2022-2023学年湖南省常德市鼎城区第一中学高一实验班上学期12月月考数学试题
湖南省部分学校2022-2023学年高一上学期第一次调研考试数学试题(含答案)
2022-2023学年度上学期高一年级一调考试数学试卷本试卷共4页，22题．全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．给出下列关系：①π∈R Q ；③3-∉Z ；④|3|-∉N ；⑤0∉Q ，其中正确的个数（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．设全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{}220A x x x =--=，{}220B x x x =+-=，则()UA B =（ ）A ．{2,1,1,2}--B ．{2,1,0}--C ．{0,1,2}D ．{0}3．已知集合{2,1,0,1}A =--，{}11B x x =-<≤，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{2,1,0}--D ．{2,1}--4．设集合{}2340A x x x =--≤，{}220,B x x x x =+>∈Z ，则A B 的真子集共有（ ）A ．15个B ．16个C ．31个D ．32个5．已知集合5,6M x x m m ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，1,23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，1,26p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则集合M ，N ，P 的关系为（ ）A ．M N P ==B ．M N P ⊆=C ．M N P ⊆⊆D ．M N ⊆，NP =∅6．设0a b <<，给出下列四个结论：①a b ab +<；②23a b <；③22a b <；④||||a a b b <．其中正确的结论的序号为（ ） A ．①②B ．①④C ．②③④D ．①②③7．设A ，B 是两个集合，有下列四个结论：①若A B ⊂/，则对任意x A ∈，有x B ∉；②若A B ⊂/，则集合A 中的元素个数多于集合B 中的元素个数； ③若A B ⊂/，则B A ⊂/；④若A B ⊂/，则一定存在x A ∈，有x B ∉． 其中正确结论的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．18．关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中恰有1个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,0][2,3)- B ．[2,1)(3,4]-- C ．[1,0)(2,3]- D ．(2,1)(3,4)--二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省常德市第一中学2022年数学高一上期末质量跟踪监视试题含解析
【详解】解：（1）∵圆心C在直线2x﹣y﹣2＝0上，
故选：C.
10、D
【解析】根据函数式的性质可得 ，即可得定义域；
【详解】根据 的解析式，有：
解之得： 且 ；
故选：D
【点睛】本题考查了具体函数定义域的求法，属于简单题；
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据角的概念的推广即可直接求出答案.
【详解】因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的弧度数为 .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） （2）x＝2或15x﹣8y﹣30＝0
【解析】（1）由圆心C在直线2x﹣y﹣2＝0上，可设圆C的圆心为（a，2a﹣2），半径为r，再由圆C过点A（1，4），B（3，6）两点，列关于a，r的方程组，求解可得a，r的值，则圆C的方程可求；
故选B.
【点睛】本题主要考查函数相等的概念，需要同时考查函数的定义域和函数的对应关系，属于中等题.
3、C
【解析】因为 所以 ，故选 .
考点：1.集合的基本运算；2.简单不等式的解法.
4、C
【解析】根据垂直向量坐标所满足的条件计算即可
【详解】因为平面向量 ， ，且 ，
所以 ，解得
故选：C
5、C
【解析】①当 ， ，且 ，则 ，反之当 ，必有 .
湖南鼎城区第一中学高一数学上册期末试题
湖南鼎城区第一中学高一数学上册期末试题一、选择题1．已知全集{}1,3,5,7,9U =，{}1,3A =，则UA（ ）A ．{}1,3B ．{}5,7,9C ．{}1,3,5,7,9D ．∅2．若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(1)()1f xg x x +=-的定义域是（ ） A ．[0,2] B ．(1,3] C ．[1,1)- D ．[0,1)(1,2]⋃ 3．已知点(sin ,tan )M γγ在第四象限，则角γ在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知角α终边经过点()1,2,P -则cos α=（ ） A ．12B ．12-C ．55D ．55-5．函数2()log 8f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()3,4B ．()4,5C ．()5,6D ．()6,76．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的 “弓”，掷铁饼者的手臂长约4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据:2 1.414≈，3 1.732≈)（ ）A ．1.012米B ．2.043米C ．1.768米D ．2.945米7．已知定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：当0x >时，()0f x >，且对任意的,(1,1)x y ∈-，均有()[1()()]()()f x y f x f y f x f y +-=+.若1(ln )2f x f ⎫⎛< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（ ）(e 是自然对数的底数)A ．B ．1e ⎛ ⎝C ．D ．1)ee ⎛⋃ ⎝ 8．对于函数()yf x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()22,02,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．)2⎡-⎣ B ．(,2-∞-C ．(,2-∞+D ．(0,2+二、填空题9．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意的实数想，x ，y 满足1()()()2f x y f x f y +=++，且1()02f =，下列结论正确的是（ ） A ．1(0)2f =-B ．3(1)2f -=- C ．()f x 为R 上的减函数 D ．1()2+f x 为奇函数10．下列说法不正确是（ ）A ．不等式(21)(1)0x x --<的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣B ．已知:12p x <<，1q ，则p 是q 的充分不必要条件C ．若x ∈R ，则函数y =2D ．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是(0,4) 11．下列说法中，正确的有（ ） A ．若0a b <<，则2ab b > B ．若0a b >>，则b a a b> C ．若对(0,)x ∀∈+∞，1x m x+≥恒成立，则实数m 的最大值为2 D ．若0a >，0b >， 1a b +=，则11a b+的最小值为4 12．已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞，()()()f xy f x f y =+，则（ ）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞三、多选题13．已知集合M 满足{}{}1,21,2,5,6,7M⊆，则符合条件的集合M 有______个．14．实数x 满足3log 1sin x θ=+，则()2log 19x x -+-=______.15．设平行于y 轴的直线l 分别与函数2log y x =和2log 2y x =+的图象交于点A ，B ，若函数2log y x =的图象上存在点C ，使得ABC 为等边三角形，则点C 的横坐标为______. 16．对于实数m ，若两函数()f x ，()g x 满足：①[,)x m ∀∈+∞，()0f x <或()0<g x ；②(,]x m ∃∈-∞，()()0f x g x <，则称函数()f x 和()g x 互为“m 相异”函数.若2()1f x ax ax =+-和()1g x x =-互为“1相异”函数，则实数a 的取值范围是___________.四、解答题17．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-． （1）若2A ∈，则A 中至少还有几个元素？ （2）集合A 是否为双元素集合？请说明理由． （3）若A 中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A ．18．已知函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为π2．（1）求实数ω的值；（2）将()y f x =的图象上的所有点向左平移π12个单位得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =，ππ,26x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最值以及相应x 的值．19．已知函数()2f x x x =-和函数()πcos 523xg x a a =+-（0a ≠）. （1）判断函数()f x 在()0,∞+的单调性，并用定义法证明；（2）若对于任意[]11,2x ∈总存在[]21,3x ∈，使得()()21g x f x =成立，求a 的取值范围. 20．已知某海滨天然浴场的海浪高度y (单位：米)是时间t (单位：小时，0≤t ≤24)的函数，记作y =f (x ).如下表是某口各时段的浪高数据：（）从,,,0,0()y at b y at bt c y Acos t b A ωω=+=++=+>>中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（2）依据规定，当海浪高度高于1.25米时才对冲浪爱好者，若海滨浴场全天二十四小时营业，对游客，请依据（1）的结论求出一天内共有多长时间可供冲浪爱好者进行活动. 21．对于集合{}12,,,n A θθθ=⋅⋅⋅和常数0θ，定义：()()()22210200cos cos cos n nθθθθθθμ-+-++-=为集合A 相对0θ的“余弦方差”.（1）若集合ππ,34A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，00θ=，求集合A 相对0θ的“余弦方差”；（2）求证：集合π2π,,π33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，并求此定值；（3）若集合π,,4A αβ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，[)0,πα∈，[)π,2πβ∈，相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，求出α、β.22．设函数()ln =f x x 的定义域为(0,)e ，(e 为自然对数的底数).（1）过原点O 的直线l 与函数()y f x =的图象从左到右依次交于,A B 两点，如果A 为OB 的中点，求点A 的坐标；（2）若关于x 的方程2[()](2)()210f x k f x k +-+-=有三个不同的实数根，求实数k 的取值范围.【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】根据集合的运算直接求解即可【详解】由全集{}1,3,5,7,9U =，{}1,3A = 则5,7,9UA故选：B 2．C 【分析】由题可列出01210x x ≤+≤⎧⎨-≠⎩，可求出.【详解】()y f x =的定义域是[]0,2，∴在()g x 中，01210x x ≤+≤⎧⎨-≠⎩，解得11x -≤<，故()g x 的定义域为[1,1)-. 故选：C. 3．B 【分析】根据第四象限内点的坐标特征，再根据正弦值、正切值的正负性直接求解即可. 【详解】因为点(sin ,tan )M γγ在第四象限，所以有：sin 0tan 0γγγ>⎧⇒⎨<⎩是第二象限内的角. 故选：B 【点睛】本题考查了正弦值、正切值的正负性的判断，属于基础题. 4．D 【分析】直接利用三角函数的定义即可. 【详解】由三角函数定义，cos α==故选：D.5．C 【分析】根据零点存在定理判断． 【详解】∵()f x 在()0,∞+上单调递增，且2(5)log 530f =-<，2(6)log 620f =->， ∴()()560f f ⋅<，所以函数()f x 的零点在区间()5,6内. 故选：C ． 6．C 【分析】先计算弓所在的扇形的弧长，算出其圆心角后可得双手之间的距离. 【详解】弓形所在的扇形如图所示，则AB 的长度为5288πππ+=， 故扇形的圆心角为58=524ππ，故552 1.414 1.7675 1.76844AB =≈⨯=≈. 故选：C. 7．B 【分析】先讨论()f x 在(1,1)-上的单调性，从而得到11ln 2x -<<，求出其解后可得正确的选项. 【详解】 令1,0,2x y == 则102f ⎛⎫> ⎪⎝⎭且111()[1()(0)]()(0)222f f f f f -=+，整理得到21()(0)(0)2f f f -=，若()00f ≠，则21()12f -=，这与21()02f -≤，矛盾，所以()00f =，令y x =-，则(0)[1()()]()()0f f x f x f x f x --=+-=即()()f x f x -=-，故()f x 为(1,1)-的奇函数，设1201x x ，故212121()[1()()]()()f x x f x f x f x f x ---=+-， 即212121()[1()()]()()f x x f x f x f x f x -+=-，因为2101x x <-<，故21()0f x x ->，而21()0,()0f x f x >>， 故211()()0f x f x +>即21()()0f x f x ->， 所以故()f x 为(1,1)-的增函数，因为1(ln )2f x f ⎫⎛< ⎪⎝⎭，故11ln 2x -<<即1x e <<故选：B. 【点睛】方法点睛：抽象函数的性质，一般依据已有的运算性质来推理，对于奇偶性的探究，需采用赋值法来求()0f 的值，这样才能实现()f x 与()f x -的联系，而单调性的探究，则需根据定义来证明. 8．B 【分析】根据“隐对称点"的定义可知()f x 图象上存在关于原点对称的点，转化为求2()2,0f x x x x =+<关于原点的对称函数与()2,0f x mx x =+≥ 有交点即可.【详解】由“隐对称点"的定义可知, ()22,02,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象上存在关 于原点对称的点,设函数g (x )的图象与函数22,0y x x x =+<的图象关 于原点对称.令0x >，则220,()()2()2,x f x x x x x -<-=-+-=- 所以2()2g x x x =-+，故原题意等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有实根, 故22m x x=--+，而222()222x x x x --+=-++≤-=-当且仅当x ,取得等号,所以2m ≤-故实数m 的取值范围是(,2-∞-, 故选：B 【点睛】关键点点睛：求出函数在0x <时关于原点对称的函数解析式2()2g x x x =-+，转化为 2()2g x x x =-+与()2,0f x mx x =+≥相交是关键.二、填空题9．ABD 【分析】利用赋值法确定ABC 选项的正确性，根据奇偶性的定义判断D 选项的正确性. 【详解】依题意1()()()2f x y f x f y +=++，且1()02f =，令0x y ==，得()()()()110000022f f f f +=++⇒=-，故A 选项正确. 令11,22x y ==-，则1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即1111012222f f ⎛⎫⎛⎫-=+-+⇒-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()11131222222f f ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭，故B 选项正确.由于()()10f f -<，故C 选项错误. 令y x =-，得()()()12f x x f x f x -=+-+， 即()()1122f x f x -=+-+，即()()11022f x f x ⎡⎤⎡⎤=++-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()12f x +为奇函数，故D 选项正确. 故选：ABD 10．ACD 【分析】运用一元二次不等式的解法求解选项A 和选项D 的结果，并对其进行判断，运用充分条件和必要条件知识判断选项B ，运用函数单调性求解选项C 中的最值. 【详解】对于A ，根据不等式()()2110x x --<可得()()2110x x -->，所以12x <或1x >， 则不等式的解集为()11,,2⎛⎫+∞-∞ ⎪⎝⎭，故选项A 的说法错误；对于B ，当12x <<11时，解得0x ≥，所以故p 是q的充分不必要条件，故选项B 正确； 对于C()t x R =∈ 则2t ≥，()12y t t t =+≥，当2t ≥时，1y t t=+单调递增，故min 15222y =+=，故选项C 的说法错误； 对于D ，若当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立；则当0k =时，不等式化为10>恒成立，故0k =符合题意，当0k ≠时，只要240k k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得04k <<，所以不等式210kx kx -+>的解集为R ，则实数k 的取值范围是[)0,4，故选项D 的说法错误； 故答案为：ACD 【点睛】本题考查了解一元二次函数不等式，以及恒成立问题，在解答恒成立问题时注意对参量的分类讨论，运用基本不等式时注意取等条件，判断充分条件和必要条件时注意取值范围问题. 11．ACD 【分析】利用不等式的性质可判断选项A 、B 的正误；求出1y x x=+的最小值可得实数m 的范围，可判断选项C ；利用基本不等式求最值可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：若0a b <<，则2ab b >，故选项A 正确； 对于选项B ：若0a b >>，则1b aa b<<，故选项B 不正确； 对于选项C ：若对(0,)x ∀∈+∞，1x m x +≥恒成立，则min 1m x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，因为0x >，所以12y x x =+≥当且仅当1x =时1y x x =+的最小值为2，所以2m ≤，所以实数m 的最大值为2，故选项C 正确； 对于选项D ：若0a >，0b >，1a b +=，则()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当1b aa b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即12a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为4，故选项D 正确，故选：ACD 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 12．AC 【分析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可； 【详解】解：因为函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞，()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()()()111f f f =+，则()10f =，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，则()10f -=，所以()f x 过点()1,0和()1,0-，故A 正确；令1y =-，则()()()1f x f x f -=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故B 错误； 令1y x =-，则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时，所以()11,0x-∈-，又()0f x >，则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即当10x -<<时，()0f x <，故C 正确； 令1y x =，则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当01x <<时，所以()11,x ∈+∞，又()0f x <，则10f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即当1x >时，()0f x >，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时，()0f x >，所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查抽象函数的性质的应用，解答的关键是根据题干所给信息及需证明的性质合理利用特殊值法；三、多选题13．7 【分析】根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案. 【详解】据子集的定义，可得集合M 必定含有1、2两个元素，而且含有5,6,7中的至多两个元素，因此，满足条件{}{}1,21,2,5,6,7M⊆的集合M 有：{1,2}，{1,2,5}，{1,2,6}，{1,2,7}，{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}共7个， 故答案为：7.14．3【分析】根据[]3log 1sin 0,2x θ=+∈解得19x ≤≤，代入化简得到答案.【详解】[]3log 1sin 0,219x x θ=+∈∴≤≤()()222log 19log 19log 83x x x x -+-=-+-==故答案为：3【点睛】本题考查了三角函数的值域，对数计算，意在考查学生的计算能力.15．【分析】根据等边三角形的性质，结合两点间距离公式、对数的运算性质进行求解即可.【详解】因为平行于y 轴的直线l 分别与函数2log y x =和2log 2y x =+的图象交于点A ，B ， 所以设2(,log )A a a ，2(,log 2)(0)B a a a +>，又因为函数2log y x =的图象上存在点C ，使得ABC 为等边三角形，所以设2(,log )(0)C b b b >，显然2AB =，因为ABC 为等边三角形，所以2BC AC ==，即2(1)2(2)==，22(1)(2)-得： 22log 2log b b a a -=-或22log 2log b b a a-=（舍去）， 由222log 2log log 122b b b b b a a a a a -=-⇒=⇒=⇒=，把2b a =代入(2)中，22140,a a a a ⇒+=⇒=>∴b =因此点C的横坐标为故答案为：16．(),4-∞-【分析】根据两个函数互为“1相异”函数可得[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解，利用参变分离先讨论前者，再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围.【详解】因为当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当1x <时，()0g x <，结合()(),f x g x 互为“1相异”函数，故[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解.先考虑[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，则210ax ax 在[1,)+∞上恒成立， 故2+1a x x<在[1,)+∞上恒成立， 因为22+x x ≥，故2+1102x x <≤，故0a ≤. 再考虑()0f x >在(),1-∞上有解，若0a =，则()10f x =-<，故()0f x >在(),1-∞上无解，若0a <，()f x 的对称轴为12x =-，且开口向下，由()0f x >在(),1-∞上有解可得240a a ∆=+>，故4a 或0a >（舍）.故实数a 的取值范围是(),4-∞-，故答案为：(),4-∞-.【点睛】方法点睛：对于新定义背景下的函数性质的讨论，一般是先根据定义得到含参数的函数的性质，对于不等式的恒成立或有解问题，可优先考虑参变分离的方法，也可以结合函数图象的性质处理.四、解答题17．（1）A 中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 【分析】（1）由x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x ∈-，结合2A ∈可计算得出集合A 中的元素； （2）由x A ∈，逐项可推导出11A x ∈-，1x A x -∈，结合集合元素满足互异性可得出结论；（3）由（2）A 中有三个元素为x 、11x -、1x x -（1x ≠且0x ≠），设A 中还有一个元素m ，可得出11A m ∈-，1m A m-∈，由已知条件列方程求出x 、m 的值，即可求得集合A 中的所有元素.【详解】（1）2A ∈，1112A ∴=-∈-．1A -∈，()11112A ∴=∈--． 12A ∈，12112A ∴=∈-． A ∴中至少还有两个元素为1-，12；（2）不是双元素集合．理由如下： x A ∈，11A x ∴∈-，11111x A x x-=∈--， 由于1x ≠且0x ≠，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，则210x x -+≠， 则()11x x -≠，可得11x x ≠-，由221x x x -+≠-，即()21x x -≠-，可得111x x x -≠-， 故集合A 中至少有3个元素，所以，集合A 不是双元素集合．（3）由（2）知A 中有三个元素为x 、11x -、1x x -（1x ≠且0x ≠）， 且1111x x x x-⋅⋅=--， 设A 中有一个元素为m ，则11A m ∈-，1m A m -∈，且1111m m m m -⋅⋅=--， 所以，1111,,,,,11x m A x m x xm m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭，且集合A 中所有元素之积为1. 由于A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，设2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =（舍去）或2x =或12x =． 此时，2A ∈，1A -∈，12A ∈， 由题意得1111421213m m m m -+-+++=-，整理得3261960m m m -++=， 即()()()621320m m m -+-=，解得12m =-或3或23， 所以，112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素相关的问题，解题时要结合题中集合A 满足的定义推导出其它的元素，以及结合已知条件列方程求解，同时注意集合中元素满足互异性. 18．（1）1ω=；（2）最大值为1，π2x =-或π6x =，最小值为2-，π6x =-.【分析】（1）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为π2，可得函数的最小正周期，进一步求出结果；（2）利用函数的平移变换求出函数()g x 的关系式，进一步利用函数的定义域结合整体思想求出函数的最值．【详解】（1）()22sin cos f x x x x ωωω=+π22sin 23sin 2x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭=， 因为当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为π2， 所以函数的最小正周期为π， 即2π2πω=，解得1ω=． （2）由（1）知()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()πππ2sin 22sin 21236g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵ππ,26x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴7πππ2666x -≤-≤． ∴π11sin 262x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，π22sin 216x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭． ()y g x =的最大值为1，此时π1sin 262x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π2x =-或π6x =． ()y g x =的最小值为2-，此时πsin 216x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π6x =-． 19．（1）单调递增，证明见解析；（2）82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）首先判断()f x 的单调性，通过证明()()120f x f x -<证得结论成立.（2）先求得()1f x 的取值范围，对a 进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）单调递增，证明如下：任取1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，则()()()12121212122221f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵120x x <<，∴120x x -<，12210x x +>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ∴()f x 在()0,∞+单调递增.（2）由（1）可得，()111f x -≤≤，又[]21,3x ∈，则π1cos 1,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()235352a a g x -≤≤-， 由题可知，()()12f x g x ⊆，∴531a -≤-且3512a -≥得823a ≤≤， 当0a <时，()235532a g x a -≤≤-，易知不满足要求. 综上所述，a 的取值范围为82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（1）应选择的函数模型为：cos()y A t b ωϕ=++，0.5cos16y t π=+，(024t ≤≤)；（2）一天之间有8小时可供冲浪爱好者进行活动.【分析】 （1）表中数据可知，应选择的函数模型为：cos()y A t b ωϕ=++，根据函数的最值求出A 和b ，根据周期求出ω，根据0的函数值求出ϕ可得函数解析式；（2）由0.5cos1 1.256t π+>，解不等式可得结果.【详解】（1）由表中数据可知，应选择的函数模型为：cos()y A t b ωϕ=++. 则 1.5(1.5)0.52A -==， 1.50.512b +==，212π=ω，6π=ω. ∴0.5cos 16y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 又当0x =时， 1.5y =，∴0.5cos 1 1.5ϕ+=，得cos 1ϕ=，则2k ϕ=π，k Z ∈. ∴0.5cos 210.5cos 166y t k t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，(024t ≤≤). （2）由0.5cos1 1.256t π+>，得1cos 62t π>， ∴22363k t k πππππ-<<+，即122122k t k -<<+，k Z ∈.又024t ≤≤，∴02t <<，或1014t <<，或2224t <<.故一天之间有8小时可供冲浪爱好者进行活动.【点睛】关键点点睛：利用表格中的数据求出函数解析式是解题关键.21．（1）38；（2）证明见解析，定值12；（3）7π12α=，23π12β=或11π12α=，19π12β= 【分析】由“余弦方差”的定义,对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可.【详解】（1）依题意：22ππ11cos 0cos 033442228μ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===； （2）由“余弦方差”定义得：()222000π2πcos cos cos π333θθθμ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， 则分子()222000000ππ2π2πcos cos sin sin cos cos sin sin cos πcos sin πsin 3333θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2220000011cos cos cos 22θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22200013cos sin cos 22θθθ=++ 32= 31232μ∴==为定值，与0θ的取值无关. （3）()()222000πcos cos cos 43θαθβθμ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭=， 分子=()()222000000ππcos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 44θθαθαθβθβθ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭22000011cos +sin sin cos 22θθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22220000cos cos sin sin 2sin cos sin cos αθαθθθαα+++()22220000cos cos sin sin 2sin cos sin cos βθβθθθββ+++()222222000011cos cos cos sin sin sin 1sin 2sin 2sin cos 22αβθαβθαβθθ⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()22220001cos 21cos 2111cos cos sin sin 1sin 2sin 2sin 222222θθαβαβαβθ+-⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222200cos 2sin 2cos cos sin sin 1sin 2sin 222θθαβαβαβ=+--+++22221111cos cos sin sin 2222αβαβ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()00cos 2sin 2cos 2cos 21sin 2sin 222θθαβαβ=++++22221111cos cos sin sin 2222αβαβ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()00311sin 21sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2222θαβθαβ=+⋅+++⋅+. 要使μ是一个与0θ无关的定值,则cos 2cos 201sin 2sin 20αβαβ+=⎧⎨++=⎩, cos 2cos 2αβ=-,2α∴与2β终边关于y 轴对称或关于原点对称,又sin 2sin 21αβ+=-,得2α与2β终边只能关于y 轴对称,1sin 2sin 22cos 2cos 2αβαβ⎧==-⎪∴⎨⎪=-⎩, 又[)0,πα∈，[)π,2πβ∈， 则当72π6α=时,232π6β=; 当112π6α=时,192π6β=. 7π12α∴=，23π12β=或11π12α=，19π12β=. 故7π12α=，23π12β=或11π12α=，19π12β=时,相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值.【点睛】本题考查了新定义,考查了三角函数的恒等变换,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.22．（1）1ln 23A ⎫⎪⎪⎝⎭；（2）1223k <≤. 【分析】（1）根据A 为OB 的中点，将点B 用点A表示代入函数解得1x =，进而可得坐标点A ；（2）设()t f x =原方程等价于2()(2)210t k t k ϕ+-+-=有两个不等的实数根12,.t t 根据根的分布讨论121,01t t ≥<<和120,01t t =<<即可得出实数k 的取值范围；【详解】解：（1）因为A 为OB 的中点，于是设1111(,ln ),(2,ln(2))A x x B x x -依题意得：111ln(2)2ln 3ln ln 2x x x =-⇒=- 解得3142x =，所以点341,ln 223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ （2）作出函数()ln =f x x 图像，方程2[()](2)()210f x k f x k +-+-=即(())(())0f x m f x n --=有三个不同的实数根等价于函数()y f x =与,y m y n ==共有三个交点，等价于设()t f x =，方程2(2)210t k t k +-+-=有两个不等的实数根12,.t t①当121,01t t ≥<<时，应有2101212210230k k k k ->⎧⎪⇒<≤+-+-≤⎨⎪∆>⎩如下图 ②当120,01t t =<<时，应有12102k k -=⇒=此时方程化简为2302t t -= 而1230.12t t ==>不符合，故舍去综合得：实数k 的取值范围是12.23k <≤【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
湖南省常德市桃源一中2022-2023学年数学高一上期末联考试题含解析
【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.
8、A
【解析】由 ，知 ，解得
令 ，则 .，即为 和 两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：
由图可知，当直线和半圆相切时 最小，当直线过点A(4,0)时， 最大.
当直线和半圆相切时， ，解得 ，由图可知 .
当 时函数 取得最大值 ，
当 时函数 取得最小值 ，
故 对一切 恒成立只需 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
（2）由题意可得 时函数 取得最大值 ，当 时函数 取得最小值 ，原问题等价于 ，求解不等式组可得实数 的取值范围是 .
试题解析：
（1）因为 ，可化得 ，
若方程 有解只需实数 的取值范围为函数 的值域，
而 ，又因为 ，
当 时函数 取得最小值 ，
当 时函数 取得最大值 ，
故实数 的取值范围是 .
（2）由 ，
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d=r，即 ，
解得：m= 舍去负值.
则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m的范围为 .
2022-2023学年湖南省常德市临澧县第一中学高一上学期第三次阶段性考试数学试题(解析版)
2022-2023学年湖南省常德市临澧县第一中学高一上学期第三次阶段性考试数学试题一、单选题1．若集合{(,)1}M x y y ==∣，集合{(,)0}N x y x ==∣，则M N ⋂=（ ） A ．{0,1} B ．{(0,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1),(1,0)}【答案】B【分析】根据集合与交集的含义即可得到答案.【详解】根据集合M 表示纵坐标为1的点集，集合N 表示横坐标为0的点集， 所以两者交集为{(0,1)}， 故选：B.2．命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题的充要条件是（ ） A ．1m < B ．2m <C ．2m ≤D ．3m <【答案】C【分析】将问题转化为21x m >-在(1,)+∞上恒成立，可求出结果. 【详解】因为命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题， 所以21x m >-在(1,)+∞上恒成立， 所以11m -≤，即2m ≤，所以命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题的充要条件是2m ≤. 故选：C3．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a>b ，c>d .若f (x )＝2017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( ) A ．a>c>b>d B ．a>b>c>dC ．c>d>a>bD ．c>a>b>d【答案】D【分析】根据给定条件，作出函数图象，结合图象及f (a )、f (b )的值即可判断作答.【详解】f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2017，又f (a )＝f (b )＝2017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a>b ，c>d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d ， 故选：D.4．函数1()log ||(1)|1|a x f x x a x +=>+的图像大致是 A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】可分类讨论，按0x >，1x <-，10x -<<分类研究函数的性质，确定图象． 【详解】0x >时，()log a f x x =是增函数，只有A 、B 符合，排除C 、D ，1x <-时，()log ()a f x x =--＜0，只有A 符合，排除B ．故选A ．【点睛】本题考查由函数解析式选取图象，解题时可通过研究函数的性质排除一些选项，如通过函数的定义域，单调性、奇偶性、函数值的符号、函数的特殊值等排除错误的选项． 5．已知sin cos sin cos a αααα+==，则a 的值为（ ） A ．12B ．12C ．12D ．0【答案】B【分析】对sin cos a αα+=平方得22sin cos 1a αα=-，得到关于a 的方程，最后解出a 值，注意取舍即可.【详解】sin cos a αα+=，两边同平方得212sin cos a αα+=， 故22sin cos 12a a αα=-=，解得21a 或21，1sin cos sin 22a ααα==，[]sin 21,1α∈-，111sin 2,222α⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，21a ∴=故选：B.6．已知角α的终边过点1,2，则()π11πsin 3πcos sin 22ααα⎛⎫⎛⎫--+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A B C D 【答案】D【分析】先求得sin ,cos αα，然后利用诱导公式求得正确答案. 【详解】由于角α的终边过点1,2，所以sin αα===，()π11πsin 3πcos sin 22ααα⎛⎫⎛⎫--+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()πsin 2ππsin sin 6π2ααα⎛⎫+-++-+ ⎝=⎪⎭()πsin πsin sin 2ααα⎛⎫-++- ⎝=⎪⎭2sin cosαα=-==故选：D7．已知()()()log 10,1xa f x a bx a a -=++≠＞是偶函数，则（ ）A ．12b =且()1f a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．12b =-且()1f a f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．12b =且11f a f a b ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．12b =-且11f a f a b ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】利用函数的偶函数，求出b ，确定函数单调递增，即可得出结论【详解】解：∵()()()log 10,1xa f x a bx a a ＞-=++≠是偶函数， ∴()()()(),log 1log 1x xa a f x f x a bx a bx --=++=+-即 ∴()()()log 1=log 11x xa a a bx ab x +-++-∴11,2b b b -=-=∴()()1log 12x a f x a x -=++，函数为增函数， ∵112a a b+=＞，∴11f a fa b ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ 故选C【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题8．已知函数231,2()1024,2x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若函数2()2(())()F x f x mf x =-，且函数()F x 有6个零点，则非零实数m 的取值范围是 A ．()()2,00,16⋃- B ．()216, C ．[)2,16 D ．()()2,00,-+∞【答案】C【解析】作出函数()f x 的图像，原问题转化为函数()y f x =与,02my y ==共有6个交点，等价于()y f x =与2my =有三个交点，结合图像得出其范围. 【详解】解：作出函数()f x 的图像如下：数2()2(())()F x f x mf x =-，且函数()F x 有6个零点等价于()(())02mf x f x -=有6个解， 等价于()0f x =或()2mf x =共有6个解 等价于函数()y f x =与,02my y ==共有6个交点， 由图可得()y f x =与0y =有三个交点，所以()y f x =与2my =有三个交点 则直线2my =应位于1,8y y ==之间， 所以182162mm ≤<⇒≤< 故选：C.【点睛】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.二、多选题9．已知正数x ，y 满足1910x y x y+++=，则x y +可能的值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．9【答案】ABC【分析】根据199()()10y x x y x y x y ++=++16≥，得到1916x y x y +≥+，再由191610x y x y x y x y=+++≥+++，解不等式得到28x y ≤+≤，从而可得答案.【详解】因为0,0x y >>，199()()10y x x y x y x y ++=++1016≥+=，当且仅当3y x =时，等号成立，所以1916x y x y +≥+，所以191610x y x y x y x y=+++≥+++， 所以2()10()160x y x y +-++≤， 所以(2)(8)0x y x y +-+-≤， 所以28x y ≤+≤. 故选：ABC10．已知函数()()e 2,ln 2xf x xg x x x =+-=+-，且()()0f a g b ==，则下列结论正确的是（ ）A ．1a b <<B ．2a b +=C ．()()0g a f b <<D ．110f g b a ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC【分析】利用函数单调性和零点存在性定理分别求出a ,b ,(),()g a f b 的范围,即可判断A,C,利用数形结合判断B ，然后对b 的范围进一步缩小，则得到1b 的范围，即可判断1f b ⎛⎫⎪⎝⎭的正负，则可判断D 选项.【详解】由题意,易知函数e ,ln ,2x y y x y x ===-都是其定义域上的增函数, 所以函数()e 2x f x x =+-,()ln 2g x x x =+-都是其定义域上的增函数， 又因为0(0)e 0210f =+-=-<,1(1)e 12e 10f =+-=->,且()f x 在其定义域上连续,所以()f x 在(0,1)上存在唯一零点,即(0,1)a ∈,又(1)ln11210g =+-=-<,(2)ln 222ln 20g =+-=>,且()g x 在其定义域上连续,所以()g x 在区间(1,2)内存在唯一零点,即(1,2)b ∈， 所以01a b <<<,故A 正确;由a b <,则()()0,0()()g a g b f a f b <==<, 所以()0()g a f b <<,故C 正确;令()e 20x f x x =+-=，()ln 20=+-=g x x x , 即e 2,ln 2x x x x =-+=-+,则e x y =和ln y x =与2y x =-+都相交, 且e x y =和ln y x =图象关于y x =对称,由2y x y x =⎧⎨=-+⎩,得11x y =⎧⎨=⎩, 即e x y =和ln y x =与2y x =-+的交点关于(1,1)对称,则12a b+=,即2a b +=,故B 正确.1213e 022f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2a b +=，3,22b ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故112,23b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故1a b >，故()10f f a b ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题的关键是灵活运用零点存在定理结合函数的单调性确实,a b 的范围，然后就是利用指数函数与对数函数的关系得到,a b 的和为定值，最后再次使用零点存在定理进一步缩小,a b 的范围，从而判断出1f b ⎛⎫⎪⎝⎭的正负.11．关于函数()()21lg 0x f x x x +=≠，下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于y 轴对称B ．函数()f x 的最小值是lg 2C ．当0x >时，()f x 是增函数；当0x <时，()f x 是减函数D ．函数()y f x m =-的所有零点之和为0 【答案】ABD【分析】对于A ，利用偶函数的定义可判断()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称；对于B ，利用基本不等式求出21||x x +的最小值，再根据对数函数的单调性可求出函数()f x 的最小值是lg 2；对于C ，当0x >时，根据11()()23f f <，可判断()f x 不是增函数；对于D ，根据()y f x m =-是偶函数，其图象关于y 轴对称，可判断出函数()y f x m =-的所有零点之和为0.【详解】对于A ，22()11()lglg ()||x x f x f x x x-++-===-，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，因为211||2||||x x x x +=+≥，当且仅当1x =时取等号，所以()21lg lg 2x f x x +=≥，所以函数()f x 的最小值是lg 2，故B 正确；对于C ，当0x >时，1()lg()f x x x =+，15()lg 22f =<110()lg 33f =，所以()f x 不是增函数，故C 不正确；对于D ，因为函数()f x 为偶函数，所以()y f x m =-也是偶函数，其图象关于y 轴对称，所以函数()y f x m =-的图象与x 轴的交点关于y 轴对称，所以函数()y f x m =-的所有零点之和为0，故D 正确. 故选：ABD12．华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()111212122122b b c c a a b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中1111221c a b a b =+，2112222c a b a b =+.已知定义在R 上不恒为0的函数()f x ，对任意,a b R ∈有：()()()()121111b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭且满足()12f ab y y =+，则（ ）A ．()00f =B ．()11f -=C ．()f x 是偶函数D ．()f x 是奇函数【答案】AD【分析】先根据定义化简得()f ab ()()bf a af b =+，再按照赋值法依次判断. 【详解】根据定义可得：12()(1)()(1),()(1)()1y f a f b a y f a b f b =⨯-+⨯-=⨯++⨯，()12()(1)()(1)()()f ab y y f a a f b b f a f b =+=-+-+++()()bf a af b =+.令0a b ，则(0)0f =，A 正确；令1a b ==，则(1)(1)(1),(1)0f f f f =+=，令1a b ==-，则(1)(1)(1),(1)0f f f f =-----=，B 错误； 令1a x,b ==-，则()()(1),()()f x f x xf f x f x -=-+--=-，又定义域为R ，f x 是奇函数，故C错误，D 正确. 故选：AD三、填空题13．计算312log 419lg594--⎛⎫-= ⎪⎝⎭___．【答案】109##119【分析】根据指数幂和对数的运算性质可求出结果.【详解】原式32log 422|lg5|33-=-因为23211lg5lg10lg5lg100lg1250333-=-=-<，所以原式3log 1621lg5(1lg 2)339=---+⨯216lg51lg 239=--++109=. 故答案为：10914．已知log a (3a －1)恒为正，则a 的取值范围是________．【答案】12133a a a或⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【分析】由题意分类讨论1a >和01a <<两种情况确定实数a 的取值范围即可. 【详解】∵loga (3a －1)>0＝loga 1. 当a >1时，y ＝logax 是增函数，∴311310a a ->⎧⎨->⎩，解得a >23，∴a >1；当0<a <1时，y ＝logax 是减函数，∴311310a a -<⎧⎨->⎩，解得1233a <<，综上所述，a 的取值范围是12133a a a⎧⎫<⎨⎬⎩⎭或. 【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．若函数()22441f x ax x =+-在区间(1,1)-内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是___．【答案】151,8246⎡⎤⎧⎫--⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可.【详解】当0a =时，1()410(1,41)f x x x =-=⇒=∈-，符合题意，当0a ≠时，二次函数()22441f x ax x =+-的判别式为：=16+96a ∆，若1=0,6a ∆=-，此时函数()22441f x ax x =+-的零点为12x =，符合题意；当10,6a ∆>>-时，只需(1)(1)=(243)(245)0f f a a ⋅-+-<，所以15824a -<<且0a ≠；当(1)=0f 时，18a =-，经验证符合题意；当(1)=0f -时，524a =，经验证符合题意；所以实数a 的取值范围为151,8246⎡⎤⎧⎫--⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭.故答案为：151,8246⎡⎤⎧⎫--⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭四、双空题 16．设函数1()1f x x=-（0x >） （1）若0a b <<，且()()f a f b =时，则11a b+=___（2）若方程()f x m =有两个不相等的正根，则m 的取值范围___ 【答案】 2. (0,1).【分析】（1）先根据函数解析式化简为分段函数11,01()11,1x x f x x x⎧-<<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，再建立方程1111a b -=-，最后得到答案即可.（2）先根据函数解析式画出函数图象，再根据函数图象写出满足要求的m 的取值范围. 【详解】解：（1）∵ 函数1()1f x x=-（0x >）， ∴11,01()11,1x xf x x x⎧-<<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，∵ 当0a b <<时，()()f a f b = ∴ 01a b <<<，1111a b-=-，整理得：112a b +=，（2）由题意画出11,01()11,1x xf x x x⎧-<<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩的图象，如图.若方程()f x m =有两个不相等的正根，则m 的取值范围为：(0,1).【点睛】本题考查利用函数的解析式求函数值，利用函数的零点求参数范围，是基础题.五、解答题17．已知10sin cos ,22ππααα⎛⎫+=∈- ⎪⎝⎭． (1)求tan α的值；(2)求22sin sin cos 1ααα+-的值． 【答案】(1)3- (2)12【分析】（1）联立22sin cos sin cos 1αααα⎧+⎪⎨⎪+=⎩，解出sin ,cos αα，进而求得tan α；（2）原式2222sin sin cos 1sin cos ααααα+=-+，分子分母同时除以2cos α，转化为含tan α的式子，代入（1）的结论即可求得它的值.【详解】（1）因为()22sin cos 12sin cos 5αααα+=+=，故32sin cos 5αα=-．则()238sin cos 12sin cos 155αααα-=-=+=． 又,22a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα<，则,0,sin 0cos 2πααα⎛⎫∈-<< ⎪⎝⎭．故sin cos αα-=又sin cos αα+=，二者联立解得：，sin cos αα==，故sin tan 3cos ααα==-． （2）22222sin sin cos 2sin sin cos 11sin cos αααααααα++-=-+ 222tan tan 183111tan 1912ααα+-=-=-=++ 18．已知集合()(){}2|220,R A x mx m x m =--->∈．(1)求集合A ；(2)集合B ＝Z ，使A B ⋂的元素个数最少，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)[－2,－1]【分析】（1）分类讨论m ，解不等式可得集合A ；（2）当0m ≥时，A 是无限集，则A ⋂Z 也是无限集，不符合题意；当0m <时，要使A B ⋂的元素个数最少，则必有23m m+≥-，解此不等式可得结果. 【详解】（1）当0m =时，{2(2)0}{|2}A xx x x =-->=<∣． 当0m ≠时，令()()2220mx m x ---=，则122,2x m x m=+=． 当0m >时，22m m +≥，由()()2220mx m x --->，得2[()](2)0x m x m-+->，得2x <或2x m m >+，则()2,2,A m m ⎛⎫=-∞⋃++∞ ⎪⎝⎭；当0m <时，由()()2220mx m x --->，得2[()](2)0x m x m-+-<， 因为20m m +<，则22m x m +<<，则2,2A m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.综上所述：当0m =时，(,2)A =-∞；当0m >时，()2,2,A m m ⎛⎫=-∞⋃++∞ ⎪⎝⎭；当0m <时，2,2A m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）当0m ≥时，A 是无限集，则A ⋂Z 也是无限集，不符合题意； 当0m <时，A 是有限集，则A ⋂Z 也是有限集．由于2m m +≤-，要使A B ⋂的元素个数最少，则必有23m m+≥-， 所以2320m m ++≤，解得21m -≤≤-． 故所求m 的取值范围为：[－2,－1]．19．已知函数()()()22lg 111,R f x a x a x a ⎡⎤=-+-+∈⎣⎦．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)5,[1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(2)[－53，－1]【分析】（1）当210a -=时，直接求出()f x 的定义域进行判断；当210a -≠时，转化为二次函数y =()()22111a x a x -+-+的图象开口向上，与x 轴没有交点，再根据二次函数知识可求出结果.（2）当210a -=时，直接求出()f x 的值域进行判断；当210a -≠时，转化为二次函数()()()22111t x a x a x =-+-+的图象开口向上，且与x 轴有交点，根据二次函数知识可求出结果.【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ，则()()221110a x a x -+-+>在R 上恒成立．①当210a -=时，a =±1，若1a =，则1＞0恒成立，()f x 的定义域为R ，符合题意； 若1,210a x =--+>，得12x <，()f x 的定义域为1(,)2-∞．不符合题意. ②当210a -≠时，则有()()22210Δ1410a a a ⎧->⎪⎨=---<⎪⎩， 解得53a <-或1a >，综上所述：实数a 的取值范围为5,[1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）记()()()()22111,0t x a x a x t x =-+-+>的解集为D ，即为函数f （x ）的定义域．因为()()lg f x t x =的值域为R ，则对x D ∀∈时，函数f （x ）的值域为（0，＋∞）． ①当210a -=时，1a =±．若()1,1a t x ==，()0f x =，()f x 的值域为{0}，不符合题意；若()1,21a t x x =-=-+，1(,)2D =-∞，()f x 的值域为(0,)+∞，符合题意．②当210a -≠时，则有：()()22210Δ1410a a a ⎧->⎪⎨=---≥⎪⎩， 解得513a -≤<-，综上所述：实数a 的取值范围为[－53，－1]20．已知函数()21ax f x x b+=+是奇函数，其中,R a b ∈．(1)若()()13G x x f x a ⎡⎤=+-⎣⎦在区间（1，＋∞）上单调递增，求实数a 的取值范围．(2)若不等式()2f x <的解集为()12),0(,x x -∞⋃，且221212310,x x x x a <<+=，求a 的值． 【答案】(1)[0,1](2)1a =【分析】（1）先根据21()ax f x x b+=+为奇函数，得到0b =，再由()G x 的单调性得出a 的取值范围；（2）由2()2(21)0f x x ax x <⇔-+<及解集为()12),0(,x x -∞⋃，可得12,x x 是方程2210ax x -+=的两个不等正根．结合一元二次不等式、221231x x a+=及韦达定理可求出实数a 的值. 【详解】（1）因为f （x ）是奇函数，则由()()f x f x -=-，即2211ax ax x b x b++=--++，解得0b =． 则21()ax f x x +=，()()22113131ax G x x a ax a x x ⎛⎫+=+-=+-+⎪⎝⎭， 因为G （x ）在（1，＋∞）上单调递增． ①当0a =时，()1G x x =+符合题意；②当0a ≠时，则有03112a a a >⎧⎪-⎨≤⎪⎩，解得：01a <≤．综上所述：实数a 的取值范围为[0,1]．（2）由()2f x <，即212ax x +<，则()22120210ax xx ax x x+-<⇔-+<，上述不等式的解集为()()12,0,x x -∞⋃．又120x x <<，则()12,x x 是2210ax x -+<的解集． 则12,x x 是方程2210ax x -+=的两个不等正根． 则有：0a >，且1212210,0x x x x a a+=>=>，且440a ∆=->，即01a <<． 则()222121212234212x x x x x x a a a +=+-=-=．解得：212a =±． 又因为01a <<，故212a =-． 21．2020年，突如其来的新冠肺炎疫情席卷全球，此次疫情传播速度之快、感染范围之广、防控难度之大均创历史之最.面对疫情，我国政府快速应对，在这次疫情大考的实践中凸显了中国社会主义制度的优越性，在向全球提供支援及分享抗疫经验中体现出了大国担当的责任和情怀.据报载，截至目前，我国有5种疫苗正在开展三期临床试验.下图为某种疫苗在按规定的剂量使用后，每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的近似曲线，其中，OM ，MN 为线段，且MN 所在直线的斜率为12-.当3t ≥时，y 与t 之间满足：13t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中a 为常数）.（1）结合图象，写出使用后y 与t 之间的函数关系式()y f t =，其中0t >；（2）根据进一步的测定：每毫升血液中含药量不少于13微克时治疗有效，求使用一次治疗有效的时间范围.【答案】（1）()()()()4401191322133t tt f t t t t -⎧⎪<<⎪⎪=-+≤<⎨⎪⎪⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）1512t ≤≤.【解析】（1）根据图象上的点和对应的斜率，解析式求出每段的解析式即可得出； （2）根据解析式求出不等式()13f t ≥即可. 【详解】解：（1）当01t <<，设y kt =，将()1,4M 代入可得4k =； 由12MN k =-可知线段MN 所在的直线方程为()1412y t -=--，即290t y +-=，∴()3,3N .将点N 代入13t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭可得4a =，所以：()()()()4401191322133t tt f t t t t -⎧⎪<<⎪⎪=-+≤<⎨⎪⎪⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩.（2）当01t <<时，由143t ≥得112t ≥，故1112t ≤<.当13t ≤<时，由191223t -+≥可得253t ≤，故13t ≤<.当3t >时，由41133t -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭可得5t ≤，故35t <≤， 综上满足条件的t 的范围是1512t ≤≤. 22．已知定义在R 上的增函数()f x ，函数()()()F x f x f x =--，()()()G x f x f x =+-． (1)用定义证明函数()F x 是增函数，并判断其奇偶性；(2)若()2xf x =，不等式()()24G x mG x +>对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围；(3)在（2）的条件下，函数()()()()1g x F x a f x a =+--有两个不同的零点12,x x ，且12121x x x x +<+，求实数a 的取值范围．【答案】(1)证明详见解析，()F x 是奇函数(2)(),3-∞(3)⎫+∞⎪⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数单调性的定义证得()F x 是增函数，根据函数奇偶性的定义判断出()F x 是奇函数.（2）由()()24G x mG x +>分离常数m ，结合基本不等式以及函数的单调性求得m 的取值范围. （3）利用换元法，将()0g x =转化为一元二次方程的形式，结合二次函数零点分布的知识列不等式，从而求得a 的取值范围.【详解】（1）设12,R x x ∀∈，且12x x <．因为()f x 是R 上的增函数，则()12()f x f x <， 又12x x ->-，则()()12f x f x ->-，则()()()()2211f x f x f x f x --<--， 即()()12F x F x <，所以()F x 是增函数；()F x 的定义域是R ，且对于x ∀∈R ，()()()()F x f x f x F x -=--=-，故()F x 是奇函数．（2）由()()24G x mG x +>，即22)224(22x x x x m --++>+，则()()222222x x x x m --++>+，即()22222x x x xm --<+++，对x ∀∈R 恒成立．令22x x t -=+，222-+≥x x ，当且仅当22,0x x x -==时等号成立，即2t ≥， 则2m t t<+，对任意2t ≥恒成立. 对于函数()()22v x x x x=+≥， 任取122x x ≤<， ()()12121222v x v x x x x x -=+-- ()()()12121212121222x x x x x x x x x x x x ---=--=，当122x x ≤<时，由于1212120,20,0x x x x x x -<->>， 所以()()()()12120,v x v x v x v x -<<， 所以()v x 在区间[)2+∞上递增.所以22232t t +≥+=，故3m <． 故实数m 的取值范围为(),3-∞.（3）由12121x x x x +<+，即()()12110x x --<，则121x x ．因为()()()122222212x x x x x g x a a a a ---=-+-=+-⋅-，设2x u =，则()221a g x u a u-=+-，令()0g x =，则22210u a u a ⋅-+-=， 因为()g x 有两个不同零点()1212,1x x x x <<，故上述方程有两个不同的实根12,u u ，且112(0,2)xu =∈，222(2,)x u ∞=∈+．记22()21h u u a u a =-⋅+-，则有()()2232200210h a a h a ⎧=+-<⎪⎨=->⎪⎩，解得：a >故实数a 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭．【点睛】利用定义法判断函数的单调性，主要的步骤是：在定义域上任取12,x x ，且12x x <；通过计算判断出()()12f x f x -的符号；从而判断出函数的单调性.研究不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法进行求解.。
湖南省名校联考联合体2020-2021年高一第一学期12月大联考数学试卷【含答案】
湖南省名校联考联合体2020-2021年高一第一学期12月大联考数学试卷时量：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的。
1.计算tan(－330°)＝A.33B.－33C.3D.－32.已知集合A＝{－2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∩B＝B，则实数a值集合为A.{－1}B.{2}C.{－1，2}D.{－1，0，2}3.若a，b，c满足2a＝3，b＝log25，3c＝2，则A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a4.已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)。
上单调递增，则a的取值范围是A.(2，＋∞)B.[2，＋∞)C.(5，＋∞)D.[5，＋∞)5.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有－排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T。
若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是6.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名。
如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷。
某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm(3≈0.866)。
根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于A.3πB.4πC.2πD.23π7.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(2π，π)，上为减函数的是A.y＝cosxB.y＝2|sinx|C.y＝cos2xD.y＝tanx8.电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句。
讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”。
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2022-2023学年湖南省常德市鼎城区第一中学高一实验班上学期12月月考数学试题
1.
定义集合的一种运算：，若，，
则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
2.
命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3.
已知，且是方程的两根，则的大
小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4.
若函数 在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5.
已知函数是定义在R上的偶函数，在上单调递减，且，则不
等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6.
对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：
①在内是单调的；②
当定义域是时，的值域也是，则称
是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.
已知锐角终边上一点A的坐标为，则角的弧度数为（ ）
A． B． C．
D．
8.
设，函数，若在区间内恰有6个零
点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9.
(多选题) 下列选项中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10.
已知，关于x的不等式的解集可能是（ ）
A． B．
C． D．
11.
已知函数，，则下列结论正确的
是（ ）
A． ， 恒成立，则实数 a 的取值范围是
B． ， 恒成立，则实数 a 的取值范围是
C． ， ，则实数 a 的取值范围是
D． ， ，
12.
如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，
与轴交于点，，，.则下列说法正确的有（ ）
A． 的最小正周期为12 B．
C． 的最大值为 D． 在区间 上单调递增
13.
已知集合，集合，如果命题“，
”
为假命题，则实数a的取值范围为
______.
14.
已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．
15.
已知函数，则使不等式成立的的取值范围是
_______________
16.
若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，
均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为
______．（是自然对数的底）
17.
已知，求下列各式的值：
（1） ；
（2）；
（3）．
18.
已知函数=logax，=loga(2x+m2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，
m∈R.
（1）若m=6且函数F=+的最大值为2，求实数a的值
.
（2）当a>1时，不等式<2在x∈[1,3]时有解，求实数m的取值范围
.
19.
已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
20.
2020
年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证
据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危
害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，
疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数人），然而国外因国家体制、
思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短
缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为万元，每生产万件，需另投入成
本为．当年产量不足万件时，（万元）；当年产量不小于万
件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为元时，该
厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本）
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?并求出利润的最大值．
21.
已知，函数，其中
.
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（2）求函数的最大值（可以用表示）；
（3）若对区间内的任意，，若有，求实数的取值范围
.
22.
对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．
（1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由；
（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇
函数”，试求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存
在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．