3角形中位线定理

3角形中位线定理
三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。

本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。

一、定理的证明
证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。

则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。

证明：
由于D、E、F都是各边中点，可得：
∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；
又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：
∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。

$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$
又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$
同理可得：
于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。

由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：
因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。

因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。

二、推广应用
利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。

1. 中位线长定值定理
在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。

设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，
又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：
b=c=a。

在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。

首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。

做以AB、AC为底的平行线，分别交BC边于D和E，连接DE，显然，DE是三角形ABC的中位线。

由于AF = FB，可得 $\triangle AED \cong \triangle BEC$，因此有：
$\frac{AD}{BE}=\frac{ED}{EC}$
由于$\frac{BC}{AC}+\frac{AB}{BC}=1+\frac{1}{2}=frac{3}{2}$，故可得
$\frac{AD}{BE}:\frac{BC}{AC}:\frac{AB}{BC}=1:2:3$。

也就是说，三条中位线分别将
它们所在线段的长分为1:2:3的比例。

中位线定理不仅仅适用于三角形，而且也适用于任意四边形。

如果ABCDEF是一个四边形，则连接它的相邻中点以及它的对角线的交点即为G。

则有：AF=CF，BE=DE，AG=CG=EG，DF=BF，AC互相矩形对角线互相垂直，BE ∥DF。

由于A、C和E是它们所在边的中点，所以可以得到：
$\because DE=(AB+CD)-BF$
于是根据公式：
$\because AG=\frac{2}{3}AE，CG=\frac{2}{3}CE，AF=AG-FG，CF=CG+GF$
由此可见，如果我们将四边形分成两个三角形，则它们的三条中位线的交点就是两个
三角形的重心，而重心位于中线交点的$\frac{2}{3}$处。

4. 解决中位线问题
中位线定理还可以用来解决中位线问题，中位线问题关注的是，当给定三角形的中位
线长而未给出三角形的边长时，如何求解三角形的面积。

考虑使用半周长公式。

设 AD为三角形ABC的中位线，则有：
$AB^2=2AD^2+2BD^2-\frac{1}{2}DC^2$
又：
$\because BD=\frac{1}{2}BC\sqrt{2^2-\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}BC \sqrt{14}$
$\therefore 4BD^2=BC^2(4-14)=BC^2(-10)$
联立以上两个公式：
应用中位线定理，我们可以解决更多的题目，如：$a^2+b^2=2m^2+2n^2$，求$a,b$的最小值等等。

三、例题
1. 在三角形ABC中，IF ⊥ AB，IG ⊥ AC，IF=IG。

求证：BF=CG。

显然，要证明BF=CG，就要先证明FG平行于BC，FG是中线MK，所以需证明MK平行于BC。

结合题意又知：MK ∥ BI，所以有MK ∥ BC，进而有FG ∥ BC。

因此，我们得出结论：BF=CG。

2. 已知三角形ABC的三条中线分别为BM、CN、AP，直线EF⊥AC，交BC于D，求证：
(1)AD=BD;
(1)首先，我们能够得到：
$AD = AB/2-DF = AB/2-AC+\frac{AB}{2} = AB-AC (2)$
联立公式(1)和(2)，有：
(2)考虑使用中位线定理，因为三角形AMC中，AP是中线，所以有：
又因为三角形BMD中，BM是中线，所以有：
AC=AF+FC，将中垂线CN旋转90度后，使其成为EF的一部分，即可得到：
于是我们就得到了：
再联立知识可以得出：
$BD×CD = BM^2$
由中位线定理可知，为了证明他们在同一点上，我们只需证明：
进而有：
由于：
所以推论CGG等于$\frac{4}{9}BC$。

通过上述阐示，我们能够了解到中位线定理在数学中的极为重要的地位，及其在数学与实际生活中的广泛应用和定理的推广应用情况，并通过典型的例题分析，更好地理解其重要性与实用性。