概率论与数理统计习题概念
概率论与数理统计 一 、名词解释1、样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。
2、随机事件：试验E 的样本空间S 的子集，称为E 的随机事件。
3、必然事件：在每次试验中总是发生的事件。
4、不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件。
5、概率加法定理：P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6、概率乘法定理：P(AB)=P(A)P(B │A)7、随机事件的相互独立性:若P(AB)=P(A)P(B)则事件A,B 是相互独立的。
8、实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中几乎是不会发生的。
9、条件概率：设A ，B 是两个事件，且P(A)>0，称P(B │A)=()()A P AB P 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。
10、全概率公式： P(A)=())/(1B B i A P ni i P ∑=11、贝叶斯公式： P(Bi │A)= ()()∑=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛n i j A P j P i A P i P B B B B 112、随机变量：设E 是随机试验，它的样本空间是S=﹛e ﹜。
如果对于每一个e ∈S,有一个实数X(e)与之对应，就得到一个定义的S 上的单值实值函数X=X(e),称为随机变量。
13、分布函数：设X 是一个随机变量，χ是任意实数，函数F(χ)=P(X ≤χ)称为X 的分布函数。
14、随机变量的相互独立性：设(χ,у)是二维随机变量 ，如果对于任意实数χ,у，有F(χ,у)=F x (χ)〃F y (у)或 f (χ,у)= f x (χ)〃f y (у)成立。
则称为X 与Y 相互独立。
15、方差：E ﹛〔X-E(χ)〕2〕16、数学期望： E(χ)=()dxx xf ⎰∞-+∞(或)=i p i i x ∑+∞=117、简单随机样本：设X是具有分布函数F 的随机变量，若χ1 , χ2 … , χn 是具有同一分布函数F 的相互独立的随机变量，则称χ1 , χ2 … , χn 为从总体X 得到的容量为n 的简单随机样本。
18、统计量：设χ1 , χ2… , χn 是来自总体X 的一个样本，g(χ1 , χ2 … , χn )是χ1 , χ2… , χn 的函数，若g 是连续函数，且g 中不含任何未知参数，则称g(χ1 , χ2 … , χn )是一统计量。
19χ2(n)分布：设χ1 , χ2 ,χn 是来自总体N(0,1)的样本，则称统计量 χ2=nxx x 2 (2)212++ ,服从自由度为n 的χ2分布，记为χ2～χ2(n). 20、无偏估计量：若估计量θ=θ(χ1 , χ2 … , χn )的数学期望E(θ)存在，且对任意θ ∈ (H)有E(θ)=θ,则称θ是θ的无偏估计量。
二、填空：1、随机事件A 与B 恰有一个发生的事件A B ∪ A B 。
2、随机事件A 与B 都不发生的事件是A B 。
3、将一枚硬币掷两次，观察两次出现正反面的情况，则样本空间S= （正正）（正反）（反正）（反反） 。
4、设随机事件A 与B 互不相容，且P(A)=0.5，P(B)=31,则 P(A ∪B)=65P (AB)=0。
5、随机事件A 与B 相互独立，且P(A)=31,P(B)=51，则P （A ∪ B ）=157。
6、盒子中有4个新乒乓球，2个旧乒乓球，甲从中任取一个用后放回（此球下次算旧球），乙再从中取一个，那么乙取到新球的概率是95。
7、设随机变量X 的分布律为X 0 1 2 概率 1/2 1/4 1/6则P(X ≤ 1)=43。
8、若X 的分布函数是F(x)=P(X ≤ x) , x ∈ (-∝,+∝) 则当x 1 ≤ x 2时，P （x 1<X ≤x 2 ）=F(x 2)-F(x 1) 。
9、若X ～N （μ,σ2）, 则(X —μ)/σ～N(0，1)。
10、若X ～N(0,1),其分布函数为φ(x)=P (X ≤x),x ∈(-∝,+∝)则Φ(0)=0.5 。
11、设X ～b(3 , 0.2) ,则P （x=0）=0.512 。
12、设（x, y )为二维随机变量，则其联合分布函数 F （x , y ) = P(X ≤x ,Y ≤y) , x , y 为任意实数。
13、设X 的分布律为X 0 1 2概率 0.5 0.2 0.3则E （X ）=0.8, D(X) =0.76 。
14、若X ～N(μ,σ2 ), 则E(X)=μ D(X)=σ215、设X 在(0,5)上服从均匀分布，则E(X) = 2.5 ,D(X)=122516、设X 服从0—1分布,分布律为X 0 1 P 1-p p则 E (X) = p , D(X)= p (1-p) 。
17、设x,y 是任意两个随机变量,则E( x+y ) = E (x) + E (y) 。
18、设x 1, x 2 … , x n 是来自总体X 的简单随机样本，则∑==ni n x x 111，()21112∑=--=NI XI N X S 。
19、设总体X ～N （0，1），x 1, x 2 … , x n 是来自总体X 的样本，则82.........2212x x x ++服从的分布是x 2(8) 。
20、设随机测得某化工产品得率的5个样本观察值为82，79，80，78，81，则样本平均值X =80 。
21、设总体X ～N （μ, σ2）, x 1, x 2 … , x n 是来自总体X 的样本,则σ2已知时,μ的1-α置信区间为2ασz n x -，2ασz nX +22、假设检验可能犯的两类错误是弃真错误和纳伪的错误。
23、设总体X ～N （μ, σ2 ）,对假设H o ：σ2=02σ ，H 1：σ2≠θσ2做假设检验时，所使用的统计量是()σ221S n - , 它所服从的分布是 x 2(n-1) 。
24、设f (x,y), f x(x), f y (y)分别是随机变量（x,y ）的联合概率密度和两个边缘概率密度，则当x 与y 相互独立时，f (x,y) = f x (x)〃 f y (y) 对任意实数 x , y 都成立。
25、设X ～N(0,1),则E(X)= 0,D(X) = 1 。
26、公式P(A ∪B)= P(A)+P(B)- P(AB)称为概率的加法定理。
27、在每次试验中都不会发生的事件称为不可能事件。
28、设X 为随机变量，则分布函数为F （x ） = P ｛ X ≤x ｝,x 为任意实数。
29、设随机事件A 与B 相互独立,且P(A)=0.5 P(B)=1/5 ，则P(AB)= 0.6 .30、设X 是具有分布函数F 的随机变量，若x 1, x 2 … , x n 具有同一分布函数的相互独立的随机变量，则称x 1, x 2 … , x n 为从总体X 得到的容量为n 的简单随机样本. 31、若随机变量X 为正态分析,X ～N(μ,σ2)，则 σμ-X ～N(0,1）32、设随机事件A 与B 有(AB)=P(A)P(B)时，则称A 与B 是相互独立的。
33、随机试验E 的样本空间S 的子集，称为E 的随机事件。
34、设随机变量X 的分布律为X 0 1 2 P 1/2 1/4 1/4 则P(X=1)= 1/435、设（X ，Y ）为二维随机变量，则其联合分布函数F(x,y)= P ｛ X ≤x , Y ≤y ) , x , y 为任意实数 。
36、设随机变量X 在(0,5)上服从均匀分布，则D （X ）= 1225。
37、设随机变量X ～N(0,1)(标准正态分布),则其概率密度函数φ(x)=2212z e -π. 38、设x 1, x 2 … , x n 是来自总体X 的样本 ，则样本平均值 X =∑=ni n x 111 . 39、“概率很上的事件在一次试验中几乎不会发生的"这一论断称为实际推断原理。
40、公式P(A ∩B)=P(A)P(B│A) , P(A) > 0 ,称为概率的乘法定理。
41、设X 1，X 2是任意两个随机变量，则E （X 1±X 2）=E(X 1)±E （X 2） 42、随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。
43、已知X ～b （n ,p ）,则p(X=k)=k n p k nk Cp --)1(,k=0,1,2,……,n 。
44、随机事件A 与B 至少一个发生的事件是A ∪B 。
45、假设检验可能犯的两类错误是取伪错误和弃真错误。
46、设总体X ～N （μ, σ2），则样本平均值X 服从的分布是N （μ,Nσ2)47、在每次试验中总是发生的事件称为必然事件 。
48、设X 与Y 是两个随机变量，则E （aX+bY ） = aE(X)+bE(Y) (a,b 为常数)。
49、设总体X ～N(μ, σ2)， x 1, x 2 … , x n 是X 的样本，S 2是样本方差，则()σ221S n - 服从的分布是 x 2(n-1).50、随机事件A 与B 至少一个发生的概率为P （A ∪B ） 。
51、随机事件A 与B 都发生的事件为AB 。
52、设随机变量X 的分布函数为F(x)，则当x 1 ≤ x 2 时，P （x 1<X ≤x 2 ）= F(x 2)-F(x 1)53、已知X ～N(μ,σ2)即X服从参数μ, σ2的正态分布，则E （X ）= μ，D （X ）=c 254、设A ，B 是两个事件，且P （A ）> 0，则P(B │A) =)()(A P AB P 称为事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
55、若估计量θ =θ（x 1, x 2 … , x n ）的数学期望存在,且对任意θ∈H 有E(θ)=θ，则称θ是θ的无偏估计量 。
56、随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。
57、设x 1, x 2 … , x n 是总体X 的一个样本，g(x 1,x 2 … , x n )是x 1, x 2 … , x n 的函数，若g 是连续函数，且g 中不含任何未知参数 ，则称g(x 1, x 2 … , x n )是一个统计量。
58、设A 与A 互为对立事件，则A A =φ 。
59、若二维随机变量（X 、y ）在平面区域D 中的密度为P （x,y ）=()⎪⎩⎪⎨⎧∈其他,0,,1D Y X A，其中A为D 的面积，则称（X 、y ）在区域D 上服从（均匀分布）.60、某种动物由出生活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现年20岁的这种动物活到25岁的概率时（1/2）。
61、设、A 、B 、是随机事件，当A 〖B 时，P （B-A ）=P （B ）-P （A ）62、设A 、B 、C 是三个随机事件，用A 、B 、C 表示三个事件都不发生（A B C ）。
浙大《概率论与数理统计(第四版)简明本》盛骤著 课后习题解答
{
2
}
------------------------------------------------------------------------------2．设 A，B，C 为三个事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A，B，C 中至少有一个发生； （4）A，B，C 都发生； （5）A，B，C 都不发生； （6）A，B，C 中不多于一个发生； （7）A，B，C 中不多于两个发生； （8）A，B，C 中至少有两个发生。 解 此题关键词： “与， ” “而” ， “都”表示事件的“交” ； “至少”表示事件的“并” ； “不多 于”表示“交”和“并”的联合运算。 （1） ABC 。
概率论与数理统计作业习题解答（浙大第四版）
第一章 概率的基本概念 习题解析 第 1、2 题 随机试验、 随机试验、样本空间、 样本空间、随机事件 ------------------------------------------------------------------------------1．写出下列随机试验的样本空间： （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） 。 （2）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品” ，如连续 查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解 （1）高该小班有 n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为 0，1，2，…，100，n 个人分数这和的可能取值为 0，1，2，…，100n，平均分数的可能取值为 样本空间为 S=
概率论与数理统计习题集-(1)
概率论与数理统计习题集学号_______________姓名_______________班级_______________计算机学院第一章 概率论的基本概念一、填空题1，在一副扑克牌（52张）中任取4张，则4张牌花色全不相同的概率为_________。
2，设A,B,C,D 是四个事件，则四个事件至少发生一个可表示为_______________；四个事件恰好发生两个可表示为_______________。
3，已知5把钥匙中有一把能打开房门，因开门者忘记是哪把能打开门，逐次任取一把试开，则前三次能打开门的概率为 _________。
4，10件产品中有3件次品，从中随机抽取2件，至少抽到一件次品的概率是_________。
5，设两个随机事件A ，B 互不相容，且4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，则=)(B A P _____。
二、选择题1，某公司电话号码有五位，若第一位数字必须是5，其余各位可以是0到9中的任意一个，则由完全不同数字组成的电话号码的个数是（ ）。
A ，126B ，1260C ，3024D ，50402，若B A ⊃,C A ⊃,9.0)(=A P ,8.0)(=⋃C B P ,则=-)(BC A P （ ）。
A ，0.4B ，0.6C ，0.8D ，0.73，在书架上任意放置10本不同的书，其中指定的三本书放在一起的概率为（ ）。
A ，1/15B ，3/15C ，4/5D ，3/54，若5.0)(=A P ，4.0)(=B P ，3.0)(=-B A P ，则=⋃)(B A P （ ）。
A ，0.6B ，0.7C ，0.8D ，0.55，设为A ，B 任意两个随机事件，且B A ⊂，0)(>B P ，则下列选项必然成立的是（ ）。
A ，)|()(B A P A P < B ，)|()(B A P A P ≤C ，)|()(B A P A P >D ，)|()(B A P A P ≥三、计算题1，10个零件中有3个次品，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。
浙大《概率论与数理统计(第四版)简明本》盛骤著 课后习题解答
解 （1）高该小班有 n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为 0，1，2，…，100，n
个人分数这和的可能取值为 0，1，2，…，100n，平均分数的可能取值为 0 , 1 ,..., 100n , 则 nn n
样本空间为
S=
k n
k
=
0,1, 2,⋯,100n
（2）样本空间 S={10，11，…}，S 中含有可数无限多个样本点。 （3）设 1 表示正品，0 有示次品，则样本空间为
而 AB= {（1，6），（6，1）}。由条件概率公式，得
P(B
A)
=
P( AB) P( A)
∑200
P(B) = P( A2 ∪ A3 ∪⋯∪, A200）= P( Ai )
i=2
显然，这种解法太麻烦，用对立事件求解就很简单。令事件 B ={恰有 0 个次品或恰有
1 个次品}，即 B = A0 ∪ A1 ，而
P(B)
=
P( A0
∪
A1 )
=
P( A0 ) +
P( A1)
=
C 200 1100
{ } S= (x, y) x2 + y2 ≤ 1
------------------------------------------------------------------------------2．设 A，B，C 为三个事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A，B，C 中至少有一个发生； （4）A，B，C 都发生； （5）A，B，C 都不发生； （6）A，B，C 中不多于一个发生； （7）A，B，C 中不多于两个发生； （8）A，B，C 中至少有两个发生。
概率论与数理统计教材第六章习题
X σ0 n
~ N(0,1)
对于置信水平1- ，总体均值的置信区间为 对于置信水平 -α，总体均值 的置信区间为
X
σ0
n
uα < < X +
2
σ0
n
uα
2
(2)设总体 ～ N(,σ 2 ), 未知 ，求的置信区间。 设总体X～ 未知σ， 的置信区间。 设总体 的置信区间
σ 0 ，则样本函数 t = X ~ t(n 1) 用 S 代替 S n
i =1
n1
n1
F
1
α ∑ Yj 2
2 j =1
n2
(
)
2
n2
10
2 2 及 （1）设两个总体 ～ N(1,σ1 ) 及Y～ N(2 ,σ 2 ), 未知 1 2， ）设两个总体X～ ～
2 σ1 的置信区间。 求 2 的置信区间。 σ2
选取样本函数 选取样本函数
2 2 S1 σ1 F = 2 2 ~ F(n1 1, n2 1) S2 σ2
∑x
i =1
n
i =1
i
n = 0.
1 p
得 p 的极大似然估计值为 p =
n
∑x
i =1
n
1 = x
i
12
1 θ 2. 设总体 服从拉普拉斯分布：f ( x;θ ) = e ,∞< x < +∞, 设总体X 服从拉普拉斯分布： 2θ 求参数 θ 其中 > 0. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,L, xn , 求参数θ
第六章 参数估计
(一)基本内容
一、参数估计的概念 1 定义：取样本的一个函数θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ), 如果以它的观测 定义：
概率论与数理统计配套习题
Z
=
1, 0,
如果 X + Y 为零或偶数； 如果 X + Y 为奇数．
第三章 连续型随机变量及其分布 第五次作业
3.1 设随机变量 X 服从二项分布 B(2,0.4) ．试求 X 的分布函数,并作出它的图像.
8
学号
专业
姓名
作业号
3.4
cx3, 已知随机变量 X 的密度函数为 f (x) =
0 < x < 1; 确定常数 c 的值,并求出 P(−1 < X < 0.5) 与分布函数.
∞
数为 λ p 的泊松分布.[提示： P(Y= k=) ∑ P( X= n)P(Y= k X= n) .] n=k
7
学号
专业
姓名
作业号
2.26 已知 X 与Y 的联合概率函数如下.（1）分别求U = max{X ,Y},V = min{X ,Y}的概率函数；（2）试
求U 与V 的联合概率函数.
X
Y -2 -1 0 1 4
1.27 已知甲袋中装有 a 只红球, b 只白球;乙袋中装有 c 只红球, d 只白球．试求下列事件的概率:(1)合并 两只口袋,从中随机地取一只球,该球是红球;(2)随机地取一只袋,再从该袋中随机地取一只球,该球是红 球;(3)从甲袋中随机地取出一只球放人乙袋,再从乙袋中随机地取出一只球,该球是红球.
1.15 某商店出售晶体管,每盒装 100 只,且已知每盒混有 4 只不合格品.商店采用“缺一赔十”的销售方 式：顾客买一盒晶体管,如果随机地取 1 只发现是不合格品,商店要立刻把 10 只合格品的晶体管放在盒子 中,不合格的那只晶体管不再放回.顾客在一个盒子中随机地先后取 3 只进行测试,试求他发现全是不合格 品的概率.
概率论与数理统计(完整版)
32
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
33
例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
34
(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定义 : 若B1,B2,,Bn一组事件 : 满足
(iB i) B j φ ,i ji,j, 12,.,.n .,,
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中 的 基 本 事k件 数 P(A)S中的基本事n件总数 15
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P(Bi |A)P(Bi |A.)
i1
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)eik则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
在概率论中，样本空间和随机事件是基本概念。
如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊂B。
当A和B中至少有一个发生时，称A∪B为事件A和事件B的和事件。
当A和B同时发生时，称A∩B为事件A和事件B的积事件。
当A发生、B不发生时，称A-B为事件A和事件B的差事件。
如果A和B互不相容，即A∩B=∅，则称A和B是互不相容的，或互斥的，基本事件是两两互不相容的。
如果A∪B=S且A∩B=∅，则称事件A和事件B互为逆事件，又称事件A和事件B互为对立事件。
在概率论中，还有一些运算规则。
交换律指A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律指(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；分配律指A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；德摩根律指A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。
频率与概率是概率论的重要概念。
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率。
概率指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数P(A)，称为事件的概率。
概率P(A)满足非负性，即对于每一个事件A，0≤P(A)≤1；规范性，即对于必然事件S，P(S)=1；可列可加性，即设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞）。
概率还有一些重要性质，包括P(∅)=0，P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞），如果A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤1，P(A)=1-P(A')，以及P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
等可能概型又称为古典概型，是指试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同。
如果事件A 包含k个基本事件，即A={e1}∪{e2}∪…∪{ek}，则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
概率论与数理统计基本概念
概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果.随机事件(事件):样本空间S的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(F):每次试验中一定不会发生的事件.二. 事件间的关系和运算1.AB(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.2.A∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生.3. A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生.4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生.5. AB=F (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.6. AB=F且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则交换律结合律分配律德•摩根律三. 概率的定义与性质1.定义对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.(1)非负性P(A)≥0 ;(2)归一性或规范性P(S)=1 ;(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A1,A2,…(A i A j=φ, i≠j, i,j=1,2,…),P(A1∪A2∪…)=P( A1)+P(A2)+…2.性质(1) P(F) = 0 , 注意: A为不可能事件P(A)=0 .(2)有限可加性对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,A n,P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)若AB, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) .对于任意n个事件A1,A2,…,A n…+(-1)n-1P(A1A2…A n)四.等可能(古典)概型1.定义如果试验E满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,e n};(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e1)=P(e2)=…= P(e n ).则称试验E所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式P(A)=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数.五.条件概率1.定义事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1) (n≥2, P(A1A2…A n-1) > 0) 3. B1,B2,…,B n是样本空间S的一个划分(B i B j=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n, B1∪B2∪…∪B n=S) ,则当P(B i)>0时,有全概率公式P(A)=当P(A)>0, P(B i)>0时,有贝叶斯公式P (B i|A)= .六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B为相互独立的事件.(1)两个事件A,B相互独立ÛP(B)= P (B|A) .(2)若A与B,A与,与B, ,与中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B, C三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C三事件相互独立.3.n个事件A1,A2,…,A n,如果对任意k (1<k≤n),任意1≤i1<i2<…<i k≤n.有,则称这n个事件A1,A2,…,A n相互独立.第二章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X的分布函数F(x)=P{X≤x} , x是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1.(2)F(x)单调不减,即若x1<x2,则F(x1)≤F(x2).(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1).二.离散型随机变量(只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律P{X= x k}= p k(k=1,2,…)也可以列表表示. 其性质为:(1)非负性0≤P k≤1; (2)归一性 .2.离散型随机变量的分布函数F(x)=为阶梯函数,它在x=x k(k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k=P{X=x k} .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p的二项分布P{X=k}=(k=0,1,2,…,n) (0<p<1)(3))X~p(l)参数为l的泊松分布P{X=k}= (k=0,1,2,…)(l>0)三.连续型随机变量1.定义如果随机变量X的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=,-∞< x <∞,则称X为连续型随机变量,其中f (x)称为X的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性f(x)≥0 ;(2)归一性=1 ;(3) P{x1<X≤x2}= ; (4)若f (x)在点x处连续,则f (x)=F/ (x) .注意：连续型随机变量X取任一指定实数值a的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 .(2)X服从参数为q的指数分布.(q>0).(3)X~N (m,s2 )参数为m,s的正态分布 -¥<x<¥, s>0.特别, m=0, s2=1时,称X服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度, 标准正态分布函数 , F(-x)=1-Φ(x) .若X～N ((m,s2), 则Z=~N (0,1), P{x1<X≤x2}=Φ()-Φ().若P{Z>z a}= P{Z<-z a}= P{|Z|>z a/2}= a,则点z a,-z a, ±z a/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧a分位点. 注意：F(z a)=1-a , z1- a= -z a.四.随机变量X的函数Y= g (X)的分布1.离散型随机变量的函数若g(x k) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律.2.连续型随机变量的函数若X的概率密度为f X(x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y(y)常用两种方法：(1)分布函数法先求Y的分布函数F Y(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=其中Δk(y)是与g(X)≤y对应的X的可能值x所在的区间(可能不只一个),然后对y求导即得f Y(y)=F Y /(y) .(2)公式法若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g/ (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为其中h(y)是g(x)的反函数, a= min (g (-¥),g (¥)) b= max (g (-¥),g (¥)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则a= min (g (a),g (b)) b= max (g (a),g (b)) .第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}称为(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数.2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x和y单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ¥)=0, F(-¥,y)=0, F(-¥,-¥)=0, F(¥,¥)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) .(4)对于任意实数x1<x2 , y1<y2P{x1<X≤x2 , y1<Y≤y2}= F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+ F(x1,y1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i,y j) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i,Y= y j }= p i j为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性0≤p i j≤1 .(2)归一性 .3. (X,Y)的(X和Y的联合)分布函数F(x,y)=三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x和y,有F(x,y)=则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X和Y的联合)概率密度.2.性质(1)非负性 f (x,y)≥0 .(2)归一性 .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则(4)若G为xoy平面上一个区域,则.四.边缘分布1. (X,Y)关于X的边缘分布函数F X (x) = P{X≤x , Y<¥}= F (x , ¥) .(X,Y)关于Y的边缘分布函数F Y (y) = P{X<¥, Y≤y}= F (¥,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律P{X= x i}= = p i·( i =1,2,…)归一性 .关于Y的边缘分布律P{Y= y j}= = p·j( j =1,2,…)归一性 .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度f X(x)= 归一性关于Y的边缘概率密度f Y (y)= 归一性五.相互独立的随机变量1.定义若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X和Y相互独立.2.离散型随机变量X和Y相互独立p i j= p i··p·j( i ,j =1,2,…)对一切x i,y j成立.3.连续型随机变量X和Y相互独立f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j}>0,则称P{X=x i|Y=y j}为在Y= y j条件下随机变量X的条件分布律.同样,对于固定的i,若P{X=x i}>0,则称P{Y=y j|X=x i}为在X=x i条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i}= p i( i =1,2,…)概率密度f (x) 数学期望(均值)E(X) (级数绝对收敛) (积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}=E(X2)-[E(X)]2(级数绝对收敛) (积分绝对收敛)函数数学期望E(Y)=E[g(X)] (级数绝对收敛) (积分绝对收敛)标准差s(X)=√D(X) .二.数学期望与方差的性质1. c为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c2D(X) .2.X,Y为任意随机变量时, E (X±Y)=E(X)±E(Y) .3. X与Y相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 P{X = C}=1 ,C为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ p(l) l l4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a)2/125.X服从参数为q的指数分布q q26.X~ N (m,s2) m s2四.矩的概念随机变量X的k阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,…随机变量X的k阶中心矩E{[X-E(X)]k}随机变量X和Y的k+l阶混合矩E(X k Y l) l=1,2,…随机变量X和Y的k+l阶混合中心矩E{[X-E(X)]k [Y-E(Y)]l }第六章样本和抽样分布一.基本概念总体X即随机变量X ; 样本X1 ,X2 ,…,X n是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x1 ,x2 ,…,x n为实数;n是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值样本方差样本标准差S样本k阶矩( k=1,2,…) 样本k阶中心矩( k=1,2,…)二.抽样分布即统计量的分布1.的分布不论总体X服从什么分布, E () = E(X) , D () = D(X) / n .特别,若X~ N (m,s2 ) ,则 ~ N (m, s2 /n) .2.c2分布(1)定义若X～N (0,1) ,则Y =~ c2(n)自由度为n的c2分布.(2)性质①若Y~ c2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y1~ c2(n1) Y2~ c2(n2) ,则Y1+Y2~ c2(n1 + n2).③若X~ N (m,s2 ), 则~ c2(n-1),且与S2相互独立.(3)分位点若Y~ c2(n),0< a <1 ,则满足的点分别称为c2分布的上、下、双侧a分位点.3. t分布(1)定义若X~N (0,1),Y~ c2 (n),且X,Y相互独立,则t=~t(n)自由度为n的t分布.(2)性质①n→∞时,t分布的极限为标准正态分布.②X～N (m,s2 )时, ~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本样本均值样本方差X~ N (m1,s12 ) 且s12=s22=s2X1 ,X2 ,…,X n1 S12Y~ N (m2,s22 ) Y1 ,Y2 ,…,Y n2 S22则~ t (n1+n2-2) , 其中(3)分位点若t ~ t (n) ,0 < a<1 , 则满足的点分别称t分布的上、下、双侧a分位点.注意: t 1- a(n) = - t a(n).4.F分布(1)定义若U~c2(n1), V~ c2(n2), 且U,V 相互独立,则F =~F(n1,n2)自由度为(n1, n2)的F分布.(2)性质(条件同3.(2)③) ~F(n1-1,n2-1)(3)分位点若F~ F(n1,n2) ,0< a <1,则满足的点分别称为F分布的上、下、双侧a分位点. 注意:第七章参数估计一.点估计总体X的分布中有k个待估参数q1, q2,…, q k.X1 ,X2 ,…,X n是X的一个样本, x1 ,x2 ,…,x n是样本值.1.矩估计法先求总体矩解此方程组,得到,以样本矩A l取代总体矩m l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量,若代入样本值则得到矩估计值.2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, q1, q2,…, q k),称样本X1 ,X2 ,…,X n的联合分布为似然函数.取使似然函数达到最大值的,称为参数q1, q2,…,q k的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(q1, q2,…, q k)关于q1, q2,…, q k可微,则一般可由似然方程组或对数似然方程组(i =1,2,…,k) 求出最大似然估计.3.估计量的标准(1) 无偏性若E()=q,则估计量称为参数q的无偏估计量.不论总体X服从什么分布, E ()= E(X) , E(S2)=D(X), E(A k)=m k=E(X k),即样本均值, 样本方差S2,样本k阶矩A k分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k阶矩m k的无偏估计,(2)有效性若E(1 )=E(2)= q, 而D(1)< D(2), 则称估计量1比2有效.(3)一致性(相合性) 若n→∞时,,则称估计量是参数q的相合估计量.二.区间估计1.求参数q的置信水平为1-a的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X1 ,X2 ,…,X n,q),其中只有一个待估参数q未知,且其分布完全确定.(2)利用双侧a分位点找出W的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-a.(3)由不等式a<W<b解出则区间()为所求.2.单个正态总体待估参数其它参数W及其分布置信区间m s2已知 ~N (0,1) ()m s2未知~ t (n-1)s2 m未知~ c2(n-1)3.两个正态总体(1)均值差m1-m2其它参数W及其分布置信区间~ N(0,1)～t(n1+n2-2)其中S w等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.(2) m1,m2未知, W=~ F(n1-1,n2-1),方差比s12/s22的置信区间为注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标a/2改为a,另外的下(上)限取为-¥ (¥)即可.。
概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计习题集及答案《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1. (1) ⼀枚硬币连丢3次，观察正⾯ H 、反⾯T 出现的情形.样本空间是：S _________________ ; (2) —枚硬币连丢3次，观察出现正⾯的次数.样本空间是：S= ________________________ ;2. (1)丢⼀颗骰⼦.A :出现奇数点，贝U A= ___________ ; B :数点⼤于2，贝U B= (2)⼀枚硬币连丢2次，A :第⼀次出现正⾯，则 A= _____________________ ; B:两次出现同⼀⾯，则 = __________ ; C :⾄少有⼀次出现正⾯，则C=§ 1 .2随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，⽤A 、B C 的运算关系表⽰下列各事件：(1) ____________________________ A 、B C 都不发⽣表⽰为： .(2)A 与B 都发⽣，⽽C 不发⽣表⽰为： (3)A 与B 都不发⽣，⽽C 发⽣表⽰为： .⑷A 、B 、C 中最多⼆个发⽣表⽰为：(5)A 、B C 中⾄少⼆个发⽣表⽰为： .(6)A、B C 中不多于⼀个发⽣表⽰为：(1) P(AB), R)(P(A B))=,⑶ P(A B)=.2.已知 P(A) 0.7, P(AB) 0.3,则 P(AB)=.§ 1 .4古典概型1. 某班有30个同学，其中8个⼥同学，随机地选10个，求:(1)正好有2个⼥同学的概率，(2) 最多有2个⼥同学的概率,(3)⾄少有2个⼥同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投⼊到4个盒⼦中，求有三个盒⼦各⼀球的概率 .§ 1 .5条件概率与乘法公式1 ?丢甲、⼄两颗均匀的骰⼦，已知点数之和为7,则其中⼀颗为1的概率是 ______________ 。
概率论与数理统计(浙大) 习题答案 第1章
第一章 概率论的基本概念1 写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)解 }100 , ,1 ,0|{n i ni S ⋅⋅⋅==, 其中n 为小班人数(2)同时掷三颗骰子 记录三颗骰子点数之和 解 S ={3 4, ⋅⋅⋅ 18}.(3)生产产品直到得到10件正品为止, 记录生产产品的总件数解 S ={10, 11, 12, ⋅⋅⋅ , n , ⋅⋅⋅ }(4)对某工厂出厂的产品进行检查, 合格的记上“正品”, 不合格的记上“次品”, 如连续查出2个次品就停止检查, 或检查4个产品 停止检查, 记录检查的结果.解 S ={00, 100, 0100, 0101, 1010, 0110,1100, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111}其中0表示次品 1表示正品.(5)在单位圆内任意取一点 记录它的坐标解 S ={(x y )|x 2+y 2<1}.(6)将一尺之棰成三段 观察各段的长度解 S ={(x y z )|x >0 y >0 z >0 x +y +z =1} 其中x y z 分别表示第一、二、三段的长度2. 设A , B , C 为三事件, 用A , B , C 的运算关系表示下列各事件.(1)A 发生, B 与C 不发生解 表示为: A B C 或A -(AB +AC )或A -(B C )(2)A , B 都发生, 而C 不发生解 表示为: AB C 或AB -ABC 或AB -C(3)A , B , C 中至少有一个发生解 表示为: A +B +C(4)A , B , C 都发生解 表示为: ABC(5)A , B , C 都不发生解 表示为: ⎺A B C 或S - (A +B +C)或C B A ⋃⋃(6)A , B , C 中不多于一个发生解 即A , B , C 中至少有两个同时不发生相当于⎺A B B C ⎺A C 中至少有一个发生. 故表示为: ⎺A B B C ⎺A C .(7)A , B , C 中不多于二个发生解 相当于: A B C 中至少有一个发生.故表示为: A B C 或ABC(8)A , B , C 中至少有二个发生.解 相当于: AB , BC , AC 中至少有一个发生.故表示为: AB +BC +AC3 设A , B 是两事件且P (A )=0.6, P (B )=0.7. 问 (1)在什么条件下P (AB )取得最大值, 最大值是多少？(2)在什么条件下P (AB )取得最小值, 最小值是多少？解 (1)因为P (AB )=P (A )+P (B )-P (A B ) 且P (A )<P (B )≤P (A B ) 所以当A B 时 P (A B )=P (B ) P (AB )取到最大值, 最大值为P (AB )=P (A )=0.6(2)当A B =S 时, P (AB )取到最小值, 最小值为P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.4 设A , B , C 是三事件, 且P (A )P (B )P (C )1/4 P (AB )P (BC )0, P (AC )1/8. 求A , B , C 至少有一个发生的概率.解 P (A , B , C 至少有一个发生)=P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) (3/4)(1/8)05/85 在一标准英语字典中有55个由两个不同的字母所组成的单词, 若从26个英文字母中任取两个字母予以排列, 问能排成上述单词的概率是多少？解 记A 表“能排成上述单词” 因为从26个任选两个来排列, 排法有226A 种. 每种排法等可能. 字典中的二个不同字母组成的单词: 55个 所以1301155)(226==A AP6 在房间里有10人. 分别佩戴从1号到10号的纪念章, 任选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小的号码为5的概率解 记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A . 因为10人中任选3人为一组: 选法有310C 种, 且每种选法等可能. 又事件A相当于: 有一人号码为5, 其余2人号码大于5. 这种组合的种数有251C ⨯ 所以1211)(31025=⨯=C C AP (2)求最大的号码为5的概率.解 记“三人中最大的号码为5”为事件B , 同上 10人中任选3人, 选法有310C 种, 且每种选法等可能, 又事件B 相当于:有一人号码为5, 其余2人号码小于5, 选法有241C ⨯种 所以2011)(31024=⨯=C C BP 7 某油漆公司发出17桶油漆, 其中白漆10桶、黑漆4桶, 红漆3桶. 在搬运中所有标签脱落, 交货人随意将这些标签发给顾客, 问一个定货4桶白漆, 3桶黑漆和2桶红漆顾客, 能按所订颜色如数得到定货的概率是多少？解 记所求事件为A .在17桶中任取9桶的取法有310C 种, 且每种取法等可能. 取得4白3黑2红的取法有2334410C C C ⨯⨯ 故2431252)(6172334410=⨯⨯=C C C C A P8 在1500个产品中有400个次品, 1100个正品, 任意取200个.(1)求恰有90个次品的概率解 用A 表示取出的产品恰有90个次品 在1500个产品中任取200个, 取法有2001500C 种, 每种取法等可能. 200个产品恰有90个次品, 取法有110110090400C C 种 因此2001500110110090400)(C C C A P= (2)至少有2个次品的概率.解 用B 表示至少有2个次品 B 0表示不含有次品, B 1表示只含有一个次品 同上, 200个产品不含次品, 取法有2001100C 种, 200个产品含一个次品, 取法有19911001400C C种 因为B B 0B 1且B 0, B 1互不相容 所以P (B )1P (B )1[P (B 0)P (B 1)]20015002001100199110014001C C C C +-=9 从5双不同鞋子中任取4只, 这4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？解 样本空间所含的样本点数为410C 用A 表示4只全中至少有2支配成一对 则A 表示4只全不配对 A 所包含的样本点数为4452⨯C (先从5双鞋中任取4双 再从每双中任取一只) 因此2182)(410445=⋅=C C AP 21132181)(1)(=-=-=A P AP10 在11张卡片上分别写上Probabitity 这11个字母 从中任意连抽7张 求其排列结果为Abitity的概率解 所有可能的排列构成样本空间 其中包含的样本点数为711P 用A 表示正确的排列 则A 包含的样本点数为411111*********=C C C C C C C 则0000024.04)(711==P A P11 将3个球随机地放入4个杯子中去, 求杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3解 记A i 表示杯中球的最大个数为i 个( i =1, 2, 3)三只球放入四只杯中, 放法有43种, 每种放法等可能 对A 1: 必须三球放入三杯中, 每杯只放一球. 放法4×3×2种. 故1664234)(31=⨯⨯=A P 对A 2: 必须三球放入两杯, 一杯装一球, 一杯装两球. 放法有3423⨯⨯C 种. 故169434)(3232=⨯⨯=C A P 对A 3: 必须三球都放入一杯中. 放法有4种.16144)(33==A P 12 将50只铆钉随机地取来用在10个部件, 其中有3个铆钉强度太弱, 每个部件用3只铆钉, 若将三个强度太弱的铆钉都装在一个部件上, 则这个部件强度就太弱, 问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解 记A 表示10个部件中有一个部件强度太弱.把随机试验E 看作是用三个钉一组, 三个钉一组去铆完10个部件(在三个钉的一组中不分先后次序. 但10组钉铆完10个部件要分先后次序)对E : 铆法有323344347350C C C C ⨯⨯⨯ 种, 每种装法等可能对A : 三个次钉必须铆在一个部件上. 这种铆法数为10)(32334434733⨯⨯⨯C C C C故 00051.01960110][)(32334735032334434733==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C A P13 已知3.0)(=A P P (B )=0.4 5.0)(=B A P 求)|(B A B P ⋃.解 7.0)(1)(=-=A P A P 6.0)(1)(=-=B P BPB A AB B B A AS A ⋃=⋃==)( 注意Φ=))((B A AB . 故有 2.05.07.)()()(=-=-=B A P A P AB P .再由加法定理8.05.06.07.0)()()()(=-+=-+=⋃B A P B P A P B AP 于是 25.08.02.0)()()()]([)|(==⋃=⋃⋃=⋃B A P AB P B A P B A B P B A BP14 已知41)(=A P 31)|(=A B P 21)|(=B A P求P (A ⋃B ).解 根据条件概率)()|()()()()|(B P A B P A P B P AB P B A P ==61213141)|()|()()(=⨯==B A P A B P A P BP根据乘法公式1214131)()|()(=⨯==A P A B P ABP根据加法公式311216141)()()()(=-+=-+=⋃AB P B P A P B AP15 掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为1点的概率(用两种方法).解法一 (在缩小的样本空间SB 中求P (A |B ), 即将事件B 作为样本空间, 求事件A 发生的概率).掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x , y )(x , y =1, 2, 3, 4, 5,6)并且满足x +y =7, 则样本空间为S ={(x , y )| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}每种结果(x , y )等可能.A ={掷二骰子, 点数和为7时, 其中有一颗为1点}故 3162)(==A P解法二 用公式)()()|(B P AB P B A P = S ={(x , y )| x =1, 2, 3, 4, 5, 6; y =1, 2, 3, 4, 5, 6} 每种结果均可能A =“掷两颗骰子, x , y 中有一个为1点”,B =“掷两颗骰子, x +y =7”.则 6166)(2==B P 262)(=AB P , 故31626162)()()|(2====B P AB P B A P 16 据以往资料表明, 某3口之家, 患某种传染病的概率有以下规律:P {孩子得病}=0.6,P {母亲得病|孩子得病}=0.5,P {父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.解 令A ={孩子得病}, B ={母亲得病}, C ={父亲得病} 则P (A )=0.6, P (B |A )=0.5, P (C |AB )=0.4所以 P (⎺C|AB )=1-P (C |AB )=1-0.4=0.6.P (AB )=P (A )P (B |A )=0.6×0.5=0.3,所求概率为P (AB ⎺C )=P (AB )·P (⎺C|AB )=0.3×0.6=0.18.17 已知在10只晶体管中有2只次品, 在其中取两次, 每次任取一只, 作不放回抽样, 求下列事件的概率(1)两只都是正品(2)二只都是次品(记为事件B )(3)一只是正品, 一只是次品(记为事件C )(4)第二次取出的是次品(记为事件D )解 设A i ={第i 次取出的是正品)(i =1 2).(1)452897108)|()()(12121=⨯==A A P A P A A P . (2)45191102)|()()(12121=⨯==A A P A P A A P . (3))()()(21212121A A P A A P A A A A P +=⋃)|()()|()(121121A A P A P A A P A P +=45169810292108=⨯+⨯=. (4))()(21212A A A A P A P +=519110292108)|()()|()(121121=⨯+⨯=+=A A P A P A A P A P18 某人忘记了电话号码的最后一个数字, 因而他随机地拨号, (1)求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率 (2)若已知最后一个数字是奇数, 那么此概率是多少？解 设A i ={第i 次拨号拨对}(i =1 2 3) A ={拨号不超过3次而拨通} 则321211A A A A A A A ++= 且三种情况互斥 所以)|()|()()|()()()(2131211211A A A P A A P A P A A P A P A P A P ++= 于是(1)103819810991109101)(=⨯⨯+⨯+=A P(2)53314354415451)(=⨯⨯+⨯+=A P19 (1)设甲袋中装有n 只白球 m 只红球, 乙袋中装有N 只白球 M 只红球, 今从甲袋中任取一只球放入乙袋中, 再从乙袋中任意取一只球, 问取到白球的概率是多少？ 解 用A 1表示“从甲袋中取得白球放入乙袋”, A 2表示“从甲袋中取得红球放入乙袋” 再记B 表“再从乙袋中取得白球”. 因为 B =A1B +A 2B 且A 1, A 2互斥所以 P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)111++⨯+++++⨯+=M N N m n m M N N m n n)1)(()(+++++=N M n m n N m n19 (2)第一只盒子装有5只红球, 4只白球 第二只盒子装有4只红球, 5只白球. 先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去, 然后从第二盒子中任取一只球, 求取到白球的概率. 解 记C 1为“从第一盒子中取得2只红球”. C 2为“从第一盒子中取得2只白球”. C 3为“从第一盒子中取得1只红球, 1只白球”, D 为“从第二盒子中取得白球”, 显然C 1, C 2, C 3两两互斥, C 1C 2C 3=S , 由全概率公式, 有P (D )=P (C 1)P (D|C 1)+P (C 2)P (D|C 2)+P (C 3)P (D|C 3)995311611711529141529242925=⋅⋅+⋅+⋅=C C C C C CC20 某种产品的高标为“MAXAM” 其中有2个字母已经脱落 有人捡起随意放回 求放回后仍为“MAXAM”的概率解 设A 1 A 2 ⋅⋅⋅ A 10分别表示字母MAMX MA MM AX AA AM XA XM AM 脱落的事件 则101)(=i A P (i =1 2, ⋅⋅⋅ 10) 用B 表示放回后仍为“MAXAM”的事件 则21)|(=i A B P (i =1 2, ⋅⋅⋅10) 1)|()|(64==A B P A B P 所以由全概公式得5311011101821101)|()()(101=⨯+⨯+⨯⨯==∑=i i i A B P A P BP21 已知男子有5%是色盲患者, 女子有0.25%是色盲患者. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人, 恰好是色盲患者, 问此人是男性的概率是多少？解 A 1={男人}, A 2={女人}, B ={色盲}, 显然A 1A 2=S , A 1 A 2= 由已知条件知21)()(21==A P A P %5)|(1=A B P ,%25.0)|(2=A BP 由贝叶斯公式, 有)|()()|()()|()()()()|(22111111A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P +==2120100002521100521100521=⋅+⋅⋅=22 一学生接连参加同一课程的两次考试. 第一次及格的概率为p , 若第一次及格则第二次及格的概率也为p 若第一次不及格则第二次及格的概率为2p (1)若至少一次及格则他能取得某种资格, 求他取得该资格的概率. (2)若已知他第二次已经及格, 求他第一次及格的概率.解 A i ={他第i 次及格}(i =1, 2)已知P (A 1)=P (A 2|A 1)=p , 2/)|(12p A A P= (1)B ={至少有一次及格} 则21}{A A B ==两次均不及格 所以 )|()(1)(1)(1)(12121A A P A P A A P B P B P -=-=-=)]|(1)][(1[1121A A P A P ---=22123)21)(1(1p p p p -=---= (2)由乘法公式, 有P (A 1A 2)=P (A 1)P (A 2| A 1)=p2 由全概率公式, 有)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=222)1(2p p p p p p +=⋅-+⋅= 于是 1222)|(2221+=+=p p p p p A AP23 将两信息分别编码为A 和B 传递出去 接收站收敛到时 A 被误收作B 的概率为002 而B 被误收作A 的概率为0.01 信息A 与信息B 传送的频繁程度为21 若收站收到的信息是A 问原发信息是A 的概率是多少？ 解 设B 1 B 2分别表示发报台发出信号“A ”及“B ” 又以A 1有A 2分别表示收报台收到信号“A ”及“B ”. 则有 32)(1=B P 31)(2=B P P (A 1|B 1)=0.98 P (A 2|B 1)=0.08 P (A 1|B 2)=0.01 P (A 2|B 2)=0.91 从而由Beyes 公式得)|()()|()()|()()|(2121111111B A P B P B A P B P B A P B P A B P i += 19719601.03198.03298.032=⨯+⨯⨯=24 有两箱同种类的零件 第一箱装50只 其中10只一等品 第二箱装30只 其中18只一等品 今从两箱中任挑出一箱 然后从该箱中取零件两次每次任取一只 作不放回抽样 试求(1)第一次取到的零件是一等品的概率(2)第一次取到的零件是一等品的条件下 第二次取到的也是一等品的概率解 (1)记A i ={在第i 次中取到一等品}(i =1 2) B ={挑到第i 箱} 则有4.03018215121)|()()|()()(2121111=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P . (2))|()()|()()(2212121121B A A P B P B A A P B P A A P +=19423.030182129175121499=⨯⨯+⨯⨯= 4856.04.019423.0)()()|(12112===A P A A P A A P .25 某人下午5:00下班, 他所积累的资料表明:的, 试求他是乘地铁回家的概率.解 设A={乘地铁}, B ={乘汽车}, C ={在5:47到家}, 由题意 AB =∅, A B =S已知P (A )=0.5, P (C|A )=0.45, P (C|B )=0.2, P (B )=0.5 由贝叶斯公式有)()|()()|()()|()()()|()|(B P B C P AP A C P A P A C P C P A P A C P C A P +== 6923.05.02.05.045.05.045.0=⨯+⨯⨯=26 (1)设有4个独立工作的元件1, 2, 3, 4. 它们的可靠性分别为p 1, p 2, p 3, p 4, 将它们按图1-3的方式联接, 求系统的可靠性.解 记A i 表示第i 个元件正常工作(i =1, 2, 3, 4), A 表示系统正常.因为A =A 1A 2A 3+A 1A 4两种情况不互斥 所以P (A )=P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 4)-P (A 1A 2A 3 A 4) (加法公式) =P (A 1)P (A 2)P (A 3)+P (A 1)P (A 4)-P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)=p 1p 2p 3+p 1p 4-p 1p 2p 3p 4 (A 1, A 2, A 3, A 4独立)26. (2)设有5独立工作的元件1 2 3 4 5 它们的可靠性均为p 将它们按图1-4的方式联接 求系统的可靠性.解 记A i 表示第i 个元件正常工作(i =1, 2, 3, 4 5), B 表示系统正常 则)()(2345453121A A A A A A A A A A P B P ⋃⋃⋃=)()()()(2345453121A A A P A A P A A A P A A P +++= )()()(432154215321A A A A P A A A A P A A A A P ---)()()(5432543215431A A A A P A A A A A P A A A A P --- )()(45432154321A A A A A P A A A A A P -+24222522p p p p +-+=27 如果一危险情况C 发生时 一电路闭合并发出警报 我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性 在C 发生时这些开关每一个都应闭合 且至少一个开关闭合了 警报就发出 如果两个这样开关并联接 它们每个具有0.95的可靠性(即在情况C 发生时闭合的概率) (1)这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)是多少？(2)如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统 则至少需要用多少只开关并联？这里各开关闭合与否都是相互独立的解 (1)设A i 表示第i 个开关闭合 A 表示电路闭合 于是A =A1⋃A 2. 由题意当两个开关并联时P (A )=0. 96. 再由A 1 A 2的独立性得P (A )=P (A 1⋃A 2)=P (A 1)+P (A 2)-P (A 1A 2)=P (A 1)+P (A 2)-P (A 1)P (A 2)=2⨯0.96-(0.96)2=0.9984.(2)设至少需要n 个开关闭合 则∏==≥-=--=⋃=n i i i n i A P A P A P 1419999.004.01)](1[1)()(即 0.04n≤0.00001所以 58.304.0lg 00001.0lg =≥n 故至少需要4只开关联28 三个独立地去破译份密码 已知各人能译出的概率分别为1/5 1/3 1/4 问三个中至少有一个能将此密码译出的概率是多少？解 设A B C 分别表示{第一、二、三人独立译出密码} D 表示{密码被译出} 则)(1)()(C B A P C B A P D P ⋃⋃-=⋃⋃=)()()(1)(1C P B P A P C B A P -=⋂⋂-=534332541=⨯⨯-=29 设第一个盒子装有3只蓝球, 2只绿球, 2只白球；第二个盒子装有2只蓝球, 3只绿球, 4只白球. 独立地分别在两只盒子中各取一只球.(1)求至少有一只蓝球的概率(2)求有一只蓝球一只白球的概率(3)已知至少有一只蓝球, 求有一只蓝球一只白球的概率. 解 记A 1 A 2 A 3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球 一只绿球 一只白球, B 1 B 2 B 3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球 一只绿球 一只白球. 则A i 与B i 独立(i =1 2 3).(1)所求概率为9592739273)()()()(111111=⨯-+=-+=⋃B A P B P A P B A P . (2)所求概率为)()()()()(13311331B P A P B P A P B A B A P +=⋃631692729473=⨯+⨯= (3)所求概率为P (A 1B 3⋃A 3B 1| A 1⋃B 1)=P (A 1B 3| A 1⋃B 1)+P (A 3B 1| A 1⋃B 1))())(()())((111113111131B A P B A B A P B A P B A B A P ⋃⋃+⋃⋃= )())()())(11131311131131B A P B A B A A P B A P B B A B A P ⋃⋃+⋃⋃= 35169/563/16)()()(111331==⋃+=B A P B A P B A P .30 A , B , C 三人在同一办公室工作, 房间有三部电话, 据统计知, 打给A , B , C 的电话的概率分别为2/5 2/5 1/5. 他们三人常因工作外出, A , B , C 三人外出的概率分别为1/2 1/4 1/4, 设三人的行动相互独立, 求(1)无人接电话的概率(2)被呼叫人在办公室的概率若某一时间段打进3个电话, 求(3)这3个电话打给同一人的概率(4)这3个电话打给不同人的概率(5)这3个电话都打给B , 而B 却都不在的概率. 解 设A 1 B 1 C 1分别表示A B C 三个人外出的事件 A B C 分别表示打给三个人的电话的事件(1)P (无人接电话)=P (A 1B 1C 1)=P (A 1)P (B 1)P (C 1)321414121=⨯⨯= (2)用D 表示被呼叫人在办公室的事件, 则CC B B A AD 111++= )()(111C C B B A A P D P ++=)()(()()()(111C P C P BP P B P A P A P ++=2013514352435221=⨯+⨯+⨯=(3)用E 表示3个电话打给同一个人的事件 E 1 E 2 E 3分别表示3个电话是打给A B C 则E =E 1+E 2+E 3)()()()(321E P E P E P E P ++=12517)51()52()52(333=++=(4)用F 表示3个电话打给不同的人的事件 则F 由六种互斥情况组成, 每种情况为打给A , B , C 的三个电话, 每种情况的概率为1254515252=⨯⨯于是1252412546)(=⨯=F P (5)由于是知道每次打电话都给B , 其概率是1, 所以每一次打给B 电话而B 不在的概率为41, 且各次情况相互独立 于是P (3个电话都打给B , B 都不在的概率)641)41(3==31 袋中装有m 只正品硬币, n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽). 在袋中任取一只, 将它投掷r 次, 已知每次都得到国徽. 问这只硬币是正品的概率为多少？解 用A 表示出现r 次国徽的事件 B 表示任取一只是正品的事件 则r r nm n n m m B A P B P B A P B P A P 1)21()|()()|()()(⨯+++=+=)()|()()|(A P B A P B P A B P =r n m m2⋅+=32 设一枚深炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3 击伤的概率为1/2 击不中的概率为1/6 并设击伤两次也会导致潜水艇下沉 求施放4枚深炸能击沉潜水艇的概率解 用A 表示施放4枚深炸击沉潜水艇的事件 则433446131]21)61()61[(1)(1)(-=⨯+-=-=C A P A P33 设根据以往记录的数据分析 某船只运输某种物品损坏的情况共有三种 损坏2%(这一事件记为A 1), 损坏10%(事件A 2), 损坏90%(事件A 3) 且知P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.15, P (A 3)=0.05, 现在从已被运输的物品中随机地取3件, 发现这3件都是好的(这一事件记为B ), 试分别求P (A 1|B ) P (A 2|B ), P (A 3|B )(这里设物品件数很多, 取出一件后不影响后一件是否是好品的概率)解 因为B 表取得三件好物品.B =A 1B +A 2B +A 3B 且三种情况互斥由全概率公式, 有P (B )=P (A 1)P (B|A 1)+P (A 2)P (B|A 2)+P (A 3)P (B|A 3)=0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.86248731.08624.0)98.0(8.0)()|()()()()|(31111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P 1268.08624.0)9.0(15.0)()|()()()()|(32222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P 0001.08624.0)1.0(05.0)()|()()()()|(33333=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P34 将A , B , C 三个字母一一输入信道, 输出为原字母的概率为α, 而输出为其它一字母的概率都是(1α)/2. 今将字母串AAAA , BBBB , CCCC 之一输入信道, 输入AAAA , BBBB , CCCC 的概率分别为p 1, p 2, p 3 (p 1+p 2+p 3=1), 已知输出为ABCA , 问输入的是AAAA 的概率是多少？(设信道传输每个字母的工作是相互独立的. )解 用A B C 分别表示输入信号为AAAA , BBBB , CCCC ,用H 表示输出信号为ABCA 由于每个字母的输出是相互独立的 于是有4)1(]2/)1[()|(2222αααα-=-=A H P8)1(]2/)1[()|(33αααα-=-=B H P8)1(]2/)1[()|(33αααα-=-=C HP又P (A )=p 1 P (B )=p 2 P (C )=p 3 由贝叶斯公式得)()|()()|()()|()()|()|(C P C H P B P B H P A P A H P A P A H P H A P ++= 33231221228)1(8)1(4)1(4)1(p p p p ⋅-+⋅-+⋅-⋅-=αααααααα ))(1(223211p p p p +-+=ααα。