(完整版)平行四边形和三角形的中位线专题培优

平行四边形和三角形的中位线（二）

1、如图，过□ABCD内一点P作边的平行线EF、GH，若S 四边形PHCF

＝5，S四边形PGAE＝3，则S△PBD＝_________．

2、如图，□ABCD中，M、N分别是AD、AB上的点，且BM＝ND，

其交点为P，求证：∠CPB＝∠CPD．

3、已知等腰△EAD和等腰△CAB，EA＝ED，CA＝CB，∠AED＝∠ACB＝α，以线段AC、AE为边作平行四边形ACFE，连接BF、DF．

（1）如图1，当α＝90°，且A、D、C不在一条直线上时，求∠DFB的度数；

（2）如图2，当0°＜α＜90°，且A、D、C不在一条直线上时，求∠DFB的度数．

4、如图1,在△OAB中,∠OAB=900,∠AOB=300，OB=8.以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.

(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；

(2)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长。

5、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F 为BE上一点且BF＝CE，求证：FK∥AB．

6、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，（1）如图1，若E 、F 分别是AB 、CD 的中点，求证：EF=

21(AD+BC) （2）如图,2，若G 、H 分别是AB 、CD 的中点，求证：GH<2

1(AB+CD) （3）如图3，连接AC 、BD ，若M 、N 分别是AC 、BD 的中点，求证：MN<

21(BC —AD)

7、如图,点P 是四边形ABCD 的对角线BD 的中点,E,F 分别是AB,CD 的中点,AD=BC,∠CBD=45∘.∠ADB=105∘，试探究EF 与PF 之间的数量关系，并证明。

8、如图，将△ABC 的边AB 绕点A 顺时针旋转角α得到线段AD ，同时边AC 绕点A 逆时针旋转角α得线段AE （α≠180°－∠BAC ），连接BD 、CE ，分别作BD 、BC 、CE 中点，M 、P 、N ，连接MP 、PN ．

（1）如图1，若α＝60°时，∠MPN ＝________；

（2）改变旋转方向，如图2，边AB 绕点A 逆时针旋转角α得AD ，边AC 绕点A 顺时针旋转角α得到线段AE ，其余条件不变，写出∠MPN 与α之间的关系，并证明．

9、如图，在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰Rt △ABM 和等腰Rt △CAN ，P 是边BC 的中点，求证：PM ＝PN ．

10、如图，在△ABC 中，D 、E 是AC 、BC 的中点，BF ＝3

1AB ，BD 与FC 相交于G ，连接EG ，求证：EG ∥AC ．

11、已知在△ABC 中，AF 、BE 分别是中线，且相交于点P ，记AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，如图．

(1) 求证：AP ＝2PF ，BP ＝2PE ；

(2) 如图(2)，若AF ⊥BE 于P ，试探究a 、b 、c 之间的数量关系；

(3) 如图(3)，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 分别是AD 、BC 、CD 的中点，BE ⊥EG ，AD ＝4

，AB ＝6，求AF 的长．

12、如图，△ABC 中，∠ACB=900,BC=6,AC=8，将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转角得到△DEC ，设AD 交EB 于P ，Q 是BC 的中点，连接PQ ，在旋转过程中，求：（1）∠BPA 的度数 (2)PQ 的最大值

反馈练习

1．如图，□ABCD 的周长为32cm ，AB ：BC ＝5：3，AE ⊥CB 的延长线于E ，AF ⊥CD 的延长线于F ，∠EAF ＝2∠C ，求AB 、BC 、AE 、AF 的长．

2、如图，□ABCD 中，∠A 与∠D 的平分线交于点E ，∠B 与∠C 的平

分线交于点F ，求证：EF ＋BC ＝AB

3、如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD

的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝18°，求∠EPF ．

4、已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。求MN 的长。

5、已知M 是线段AB 的中点，从AB 上另一点C 任意引线段CD ，设CD 的中点为N ，BD 的中点为P ，MN 的中点为Q ，求证：直线PQ 平分线段AC ．

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B C M N