函数及其图像知识点和例题(华东师大版第17章)

17.1 变量与函数

变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。

对于x的每一个值，y都有唯一的值与之相对应，称x是自变量，y是因变量，也称y是x 的函数。

函数关系的表示方法：1.解析法，即用函数表达式表示；2.列表法；3.图像法

会用解析法表示函数关系式。

17.2 函数的图像

直角坐标系，x轴，横轴，y轴，纵轴，坐标原点，两轴的正方向；横坐标，纵坐标，坐标；第一、二、三和四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限；直角坐标系中的点与有序实数对一一对应。

会作坐标系中的点和写点的坐标。

描点法画函数图像：列表→描点→连线

会函数曲线图

17.3 一次函数

Y=kx+b，其中k、b是常数，k≠0；若b=0（K≠0）也叫做正比例函数。

记住一个结论：若某一个点(a,b)在正比例函数图像上，那么该点关于原点对称的那个点（-a,-b）也在该函数图像上；即正比例函数关于原点对称。

一次函数的图像是一条直线，正比例函数经过原点。由于两点确定一条直线，所以可以分别找出图像与坐标轴的两交点，画出过该两个点的直线即为所求图像。K为直线的斜率，b为图像在y轴上截距。

K＞0，增函数；k＜0，减函数。

用待定系数法求一次函数的表达式。由于表达式中需确定k，b两个系数的值，所以只要已知函数图像上的两个点即可列出二元一次方程组，解出两系数。

特殊值：两直线平行，则斜率k相同；两直线垂直，这斜率k值的乘积为-1.

17.4 反比例函数

Y=k/x（k≠0的常数）叫反比例函数，也叫双曲线；由于自变量x为分母，所以x不能取0；图像与坐标轴没有交点。

记住一个结论：若某一个点(a,b)在反比例函数图像上，那么该点关于原点对称的那个点（-a,-b）也在该函数图像上；即反比例函数关于原点对称。

K＞0，图像在一、三象限，减函数；K＜0，图像在二、四象限，增函数。

注意：在比较函数值的大小时，需要分段讨论，因为反比例函数只在某个象限内才是增函数或减函数，因为函数图像与x轴和y轴都没有交点。

要理解反比例函数的几何意义：反比例函数图像上的任意点与原点构成的对角线的矩形面积不变，面积都等于|k|。（见典型例题22题）。该结论常变形为，反比例函数图像上的点向x(y)轴作垂线，图像上的点、垂足和原点这三个点构成的Rt△面积为|k|/2

要记住一个结论：反比例函数y=k/x图像上的点到原点的距离，当|x|=|y|时取得最小值距离为|K|

17.5 实践与探索

1.图像的直观性特点；数形结合解方程，画出函数图像，交点即为方程组的解。

2.方程（不等式）与函数图像的关系：学会看图。

3.回归线

典型例题

1. 一次函数与一个反比例函数的图像交于P （-2,1）、Q （1，m ），求两个函数表达式。

思路：P 点→反比例函数表达式→确定Q 点中的m 值→一次函数表达式

要充分利用函数的表达式求点的坐标。

2. 将函数y=2x+3的图像平移，使其经过点（2,-1），求平移后的函数表达式。

说明：（1）由于是平移，故斜率k 不变，所以可以利用待定系数法确定截距b 值；

（2）此题可以水平平移，也可以垂直平移；

（3）此题可知，如果斜率k 确定了，直线平移可以扫描到坐标系中任意点；

如果截距b 确定了，直线旋转可以扫描到坐标系中任意点。

3. 直线y=2x/3-2，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，O 是原点。

（1） 求△AOB 的面积

（2） 过△AOB 顶点的直线把△AOB 分成面积相等的两部分，这样的直线有几条，这些

直线的函数表达式是什么？

说明：（1）要利用数形结合

（2）首先要知道过三角形顶点的直线如何把该三角形分为面积相等的两部分：等底等高的两个三角形面积相等，所以直线需要过底边的中点；

其次，如何找出该中点：中点的坐标等于两端点坐标和除以2，即X 中=（X 端点

1+X 端点2）

，Y 中=（Y 端点1+Y 端点2） 最后，两点确定一条直线，用顶点和底边中点即可确定该直线的函数表达式。 本题的延伸：1.两条相交直线与x （y ）轴围成的三角形面积。思路是先确定交点，其y （x ）坐标就是三角形的一个高；与x （y ）轴的两交点的横（纵）坐标之差的绝对值即可底边长。

2.两条相交直线与x （y ）轴围成的三角形，三条高线的函数表达式。思路是先确定斜率k 值，由于高线垂直于底边，所以底边直线与高线的斜率之积为-1；再把顶点带入利用待定系数法确定截距b 值。

4．已知平面上四点A(0，0)，B(10，0)，C(10，6)，D(0，6)，直线y ＝mx －3m ＋2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为____．

分析：此题需要先在坐标系中做出四边形（矩形），并要分析出如何把一个矩形分成面积相等的两部分，有哪些直线能把该矩形分成面积相等的两部分，这些直线有什么共同点。此题的关键就是要找出这些均分面积的直线的共同特点：经过矩形对称中心点的直线都能将矩形的面积均分。对称中心的坐标为C 点坐标的一半，即（5,3），将该点坐标带入直线y ＝mx －3m ＋2即可求出m 的值为1/2。

5. 如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x

(k ＞0)交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4。若双曲线上一点C 的纵坐标为8，(1)求△AOC 的面积．(2)过原点O 的另一条直线l 交双曲线y ＝k x

(k ＞0)于P,Q 两点（P 点在第一象限），若由点A,B,P,Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．

解：(1)∵点A 的横坐标为4，点A 在y ＝12x 上，∴点A 的纵坐标y ＝12

³4＝2，即A(4，2)．