异面直线所成角的几种求法

异面直线所成角的几种求法

异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。

一、向量法求异面直线所成的角

例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。

解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线

到某个点上。 作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，

连结GH ，有GH//A 1E 。过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。

由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。 在△GHS 中，设正方体边长为a 。 GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， 连QH ，可知△GQH 为直角三角形）， HS=2

6a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=

426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。 ∴Cos ∠GHS=6

1。 所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为61。 解法二：（向量法） 分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用

点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用

向量的方法来求出两条直线间的夹角。

B A C

D

F E B 1 A 1 D 1 C 1

G

H S R P

Q 1

以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。

则点A 1的坐标为（0，2，2），点E 的坐标为（1，0，1），

点B 1的坐标为（0，0，2），点F 的坐标为（2，1，1）； 所以向量1EA 的坐标为（-1，2，1），向量F B 1的坐标为（2，1，-1），

所以这两个向量的夹角θ满足

cos θ||||1111F B EA ⋅=2

22222)1()1()2()1()2()1()

1(1122)1(-++⋅++--⨯+⨯+⨯-=-61。 所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为

61 小结：上述解法中，解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小。而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角。当然，如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比如刚才的正方体，或者说是长方体，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们就可以建立空间直角坐标系，从而利用向量的坐标表示来求两个向量的夹角。如果没有这样的性质，我们也可以利用空间向量基本定理，寻找空间的一组基底（即三个不共面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合表示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。

例2：已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ，M 、N 分别为BC 和AD 的中点，

设AM 和CN 所成的角为α，求cos α的值。 解：由已知得，空间向量，，不共面，

且两两之间的夹角均为60°。由向量的加法可以得到 AM =21（+），=21-+ 所以向量AM 与向量的夹角θ（即角α或者α的补角） 满足cos θ|

|||NC AM ⋅，其中 AM ·=21（+）·（2

1-+） =21（21-·+·+（2

1-）·+·） =21a 2（41-+2141-+1）=2

1a 2； A B

C

D

M

N

||2=21（+）·21（+）=41（1+1+1）a 2=4

3 a 2； |NC |2=（21-+AC ）·（21-+AC ）=41+121- a 2=4

3 a 2。 所以cos α=| cos θ|=32。

例3：已知空间四边形ABCD 中，AB=CD=3，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，

且BE ：EC=AF ：FD=1：2，EF=7，求AB 和CD 所成的角的大小。

解：取AC 上点G ，使AG ：GC=1：2。连结EG 、FG ，

可知EG//AB ，FG//CD ，3EG=2AB ，3FG=CD 。

由向量的知识可知=+=32+31， 设向量和CD 的夹角为θ。

则由||2=（32+31）·（32+31）=4+1+4cos θ=7， 得cos θ=2

1，所以AB 和CD 所成的角为60°。 二、利用模型求异面直线所成的角

引理：已知平面α的一条斜线a 与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b 与斜线a 所成的角为θ，与它的射影a ′所成的角为θ2。求证：cos θ= cos θ1·cos θ2。 证明：设PA 是α的斜线，OA 是PA 在α上的射影，

OB//b ，如图所示。则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2，

过点O 在平面α内作OB ⊥AB ，垂足为B ，连结PB 。

可知PB ⊥AB 。 所以cos θ1=

PA OA ， cos θ=PA AB ，cos θ2=OA AB 。 所以cos θ= cos θ1·cos θ2。

这一问题中，直线a 和b 可以是相交直线，也可以是异面直线。我们不妨把θ1叫做线面角，θ叫做线线角，θ2叫做线影角。很明显，线线角是这三个角中最大的一个角。我们可以利用这个模型来求两条异面直线a 和b 所成的角，即引理中的角θ。从引理中可以看出，我们需要过a 的一个平面α，以及该平面的一条斜线b 以及b 在α内的射影。A B

C

D

E F G

P

b A B O

α