矩阵论课程论文
矩阵分析与计算--01-线性空间
《矩阵分析与应用》
张贤达清华大学出版社，2004年9月
矩阵与计算工具：MATLAB， MAPLE,LAPACK … 编程语言：C/C++, C#, Fortran，Java
14
矩阵分析与计算
考核方式：
闭卷考试：65%
课堂讨论，小报告： 35% 作业抽查，应该重视练习、讨论、算法设计、 上机实践等环节。
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数 学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用 的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维 斯特（1814-1897）首先使用的，他是为了将 数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述 语 西尔维斯特一生致力于纯数学的研究，他和凯莱、哈 在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念， 密顿 (Hamilton)等人一起开创了英国纯粹数学的一个 然而在历史上次序正好相反。 繁荣局面．他的成就主要在代数方面，他同凯莱一起
18
本讲主要内容
线性空间定义与性质 基、维数、坐标 基变换与坐标变换
子空间
内积空间
19
一、线性空间
几何空间和 n 维欧氏空间的回顾 推广思想： 抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
线性空间定义 要点：
集合V 与数域F 向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画
矩 阵 分 析 与 计 算 Matrix Analysis and Computations
理学院 Email: mymath@ (民) 2011年9月
1
本科线性代数内容的简单回顾与讨论 1）线性代数主要内容 2）有什么用？工科学生最关心的 大家在本科毕业设计中用了么？
《矩阵的秩的等式及不等式的证明》
《矩阵的秩的等式及不等式的证明》摘要矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.目录第一章绪论 (1)第二章预备知识 (2)第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 (3)第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式 (6)第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 (10)第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 (15)第七章小结.................................................错误!未定义书签。
参考文献 (23)致谢 (2)第一章绪论矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学.目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握.本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.第二章 预备知识定义1矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩；矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.定义2如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.定义3 数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：（1）以数域P 中的一个非零数乘以矩阵的某一行（列）；（2）把矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）；（3）互换矩阵中两行（列）的位置.定义4在一个s n ⨯矩阵A 中任意选定k 行和k 列，位于这些选定的行列交叉点上的2k 个元素按原来的次序组成的k 级行列式称为A 的一个k 级子式.定义5设A 为m n ⨯矩阵,称线性方程组0Ax =的解空间为A 的零空间(即核空间)，记作()N A ,即(){}0N A x Ax ==.引理1[1] 矩阵的行秩等于列秩.引理2[1] 任意两个等价的向量组必有相同的秩.引理3 n 阶方阵A 可逆0A ⇔≠.证明:充分性:当,0≠=A d 由**11()()A A A A E d d ==知A 可逆，且1*1.A A d-= 必要性:如果A 可逆，那么有1-A 使.1E AA =- 两边取列式，得11==-E A A ，因而0≠A .引理4[1] 矩阵的秩是r 的充要条件为矩阵中有一个r 级子式不为0，同时所有的1r +级子式全为0.引理5[1] 如果向量组()I 可以由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩. 证明：根据已知可知向量组()I 极大线性无关组可由()II 的极大线性无关组线性表出，根据向量组的基本性质(见参考文献[1])可得，向量组()I 极大线性无关组的向量个数不超过()II 的极大线性无关组的向量个数，即()I 的秩不超过()II 的秩.引理6[1] 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数为n r -，这里r 表示系数矩阵的秩，n r -也是自由未知量的个数.第三章 用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式本章主要是利用矩阵已知的秩的理论证明秩的等式和不等式问题，例如行秩等于列秩，秩为r 的充要条件，常见的秩的不等式等等.要掌握并且灵活运用这些知识才能证明下面的命题.这些命题都是一些基本的命题.命题3.1 ()()T r A r A =．证明：由矩阵转置的定义,A 的行向量组就是T A 的列向量组，因此A 的行秩就是T A 的列秩，又由引理1知()()T r A r A =，命题证毕.命题3.2 ()()r kA r A =（其中0k ≠）.证明：kA 的行向量组可由A 的行向量组线性表出，A 的行向量组也可由kA 的行向量组线性表出，因此kA 的行向量组与A 的行向量组等价.由引理2它们的秩相等，再由秩的定义知kA 与A 的秩相等,命题证毕.命题3.3 A 是一个s n ⨯矩阵，如果P 是s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么()()()r A r PA r AQ ==.证明：令B PA =,由矩阵乘积的秩不超过各因子的秩可知()()r B r A ≤,但是由1A P A -=，又有()()r A r B ≤．所以()()()r A r B r PA ==.另一个等式可以同样地证明,命题证毕.命题3.4[2] 设A 是一个n 阶方阵，则()()()()*,1,10,2n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪≤-⎩如如如.证明：若()r A n =，由引理3，0A ≠，知A 可逆，*1A A A -=可逆，故()r A n *=． 若()1r A n =-，由引理4，A 存在1n -阶子式不为0，因此*0A ≠,()1r A *≥，又因为*0AA A E ==，有()()*r A r A n +≤，即()()*1r A n r A ≤-=，从而()*1r A =．若()2r A n ≤-，则由引理4，A 存在1n -阶子式全为0，于是*=0A ，即()*0r A =．命题证毕.从这个命题可以得出()()*r A r A ≤的结论.命题 3.5［３］ 设A 是一个m n ⨯矩阵，任取A 的s 行t 列,交叉处的s t ⨯个元素按原来的相对位置构成s t ⨯子矩阵C ，则()()r C m n r A s t ++≥++．证明:设D 为A 的s 行所构成的s t ⨯子矩阵，它由C 所在的s 行确定.设()r D d =.则A 的任意一个大于d m s +-阶的子式M 必须至少有1d +行出现在D 中.根据行列式的性质，对这个子式M 按出现在D 中的那些行进行拉普拉斯展开，则可以看出，这个M 可以表示成D 的一些阶子式的线性组合，其中k 为某个大于d 的数.由引理3这些子式全为零.因此任意一个大于d m s +-阶子式M 必须等于零.由秩的定义,()()r A r D m s ≤+-.由行与列的对称性类似地可推出()()r D r C n t ≤+-,两式相加即可得到()()r C m n r A s t ++≥++，命题证毕.命题3.6［４］ 设,A B 都是n 阶矩阵,证明:()()()r AB A B r A r B ++≤+.证明:()()()r AB A B r A B E B ++=++()()r A B E B ≤++()()r A r B ≤+，命题证毕. 例3.1 设A 为n 阶方阵，求证必存在正整数m 使得()()1m m r A r A +=.证明:由于A 为n 阶方阵，则()()()20i n r A r A r A ≥≥≥≥≥,其中i 为正整数,而n 是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，因而必存在正整数m 使得()()1m m r A r A +=.例3.2设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，证明()()()r AB E r A E r B E -≤-+-.证明:因为()()AB E A E A B E -≤-+-,所以()()()()()()()()()r AB E r A E A B E r A E r A B E r A E r B E -=-+-≤-+-≤-+-. 命题3.7设A 为n 阶矩阵，证明:如果2A E =,那么()()r A E r A E n -+-=.证明： 因为()()20A E A E A A A E E E -+=+--=-=,由命题5.3知()()r A E r A E n -+-≤. ①又 ()()()()()2r A E r A E r A E A E r A r A -++≥++-==而2A E =，所以21A =,即0A ≠，()r A n =. 因此()()r A E r A E n -+-≥. ②由①，② 可得()()r A E r A E n -+-=.例3.3[5] 设A ,B 为n 阶方阵,且1=,ABA B -则()()n AB E r AB E r =-++.证明:因为,1-=B ABA 所以()E AB =2.由命题3.7知()()n E AB r E AB r =-++ (1)由 ()()E AB r AB E r +=+,()()E AB r AB E r -=- (2)由(1),(2)知有()()n AB E r AB E r =-++成立.例3.4设A 为n 阶矩阵,且2A A =,证明()()r A r A E n +-=.证明：由2A A =，可得 ()0A A E -=.()()r A r A E n +-≤ ①又因为E A -和A E - 有相同的秩,所以()()()()n r E r A E A r A r E A ==+-≤+- ②由①，② 可得()()r A r A E n +-=.第四章 用线性空间的理论证明秩的等式和不等式本章主要是利用线性空间的维数公式，同构，直和分解，核与值域的一些性质和定理来证明矩阵的一些秩的等式和不等式命题.线性空间和线性变换的知识本来就比较抽象，还要和矩阵的联系起来，是有一定的难度的.这其中要构造一些映射．命题4.1 A 设为n 阶方阵，如果A 的列向量所生成的n R 的子空间()R A 与A 的零空间（即核空间）()N A 的直和为n R ，则()()2r A r A =.证明:根据引理6，要证()()2r A r A =，只要证0AX =与20A X =同解．0AX =的解显然为方程组20A X =的解.下面我们用反证法证明20A X =的任一解Y 同时也是20A X =的解.若0AY ≠，因()0A AY =,故()AY N A ∈.另一方面，()1ni i i AY y R A α==∈∑，其中()12,,,n A ααα=，()12,,,Tn Y y y y =, 从而 ()()0AY R A N A ≠∈⋂,这与()()n R R A N A =⊕矛盾,所以20A X =的任一解同时也是0AX =的解,于是它们同解,故()()2r A r A =.命题4.2 设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵，证明Sylrester 公式：()()()+-r A r B n r AB ≤.证明:设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵,考虑1n x X x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1n y Y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 方程组0(1)0(2)0(3)ABX BX AY =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ,设（1）（2）（3）的解空间分别为AB V ，B V ，A V ，则()dim A V n r A =-，将三者联系起来，作{}AB BX x V ∈，则它为A V 的子空间，从而{}()dim dim AB A BX x V V n r A ∈≤=-，又B V 为AB V 的子空间，作：AB B V V W =⊕一方面()()()()()dim dim dim 11AB B W V V r AB r B r B r AB =-=---=- 下证{}AB W BX X V ≅∈定义 {}:AB f W BX X V →∈()f B ξξ=易知这个映射是单满的，并且满足线性运算条件，所以它是同构映射.{}()()dim dim AB W BX X V r B r AB =∈=-但上面：{}()dim dim AB A BX X V V n r A ∈≤=-.因此 ()()()n r A r B r AB -≥-，即 ()()()r A r B n r AB +-≤．命题4.3 设A 为m n ⨯，B 为n m ⨯矩阵，AB BA =．证()()()()AB r B r A r B A r -+≤+． 证明:设4321,,,w w w w 分别为A ,B ,A B +,AB 行空间,那么()1dim w r A =, ()2dim w r B =()3dim w r A B =+, ()4dim w r AB =由于213w w w +⊆,并由维数公式得:()31212dim dim dim dim w w w w w ≤+=+()21dim w w ⋂-即得:()()()()12dim r A B r A r B w w +≤+-⋂ (1)由于AB 的行向量是B 的行向量的线性组合,所以有24w w ⊆,又AB BA =,所以有14w w ⊆,因此有214w w w ⋂⊆,所以有()()21dim w w AB r ⋂≤ (2).将(2)代入(1)即得: ()()()()AB r B r A r B A r -+≤+.命题4.4 若()()r AB r B =，证明()()r ABC r BC =.证明：设方程组0ABX =与0BX =的解空间分别为AB V ，B V .若()()r AB r B =，则根据引理6知()()dim dim AB B V V = ① 又因为满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇ ② 由① ②可推出AB B V V =.要证()()r ABC r BC =，只要证0ABCX =与0BCX =同解. 设方程组0ABCX =与0BCX =的解空间分别为ABC V ，BC V . 显然ABC BC V V ⊇,只要证ABC BC V V ⊆.由0ABCX =知AB B CX V V ∈=,即0BCX =，因此ABC BC V V ⊆，命题得证. 此例是一个有价值的结论.例4.1 n 阶矩阵A 满足2A A =当且仅当()()r A r A E n +-=.证明：先证明必要性.由2A A =知A 相似于形如0110A ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的对角阵，其中1的个数为()r A ,又E A -与0E A -相似，从而有相同的秩，而0110E A ⎛⎫ ⎪⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中0的个数为A 的秩，1的个数()n r A -.所以()()()()()()00r A r E A r A r E A r A n r A +-=+-=+-=.充分性.只要证明对任意X 均有2A X AX =即可.由()()r A r E A n +-=说明,10AX =的解空间1V 与()20E A X -=的解空间2V 满足12n V V R ⊕=,从而对任意X 存在唯一分解12X X X =+其中1122X V X V ∈∈,所以()()()()22121222121200A X A X X A AX A AX A AX X AX AX A X X =+=+=+=+=+=+AX =综上即证2A A =.命题4.5设,A B 分别是,m m m n ⨯⨯矩阵，A 其中为可逆矩阵,证明()().r AB r B = 证明：设121212,(,,...,),(,,...,),(,,...,)m n n AB Q A B Q αααβββγγγ====， 则 1211122212(,,...,),(,,...,),...,(,,...,)m m m n n αααβγαααβγαααβγ=== 因为A 为可逆矩阵，秩为m ，故可将12(,,...,)m ααα看做m 维线性空间的一组基， 则12,,...,n γγγ向量在这组基下的坐标向量分别为12,,...,n βββ.作1212(,,...,),(,,...,)n n l l βββγγγ，在这两个线性空间中构造映射，将12(,,...,)n l γγγ中的每个向量映射到在基12(,,...,)m ααα下的坐标向量，这个映射是一个同构映射，因此1212(,,...,),(,,...,)n n l l βββγγγ这两个线性空间同构，所以1212dim((,,...,))dim((,,...,))n n l l βββγγγ=，而1212dim((,,...,))(),dim((,,...,))()n n l r B l r AB βββγγγ==.所以()().r AB r B = 同理可证明B 当为可逆矩阵时,()().r AB r A =这章主要是利用线性空间和线性变换的一些知识来证明矩阵的秩的等式和不等式命题，难点在于要好好理解线性空间和线性变换的一些知识，重要定理和性质，再把握它们同矩阵的联系.第五章 用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式本章主要利用向量组的秩和极大线性无关组的一些知识，以及线性方程组的解空间的维数和系数矩阵的秩的关系来证明秩的等式和不等式.命题5.1设A 是m n ⨯矩阵，B 是m p ⨯矩阵,则()r A 或()()()()r B r A B r A r B ≤≤+. 证明：()A B 列向量组向量的个数比A 和B 多，所以()r A 或()()r B r A B ≤． 下面证明()()()r A B r A r B ≤+.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B的列向量组的极大线性无关组,则()A B 的每个列向量均可用向量组121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B线性表出,根据引理5可知()()()()12121212,,,,,i i ir j j jr r A B r A A A B B B r r r A r B ≤≤+=+.命题证毕.命题5.2设A ,B 是m n ⨯矩阵，()()()()()r A r B r A B r A r B -≤±≤+. 证明：先证明()()()r A B r A r B +≤+. 设()12,,n A A A A =,()12,,n B B B B =,则()1122,,n n A B A B A B A B +=+++.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，则有111122s i i r ir A k A k A k A =+++()1,2,,s n =221122s i i r ir B l B l B l B =+++112211221122s s i i r ir i i r ir A B k A k A k A l B l B l B +==+++++++即A B +的列向量可以由121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B 线性表出，由引理5知 ()()()()12121212,,,,,i i ir j j jr r A B r A A A B B B r r r A r B +≤≤+=+.再证明()()()r A r B r A B -≤+.由刚证明的结论()()()r A B r A r B +≤+可知()()()()()()()()r A r A B B r A B r B r A B r B =++-≤++-=++,移项得到()()()r A r B r A B -≤+,同理可得()()()r B r A r A B -≤+,因此()()()r A r B r A B -≤+. 综上所述我们证明了()()()()()r A r B r A B r A r B -≤+≤+，对于()()()()()r A r B r A B r A r B -≤-≤+，只要把以上证明过程的B 改成B -即可得证，命题证毕.由命题3.1()()T r A r A =,命题3.2()()r kA r A =（其中0k ≠）和本命题可推知()()()r kA lB r A r B +≤+（其中0kl ≠）.例5.1设A ,B 是m n ⨯矩阵,证明:()()r A B r A B ±≤. 证明:先证明()()r A B r A B +≤. 设()12,,n A A A A = ()12,,n B B B B =,则()1122,,n n A B A B A B A B +=+++ ()()1212,,,,,n n A B A A A B B B =.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，则有111122s i i r ir A k A k A k A =+++()1,2,,s n =221122s i i r ir B l B l B l B =+++112211221122s s i i r ir i i r ir A B k A k A k A l B l B l B +==+++++++即A B +的列向量可以由121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B 线性表出,由于 121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B也是来自于()A B 的列向量组的向量,所以A B +的列向量也可以由()A B 的列向量组线性表出,根据引理5可知()()r A B r A B +≤.对于()()r A B r A B -≤, 只要把以上证明过程的B 改成B -即可得证，命题证毕.命题5.3设A 是m n ⨯矩阵，B 是n p ⨯矩阵，如果0AB =，则()()r A r B n +≤. 证明：设 ()12,,,p B B B B =，则()12,,,0p AB AB AB AB ==.故有120p AB AB AB ====,即齐次方程组0AX =有p 个解12,,,p B B B .若()r A r =，则根据引理6,12,,,p B B B 可由n r -个解向量组成的基础解系线性表出.根据引理5有()r B n r =-,()()()r A r B r n r n +≤+-=,命题证毕. 例5.2 A 是m n ⨯矩阵，则()()()()T T T r A A r AA r A r A ===. 证明：由命题3.1知()()T r A r A =.下面我们先证明()()T r A A r A =. 只要证明0T A AX =与0AX =同解便可得到()()T r A A r A =. 一方面，满足0AX =解向量也满足0T A AX =；另一方面，由0T A AX =两边同时左乘T X 得到0T T X A AX =，即()()0TAX AX =，设1n k AX k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,那么()()2210T n AX AX k k =+=,所以0i k =()1,2,,i n =，0AX =，满足0T A AX =的解也满足0AX =．综上所述0T A AX =与0AX =同解,解空间的维数相等，由系数矩阵的秩与线性方程解空间的维数之间的关系可知()()T n r A A n r A -=-，()()T r A A r A =.对()()T T r AA r A =证明过程与此类似，所以()()()()T T T r A A r AA r A r A ===，命题证毕.例5.3 证明：若线性方程组0AX =的解均为0BX =的解，则()()r A r B ≥. 证明：设方程组0AX =与0BX =的解空间分别为A V ,B V ，若线性方程组0AX =的解均为0BX =的解，则A B V V ⊆,()()dim dim A B V V ≤根据引理6有()()n r A n r B -≤-,即()()r A r B ≥，命题得证.例5.4设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵，证明0ABX =与0BX =同解的充分必要条件为()()r AB r B =.证明：设方程组0ABX =,0BX =解空间分别为AB V ,B V . 必要性：若AB B V V =，()()dim dim AB B V V =,根据引理6可知()()n r AB n r B -=-,可以推出()()r AB r B =.充分性：若()()r AB r B =，则根据引理6知()()dim dim AB B V V = ①又因为满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇ ②由① ②可推出AB B V V =.命题证毕.命题 5.4设A 是数域P 上n m ⨯矩阵，B 是数域P 上m s ⨯矩阵，证明()()(){}min ,r AB r A r B ≤即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.证明: 构造齐次线性方程组0ABX =与0BX =,设方程组0ABX =与0BX =的解空间分别为AB V ,B V .显然，满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇,()()dim dim AB B V V ≥, 根据引理6知()()r AB r B ≤.再构造齐次线性方程组0T T B A X =与0T A X =，同理可得()()T T T r B A r A ≤,即()()r AB r A ≤.综上所述()()(){}min ,r AB r A r B ≤.此命题用归纳法可以推广为：如果12m A A A A =那么1()()min j j mA A ≤≤≤秩秩.例 5.4 如果m n ⨯方程组0AX =的解为方程11220n n b x b x b x +++=的解，其中()'12,,,n X x x x =，求证()12,,,n A r r A b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.证明：由已知可知0AX =与120,,,n A X b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭同解，根据引理6它们的系数矩阵的秩相等,所以 ()12,,,n A r r A b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.第六章 用矩阵分块法证明秩的等式和不等式本章主要是利用矩阵分块的方法来证明矩阵的秩的等式和不等式，也包括矩阵分解的方法证明秩的等式和不等式，涉及到了矩阵的广义初等变换和广义初等矩阵.例6.1[4] 设A 是数域P 上n m ⨯矩阵，B 是数域P 上m s ⨯矩阵， 求证()()(){}min ,r AB r A r B ≤,即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩．证明：设111212122212m m n n nm a a a a aa A aa a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，111212122212s s m m ms b b b b bb B b b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭令12,,,m B B B 表示B 的行向量，12,,,n C C C 表示C AB =的行向量。
-矩阵的Kronecker乘积的性质与应用
摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。
那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。
本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker积进行介绍和必要的说明。
之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。
此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。
矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。
本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。
关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix KroneckerproductAbstractAccording to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product doThis article will describe a special matrix product BA , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations目录摘要 ........................................................................ I Abstract ................................................................... II 第一章 矩阵的Kronecker 积 . (1)矩阵的Kronecker 积的定义 ................................................ 1 矩阵的Kronecker 积的性质 ................................................ 1 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 .......................................... 6 第三章 矩阵的拉直 (9)矩阵的拉直的定义 ......................................................... 9 矩阵的拉直的性质 ......................................................... 9 第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (11)矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................... 11 矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................... 13 矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 ........................................ 14 参考文献.................................................................... 16 致谢 .. (18)符号说明W a W a 属于集合元素nm ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij⨯ij A )( 列的元素行的矩阵j i AT A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A1-A 的逆矩阵矩阵A→A 按行拉直得到的列向量矩阵AA det 的行列式方阵AtrA 的主对角元素之和的迹，方阵A A)(A rank 的秩矩阵A)(A λ 的特征值方阵An I 阶单位矩阵nR 实数域 C 复数域n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯O 零矩阵B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积第一章 矩阵的Kronecker 积矩阵的Kronecker 积的定义定义设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 212222111211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.例 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O BB A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质： 性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.证明：略.性质 设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211， 根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， 即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.性质 设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A221122222221211112121111，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a Cb aC b a C b a C b a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(221122222221211112121111*，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 212222111211 *， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 212222111211 *，由*，*得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 221122222221211112121111 *， 由*，*可得：C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.同理设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c cc c c C 212222111211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(212222111211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n)(212222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.性质设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F212222111211， 则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f Df D f D f Df D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n212222111211212222111211))(()()()()()()()()()()()(112111112211211121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a nk ks mk n k k mk n k k mk nk ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========得证.性质 设矩阵m m C A ⨯∈可逆， 且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)， 故111)(---⊗=⊗B A B A .性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(H H H B A B A ⊗=⊗)(证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.性质 两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质和性质可得：mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.第二章 Kronecker 积的有关定理及推论定理 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B rank A rank B A rank =⊗.证明：设rank A=r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：1111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质和可以得：`1211211211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O O O I P P Q Q O O O I O O O I P P Q O O O I P Q O O O I P B A rss r s r 所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质和性质可得：)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.证明：由性质，性质可以得到：)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，故))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).例 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).证明：由性质和性质可得：))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：))(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则trB trA B A tr •=⊗)(证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：trBtrA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(得证.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则m n B A B A )(det )(det )det(=⊗证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ， 由推论可得：mn m n n m n m m n n nj j m nj j mnji nj j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()()()()det(21211212111112,11=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ得证.第三章 矩阵的拉直矩阵的拉直的定义定义 设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质： 性质 设矩阵nm C A ⨯∈，矩阵nm CB ⨯∈，k 和l 是常数，则(lB kA +=→→+B l A k .证明：略.性质 设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dtt dA (=dt d)(t A . 证明：左边==))((dtt dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T=[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=))](([t A vec dtd=右边，得证. 性质设矩阵nm C A ⨯∈，矩阵pn CX ⨯∈，矩阵qp CB ⨯∈，则→⊗=X B A T)(.证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第i 行=i (1，2，…，)n ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m Tn n T )()(111111 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→n x x X 1 所以T Tn mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(111111++++= ，， →⊗=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有1.AX →⊗=X I A n )( 2.→⊗=X B I Tm )(.3(AX +)→⊗+⊗=X B I I A Tm n )(.第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程：AX+XB=F.第一步：将方程两边拉直，由推论可得：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程有解的充要条件是：Tm n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→，：有唯一解的充要条件是det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.例 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123TB ，将A ，T B ，X ，C 代入得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-108171041231001100101124321x x x x ，计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------108171041102301106101254321x x x x ， 根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，， 解0=-B I μ得：1221-==μμ，.通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1502TB ，将A ，T B ，X ，C 代入得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡1135315021001100132014321x x x x ， - 计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--113532520050200050034321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c X 311(c 为任意常数).矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：F XB Ark k k=∑=1(r = 1，2，…).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质可以得到：∑=→→=⊗rk T kk F X B A 1)][(.第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程有解的充要条件是：∑⊗)((Tkk B A rank ┊))(()1∑=→⊗=rk Tkk B A rank F . 即∑=⊗rk Tkk B A 1)(的所有特征值均不为0. 例 设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.证明：将两边方程拉直得到：→→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(22，化简得到：→→=⊗+⊗+C X A A A A I TTn ])()([22.由定义可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：22)21(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.例 在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：→→=⊗+⊗C X B A B A T T)(2211. *设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02132TB 代入*得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4821302131102113020314321x x x x .计算化简得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4821320027313331390564321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2211=⊗+⊗=TT B A B A rank C ， 所以方程有唯一解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021X . 矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX 引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质可得：∑∑∞=∞=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k kI A I A k I A k enn A k kI e I A k ⊗=⊗=∑∞=1)!1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.将矩阵微分方程两边拉直，由推论可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧=⊗+⊗=→00(()()(X X t X B I I A dt t X d T m n 由引理可得：T t B At tB AtB I I A t TT m n e X e X ee X et X )()()(000)(=⊗==→→⊗+⊗，又因为∑∑∞=∞====11!1))(!1()(k Bt k k T k k k T Tt B e t B k t B k eT ，故Bt At e X e t X 0)(= 这就是微分方程的解.例 求解下列矩阵微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t tAte e e，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t Bte e e .由式可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==10)1()(220t tBtAt e e eX e t X . 即的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10)1()(22t te e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献[1]矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社..[2]矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社..[3]矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社..[4]矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社..[5]矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.[6]H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.[7]高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.[8]常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.（重印）.[9]矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（重印）.[10]线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社..[11]线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社..[12]矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社..[13]线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社..[14]矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.[15]矩阵论导教·导学·导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社..[16]矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社..[17]矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.[18]矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.[19]线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社..[20]矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.[21]线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社..（重印）.[22]线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社..[23]线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社..[24]线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社..[25]线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社..[26]高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社..[27]线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.[28]线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.[29]线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.（重印）.[30]线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社..[31]线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社..[32]线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社..[33]线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.（重印）.[34]跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社..[35]线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，.[36]线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社..[37]线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社..[38]工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社..[39]矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社..[40]矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社..[41]矩阵分析及其应用.曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社..[42]矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社..致谢通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。
关于矩阵的Kronecker积的一些性质
关于矩阵的Kronecker积的一些性质作者：王秀清， 陈兆英， 于朝霞作者单位：济南大学理学院,250022,济南刊名：山东师范大学学报（自然科学版）英文刊名：JOURNAL OF SHANDONG NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)年，卷(期)：2010,25(4)1.徐仲;张凯院;陆全矩阵论简明教程 20072.陈邦考矩阵Kronecker积的推广[期刊论文]-大学数学 2004(04)3.杜鹃;范啸涛;杨健康自伴矩阵与Hermite二次型[期刊论文]-成都理工大学学报(自然科学版) 2007(04)4.Li J S·Kronecker products of positive semidefinite Matrices 1997(03)5.陈公宁矩阵理论与应用(第二版) 20076.Britz T;Olesky D D;Van Den Driessche P The Moore-Penrose inverse of matrices with an acyclic bipartite graph[外文期刊] 2004(0)7.Berr Israel A;Greville T N E Generalized Inverse:Theory and Applications 20038.George V A quantitative version of the Bservation that the Hadam and product is a principal submatrix of the kronecker product 20009.James V B Schur majorization inequalities for symmetrized sums with applications to tensor products[外文期刊] 2003(0)10.樊树平;段五朵亚正定矩阵的Kronecker积[期刊论文]-大学数学 2006(02)1.王伟贤.王志伟.WANG Wei-xian.WANG Zhi-wei一类逆M矩阵的判定[期刊论文]-曲阜师范大学学报(自然科学版) 2009,35(2)2.王宏羽.张湘茹.孙燕.李龙芸.李丽庆.宋恕平.周立中.刘基巍盐酸托烷司琼防治NP方案治疗非小细胞肺癌引起恶心呕吐的临床试验研究[期刊论文]-中国肿瘤临床与康复2004,11(4)3.周金森.ZHOU Jin-sen关于代数张量积的性质研究[期刊论文]-龙岩学院学报2007,25(6)4.王礼萍.Wang Liping核运算的矩阵构造[期刊论文]-哈尔滨师范大学自然科学学报2000,16(5)5.杨载朴复亚正定矩阵的一些性质[期刊论文]-数学研究与评论2000,20(1)6.黄允发.HUANG Yun-fa二阶K-可换矩阵Kronecker积的性质[期刊论文]-高师理科学刊2010,30(2)7.胥德平.何淦瞳.XU De-ping.HE Gan-tong矩阵块Kronecker积的性质及一些不等式[期刊论文]-贵州大学学报（自然科学版）2004,21(4)8.杨胜良.YANG Sheng-liang两类下三角形Pascal矩阵的相似性[期刊论文]-数学杂志2011,31(1)9.贺爱玲.马玉明.刘慧.陈业红.HE Ai-ling.MA Yu-ming.LUI Hui.CHEN Ye-hong关于矩阵相似的一个注记[期刊论文]-山东轻工业学院学报（自然科学版）2005,19(3)10.周相泉.刘利英.ZHOU Xiang-quan.LIU Li-ying模糊数矩阵及其运算[期刊论文]-山东理工大学学报（自然科学版）2005,19(3)本文链接：/Periodical_sdsdxb-zrkx201004043.aspx。
论文--置换矩阵的性质及其推广
XX师X学院本科生毕业论文（2012 届）题目置换矩阵的性质及其推广系别:数学系专业:数学与应用数学班级:二班作者XX:居海丽学号:4指导教师:高玉峰职称:助教学历:研究生论文成绩:2012年5月目录摘要............................................................................................................ ..I Abstract................................................................................................. . (II)1引言............................................................................................................ . (1)1.1置换矩阵的定义 (2)1.2广义置换矩阵的定义 (2)2置换矩阵的性质 (3)2.1置换矩阵的基本性质 (3)2.2对称置换矩阵 (7)2.2.1 对称置换矩阵的定义 (7)2.2.2 对称置换矩阵的基本性质 (7)3广义置换矩阵的性质 (8)3.1广义置换矩阵的基本性质 (8)3.2广义置换矩阵的判定 (9)4置换矩阵的应用 (9)4.1置换矩阵在矩阵行列式变换中的应用 (9)4.2置换矩阵在模糊交换矩阵中的应用 (11)5结束语 (1)2致谢语............................................................................................................12参考文献 (12)指导教师评语....................................................................................................评阅人评语........................................................................................................置换矩阵的性质及其推广数学系2008级2班居海丽摘要:本文介绍了置换矩阵和对称置换矩阵的定义和基本性质,探讨了广义置换矩阵的基本性质及判定方法,讨论了置换矩阵在矩阵行列式变换和模糊交换矩阵中的应用.关键词:置换矩阵;对称置换矩阵;广义置换矩阵;模糊交换矩阵Properties and Promotion of Permutation MatrixClass2, 2008, Department of Mathematics Ju HailiAbstract:The passage is introduced from definition and basic properties of permutationmatrixand symmetry permutation matrix ,then,some properties and determine methods of generalized permutation matrix are studied ,permutation matrix is discussed in lines - rows changed on matrix and fuzzy mute matrix.Keywords:Permutation matrix; symmetry permutation matrix; generalized permutation matrix ; fuzzy mute matrix1引言置换矩阵是布尔矩阵的特例,在代数学中占有重要地位,许多《高等代数》、《矩阵论》的书籍都有涉及.置换矩阵具有良好的特性与结构,对置换矩阵的定义和性质进行深入的研究是十分必要的.置换矩阵的推广形式在实际生活中也有重要应用.上世纪末,华罗庚教授就曾在研究“计划经济大X 围最优化的数学理论”中引入了这类重要的非负可逆矩阵——广义置换矩阵.因此,本文也将探讨广义置换矩阵的性质及判定方法. 在下文将用到一些数学符号,在这里介绍一下:设,x y 是置换矩阵中的任意元素,所以,{0,1}x y ∈,我们定义如下: (1)1x x '=-,我们把“'”叫做互补运算.即0的补为1,1的补为0. (2)(,)x y max x y =,我们把“”叫做并运算.即表示取元素,x y 中的大者. (3)(,)xy min x y =,我们把“”叫做交运算.即表示取元素,x y 中的小者.(4)x y xy '-=,我们把“-”叫做差运算.其中“”,“”满足结合律.为了使后文讲述的更加清楚,将他们分别应用于矩阵中,首先设M 、N 为n ⨯n 置换矩阵,以下事例中设001100010M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100001010N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦我们还得出以下式子成立(1)()ij ij M N m n = 例001100101100001101010010010⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2)()ij ij M N m n =例001100000100001000010010010⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(3)()ij M m ''= 例001110100011010101'⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4)()ij ij M N m n -=- 例001100001011001100001100110100010010010101000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(5)1()niaaj a M N m n =⋅=1.1置换矩阵的定义如何研究好置换矩阵,对它的定义分析是十分重要的,所以给出如下定义:对于n 阶布尔方阵M 中任意的i 、j 行或列,当行列不相同时即（i ≠j ）时有如下式子成立0iaja m m = 或 0aiaj m m =a {1,2,,}n ∈⋯.我们把这样的布尔方阵叫做正交.对于n 阶布尔方阵M 中的任意的i 、j 行或列,有如下式子成立11nia a m == 或11naj a m ==a {1,2,,}n ∈⋯.我们把这样的布尔方阵叫做标准的.如果M 既是正交的又是标准的布尔方阵,我们称这样的矩阵为置换矩阵. 例000010000001100000000000000100⋯⎡⎤⎢⎥⋯⎢⎥⎢⎥⋯⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯⎢⎥⋯⎣⎦为置换矩阵.由以上定义可以明确置换矩阵每行每列有唯一一个1,行列上的其它元素均为0.1.2广义置换矩阵的定义设集合A ={1,2,…,n },w 为A 到本身的一个映射,则我们可以得到和这个映射w 相伴随的矩阵,就是()1ij W = 或 ()0ij W =((),,1,2,,)j w i i j n ==⋯,W 就叫做与映射w 相伴的广义置换矩阵.例 设集合A={1,2,3,4,5},(1)2w =,(2)3w =,(3)1w =,(4)4w =,(5)3w =,则可以得到映射w 的相伴矩阵为010********00000001000100W ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦从上面的例题可以看出广义置换矩阵是一种特殊的(0,1)矩阵.2置换矩阵的性质第一部分介绍了置换矩阵与广义置换矩阵的定义,本节将研究置换矩阵和对称置换矩阵的性质及证明,并给出具体例子加以说明.2.1置换矩阵的基本性质性质1 如果M 是置换矩阵,那么以下式子成立:M M I T ⋅=,反之亦然. 证明 充分性 因为M M I T ⋅=,则由定义知1()()0nij iaja a M M m m T=⋅==,()i j ≠所以M 是正交的, 又因为11()()1nnii ia ia ia a a M M m m m T==⋅===所以M 是标准的.必要性 因为M 是置换矩阵,所以存在正交性,则有1()()()ij nij iaja a M M m m T=⋅==ϕ,所以M M I T ⋅=.注 0()ij i j ϕ=≠或1()ij i j ϕ==. 例1设0010000000000011000001000M ⋯⎡⎤⎢⎥⋯⎢⎥⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⎢⎥⋯⎢⎥⎢⎥⋯⎢⎥⋯⎣⎦则00001100000000000010M T ⋯⎡⎤⎢⎥⋯⎢⎥⎢⎥010⋯00=⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯⎢⎥⋯⎣⎦故有10000010000001000001M M I T ⋯⎡⎤⎢⎥⋯⎢⎥⎢⎥001⋯00⋅==⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯⎢⎥⋯⎣⎦.性质2 如果M 是置换矩阵,那么以下式子成立(1))M M I T '⋅(=; (2)M I I M M '''⋅=⋅=.证明 根据矩阵运算法则)()()()M M M E M M E M M E I I T T T ''⋅(=⋅-=⋅-⋅=-=.例200100000001000001000M ⋯⎡⎤⎢⎥⋯⎢⎥⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⎢⎥000⋯01⎢⎥⎢⎥⋯⎢⎥⋯⎣⎦那么0010000100000000M T ⋯0⎡⎤⎢⎥⋯0⎢⎥⎢⎥10⋯000=⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯0⎢⎥⋯1⎣⎦则有11011110)11111111M T ⋯1⎡⎤⎢⎥⋯1⎢⎥⎢⎥01⋯111'(=⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯1⎢⎥⋯0⎣⎦故01111011)11011110M M I T 1⋯⎡⎤⎢⎥1⋯⎢⎥⎢⎥110⋯11''⋅(==⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥1⋯⎢⎥1⋯⎣⎦.性质3 如果,M N 分别是置换矩阵,具有相同的阶数,那么以下式子成立()M N M N M '''⋅=⋅=⋅N证明 ()()M N M N I M N I M N ''''⋅=⋅⋅=⋅(⋅=⋅）同理()()()M N I M N I M N M N ''''⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅. 例3 设M ,N 为n 阶置换矩阵,0001100000000010M 0⋯⎡⎤⎢⎥0⋯⎢⎥⎢⎥010⋯00=⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥0⋯⎢⎥0⋯⎣⎦ , 0010000100000000N ⋯0⎡⎤⎢⎥⋯0⎢⎥⎢⎥10⋯000=⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯0⎢⎥⋯1⎣⎦则1110011111111101M 1⋯⎡⎤⎢⎥1⋯⎢⎥⎢⎥101⋯11'=⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥1⋯⎢⎥1⋯⎣⎦ , 1101111011111111N ⋯1⎡⎤⎢⎥⋯1⎢⎥⎢⎥01⋯111'=⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯1⎢⎥⋯0⎣⎦所以11111101()1111M N M N M N ⋯0⎡⎤⎢⎥⋯1⎢⎥⎢⎥11⋯110'''⋅=⋅=⋅=⎢⎥01⋯111⎢⎥⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⋯1⎣⎦.性质4 如果M 是置换矩阵,并且有n M I =,那么以下式子成立1n M M -T =证明 由已知n M I =可知M 是置换矩阵,故有,所以n M M M T =⋅,所以1n M M -T =.例4 设100001010M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则有100001010M T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦取2n =2100010001M I ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以21100001010M M -T ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故成立.性质5 如果M ,N 分别是已知的置换矩阵,那么以下矩阵方程M X M N T ⋅⋅=有解,则其解为X M N M T =⋅⋅.证明 因为M X M N T ⋅⋅=,等式左右两边分别乘以M ,M T 有()M M X M M M N M T T T ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅,所以 X M N M T =⋅⋅. 例5 设0100100010000001010000M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 1000000100010000000100010N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则000100100010000001010M T⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦当X M N M T =⋅⋅时,0001100000000100100001000010001000010000100000010010010100000001010000X ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 00100000101000001000010001000000010101000010000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0001000100010001000000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦此时X 符合题意,M X MN T ⋅⋅=.即0000100100000100100001000010001000010000100000010100000010100000000110000N ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 2.2对称置换矩阵2.2.1对称置换矩阵的定义如果置换矩阵S 符合ij ji S S =那么我们把它称为对称置换矩阵,,{1,2,,}i j n ∈⋯. 2.2.2对称置换矩阵的基本性质性质6 如果S 是n 阶布尔矩阵,并且是对称置换矩阵,那么2S I =. 证明 因为S 是对称置换矩阵,则存在211()()()nnij ia aj ia ja a a S S S S S ====所以当i j =时,则2()1ij S =；当i j ≠时,则2()0ij S =故2S I =.例6 设S 为对称置换矩阵,令0000100010000000100010000S ⋯⎡⎤⎢⎥⋯⎢⎥⎢⎥⋯=⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯⎢⎥⋯⎣⎦则2000010000110000000100001001000000000000000100010000100000010100001000000001S ⋯⋯⋯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋯⋯⋯==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋯⋯⋯⎣⎦⎣⎦⎣⎦I =.性质7 如果S 是对称置换矩阵,那么以下式子成立()(())0SI SI S -⋅=证明 由于2(())S I S S S ⋅=,故2()()()0S I S S S I I S -=-=得证.例7 设001010100S ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 100010001I ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 则101010101SI ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,101()010101S I S ⎡⎤⎢⎥⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以()(())0SI SI S -⋅=成立.3广义置换矩阵的性质3.1广义置换矩阵的基本性质广义置换矩阵是置换矩阵的推广形式,下面的六个命题总结出了广义置换矩阵的基本性质,并通过证明得出这六个命题互相等价.命题1 如果0W ≥是n 阶矩阵,那么以下命题是等价的: (1)W 是广义置换矩阵； (2)1W -是广义置换矩阵；(3)n W 是广义置换矩阵（n 为自然数）；(4)DW 是广义置换矩阵,这里的12(,,)n D dig d d d =⋯,(0,1,2,)i d i n >=⋯ (5)PWQ 是广义置换矩阵,这里的,P Q 是置换矩阵； (6)W W T ⋅或（W W T ⋅）是对称正定的广义置换矩阵. 证明 (1)⇔(2) 显然成立.(1)⇒(3) 因为0W ≥,10W -≥⇒0n W ≥,11()()0n n W W --=≥,故n W 为广义置换矩阵. (1)⇒(4) 因为11110,00,()0W W DW DW W D ----≥≥⇒≥=≥,故DW 为广义置换矩阵. (1)⇒(5) 因为111110,00,()0W W PWQ PWQ Q W P -----≥≥⇒≥=≥,故PWQ 为广义置换矩阵.(1)⇒(6) 因为10,00,W W W W -T ≥≥⇒⋅≥11111()))0W W W W W W T --T ---T ⋅=⋅(=⋅(≥,故 W W T ⋅为广义置换矩阵且W 为非奇异的,则W W T ⋅还为正定的.(2)⇒(3) 因为1110,00,()()0n n n W W W W W ---≥≥⇒≥=≥得证.(3)⇒(4) 因为1111110,()0()()0n n n n n n W W W W W W W ------≥≥⇒==≥所以W 是广义置换矩阵,故1110,()0DW DW W D ---≥=≥得证.(4)⇒(5) 因为10,()DW DW -≥0≥,所以111()0W D DW DW D ---=()=≥,所以W 是广义置换矩阵,所以11110,()0PWQ PWQ Q W P ----≥=≥得证.(5)⇒(6) 因为10,0,()0P Q PWQ -≥≥≥,所以11111()()0W P PWQQ Q PWQ P -----==≥,所以W 是广义置换矩阵,所以111110,()))0W W W W W W W W T T --T ---T ⋅≥⋅=⋅(=⋅(≥,所以W W T ⋅为对称的,W 非奇异,故W W T ⋅还为正定.3.2广义置换矩阵的判定本节首先给出广义置换矩阵的等价定义并给出两个广义置换矩阵的判定定理.定义1我们设0W ≥代表n 阶矩阵()ij n n W ⨯,这里的0(,1,2,,)ij W i j n ≥=⋯,如果存在10W -≥,那么W 就称为广义置换矩阵.引理1令0W ≥为一个n 阶可逆矩阵,一个n 维的非负向量0a ≥,它有唯一一个正分量, 如果(1,2,,)a k W e k n ==⋯.证明 (1)设a 至少有一个正分量,否则0a =,那么0a W =与已知条件相矛盾,所以a 至多有一个正分量.(2)可设a 有两个或两个以上正分量,可分别设为0,0()i j a a i j >>≠,由条件a k W e =可得到下列式子成立10(),nmff f ab m k ==≠∑11nkff f ab ==∑由于0,0i j a a >>可知0mi mj w w ==()m k ≠,则 W 为奇异矩阵,与W 可逆矛盾.综上,则b 有唯一的一个正分量.定理1 如果0W ≥是广义置换矩阵⇔存在置换矩阵P 和正对角矩阵D 使得W PD =. 证明 (⇐)已知 W PD =0≥,所以1111()0W PD D P ----==≥, 故W 为广义置换矩阵.(⇒)因为0W ≥并且存在1WW E -=,所以1W -每一列只含有一个正元素,有因为1W -可逆,则1det 0W -≠,所以1W -得每一行只含有一个正元素,所以有置换矩阵1P 和正对角矩阵1D 使得111W D P -=,故有11111W P D PD ---==.定义2对任意的n 阶实矩阵W ,如果W W T ⋅与W W T ⋅都为正对角矩阵,我们称W 为广义正交矩阵.定理2 如果0W ≥是广义置换矩阵⇔W 为非负的广义正交矩阵.证明 (⇐)W 为非负的正交矩阵,则0W ≥且为广义正交矩阵,则 W W T ⋅和W W T ⋅都为正对角矩阵,易推出W 是广义置换矩阵.(⇒)0W ≥是广义置换矩阵,则存在置换矩阵P 和正对角矩阵D 使得W PD =,使得()()PD PD D D T T =和()()PD PD PDD P T T T =都是正对角矩阵,故W 为非负的广义正交矩阵.4置换矩阵的应用4.1置换矩阵在矩阵行列式变换中的应用定义3我们交换n 阶单位阵n I 的任意k 行（或k 列）,从而得到的矩阵为n 阶置换矩阵.令(,)i j I 是n 阶单位阵n I 交换第i ,第j 两行（或两列）而得出的置换矩阵.定理3 置换矩阵(,)i j I 左或右分别乘以n m A L ⨯∈,相当于交换了A 的第,i j 两行或两列. 证明 设121[]n n n m A A A A A T -⨯= ⋯ ⋯(,)10000001000000010000010000001000001000000010000001i j I ⋯⋯⋯⋯⋯⎡⎤⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯⋯⋯⋯⎢⎥=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯⋯⋯⋯⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⎣⎦则可以得到(,)121111[]i j n m i j i j i j n I A A A A A A A A A A T T⨯-+-+⋅= ⋯ ⋯ ⋯如果 121[]n n m n A A A A A -⨯= ⋯ ⋯则有(,)121111[]m n i j i j i j i j n A I A A A A A A A A A ⨯-+-+⋅= ⋯ ⋯ ⋯例8 设(,)i j I 为8阶置换矩阵,则令(,)1000000001000000000001000001000000001000001000000000001000000001i j I ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 89974213593123115647351728345123456789318795689124578761254331228965723152A ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则(,)89974213593123115647124578761123456789318795689351728345254331228965723152i j I A ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得出第三行与第六行互换.定理4 如果P 是n 阶置换矩阵,那么P T 也是n 阶置换矩阵. 例900001100000100000010P ⋯⎡⎤⎢⎥⋯⎢⎥⎢⎥=⋯⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯⎣⎦则01000001000000010P T⋯⎡⎤⎢⎥⋯⎢⎥⎢⎥=⋯⎢⎥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎢⎥⎢⎥⋯⎣⎦也为n 阶置换矩阵.4.2置换矩阵在模糊交换矩阵中的应用定理5 如果P 是n 阶置换矩阵,那么P 左（右）乘以模糊矩阵n m A ⨯,也就是交换矩阵A 的几行（列）.从而引出如下定义定义4如果存在B PAQ =,当,n m A B L ⨯∈时,我们称B 叫做A 模糊交换矩阵.记做B A ~这里的P ,Q 分别为n 阶和m 阶置换矩阵. 例10 设321543467A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,001100010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 100001010Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则476312534PAQ B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦那么B 叫做A 的模糊交换矩阵.记B A ~定理6 如果,n m A B L ⨯∈,那么B 是A 的模糊交换矩阵的充要条件是A 是B 的模糊交换矩阵.证明 必要性 因为B A ~,所以存在,P Q 分别为n 阶和m 阶置换矩阵,则有B PAQ =,又由于,P Q T T 也为n 阶和m 阶置换矩阵,那么P BQ P PAQQ A T T T T ==,故A B ~.同理可证得充分性.定义5如果P 是n 阶置换矩阵,并且有n m B L ⨯∈是非零模糊阵,则PBP T 叫做B 的强模糊交换矩阵.定理7 如果n m B L ⨯∈它是对称的充要条件是B 的强模糊交换矩阵也是对称的. 证明 (⇒)令P 为n 阶置换矩阵,根据定义有A PBP T =是B 的模糊交换矩阵,又因为()A PBP PBP A T T T T ===,所以B 得强交换阵对称,必要性得证.(⇐)令A PBP T =,这里的P 是n 阶置换矩阵,并且A A T =,则有A PB P T T T =,又因为PB P P PB P P B T T T T T T ==,P A P P PBP P B T T T T ==,故B 是对称的,充分性得证.定理8 如果,n m A B L ⨯∈,那么A 是B 的强模糊交换矩阵的充要条件是B 是A 的强模糊交换矩阵.证明 (⇒)令P 为n 阶置换矩阵,并且有A PBP T =,因为P 是n 阶置换矩阵,故P T 也为n 阶置换矩阵,则有P AP P PBP P B T T T ==,所以B 是A 的强模糊交换矩阵.同理充分性可证.5结束语本文介绍了置换矩阵,对称置换矩阵,广义置换矩阵的定义、性质及证明,探讨了广义置换矩阵的判定方法,讨论了置换矩阵在矩阵的行列式变换和模糊交换矩阵两个方面的应用.在定义方面,本文主要介绍了置换矩阵和广义置换矩阵的定义及等价定义；在性质方面,介绍了置换矩阵和广义置换矩阵的基本性质,给出了证明过程,并通过具体事例加以说明；在应用方面,探讨了置换矩阵在矩阵行列式变换和模糊交换矩阵中的应用.置换矩阵在代数学,经济学等领域有很重要上的应用,其应用性质有待进一步研究.致谢语感谢高玉峰老师在论文写作过程中对我的热心帮助和悉心指导,也感谢帮助我的同学们！参考文献[1]夏祖勋,陈国勋.布尔矩阵的特例—置换矩阵[J].XX 船舶学院学报,1986,1:74-79. [2]晏林.广义置换矩阵[J].XX 师X 大学学报（自然科学版),2002,(30):60-62. [3]罗汉,邓远北.广义置换矩阵的性质[J].XX 大学学报,1991,1(18):94-97.[4]王鸿绪,潘杰.关于置换矩阵的注[J].XX石油化工高等专科学院学报,2001,3(17):54-57.[5]陈景林,董会英.关于矩阵的特征值[J].首都师X大学学报(自然科学版),2002,4(23):22-23.[6]周积团.矩阵方程PX=XQ的解[J].XX工学院学报,1996,1(13):23-27.[7]杨正民,勒宝琳.主对角线全为零的置换模式矩阵的惯量[J].XX师X学院学报(自然科学报),2006,2(5):49-51.。
北邮矩阵论 1. 第一讲 线性空间与线性变换
矩阵分析与应用
v
参考书：
›《矩阵论》第二版 程云鹏主编 西北工业大学
出版社 2004年8月 ›《矩阵分析与应用》 张贤达 清华大学出版社 2004年9月 ›“Matrix Analysis”, Roger A. Horn 机械工业出版 社影印版 ›《矩阵计算》，G.H.戈卢布等，科学出版社
v
编程工具
就是二维的，数1 与i 就是一组基.
基变换与坐标变换
n
设 x1 , x2 ,L , xn 是Vn 的旧基， y1 , y2 ,L , yn 是新基。新基可以用旧基表示出来
cn1 xc y1 = c11 x1 + c21 x2 + L+ n c11 L c1n 12 y = c x + c x + L+ c x 2 12 1 22 2 2 n n c c L c 21 22 2n , x ( y1 , y2 ,L , yn ) = ( x1 , x2 ,L n) M M M M + c x y x x L c c = + + n 1n 1 2 n 2 cn1 nn cnn 2 L cnn ( x1 , x2 ,L, xn ) C
线性空间
n
线性空间 线性变换与矩阵 线性子空间指一些对象的总体 元素:这些对象称为集合的元素
n整数集 n线性方程组的解集 n由某个平面上所有的点构成的点集
用S表示集合,a是S的元素
a∈S
a不是S的元素
a∉S
集合的表示
1.列举全部元素
如 N = {1,3,5, 7,9}
2.给出集合中的元素的性质
›Matlab、C
矩阵分析与应用
矩阵论及其应用-1 chapter1
例2
次数不超过n的多项式的全体, 记作P [ x] ,即
n
n Pn [ x] { p an x a1 x a0 an ,, a1 , a0 R},
组实数k1，k 2， , km，向量 k1 1 k 2 2 k m m 称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km 称为这
个线性组合的系数.
（2） 给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在
一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
例１ 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 R mn
Amn Bmn C mn ,
．
Amn Dmn ,
R mn是一个线性空间.
( 3) 在V中存在零元素 0, 对任何 V , 都有
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
0;
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
1ri rj ci c j ; 1.初等行(列)变换 2r k c k ; i i 3 ri krj ci kc j .
高等代数期末论文学习总结
高等代数期末论文学习总结LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020高等代数学习总结摘要:两学期的高等代数已经接近尾声了，高等代数作为数学专业的基础学科之一。
本文主要讲述本人两学期下来学习高等代数的一些知识总结和学习体会。
关键词:行列式矩阵二次型正文:《高等代数》是数学学科的一门传统课程。
在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以其追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是大学数学各个专业的主干基础课程。
它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。
因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。
在学习之前，我一直认为高等代数就是把线性代数重学一遍，因为大一的时候线性代数学得不深，而且也没有学完。
经过两学期的学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。
高等代数数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，只注重应用。
经过两学期的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是代数的一些思想，也从中收获不少。
下面就对两学期的学习做一个回顾和总结。
行列式行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域定义：设A=（）为数域F上的n n矩阵，规定A的行列式为其中，为1,2，…，n的一个排列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
西安理工大学研究生课程论文报告课程名称：矩阵论课程代号：任课教师：论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵求解中的应用完成日期：2015 年10 月25 日学科：电力电子与电力传动学号：姓名：成绩：矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵求解中的应用摘 要控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。
“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(t x 、)(t y 来分析研究的。
由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。
而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。
本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。
关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数.1.问题提出线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。
而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。
本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。
线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。
线性定常系统齐次状态方程为()()t Ax t x= ()1-1其中，x 是n 维状态向量；A 为n n ⨯系数矩阵。
设初始时刻00=t ，系统的初始状态()()00x t x =。
仿照标量微分方程求解的方法求方程()1-1的解。
设方程()1-1的解为t 的向量幂级数形式，即)(t x = ++++++k k t b t b t b t b b 332210 ()2-1式中，() ,2,1,0=i b i 为n 维向量。
式()2-1代入方程()1-1得()+++++=+++++-k k k k t b t b t b b b A t kb t b t b b 3322101232132 ()3-1既然式()2-1是方程()1-1的解，则式()3-1对任意的t 都成立。
因此，式()3-1的等式两边t 的同次幂项的系数应相等，有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=======-0!11103!31231302!21121201b A Ab b b A Ab b b A Ab b Ab b k k k k k()4-1 Ⅰ.当0=t 时，由式()2-1可得到()00x b = ()5-1将式()4-1和式()5-1代入式()2-1，得到齐次状态方程的解()()()0!122!21x t A t A At I t x k k k +++++= ()6-1 上边右边括号内的级数是n n ⨯矩阵指数函数，记成At e ，即+++++=k k k At t A t A At I e !122!21 ()7-1 所以式()6-1可写成()()0x e t x At = ()8-1Ⅱ.如果初始时刻00≠t ，初始状态为()0t x ，则齐次状态方程的解为()()()00x e t x t t A -= ()9-1由上式可知，系统在状态空间的任一时刻t 的状态()t x ，可视为系统的初始状态()0t x 通过矩阵指数函数()0t t A e -的转移而得到的。
因此，矩阵指数函数()0t t A e -又称为状态转移矩阵。
从上面的分析看，求状态方程的解()t x ，关键是求矩阵指数At e 。
2.问题求解2.1 矩阵指数的基本性质在介绍求矩阵指数At e 的方法之前，先介绍At e 的一些主要性质和几个特殊的指数函数：（1）∑∞==0!k kk Atk t A e ，该无穷级数在有限时间时绝对收敛的（2）AtAt Ae e dtd =（3）()2121At At t t A e e e ⋅=+ （4）[]At Ate e --=1（5）若BA AB =，则()t B A Bt At e e e +=⋅； 若BA AB ≠，则()t B A Bt At e e e +≠⋅（6）若P 为非奇异矩阵，A 通过非奇异变换成对角阵，即AP P A 1-∧=,则有11--=P Pe e AP p At (7) 若A 为对角阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n A λλλ0021，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t tt At n e e e e λλλ00212.2状态转移矩阵()t φ的几种计算方法1.根据Ate 的定义直接计算() +++++==n n n At t A t A At I e t !122!21φ2.拉普拉斯变换法对于线性定常系统的齐次状态方程()()t Ax t x= 两边求拉普拉斯变换，得()()()s Ax x s sX =-0，即()()()0x s X A sI =-， 有()()()01x A sI s X --=因此，()()[]()011x A sI L e t x At ---==若初始时刻00=t ，初始状态为()0x ，则对上式进行拉普拉斯变换，得()()[]11---==A sI L e t At Lφ 3.非奇异线性变换（1）矩阵A 经线性变换化为对角线矩阵Λ求Ate当矩阵A 的n 个特征值互异或者虽有重根但是仍有n 个独立的特征向量时，经过线性变换，将A 化为对角形矩阵Λ，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n PAP λλλ00 211 此时，系统的状态转移矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+Λ+Λ+=t t tn n n n At n e e e t t t t t t t t t t I e λλλλλλλλλλλλλλλ0000000002122!21222!212221!2112221!212122!21111111 由于P P A Λ=-1所以矩阵A 的状态转移矩阵()()()()[]Pe P P t t I P P t P Pt P P P t P P Pt P P P t P P Pt P I e e t t PtPAt Λ----------Λ=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+===-122!21122!21111221!2111221!2111φ（2）矩阵A 经线性变换化为约当形矩阵J 求Ate当矩阵A 的n 个特征值均相同，且为1λ时，经过线性变换，可化为约当形矩阵J⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-1111111λλλ00J PAP 则()()tn n Jte t t n t t n te 11!211!11121λ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=--0所以，系统的状态转移矩阵为()P e P e t Jt At 1-==φ 4. 应用凯莱-哈密顿定理首先介绍一下凯莱-哈密顿定理：n n ⨯矩阵A 满足自身的特征方程，即矩阵A 的特征多项式是A 的零化多项式。
()[]0det 012211=+++++=-=∆----a a a a A I n n n n n λλλλλλ即012211-----a a a a n n n n n λλλλ ----= 根据凯莱-哈密顿定理，有()0012211=+++++=∆----I a A a A a A a A A n n n n n于是I a A a A a A a A n n n n n 012211----- ----=上式表明，n A 是1-n A ，2-n A ，…A ，I 的线性组合。
显然有A a A a A a A a A A A n n n n n n 0211211----- ---+=⋅=则I a a A a a a A a a a A a a A n n n n n n n n n n 010*******-2121)()(---------++-++-+=）（ 依次类推，可得2-1-,n n A A ，…均是1-n A ，2-n A ，…A ，I 的线性组合。
那么，Ate 就化成一个A 的最高幂次为1-n 的n 项幂级数的形式，即()()()1110!122!21--+++=+++++==n n n n n At At a A t a I t a t A t A At I e t）（φ(1)A 的特征值),,2,1(n i i =λ互异应用凯莱-哈密顿定理，i λ和A 均是特征多项式的零根。
因此，()()()n i t a t a t a e n in i t i ,,2,11110 =+++=--λλλ那么，()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----t a t a t a e e e n n n n nn n t t t n 11012122221121111121λλλλλλλλλλλλ于是，()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----t t t n n n n n n n n e e e t a t a t a λλλλλλλλλλλλ211-121222211211110111 (2)A 的特征值均相同设A 的特征值为1λ，待定系数()t a i 的计算公式如下()()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----------t t t t n n t n n n n n n n n n e e t e t e t e tn n n n t a t a t a t a t a 111111!112!212!211!111-112131211212113111123101!113210!22131001110000λλλλλλλλλλλλλλλλ(3)A 的n 个特征值有重特征值和互异特征值当A 的n 个特征值有重特征值和互异特征值时，待定系数()t a i 可以根据()()21综合得出，然后求出状态转移矩阵()t φ。
3.举例计算已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3-2-10A ，分别用上述四种方法求解状态转移矩阵()t φ。
解：()1 定义法根据定义计算()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-+-+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+++++==--------t t tt t t t t k k k At e e ee e e e e t t t t t t t t t t t t t t A t A At I e t 22223252273372367223322!122!212222313213210!2132101001φ ()2 拉普拉斯变换法[]()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-++-+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=---22112212211121122121332111s s s s s s s s s s s s s s A sI 那么，()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-=----------t t t t t t t t At e e e e e e e e A sI Le 2222112222 ()3 化矩阵为对角线标准型由()()021-=++=λλλA I 得特征根2-1-21==λλ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-211-1-222-1-111111-21AP P P adjP P P λλ 所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-----------⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t t t t t t t t Ate e e e e e e e e e P Pee 222221200122221112002111()4 应用凯莱-哈密顿定理已知特征根2-1-21==λλ，，两两相异，则有()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----------------------t t t t t t tt tt tt At t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e ee At a I t a e e e e e e e e e e e t a t a 22222210222211211022223210100122111221111121λλλλ可见，四种算法的计算结果是一样的。