段，学生们开始接触更加深入和复杂的数学概念和技巧。
其中，不等式是数学中的一个重要主题，它涉及到数值之间的大小关系。
在高一阶段，学生们将开始学习和掌握基本的不等式知识和技巧。
为了帮助学生更好地理解和应用基本不等式，下面将给出一些高一数学基本不等式的练习题。
1. 练习题一：解不等式解下列不等式，并将解集表示在数轴上：a) 2x - 5 < 7b) 3 - 4x > 1c) 2x + 3 > 5x - 22. 练习题二：证明不等式证明下列不等式成立：a) 对任意正实数a、b和c，有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abcb) 对任意正实数a、b和c，有a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca3. 练习题三：应用不等式利用基本不等式求解下列问题：a) 一个矩形的长是宽的三倍，如果矩形的周长不超过30个单位长度，求矩形的最大面积。
b) 一个三角形的两边长分别为3和4，第三边的长度不超过6，求三角形的最大面积。
4. 练习题四：综合应用解下列复合不等式，并将解集表示在数轴上：a) 2x + 3 > 5 或者 4x - 1 < 3b) 3x - 2 ≥ 5 并且 2x + 1 < 75. 练习题五：不等式的性质判断下列不等式的真假，并给出证明：a) 对任意实数x，都有x^2 ≥ 0b) 对任意正实数a和b，有a^2 + b^2 ≥ 2ab通过以上的练习题，学生们可以巩固和运用基本不等式的知识和技巧。
解不等式的练习可以帮助学生熟悉不等式的解法和解集的表示方式。
证明不等式的练习可以培养学生的逻辑推理和数学思维能力。
应用不等式的练习可以帮助学生将数学知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
综合应用的练习可以让学生综合运用不等式的知识和技巧，培养学生的综合分析和解决问题的能力。
高一数学不等式试题
高一数学不等式试题1.设则xy的最大值为 ( )A．2B．4C．D．【答案】A【解析】略2.设，且，则（）A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】由题意，，又，则，所以，则，，由且，可得，故3.已知变量，满足则的最小值为__________．【答案】【解析】如图，当目标函数过点时，函数取得最小值，,目标函数的最小值是．【考点】线性规划4.设满足约束条件，则的最大值为（）A．-8B．3C．5D．7【答案】D【解析】不等式表示的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为，当过点时取得最大值7【考点】线性规划5.已知实数x、y满足（0<a<1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．>C．D．【答案】D【解析】，是减函数，所以当时，，所以当时，只有成立，而当时，不能确定与的大小，以及与的大小．【考点】不等式的性质6.若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，恒成立，当，解得，所以【考点】含参不等式恒成立问题7.若实数，满足，则的取值范围是（用区间表示）【答案】【解析】且，设，，则，所以且，所以且．所以的取值范围是．【考点】1．基本不等式；2．三角换元求取值范围．8.设的最小值为_________．【答案】【解析】正数满足，，当且仅当时取等号，所以所求的最小值为。
【考点】基本不等式9.下列选项中，使不等式成立的x的取值范围是A．（1，+∞）B．（0,1）C．（-1,0）D．（-∞，-1）【答案】D【解析】当时，不等式为显然无解，当时，不等式为，即，所以不等式解集为（-∞，-1），故选择D【考点】解不等式10.解关于的不等式：【答案】详见解析【解析】解含参的一元二次不等式，第一步先讨论二次项前的系数，此题为，所以先不讨论，第一步，先将式子分解因式，整理为，第二步，，，讨论两根的大小关系，从而写出解集的形式．试题解析：原不等式可化为：，（1）当－1＜a＜0时，，所以x＞－或x＜1。
基本不等式(同步检测)(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
2.2 基本不等式（同步检测）一、选择题1.(多选)已知实数a ，b ，下列不等式一定正确的有( )A.a ＋b 2≥abB.a ＋1a ≥2C.|ab ＋ba|≥2 D.2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22.(多选)下列条件可使b a ＋ab ≥2成立的是( )A .ab>0 B.ab<0C .a>0，b>0D.a<0，b<03.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2C.22D.44.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m5.“ab ＜a 2＋b 22”是“a ＞b ＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为（ ）A.2B.3C.22D.237.如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一B .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一C .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一D .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一8.已知a>1，则a ＋12，a ，2a a ＋1三个数的大小顺序是( )A.a＋12<a<2aa＋1B.a<a＋12<2aa＋1C.2aa＋1<a<a＋12D.a<2aa＋1≤a＋129.若－4<x<1，则y＝x2－2x＋22x－2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－1二、填空题10.已知x＞3，则x＋4x－3的最小值为________11.设x＞0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为________12.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．13.二十大报告中提到：“我国制造业规模稳居世界第一”．某公司为提高产能，购买一批新型设备，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．三、解答题14.设a，b，c都是正数，求证：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.已知a，b，c都是正数，且abc＝1，证明：1a＋1b≥2c．16.已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.CD 解析：当a＜0，b＜0时，a＋b2≥ab不成立；当a＜0，时，a＋1a≥2不成立；因为|a b＋b a|＝|a b|＋|b a|≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．2.ACD 解析：当且仅当ba＝ab>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．3.C 解析：由ab＝1a＋2b≥22ab，得ab≥22，当且仅当1a＝2b时取“＝”．4.C 解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选7 m最合理．5.B 解析：∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜a2＋b22⇒a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0⇒a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．6.A 解析：∵x＋y＋xy＝3，∴y＋1＝4x＋1，∴x＋y＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝y＝1时取等号．故选A．7.A 解析：由a＋b≥2ab可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤(c＋d2)2，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．8.C 解析：当a，b是正数时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，令b＝1，得2aa＋1≤a≤a＋12．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．9.D 解析：y＝x2－2x＋22x－2＝12[(x－1)＋1x－1]，又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．故y＝－12[－(x－1)＋1－(x－1)]≤－1．当且仅当x－1＝1x－1，即x＝0时等号成立．故选D．二、填空题10.答案：7解析：∵x＞3，∴x－3＞0，4x－3＞0．∴x＋4x－3＝x－3＋4x－3＋3≥2(x－3)·4x－3＋3＝7，当且仅当x－3＝4x－3，即x＝5时，x＋4x－3取得最小值7．11.答案：0 解析：y＝x＋22x＋1－32＝(x＋12)＋1x＋12－2≥2(x＋12)·1x＋12－2＝0，当且仅当x＋1 2＝1x＋12，即x＝12时等号成立．所以函数的最小值为0．12.答案：25 解析：设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y m2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤[x＋(10－x)2]2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y取最大值25．13.答案：5，8 解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－(x＋25x)，且x＞0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．三、解答题14.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2，所以(b a＋a b)＋(c a＋a c)＋(c b＋b c)≥6，当且仅当b a＝a b，c a＝a c，c b＝b c，即a＝b＝c时，等号成立，所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.证明：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以c＝1 ab．所以1a＋1b≥21ab＝2c，当且仅当1a＝1b，即a＝b＝1c时取等号．故1a＋1b≥2c成立．16.解：(1)由题意知x，y为正数，xy－8＝4x＋y≥24xy＝4xy，当且仅当4x＝y，即x＝1＋3，y＝4＋43时等号成立，则(xy)2－4xy－8≥0，解得xy≥2＋23或xy≤2－23(舍去)，所以xy≥(2＋23)2＝16＋83，即xy的最小值为16＋83．(2)由题意知x，y为正数，4x－xy＝－y－8，故x＝y＋8 y－4，因为x＞0，y＞0，所以y＞4，则x＋y＝y＋8y－4＋y＝y＋12y－4＋1＝(y－4)＋12y－4＋5．因为y＞4，y－4＞0，12y－4＞0，(y－4)＋12y－4＋5≥43＋5，即x＋y≥43＋5，当且仅当y－4＝12y－4，即y＝4＋23时等号成立．所以x＋y的最小值为5＋43．。
高一数学新教材不等式期末复习
高一数学不等式复习题一．选择题（共23小题）1．已知x＞1，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．10C．11D．7+2 2．已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则+的最小值是（）A．4B．6C．8D．23．已知x＞0，y＞0，且＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．12C．16D．204．已知正实数x，y满足x+2y＝2xy．则x+y的最小值为（）A．4B．C．D．5．若x＞，则3x+的最小值为（）A．7B．4C．9D．26．已知m，n＞0，+＝3，则m+n的最小值为（）A．3B．9C．6D．47．若直线ax﹣by﹣1＝0（a，b＞0）过点（2，﹣1），则的最小值为（）A．B．8C．D．8．若正数x，y满足2x+y＝1，则+的最小值为（）A．4B．3+2C．8D．99．关于x的不等式（x﹣1）（x+1）≤0的解集是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1）C．（﹣1，1]D．[﹣1，1] 10．关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集的条件是（）A．B．C．D．11．一元二次不等式（3﹣2x）（x+1）＜0的解集是（）A．B．C．D．12．关于x的不等式x2﹣mx+1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，4）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣2，2）13．不等式x2+2x﹣3＜0的解集为（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．﹣3＜x＜114．不等式x2≤3x的解集为（）A．[0，3]B．（﹣∞，3]C．（0，3）D．（﹣∞，3）15．关于x的不等式﹣x2+4x+5＞0的解集为（）A．（﹣5，1）B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）16．若关于x的一元二次不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）17．不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集是（）A．{x|x＞6或x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜6}C．{x|x＞1或x＜﹣6}D．{x|﹣6＜x＜1} 18．不等式x2＞8的解集是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣4，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）19．不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a﹣b等于（）A．﹣10B．﹣14C．10D．1420．若集合A＝{x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{4，5}D．{1，2，3，4，5} 21．若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为则a+b等于（）A．﹣18B．8C．﹣13D．122．不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2}B．{x|≤x＜2}C．{x|x＞2或x≤}D．{x|x≥}23．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）二．解答题（共17小题）24．已知函数f（x）是奇函数，且x＜0时，．（Ⅰ）求f（5）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式．25．函数f（x）在R上为奇函数，且x＞0时，f（x）＝|x|+1．（1）求f（﹣1）的值；（2）当x＜0时，求f（x）的解析式．26．设f（x）是R上的偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x（1+）+1，求f（x）表达式．27．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）＝x2﹣4x （1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）画出f（x）的图象；（3）根据图象写出f（x）的单调减区间和值域．28．关于x的不等式：x2﹣（a+1）x+a＜0，a∈R．（1）当a＝1时，解这个不等式；（2）当a≠1时，解这个不等式．29．已知f（x）＝x2﹣（3+a）x+3a．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．30．已知a＞0，b＞0，+＝2，求2a+8b的最小值．31．已知不等式ax2+3x﹣2＜0（a≠0）．（1）当a＝2时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a的值．32．已知二次函数f（x）＝mx2﹣mx﹣6．（1）当m＝1时，解不等式f（x）＞0；（2）若不等式f（x）＜0的解集为R，求实数m的取值范围．33．已知函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+2（其中a∈R）．（1）当a＝﹣1时，解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若f（x）≥﹣1的解集为R，求实数a的取值范围．34．已知函数f（x）＝x2+bx+3，且不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．（1）求实数b的值；（2）求不等式f（x）≤9﹣x2的解集；35．若关于x的不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞1}．（1）求实数a的值；（2）解关于x的不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0．36．已知关于x的不等式2kx2+kx﹣＜0，k≠0．（Ⅰ）若不等式的解集为（﹣，1），求k的值．（Ⅱ）若不等式的解集为R，求k的取值范围．37．（1）已知2＜x＜3＜y＜4，求各自的取值范围．（2）若关于x的不等式ax2﹣x+b＞0的解集为，求不等式bx2+ax﹣1≤0的解集．38．已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0．（1）若不等式的解集为（2，3），求实数k的值；（2）若k＞0，且不等式对一切2＜x＜3都成立，求实数k的取值范围．39．已知关于x的不等式ax2﹣5x+2＜0，a∈R．（1）当a＝2时，解此不等式；（2）若此不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞}，求实数a的值．40．解下列不等式：（1）x（7﹣x）≥12；（2）x2＞2（x﹣1）．一．选择题（共23小题）1．已知x＞1，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．10C．11D．7+2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，又y＞0，且+＝1，∴x+2y＝（x﹣1）+2y+1＝[（x﹣1）+2y]（+）+1＝6++≥6+2＝10，当且仅当＝，即x＝4，y＝3时等号成立，故x+2y的最小值为10．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．2．已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则+的最小值是（）A．4B．6C．8D．2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得，+＝＝2＝4，当且仅当a ＝b时取等号，故选：A．【点评】本题考查“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．3．已知x＞0，y＞0，且＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．12C．16D．20【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：x＞0，y＞0，且＝1，则x+2y＝（x+2y）（）＝5+≥5+4＝9，当且仅当且＝1，即x＝y＝3时取等号．故选：A．【点评】本题考查“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．4．已知正实数x，y满足x+2y＝2xy．则x+y的最小值为（）A．4B．C．D．【分析】由题意求得+＝2，故有x+y＝（）•（+）＝+1++，再利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：∵正实数x，y满足x+2y＝2xy，∴＝2，即+＝2，∴x+y＝（）•（+）＝+1++≥+2＝+，当且仅当x2＝2y2时，等号成立，则x+y的最小值为+，故选：D．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于中档题．5．若x＞，则3x+的最小值为（）A．7B．4C．9D．2【分析】把所给的等式变形并利用基本不等式，求出它的最小值．【解答】解：∵x＞，∴3x﹣5＞0，则3x+＝（3x﹣5）++5≥2+5＝9，当且仅当3x﹣5＝2时，等号成立，故3x+的最小值为9，故选：C．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．6．已知m，n＞0，+＝3，则m+n的最小值为（）A．3B．9C．6D．4【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵m，n＞0，+＝3，则m+n＝（m+n）（）＝（5+）＝3，当且仅当且+＝3即m＝1，n＝2时取等号，故选：A．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．7．若直线ax﹣by﹣1＝0（a，b＞0）过点（2，﹣1），则的最小值为（）A．B．8C．D．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得，2a+b＝1，a＞0，b＞0，则＝＝3，当且仅当且2a+b＝1即a＝1﹣，b＝时取等号．故选：D．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．8．若正数x，y满足2x+y＝1，则+的最小值为（）A．4B．3+2C．8D．9【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得解．【解答】解：∵2x+y＝1，∴+＝（+）（2x+y）＝2+++1≥3+2＝3+，当且仅当＝，即y＝x时，等号成立．∴+的最小值为3+．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9．关于x的不等式（x﹣1）（x+1）≤0的解集是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1）C．（﹣1，1]D．[﹣1，1]【分析】利用一元二次不等式（x﹣x1）（x﹣x2）≤0（x1＜x2）的解集是{x|x1≤x≤x2}即可求出．【解答】解：不等式（x﹣1）（x+1）≤0，∴﹣1≤x≤1，∴原不等式的解集为[﹣1，1]．故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，掌握三个“二次”的关系是解题的关键．属于基础题．10．关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集的条件是（）A．B．C．D．【分析】直接利用一元二次不等式解集是空集的条件得出答案．【解答】解：要使关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集的条件是．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：一元二次不等式解集是空集的条件，属于基础题型．11．一元二次不等式（3﹣2x）（x+1）＜0的解集是（）A．B．C．D．【分析】根据不等式对应方程的解，写出不等式的解集．【解答】解：不等式（3﹣2x）（x+1）＜0⇒不等式（2x﹣3）（x+1）＞0对应方程的解为和﹣1，所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法问题，是基础题．12．关于x的不等式x2﹣mx+1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，4）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣2，2）【分析】根据一元二次不等式与二次函数的联系即可得解．【解答】解：不等式x2﹣mx+1＞0的解集为R，所以△＜0，即m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2．故选：D．【点评】本题考查根据一元二次不等式的解集求参数范围，理解一元二次不等式与二次函数之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．13．不等式x2+2x﹣3＜0的解集为（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．﹣3＜x＜1【分析】先因式分解，再解一元二次不等式即可．【解答】解：∵x2+2x﹣3＜0，∴（x+3）（x﹣1）＜0，解得﹣3＜x＜1．用集合表示为（﹣3，1）．故选：A．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．14．不等式x2≤3x的解集为（）A．[0，3]B．（﹣∞，3]C．（0，3）D．（﹣∞，3）【分析】把不等式化为x2﹣3x≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2≤3x可化为x2﹣3x≤0，即x（x﹣3）≤0，解得0≤x≤3，所以不等式的解集为[0，3]．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是基础题．15．关于x的不等式﹣x2+4x+5＞0的解集为（）A．（﹣5，1）B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）【分析】不等式可化为x2﹣4x﹣5＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式﹣x2+4x+5＞0可化为x2﹣4x﹣5＜0，即（x﹣5）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜5，所以不等式的解集为（﹣1，5）．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．16．若关于x的一元二次不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【分析】根据判别式列出不等式求得a的取值范围．【解答】解：关于x的一元二次不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，则，即，解得a＞1，所以实数a的取值范围是（1，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．17．不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集是（）A．{x|x＞6或x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜6}C．{x|x＞1或x＜﹣6}D．{x|﹣6＜x＜1}【分析】把不等式化为（x+1）（x﹣6）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣5x﹣6＜0可化为（x+1）（x﹣6）＜0，解得﹣1＜x＜6，所以不等式的解集是{x|﹣1＜x＜6}．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．18．不等式x2＞8的解集是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣4，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【分析】通过因式分解，不等式x2＞8化为x2﹣8＞0，（x+2）（x﹣2）＞0，可解得答案．【解答】解：不等式x2＞8化为x2﹣8＞0，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得x＞2或x＜﹣2．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．19．不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a﹣b等于（）A．﹣10B．﹣14C．10D．14【分析】先根据不等式的解集得到方程的解为，进而求出a与b的数值，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：不等式ax2+bx+2＞0的解集，所以方程ax2+bx+2＝0的解为，所以a﹣2b+8＝0且a+3b+18＝0，所以a＝﹣12，b＝﹣2，所以a﹣b值是﹣10．故选：A．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的解集与方程的解之间的关系，并且结合正确的运算．20．若集合A＝{x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{4，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】根据交集的定义即可求出．【解答】解：集合A＝{x|（2x+1）（x﹣3）＜0}＝（﹣，3），B＝{x|x∈N*，x≤5}＝{1，2，3，4，5}，则A∩B＝{1，2}，故选：B．【点评】本题考查交集及运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．21．若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为则a+b等于（）A．﹣18B．8C．﹣13D．1【分析】通过不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数a，b，即可求出a+b【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为∴是ax2+bx﹣2＝0的两个根解得：∴a+b＝﹣13故选：C．【点评】本题考查一元二次不等式解集的定义，实际上是考查一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于基础题．22．不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2}B．{x|≤x＜2}C．{x|x＞2或x≤}D．{x|x≥}【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．【解答】解：不等式，移项得：，即≤0，可化为：或解得：≤x＜2，则原不等式的解集为：≤x＜2故选：B．【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型．学生进行不等式变形，在不等式两边同时除以﹣1时，注意不等号方向要改变．23．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）【分析】由x+＝（x+）（）＝2，利用基本不等式可求其最小值，存在x，y使不等式有解，即＜m2+3m，解不等式可求．【解答】解：∵正实数x，y满足，∴x+＝（x+）（）＝2＝4当且仅当且，即x＝2，y＝8时取等号，∵存在x，y使不等式有解，∴4＜m2+3m，解可得m＞1或m＜﹣4，故选：C．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及存在性问题与最值问题的相互转化思想的应用．二．解答题（共17小题）24．已知函数f（x）是奇函数，且x＜0时，．（Ⅰ）求f（5）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式．【分析】（Ⅰ）根据f（x）是奇函数及x＜0时的f（x）解析式，即可求出f（﹣5），从而得出f（5）；（Ⅱ）可设x＞0，从而得出﹣x＜0，进而得出，从而可得出x＞0时的f（x）解析式，进而得出f（x）的解析式．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，且x＜0时，；∴；（Ⅱ）设x＞0，﹣x＜0，则：；∴；∴．【点评】考查奇函数的定义，已知函数求值的方法，奇函数求对称区间上解析式的方法．25．函数f（x）在R上为奇函数，且x＞0时，f（x）＝|x|+1．（1）求f（﹣1）的值；（2）当x＜0时，求f（x）的解析式．【分析】（1）根据f（x）是奇函数，以及x＞0时的f（x）解析式，即可得出f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2；（2）可设x＜0，得出﹣x＞0，从而得出f（﹣x）＝|x|+1＝﹣f（x），解出f（x）即可．【解答】解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，且x＞0时，f（x）＝|x|+1，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1+1）＝﹣2；（2）设x＜0，﹣x＞0，则：f（﹣x）＝|x|+1＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣|x|﹣1，即x＜0时，f（x）＝﹣|x|﹣1．【点评】本题考查了奇函数的定义，已知函数求值的方法，求奇函数在对称区间上的函数解析式的方法，考查了计算能力，属于基础题．26．设f（x）是R上的偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x（1+）+1，求f（x）表达式．【分析】根据条件，可设x＜0，得出﹣x＞0，从而可求出，然后利用分段函数即可表示出f（x）．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x（1+）+1，∴设x＜0，﹣x＞0，则：，∴．【点评】考查偶函数的定义，求偶函数对称区间上函数解析式的方法和过程，以及已知f （x）求f[g（x）]的方法，分段函数的定义．27．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）＝x2﹣4x （1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）画出f（x）的图象；（3）根据图象写出f（x）的单调减区间和值域．【分析】（1）当x＞0时，﹣x＜0，由此利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，能求出当x＜0时，f（x）的解析式．（2）由f（x）＝，能求出函数f（x）的图象．（3）由f（x）的图象能求出f（x）的减区间和值域．【解答】解：（1）当x＞0时，﹣x＜0，∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，x≥0时，f（x）＝x2﹣4x∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x．（2）由（1）得f（x）＝，∴函数f（x）的图象如下所示：（3）由f（x）的图象知f（x）的减区间是（﹣∞﹣2），（0，2）．f（x）的值域为[﹣4，+∞）．【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查函数的图象、减区间、值域的求法，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．28．关于x的不等式：x2﹣（a+1）x+a＜0，a∈R．（1）当a＝1时，解这个不等式；（2）当a≠1时，解这个不等式．【分析】（1）a＝1时不等式为x2﹣2x+1＜0，求出解集即可；（2）a≠1时不等式化为（x﹣a）（x﹣1）＜0，讨论a和1的大小，写出对应不等式的解集．【解答】解：（1）a＝1时，不等式为：x2﹣2x+1＜0，即（x﹣1）2＜0，所以不等式的解集为∅；（2）当a≠1时，不等式化为（x﹣a）（x﹣1）＜0，不等式对应方程的两个实数根为a和1，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}；当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题．29．已知f（x）＝x2﹣（3+a）x+3a．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．【分析】（1）a＝1时f（x）＝x2﹣4x+3，求不等式f（x）＜0的解集即可；（2）不等式化为x2﹣（3+a）x+3a≥0，求出不等式对应方程的实数根，讨论a的大小，写出对应不等式的解集．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣4x+3，不等式f（x）＜0化为x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3；所以不等式f（x）＜0的解集为（1，3）；（2）不等式f（x）≥0，化为x2﹣（3+a）x+3a≥0，即（x﹣3）（x﹣a）≥0，不等式对应方程的实数根为3和a，所以当a＞3时，不等式的解集为{x|x≤3或x≥a}；当a＝3时，不等式的解集为R；当a＜3时，不等式的解集为{x|x≤a或x≥3}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．30．已知a＞0，b＞0，+＝2，求2a+8b的最小值．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为a＞0，b＞0，+＝2，所以2a+8b＝（2a+8b）（）×＝＝25，当且仅当即a＝b＝时取等号．故2a+8b的最小值25．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．31．已知不等式ax2+3x﹣2＜0（a≠0）．（1）当a＝2时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a的值．【分析】（1）a＝2时解一元二次不等式即可；（2）由根与系数的关系求出a的值．【解答】解：（1）a＝2时，不等式为2x2+3x﹣2＜0，分解因式得（2x﹣1）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜，所以不等式的解集为{x|﹣2＜x＜}；（2）不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}，所以方程ax2+3x﹣2＝0的两根为1和2，由根与系数的关系知，﹣＝1+2，解得a＝﹣1．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．32．已知二次函数f（x）＝mx2﹣mx﹣6．（1）当m＝1时，解不等式f（x）＞0；（2）若不等式f（x）＜0的解集为R，求实数m的取值范围．【分析】（1）求m＝1时对应一元二次不等式的解集；（2）由题意知，求出解集即可．【解答】解：（1）当m＝1时，不等式为x2﹣x﹣6＞0，即（x+2）（x﹣3）＞0，解得x＜﹣2或x＞3，所以不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}；（2）若不等式f（x）＜0的解集为R，则应满足，即，解得﹣24＜m＜0；所以m的取值范围是﹣24＜m＜0．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．33．已知函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+2（其中a∈R）．（1）当a＝﹣1时，解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若f（x）≥﹣1的解集为R，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝﹣1代入关于x的不等式f（x）＜0，由解一元二次不等式的解法可得答案；（2）若f（x）≥﹣1的解集为R，分类讨论a，根据一元二次不等式的解R时满足的条件可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，由f（x）＜0得，﹣x2﹣4x+2＜0，所以x2+4x﹣2＞0，所以不等式的解集为；（2）因为f（x）≥﹣1解集为R，所以ax2+（a﹣3）x+2≥﹣1在R恒成立，当a＝0时，得﹣3x+2≥﹣1，不合题意；当a＞0时，由ax2+（a﹣3）x+3≥0在R恒成立，得，所以：，【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论方法，解题时应对字母系数进行分析，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．34．已知函数f（x）＝x2+bx+3，且不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．（1）求实数b的值；（2）求不等式f（x）≤9﹣x2的解集；【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，即可求出b的值；（2）由（1）知不等式化为x2﹣4x+3≤9﹣x2，解不等式即可．【解答】解：（1）函数f（x）＝x2+bx+3，对应不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）；所以方程x2+bx+3＝0的两个实数解为1和3，由根与系数的关系知，b＝﹣（1+3）＝﹣4；（2）由（1）知，不等式f（x）≤9﹣x2可化为x2﹣4x+3≤9﹣x2，即x2﹣2x﹣3≤0，解得﹣1≤x≤3，所以不等式f（x）≤9﹣x2的解集为[﹣1，3]．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应函数和方程的问题，是基础题．35．若关于x的不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞1}．（1）求实数a的值；（2）解关于x的不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0．【分析】（1）由题意知1﹣a＜0且﹣3和1是对应方程的两根，由根与系数的关系列方程求出a的值；（2）由（1）化简不等式，求出解集即可．【解答】解：（1）由题意，知1﹣a＜0且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6＝0的两根，所以，解得a＝3．（2）由（1）得不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0，即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞．故所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及不等式的解法问题，是基础题．36．已知关于x的不等式2kx2+kx﹣＜0，k≠0．（Ⅰ）若不等式的解集为（﹣，1），求k的值．（Ⅱ）若不等式的解集为R，求k的取值范围．【分析】（I）由题意可得，﹣和1是方程2kx2+kx﹣＝0的两个根，由方程的根与系数关系可求，（II）由题意可得，2kx2+kx﹣＜0恒成立，结合二次函数的性质可求．【解答】解：（I）由题意可得，﹣和1是方程2kx2+kx﹣＝0的两个根，由方程的根与系数关系可得，﹣，解可得，k＝，（II）由题意可得，2kx2+kx﹣＜0恒成立，则，﹣3＜k＜0，故k的范围为（﹣3，0）．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．37．（1）已知2＜x＜3＜y＜4，求各自的取值范围．（2）若关于x的不等式ax2﹣x+b＞0的解集为，求不等式bx2+ax﹣1≤0的解集．【分析】（1）根据题意，利用不等式的基本性质，求出x﹣y、2x﹣y和的取值范围；（2）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出b和a的值，再代入求不等式的解集．【解答】解：（1）因为2＜x＜3＜y＜4，所以4＜2x＜6，﹣4＜﹣y＜﹣3，，所以﹣2＜x﹣y＜0，0＜2x﹣y＜3，；（2）由题意可知方程ax2﹣x+b＝0的两根为，所以，解得，∴不等式bx2+ax﹣1≤0，即为3x2﹣2x﹣1≤0，解得﹣≤x≤1，其解集为．【点评】本题考查了不等式的基本性质与一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题．38．已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0．（1）若不等式的解集为（2，3），求实数k的值；（2）若k＞0，且不等式对一切2＜x＜3都成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由已知得2和3是相应方程kx2﹣2x+6k＝0的两根且k＞0，利用根与系数的关系即可得出；（2）设f（x）＝kx2﹣2x+6k，利用二次函数的图象与性质把问题化为，即可求出k的取值范围．【解答】解：（1）不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集为（2，3），所以2和3是方程kx2﹣2x+6k＝0的两根且k＞0，由根与系数的关系得，2+3＝，解得k＝；（2）令f（x）＝kx2﹣2x+6k，则原问题等价于，即，解得k≤，又k＞0，所以实数k的取值范围是0＜k≤．【点评】本题考查了一元二次不等式与与相应的一元二次方程以及二次函数的应用问题，是综合性题目．39．已知关于x的不等式ax2﹣5x+2＜0，a∈R．（1）当a＝2时，解此不等式；（2）若此不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞}，求实数a的值．【分析】（1）求a＝2时一元二次不等式的解集即可；（2）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a的值．【解答】解：（1）a＝2时，不等式为2x2﹣5x+2＜0，可化为（x﹣2）（2x﹣1）＜0，解得＜x＜2，∴不等式的解集为{x|＜x＜2}；（2）若不等式ax2﹣5x+2＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞}，则方程ax2﹣5x+2＝0的实数根为﹣2和，∴﹣2+＝，解得a＝﹣3，即a的值为﹣3．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应一元二次方程的应用问题，是基础题．40．解下列不等式：（1）x（7﹣x）≥12；（2）x2＞2（x﹣1）．【分析】（1）把不等式x（7﹣x）≥12化为x2﹣7x+12≤0，求出解集即可；（2）不等式x2＞2（x﹣1）化为x2﹣2x+2＞0，利用判别式△＜0，求出不等式的解集来．【解答】解：（1）不等式x（7﹣x）≥12可化为x2﹣7x+12≤0，即（x﹣3）（x﹣4）≤0；解得3≤x≤4，∴不等式的解集为[3，4]；（2）不等式x2＞2（x﹣1）可化为，即x2﹣2x+2＞0；∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴不等式的解集为R．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应根据不等式的特点选择适当的方法进行解答，是基础题目．。
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高一数学不等式测试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．若a ＜b ＜0，则 （ ）A ．
b 11<a B ． 0＜b a ＜1 C ． a b ＞b 2 D ． b
b a a > 2．若|a ＋c|＜b ，则 （ ）A ． |a |＜|b|－|c| B ． |a |＞|c|
－|b| C ． |a |＞|b|－|c| D ． |a |＜|c|－|b|
3．设a ＝26c ,37b ,2-=-=，则a ,b,c 的大小顺序是 （ ）
A ． a ＞b ＞c
B ． a ＞c ＞b
C ． c ＞a ＞b
D ． b ＞c ＞a
4． 设b ＜0＜a ,d ＜c ＜0，则下列各不等式中必成立的是 （ ）A ． a c ＞bd B
． d b >c a C ． a ＋c ＞b ＋d D ． a －c ＞b －d
5．下列命题中正确的一个是 （ ）
A ．b
a a
b +≥2成立当且仅当a ,b 均为正数 B ．222
2b
a b a +≥+成立当且仅当a ,b 均为正数
C ．log a b ＋log a b ≥2成立当且仅当a ,b ∈(1,＋∞)
D ．|a ＋a 1
|≥2成立当且仅当a ≠0
6．函数y ＝log ⎪⎭⎫
⎝
⎛-+⋅+-2134223x x x x 的定义域是 （ ）
A ．x ≤1或x ≥3
B ．x ＜－2或x ＞1
C ．x ＜－2或x ≥3
D ．x <－2或x ＞3
7．已知x,y ∈R ，命题甲: |x －1|＜5,命题乙: ||x |－1|＜5，那么 （ ）
A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充要条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
8．已知实数x ,y 满足x 2＋y 2＝1，则代数式(1－x y)(1＋x y)有 （ ）
A ．最小值21
和最大值1 B ．最小值43
和最大值1
C ．最小值21和最大值43
D ．最小值1
9．关于x 的方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正的实根的充要条件是 （ ）
A ．a ≥0
B ．－1≤a ＜0
C ．a ＞0或－1＜a ＜0
D ．a ≥－1
10．函数y ＝x x x +++132
(x ＞0)的最小值是 （ ）
A ．23
B ．－1＋23
C ．1＋23
D ．－2＋23
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．关于x 的不等式a x 2+b x +2>0的解集是}3
121|{<<-x x ，则a +b=_____________。
12．实数=+=+>x y x y x y x ，此时的最大值是，那么，且，______log log 42022_________，y=_________。
13．方程()02lg 222=-+-a a x x 又一正根一负根，则实数a 的取值范围是 。
14．建造一个容积83m ，深为m 2长的游泳池，若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则游泳池的最低总造
价为__________元。
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．已知.))((,1,0,xy bx ay by ax b a b a ≥++=+>求证：且（12分）
16．解关于x 的不等式1)0( )1(log )4(log 14
121≠>-≥-+a a a a x x 且．（12分）
17．已知: x > y >0 , 且x y=1, 若)(22y x a y x -≥+恒成立,求实数a 的取值范围。
（12分）
18．解关于)0(11
)1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式。
（12分）
19．设f(x)是定义在上]1,1[-的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x =1对称，而当]3,2[∈x 时，44)(2-+-=x x x g 。
（1）求f(x)的解析式；
（2）对于任意的,]1,0[,2121x x x x ≠∈且求证：;2)()(1212x x x f x f -<-
（3）对于任意的,]1,0[,2121x x x x ≠∈且求证：.1)()(12≤-x f x f （14分）
20．某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?（14分）。