最优投资组合模型剖析【范本模板】
投资组合优化模型的建立与分析
投资组合优化模型的建立与分析投资是很多人进行财富增值的重要方法，但是资产配置的复杂性使得选择最优的投资组合不是一件简单的事情。
市场上存在着许多不同风险、不同收益的投资品种，如何将它们合理地组合起来，降低风险，提高收益，成为了众多投资者共同面对的难题。
此时，投资组合优化模型的建立就变得尤为重要。
一、投资组合优化模型的基本原理投资组合优化模型是将各类资产进行组合而构成的资产组合。
为了优化资产组合，需要考虑不同资产之间的关联性、风险和收益等因素。
在资产的选择和投资决策中，需要将这些因素相互权衡和平衡。
投资组合优化模型的基本原理就是选择一组不同的资产组合，以获得最大的收益，同时最小化风险。
投资组合优化模型是由统计和均值方差分析构成的。
均值方差分析是通过计算资产池的平均收益率和标准差，来确定最优投资组合。
在确定最优投资组合时，需要考虑到资产间的相互关系和限制条件，比如各资产的投资比例、资产风险和市场市值等。
二、投资组合模型的构建投资组合优化模型的构建包括资产选择、资产定价、资产间关系建立和投资器的选择等。
资产选择是考虑资产的各种因素，包括收益、风险、流动性、税务、市值和行业分布等。
通过对资产尤其是股票的深度研究，选择有潜力的股票纳入资产池中，以便于在之后的投资中进行选择。
资产定价是指资产价格的确定。
合理的定价可以帮助投资者在华丽价格时买入或卖出资产以最大化利润。
需要注意的是，定价受到各种因素的影响，这些因素包括基本面、行业和宏观经济环境等。
资产间关系建立是指建立资产池中不同资产的关系，即判断资产之间的联系是正向、负向或无关。
掌握这些关系可以通过分散投资和风险对冲来降低整个投资组合的风险。
投资器的选择是指选择投资组合模型的方法或策略，投资器可以是基于规则的算法或人工智能模型等。
投资器的选择需要综合考虑投资者的需求和市场的变化等因素。
三、投资组合的风险和收益投资组合的风险来自于各种因素，包括行业风险、资产波动率、宏观经济和政策风险等。
最优投资策略的数学模型
最优投资策略的数学模型摘要：本文就市场投资问题建立了决策优化模型。
模型中由于交易费的分布为非线性，因此本文通过引入λ,提出了迭代算法,求解最优投资组合，将资金M 很大和很小都加以考虑，为个人投资以及中小企业提供较为优化投资组合，因此模型更具一般性。
结论：当投资者更看重风险时（k=0时），他更愿意投资于银行。
当他愿意冒一定风险，但相对较小时，投资将趋于分散, 与实际相符。
n ＝4：模型中表中数据可以看出，当k 较大时，投资者会倾向与对s1，s2的投资。
其中k ＝0.006时对应的投资组合为最优的。
n ＝16：模型的求解数据看出，投资者一般不对s5，s12，s14的投资，而倾向于对s8，s10的投资。
当风险值较小时，则投资种类分散，随着k 的增大，投资者会逐渐增加对s3，s7，s10，的投资额。
1．问题的分析：本问题要求给出一种投资组合，从而可以达到两个目标：净利润最大和整体风险最小，但二者是矛盾的即风险大时，则收益大，风险小时，则收益小，因此，只有在一定的风险下，达到收益最大的投资策略是我们所追求的。
2．模型的假设与符号约定：假设对第i s 种投资额应保证所得利润不小于该种资产交易费,否则不买此资产.符号约定： i x ——对第i s 种资产的购买比例 (不含交易部分)i z ——购买第i s 种资产所得利润)(i i x c ——购买第i s 种资产的交易费)(i i x Q ——购买第i s 种资产的风险损失)(i i x f ——购买第i s 种资产须支出的费用比例k ——购买各资产时的可接受的风险风险系数i λ——购买第i s 种资产交易费门阀值3．模型建立设银行存款也是等价于市场上供投资者选择的资产之一，存银行记为S 0，而它相应的风险损失率记为q 0，交易费为p 0，经以上变换，存银行生息与投资市场上的资产可以统一处理。
对第i s 中投资的交易费)(i i x c 为 ⎩⎨⎧≤<=为其它i ii i i i i i x x p u x u x c 0)( 对第i s 中投资的净利润为： )()(i i i i i i x c x r x z -=风险为： i i i i x q x Q =)(购买i s 的金额为： )()(i i i i i x c x x f +=则总利润为： ∑==150)(i ii x z z 总风险为： }{max 150i i i x q Q ≤≤= 该式体现了投资越分散，则风险越小，且用所投资的i s 中最大一个风险来度量总体风险。
投资组合优化模型及其实证研究
投资组合优化模型及其实证研究投资组合是指从多种投资品种中选择一定的比例进行投资的过程。
投资组合优化模型是指通过某种方式计算出最佳的投资组合，以达到最大化收益或最小化风险的目的。
本文将就投资组合优化模型及其实证研究展开阐述。
一、投资组合优化模型1.1 基本概念投资组合优化模型是利用数学方法，以最大化收益或最小化风险为目标，通过计算股票、债券、黄金等不同资产的相关性、预期收益率、风险、流动性等指标，制定最佳投资组合方案。
其目的是在各种不确定性因素中，在最小风险的前提下获得最大收益。
1.2 常见方法目前常用的投资组合优化方法有均值方差分析法、Markowitz模型、Black-Litterman模型、最大化效用函数模型等。
其中，Markowitz模型最具代表性和广泛使用。
1.3 Markowitz模型Markowitz模型，也称为均值方差分析模型，是现代投资组合理论的基础。
该模型主要考虑投资组合的预期收益和风险，通过计算不同证券之间的相关性确定最理想的投资权重。
具体计算方法如下：首先计算各个证券的预期收益率和方差，然后计算该证券与其他证券之间的协方差，进而计算出不同组合的预期收益率和方差。
最后通过对不同组合的收益方差关系进行优化，确定最优投资组合。
二、实证研究2.1 数据来源本文采用的数据来自国内外的股票、债券、黄金等资产市场数据，以及相应的基金、指数等投资产品数据。
2.2 研究方法本文采用Markowitz模型，通过计算各种投资产品的预期收益率、方差、协方差等风险指标，确定最优投资组合。
2.3 结果分析实证研究结果显示，在所有标的物中，黄金是一个比较安全的资产，但收益率不高且波动性较大。
债券的收益率相对稳定，但波动性低于股票。
股票收益率高，但波动性也相对较大。
在多元组合分析中，投资者可以通过调整不同资产的比重来降低整个投资组合的风险，提高收益率。
例如，当股票市场不稳定时，可以增加债券和黄金的比例，以稳定投资组合。
投资组合优化模型及策略研究
投资组合优化模型及策略研究在当今复杂多变的金融市场中，投资者们都渴望找到一种能够实现资产增值、降低风险的有效方法。
投资组合优化模型及策略的研究，就成为了帮助投资者实现这一目标的重要工具。
投资组合，简单来说，就是将资金分配到不同的资产类别中，如股票、债券、基金、房地产等。
而投资组合优化，则是通过数学模型和策略，确定在各种资产之间的最优配置比例，以达到在给定风险水平下获得最大收益，或者在给定收益目标下承担最小风险的目的。
一、常见的投资组合优化模型1、均值方差模型这是由马科维茨提出的经典模型。
它基于资产的预期收益率和收益率的方差（风险）来构建投资组合。
投资者需要根据自己对风险的承受能力，在预期收益和风险之间进行权衡。
然而，该模型的缺点也较为明显，例如对输入数据的准确性要求较高，对资产收益率的正态分布假设在实际中不一定成立。
2、资本资产定价模型（CAPM）CAPM 认为，资产的预期收益率取决于其系统性风险（用贝塔系数衡量）。
该模型为资产定价和投资组合的构建提供了一种简单的方法，但它也存在一些局限性，比如假设条件过于理想化，无法完全解释市场中的所有现象。
3、套利定价理论（APT）APT 认为，资产的收益率可以由多个因素来解释，而不仅仅是系统性风险。
这一理论为投资组合的构建提供了更灵活的框架，但在实际应用中确定影响资产收益率的因素较为困难。
二、投资组合优化策略1、积极型策略积极型投资者试图通过对市场的深入研究和预测，选择那些被低估或具有潜在增长机会的资产，以获取超额收益。
然而，这种策略需要投资者具备丰富的专业知识和经验，以及对市场的敏锐洞察力，同时也伴随着较高的交易成本和风险。
2、消极型策略消极型策略通常是指投资者按照市场指数的权重来构建投资组合，以获得市场的平均收益。
这种策略的优点是成本低、操作简单，适合那些没有足够时间和精力进行投资研究的投资者。
3、混合策略混合策略则是结合了积极型和消极型策略的特点，在部分资产上采用积极管理，而在其他资产上采用消极跟踪。
投资组合优化模型研究
投资组合优化模型研究投资是现代社会中人们最常见的一种经济活动。
通过将资金投入到各类资产中，期望获得更多的财富增值。
但是，不同资产的投资风险和回报率却有所不同，这使得投资难度逐渐增加。
如何进行有效的投资组合优化，成为了当今行业内的一个热门话题。
一、投资组合模型常用方法针对投资组合优化问题，我们可以使用数学模型进行求解。
目前，常用的投资组合模型有很多，包括均值-方差模型、风险调整后的收益率模型、均衡风险模型等等。
1、均值-方差模型均值-方差模型是一个比较传统的模型方法。
其基本思想是建立股票收益率和标准差之间的关系，通过对投资组合中各股票的权重进行调整，以期望获得最高的收益和最低的风险。
2、风险调整后的收益率模型风险调整后的收益率模型是对均值-方差模型的一种改进。
具体的，该模型在建立收益率和风险之间的关系时，对风险进行了修正，从而在求解投资组合时更符合实际需求。
3、均衡风险模型均衡风险模型则是更注重于投资组合的均衡性。
通过对各个投资组合权重进行调整，以期望获得最佳的组合平衡点。
当然，建立均衡风险模型需要考虑各类因素，如股票走势、宏观经济形势等等，这使得该模型相对复杂。
二、投资组合优化的过程无论是采用何种方法，投资组合优化的过程都有其的一般性步骤。
下面我们就相继探讨一下这些步骤。
1、确定投资目标和限制条件首先，我们需要确定投资的目标和限制条件，包括投资期限、预期收益、投资风险、预算和风险承受力等等。
这些因素将对投资组合优化产生不同的影响，并决定了我们在后续分析和构建投资组合时应该采用何种方法和方案。
2、收集股票数据信息为了更好地进行投资组合的构建过程，我们需要对各个候选股票进行全面的分析和评估。
具体而言，我们需要访问股票相应的财务报告，分析其财务状况、盈利状况以及商业前景。
3、建立投资组合模型上面我们已经介绍了常见的投资组合模型，对于一个具体的投资需求，需要根据其特点构建相应的模型。
此时，我们可以通过Excel表格建立模型，根据不同的算法求解最大收益，并进行最优组合的分析。
投资组合优化的模型比较及实证分析
投资组合优化的模型比较及实证分析随着金融市场的不断发展和成熟，投资者的投资选择逐渐多样化。
而投资组合优化作为降低风险、提高收益的有效手段，受到了越来越多的关注。
在这篇文章中，我们将对比几种常见的投资组合优化模型，并实证分析其表现。
1. 经典的Markowitz模型Markowitz模型也被称为均值-方差模型，是投资组合优化模型的经典代表之一。
该模型的基本原理是在最小化投资组合的风险的同时，尽可能提高其收益。
因此，该模型需要在投资组合中选择多个资产，并极力实现投资组合的最优化。
具体来说，该模型需要求解出有效前沿的组合（即收益最高、风险最小的组合），以确定投资组合中各资产的权重和比例。
但是，该模型存在一个主要缺陷：其假设了收益率服从正态分布，而实际上收益率存在着长尾分布、异常值等复杂情况，因此该模型可能存在很多的偏差。
2. Black-Litterman模型Black-Litterman模型是基于Markowitz模型而开发的投资组合优化模型。
该模型对Markowitz模型的改进之处在于引入了主观观点（也称为信息预测）和全局最优化。
具体来说，该模型假设投资者不仅仅考虑收益和风险，还需要考虑经济学因素、行业变化等其他情况，而这些情况并不受到Markowitz模型的考虑。
Black-Litterman模型能够将这些信息预测和其他重要因素加入到投资组合选择中，并在保持风险最小化的同时最大化整个投资组合的效益。
3. 贝叶斯模型贝叶斯模型是一种基于贝叶斯统计理论而设计的投资组合优化模型。
贝叶斯理论认为，根据先验知识和新的经验结果，可以不断更新和改变对概率分布的信念和预测。
具体来说，该模型需要分别分析资产的收益率分布和投资者的收益率目标分布，并在这些基础上进行投资组合的优化。
与Markowitz模型的区别在于，贝叶斯模型使用了长期数据作为先验分布，可以在非正态的、短期收益数据的基础上建立更准确的预测。
4. SAA/TAA模型SAA/TAA模型是一种基于战略资产配置（SAA）和战术资产配置（TAA）的模型。
金融投资组合优化模型分析
金融投资组合优化模型分析在金融领域，投资组合优化是一种重要的决策方法，它可以帮助投资者在风险和收益之间寻找最佳平衡点。
通过利用数学模型和算法，投资者可以构建一个优化的投资组合，以最大程度地提高收益并降低风险。
本文将对金融投资组合优化模型进行分析，并讨论其应用和局限性。
投资组合优化的目标是找到一种最优的资产配置方式，以达到预期的收益且满足风险的限制条件。
投资者可以根据自己的风险偏好和投资目标，选择不同的优化模型进行分析和决策。
在金融中，常用的投资组合优化模型有均值方差模型（Mean-Variance Model）、协方差矩阵模型（Covariance Matrix Model）和风险价值模型（Risk Parity Model）等。
均值方差模型是最经典的一种投资组合优化模型。
它通过考虑资产的预期收益率和方差，将投资组合的效用函数最大化，从而找到最优的资产配置权重。
该模型可以帮助投资者平衡风险和收益，实现资产组合的最优配置。
协方差矩阵模型是在均值方差模型的基础上进行改进的。
该模型不仅考虑了资产的预期收益和方差，还考虑了资产之间的协方差。
通过对协方差矩阵的分析，投资者可以更准确地评估资产之间的相关性，并进一步优化投资组合的配置。
风险价值模型是一种基于风险敞口的投资组合优化模型。
该模型通过考虑资产的风险贡献，以达到投资组合的风险平衡。
与均值方差模型和协方差矩阵模型不同，风险价值模型更注重投资组合中每个资产的贡献度，从而降低整体投资组合的风险。
然而，金融投资组合优化模型也存在一些局限性。
首先，这些模型通常基于历史数据和统计假设，无法充分考虑市场的实时情况和未来的变化。
其次，这些模型对参数的选择非常敏感，稍有误差就可能导致最优化结果的巨大变化。
此外，在实际应用中，难以预测和量化的因素，如政治风险和市场黑天鹅事件等，也会对模型的有效性造成挑战。
为了应对这些局限性，投资者可以采取一系列策略来增加投资组合优化模型的鲁棒性。
投资学报告---最优投资组合.
实验报告(文经管艺体类)课程名称:投资学原理及应用课程代码: 1207949 学院（直属系）：工商管理学院年级/专业/班:2013级财务管理学生姓名:学号:实验总成绩:任课教师:开课学院:工商管理学院证券组合投资分析实验报告班级: 财务管理1班（一）、宏观经济分析2015年，制造业在结构调整的状态下继续出清过剩产能，工业生产总值的增幅将继续维持下行趋势，GDP等经济总量指标的增速也会相应放缓。
于此同时，服务业尤其是信息产业和智能技术相关的生产性服务业在国民经济中的比重将继续上升，产业结构将有所优化。
从增长动力来看，随着房地产增速的放缓和政府部门淡化直接投资者的角色，投资对国民经济增长的贡献度会有所下降，而随着劳动力供不应求状况的持续、产业工人工资收入的增长以及政府民生支出的增加，消费将保持较为稳定的增长，成为2015年经济增长的主要动力。
1.增长动力切换消费成为中国经济的引擎2015年是经济结构调整和改革全面深化的转型期。
随着房地产市场进入下行周期，投资拉动的增长时代终结，就业繁荣和居民收入增加构成经济增长的基础。
从人口结构数据来看，40－50岁这个收入和消费能力最强的年龄段人口占比达到18.5％，达到巅峰水平，收入所支持的社会消费水平将因此有所上升，此外，随着社会保障机制的改革，政府在民生支出上的增加，居民的预防性储蓄比率会相应降低，由预期所支撑的当前消费支出也会相应有所提高。
2.货币政策依然保持稳健和弹性从政策的制定基础来看，2015下调准备金率存在较大可能性。
随着人民币汇率双向波动的特征逐步确立，人民银行逐渐减轻对人民币汇率的干预力度，外汇占款不再是我国基础货币供应的基础，适度降低准备金率的环境也趋于成熟。
为了改善中小企业融资难融资贵的问题，2014年11月下旬，国务院出台的新融十条将其他金融机构的同业存款纳入一般存款统计口径以放松贷比考核，根据不同银行的存贷比现状，该项政策在理论上可释放近2-3万亿的信贷规模，但同业存款成本较高，该政策只能放松信贷规模的约束，对于降低融资成本并无直接助益。
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最优投资组合模型陈家跃1 肖习雨2 杨珊珊31．韶关学院2004级数学与应用数学广东韶关 5120052．韶关学院2003级信息技术(1)班广东韶关 5120053．韶关学院2004级信息技术班广东韶关 512005摘要本文通过各种投资回报数据，对各种投资方案的回报效益进行分析，以平均回报期望为回报率，用回报方差来衡量风险，建立了在VaR（风险价值)约束下的经典马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型，并从几何角度具体地阐述了此模型的算法,最后根据此算法和借助数学软件LINGO、MATLAB计算出在VaR=1％，…,10%下的最优投资组合为方案一投资1421万美元，方案二投资2819。
5万美元，方案三投资759.5万美元,得到的最大净收益为500.00万美元,结果令人满意。
关键词：马柯维茨均值—方差模型；VaR约束；置信水平1问题的提出某基金会有科学基金5000万美元，现有三种不同的投资方式,分别为政府债券、石化产业股票、信息产业股票，为了保证其基金安全增殖，设计收益最大且安全的投资方案，要求(1)获得最大的投资回报期望（2）投资的风险限制在一定的范围.保证该投资方案资金保值概率不低于95％。
(假设石化产业的投资回报率变化与信息产业的投资回报率变化彼此独立）三种投资方式分别为：投资方式一：购买政府债券,收益为5.6％/年;投资方式二：投资石化产业股票根据有关的随机抽样调查,得到四十宗投资石化产业股票的案例记录(如附录图表一）；投资方式三：投资信息产业股票根据有关的随机抽样调查,得到四十宗投资信息产业股票的案例记录（如附录图表二)。
2 模型的假设2．1 该基金投资持有期为一年；2．2 投资政府债券的风险为零；2．3 方案二和方案三中选取的八十只股票具有代表性，能反映总体股市情况；2．4 不考虑交易过程中的手续费，即手续费为零；2．5 总体投资金额设为单位1.3 符号的约定∆：表示证券组合在持有期t∆内的损失；PX：表示第i种方案的投资权重（投资比例)；ic：表示置信水平,反映了投资主体对风险的厌恶程度;2σ：表示第i种方案的投资回报方差；ii R ： 表示第i 种方案的投资回报期望；ij r ： 表示第i 种方案里的第j 只投票回报期望.4问题的分析此问题是一个投资组合的问题,投资项目包括政府债券和股票两种，政府债券收益率比较低但风险基本为零，而股票则收益率高但风险也相应高,最终目标是设计出一个投资组合方案使该基金会获得最大的回报期望和最少的投资风险。
经典的马柯维茨(Markowitz)均值—方差模型正是解决这种投资组合问题的有效模型，他提出用收益期望来衡量回报率，用收益方差来衡量风险(方差越大，认为风险越大；方差越小,认为风险越小）.而后来有不少学者对此模型进行深入研究,并提出了引入VaR 约束和置信水平下的马柯维茨（Markowitz ）均值-方差模型,这种改进的模型不但继承了马柯维茨（Markowitz ）均值—方差模型的精髓,而且更实用、准确。
VaR 即风险价值（Value at Risk ），是指市场正常波动下,在一定的概率水平下，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失;置信水平表示投资主体对风险的厌恶程度,置信水平越高对风险的厌恶程度越大；相反，置信水平越高，就越喜欢冒险。
5模型的建立5．1经典马柯维茨均值-方差模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∑∑==n i i ni i px t s R 1121..max min R X ΣXX TT σ其中,T n R R R ),...,,(21=R ；)(i i r E R =是第i 种资产的预期回报率；T n x x x ),...,,(21=X 是投资组合的权重向量；n n ij ⨯∑=)(σ是n 种资产间的协方差矩阵；∑==31i i p R R 和2p σ分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。
该模型的解在p p R -σ空间是抛物线，即投资组合的有效前沿。
5．2 风险价值的确定:VaR 为风险价值，设资产组合的初始价值为W ，持有期末的期望收益为R ，R 的数学期望和标准差分别为μ和σ，在给定的置信水平c 下,期末资产组合的最低值为)1(**+=R W W ，其中*R 为相应的最低收益率（一般为负值)，则：)()() (**μ--=-=R W W W E Risk at Value VaR （1）又由c R R P R R P -=-<-=<**1)()(σμσμ，可知：ασμασμ+=⇒=-**R R (2）将（2)式代入（1）式可得：W W W W E VaR ασμασμ-=-+-=-=*)()(。
另外VaR 的求解方法还可用历史模拟法以及蒙特卡洛模拟法求得。
5．3 加入VaR 约束后的马柯维茨均值-方差模型：假定置信水平为c ，由VaR 的定义，有：c VaR r ob p -≤-<1)(Pr （3）在经典马柯维茨均值—方差模型中加入VaR 约束后，模型变为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-≤-<==∑=n i i p p P x c VaR r ob t s r E 1211)(Pr ..)(max min R X ΣX X T T σ在正态分布下，(1)式可化为：))()((1p p c r E VaR σ-Φ--= （4）其中,)(⋅Φ是标准正态分布的分布函数。
图1 基于VaR 约束的投资组合的有效前沿此模型的解在p p R -σ空间中是图1中的弧线AB ,称其为基于VaR 约束下的投资组合的有效前沿.图1中VaR 约束表现为一条斜率为)(1c -Φ、截距为—VaR 的直线。
在该直线或其以上的全部投资组合都具有c 的概率使其回报率超过最小值—VaR;而在直线以下的全部投资组合回报率在置信度c 下不超过-VaR 。
这样,VaR 约束使投资组合选择仅仅限制在传统有效前沿和VaR 约束直线间的阴影部分，即点A 和B 之间的弧线AB 上.进一步地，根据有效集定理，最优投资组合选择应为抛物线顶点O 与点A 之间的弧线,即弧线段OA 。
5．4 加入VaR 约束后的马柯维茨均值—方差模型的几何解法:由图1可知，VaR 约束的最优投资组合确定时，只需求出点A 和O 处的权重即可。
但由于该模型的约束条件比较复杂，用传统的Laganerge 乘子法无法求解。
因此在这里我们用几何方法来解决此问题.设n 种资产组合的权重是n n x x x x ,,...,,121-(其中121...1-----=n n x x x x ）,则投资组合的期望回报率)(p p r E R =与方差2p σ分别可表示为:nn n n p R x x R x R x R x R )...1(...11112211------++++= （5)nn n n n n n n nnn n n n p x x x x x x x x x x x x x x x ,111111111,11112212111,121222211212)...1(2...)...1(22...2)...1(...-------------++---++++---++++=σσσσσσσσσ (6) 因为协方差矩阵Σ是正定矩阵，所以在权重空间),...,,(121-n x x x 中，（4）式代表等方差超椭球面。
2p σ取不同值可得到一族同心超椭球面，中心记为MVP ,表示所有的可能投资组合中风险最小的投资组合的权数；在权重空间),...,,(121-n x x x 中，（3)式代表等期望回报率超平面,p R 取不同值可得到一族平行超平面。
因而，n 种资产投资组合的最优权重应为等期望回报率超平面与等方差超椭球面的正切点。
将这些正切点连接起来，就得到一条直线，称其为n 种资产投资组合的临界线。
不难看出，临界线实际上就是图1中的有效前沿在权重空间中的表现形式。
(5）式在点),...,,(121-n x x x 处的法向量为：),...,,(121n n n n R R R R R R ----. (6）式在点),...,,(121-n x x x 处的法向量为:))2(...)(...)(......,,)(...)2(...)(......,,)(...)(...)2((,11,11,1,11,1,111,11,11,11111,111,1111111nn n n n n n nn n n k n n kn nn n k n n n nn n nn kn n n n kn nn n k k kn nn kk kn n nn k nn n n n n n nn n k kn n nn k n nn x x x x x x x x x σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ-+-+++--+++--+-+--+++-+++--+-+--+++--+++-+---------------令 ],1,1,0,...,0,0,0[......,],1,0,0,...,0,1,0[],1,0,0,...,0,0,1[-=-=-=-1n 21P P P ,11 (11)01...0000 (1000)...01⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=Q ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1121n x x x W则(4）式在点),...,,(121-n x x x 处的法向量可简化为：)(T 1n T k T 2T 1QW P ,...,QW P ,...,QW P ,QW P ∑∑∑∑-由临界线定义，可得临界线方程为nn n k k n n R R R R R R R R -∑==-∑==-∑=-∑--121......T1n T T 2T 1Q W P Q W P Q W P Q W P (7） 由（5)式可得到2-n 个方程构成的线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----------211,,222,211,2211,2222121111,1212111n n n n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （8) 其中：nn nn jn nn n j n i jnin nn ij ij R R R R a ---+----+=---1,11,σσσσσσσσn n nnn n ni nnin i R R R R b -----=--1,1σσσσ, .1,,2,1,2,,2,1-=-=n j n i进一步将(2）式化为如下形式：2112)()(⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+=-=∑c VaR R n i i p σ (9)根据均值和方差的表达式: ∑==ni Ti R X R 1,X X T ∑=∑=312i i σ，将其代入上式：()212)()(⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+=∑-c VaR R X X X T T（10)因为线性方程组(6）的秩是2-n ，所以它的基础解系的个数是1，我们可以用1x 分别表示132.,,-n x x x 。