条件概率公式

条件概率公式

条件概率的公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)；即事件A和事件B同时发生的概率等于在发生A的条件下B发生的概率乘以A的概率。由条件概率公式推导出贝叶斯公式：P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)；即,已知P(A|B)，P(A)和P(B)可以计算出P(B|A)。

假设B是由相互独立的事件组成的概率空间{B1,b2，...bn}。则P(A)可以用全概率公式展开：P(A)=P （A|B1)P(B1)+P（A|B2)P(B2)+..P （A|Bn)P(Bn)。贝叶斯公式表示成：P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/(P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+..P(A|Bn)P(Bn ))；常常把P(Bi|A)称作后验概率，而P（A|Bn)P(Bn)为先验概率。而P(Bi)又叫做基础概率。

条件概率P(B|A) 表示已知事件A发生的情况下事件B发生的概率。比如100个学生里，高数挂科的比例是30%，线代挂科的比例是25%，现在有个学生，我们知道他高数挂了，在这个条件下想求他线代也挂掉的概率，我们需要做的其实就是看看那30个高数挂科的人里有几个是线代也挂了。

我们用图形来考虑：

A发生的条件下B发生的情况就是AB发生，所以条件概率P(B|A) 就是AB在A中所占的比例。样本空间S，如果设其面积为1，那么（左侧图中）事件A和事件AB的面积在数值上就等于它们的概率

P(A), P(AB) ，则

注意：我们要区别积事件AB的概率与A发生条件下B发生的概率，二者都是在考虑A发生且B发生的情况，但前者的样本空间为S，而后者的样本空间缩小为A。条件概率就像是破案一样，先通过已知条件缩小范围，在从新的范围内寻找真凶。