2019届高考数学文科1轮复习练习：第8章 平面解析几何 7 第7讲 含解析
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程习题课件文
解析 将直线 Ax＋By－1＝0 化成斜截式 y＝－ABx＋B1. ∵B1＝－1，∴B＝－1.又直线 3x－y＝3 3的倾斜角 α＝3π， ∴直线 Ax＋By－1＝0 的倾斜角为 2α＝23π，∴斜率－AB＝ tan23π＝－ 3，∴A＝－ 3，故选 B.
线绕点 P 顺时针旋转 60°所得的直线的斜率为( )
A. 3
B．－ 3
C．0
D．1＋ 3
解析 直线 PQ 的斜率为－ 3，则直线 PQ 的倾斜角
为 120°，所求直线的倾斜角为 60°，tan60°＝ 3.故选 A.
5．在等腰三角形 AOB 中，AO＝AB，点 O(0,0)，A(1,3)， 点 B 在 x 轴的正半轴上，则直线 AB 的方程为( )
课后作业夯关 8．1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
[重点保分 两级优选练]
A级
一、选择题
1．(2018·朝阳模拟)直线 x＋ 3y＋1＝0 的倾斜角为
() π
A.6 2π
C. 3
π B.3
5π D. 6
解析 直线斜率为－ 33，即 tanα＝－ 33，0≤α<π，∴α ＝56π，故选 D.
2．(2017·正定质检)直线 xcos140°＋ysin40°＋1＝0 的倾
②若直线 m 的斜率 k＝0，则直线 m 与 x 轴没有交点， 不符合题意；
③若直线 m 的斜率 k≠0，设其方程为 y－2＝k(x－2)， 令 y＝0，得 x＝2－2k，依题意有12×2－2k×2＝2，即1－1k ＝1，解得 k＝12，所以直线 m 的方程为 y－2＝12(x－2)，即 x －2y＋2＝0.
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第8章 平面解析几何 8-5a Word版含解析
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，则m ＝4，所以圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1即为椭圆x 2＋y24＝1，易知其焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆 答案 D解析 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝916，所以sin θcos θ＝－732＜0，结合θ∈(0，π)，知sin θ>0，cos θ<0，又sin θ＋cos θ＝34＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故1－cos θ＞1sin θ＞0，因为x 2sin θ－y 2cos θ＝1可化为y 2－1cos θ＋x 21sin θ＝1，所以方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选D.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2ab a 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a ＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A. 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.12D.14答案 C解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2＋n 2.因为c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，所以c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，所以m 2＝c 4a 2，n 2＝c 4a 2＋c 22，所以2c 4a 2＋c22＝c 2，化为c 2a 2＝14，所以e ＝c a ＝12.故选C.6．(2017·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m 千米，远地点距地面n 千米，地球半径为r 千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋r )(n ＋r )千米 B.(m ＋r )(n ＋r )千米 C ．2mn 千米 D ．mn 千米答案 A解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ， 则近地点A 距地心为a －c ，远地点B 距地心为a ＋c . ∴a －c ＝m ＋r ，a ＋c ＝n ＋r ， ∴a ＝m ＋n 2＋r ，c ＝n －m 2.又∵b 2＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 2＋r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －m 22＝mn ＋(m ＋n )r ＋r 2＝(m ＋r )(n ＋r )．∴b ＝(m ＋r )(n ＋r )，∴短轴长为2b ＝2(m ＋r )(n ＋r )千米，故选A.7．(2017·九江期末)如图，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.3－1D.22答案 C解析 连接AF 1，∵F 1F 2是圆O 的直径，∴∠F 1AF 2＝90°， 即F 1A ⊥AF 2，又∵△F 2AB 是等边三角形，F 1F 2⊥AB ， ∴∠AF 2F 1＝12∠AF 2B ＝30°，因此，在Rt △F 1AF 2中，|F 1F 2|＝2c ， |F 1A |＝12|F 1F 2|＝c ，|F 2A |＝32|F 1F 2|＝3c .根据椭圆的定义，得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝(1＋3)c ，解得a ＝1＋32c ，∴椭圆的离心率为e ＝ca ＝3－1.故选C.8．(2018·郑州质检)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655 C.855 D.455答案 C解析 设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34答案 C解析 设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(a >b >0，m >1)，则切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，切线BD 的方程为y ＝k 2x ＋mb ，则由⎩⎨⎧y ＝k 1(x －ma )，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 21)x 2－2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b2＝0.因为Δ＝(2ma 3k 21)2－4(b 2＋a 2k 21)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，整理，得k 21＝b 2a 2·1m 2－1.由⎩⎨⎧y ＝k 2x ＋mb ，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 22)x 2＋2a 2mbk 2x ＋a 2m 2b 2－a 2b 2＝0，因为Δ2＝(2a 2mbk 2)2－4×(b 2＋a 2k 22)(a 2m 2b 2－a 2b 2)＝0，整理，得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)．所以k 21·k 22＝b 4a 4.因为k 1k 2＝－14，所以b 2a 2＝14，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以e ＝32，故选C.10．(2018·永康市模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．0<e ≤32 B.12≤e <1 C.32<e <1 D.32≤e <1答案 D解析 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)焦点在x 轴上， 连接OA ，OB ，OP ，依题意，O ，P ，A ，B 四点共圆， ∵∠APB ＝60°，∠APO ＝∠BPO ＝30°， 在直角三角形OAP 中，∠AOP ＝60°， ∴cos ∠AOP ＝b |OP |＝12，∴|OP |＝b12＝2b ，∴b <|OP |≤a ，∴2b ≤a ，∴4b 2≤a 2， 由a 2＝b 2＋c 2，即4(a 2－c 2)≤a 2，∴3a 2≤4c 2，即c 2a 2≥34，∴e ≥32，又0<e <1， ∴32≤e <1，∴椭圆C 的离心率的取值范围是32≤e <1.故选D. 二、填空题11．(2017·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案733解析 依据圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝x 2＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163，∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，所以P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733.12．(2018·广州二测)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为________．答案 5x 29＋5y 24＝1解析 设F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧0＋y 2＝12×1＋x 2，y －0x －1×12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝45，由于椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，所以2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝655，a ＝355，又c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝95－1＝45，所以椭圆C 的方程为x 295＋y 245＝1，即5x 29＋5y 24＝1. 13．(2018·江西五市联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，1解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b 2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a <x 1＋x 2<2a ，则2a 35(a 2－b 2)<2a ，即b 2a 2<45，所以e 2>15.又0<e <1，所以55<e <1. 14．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案 63解析 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF→＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2， 所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.B 级三、解答题15．(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6， 圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，所以⎩⎨⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2 (2,0)， |F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2<r ＝ 6.F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线，所以直线l 过焦点F 1. 设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2，由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k2＝ 6.化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2. 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.16．(2018·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△P AB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)， ∴4a 2＋1b 2＝1.∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2).点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S△P AB＝12d |AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2)＝m 2(4－m 2)≤m 2＋4－m 22＝2. 而且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值． ∴△P AB 面积的最大值为2.17．(2018·兰州模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，∴a 2－b 2＝4. ∵点B (2，2)在椭圆C 上，∴4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题意点A 的坐标为(－22，0)，设P (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则Q (－x 0，－y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，得x 0＝221＋2k 2，y 0＝22k 1＋2k2，∴直线AP 的方程为y ＝k1＋1＋2k2(x ＋22)，直线AQ 的方程为y ＝k 1－1＋2k2(x ＋22)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2， ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k 2－22k1－1＋2k 2 ＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k ，则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝2(1＋2k 2)k 2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4，令y ＝0得x ＝2或x ＝－2，即以MN 为直径的圆经过两定点P 1(－2,0)，P 2(2,0)．18．(2018·湖南十校联考)如图，设点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M ，N 是轨迹C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得， k AP ·k BP ＝yx ＋3·yx －3＝－23(x ≠±3)，化简得，点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1(x ≠±3)．(2)证明：由题意知，M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则直线AP ，BP 的斜率必存在且不为0.因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM ·k ON ＝k AP ·k BP ＝－23.设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0，①设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程①的两根，所以y 1＋y 2＝－4mt3＋2m 2，y 2y 2＝2t 2－63＋2m2.又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2， 所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，即2t 2＝2m 2＋3. 又S △MON ＝12|t ||y 1－y 2| ＝12·|t |－24t 2＋48m 2＋723＋2m 2， 所以S △MON ＝26t 24t 2＝62， 即△MON 的面积为定值62.。
2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何 8-4a
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·福建漳州八校联考)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2.因圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝，∴k m ＝－，∵直ba ab 线l 的斜率为k l ＝－＝k m ，圆心O 到直线l 的距离a b d ＝>＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离．故选C.r 2a 2＋b 2r 2r 2．(2017·河北衡水中学调研)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若a 与b 的夹角为120°，则直线6x cos α－6y sin α＋1＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝1的位置关系是( )A ．相交且不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离答案 A解析 由题意可得a ·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝|a |·|b |cos120°＝2×3×＝－3，(－12)所以圆心(cos β，－sin β)到直线6x cos α－6y sin α＋1＝0的距离d ＝＝＝<1，故直线与圆的位置关|6cos αcos β＋6sin αsin β＋1|6|－3＋1|613系是相交且不过圆心，故选A.3．(2015·重庆高考)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案 C解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，知直线l 过圆心C ，所以2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是|AC |2＝40，所以|AB |＝＝＝6.故选C.|AC |2－2240－44．(2017·湖南三模)直线l ：x ＋4y ＝2与圆C ：x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的倾斜角分别为α、β，则cos α＋cos β＝( )A.B ．－ 18171217C ．－ D.417417答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由三角函数的定义得cos α＋cos β＝x 1＋x 2，由Error!消去y ，得17x 2－4x －12＝0，则x 1＋x 2＝，417即cos α＋cos β＝.故选D.4175．(2017·湖北模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.B.(49，89)(29，49)C ．(2,0)D ．(9,0)答案 A解析 因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的动点，所以设P (9－2m ，m )，因为圆x 2＋y 2＝4的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆上，设其圆心为C ，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，则圆心C 的坐标是，(9－2m 2，m2)且半径的平方是r 2＝，(9－2m )2＋m 24所以圆C 的方程是2＋2＝，①(x －9－2m 2)(y －m 2)(9－2m )2＋m 24又x 2＋y 2＝4，②②－①得，(2m －9)x －my ＋4＝0，即公共弦AB 所在的直线方程是(2m －9)x －my ＋4＝0，即m (2x －y )＋(－9x ＋4)＝0，由Error!得x ＝，y ＝，4989所以直线AB 恒过定点，故选A.(49，89)6．过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0答案 B解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由|AB |＝8知，圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝3.当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.＝3，∴k ＝－.|3k －2|k 2＋1512此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.故选B.7．(2018·湖南四地联考)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，过点(a ，b )作圆的切线，则切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为(－1,2)，半径为.因为圆C 关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，所以圆2心C 在直线2ax ＋by ＋6＝0上，所以－2a ＋2b ＋6＝0，即b ＝a －3，所以点(a ，b )到圆心的距离d ＝＝(a ＋1)2＋(b －2)2(a ＋1)2＋(a －3－2)2＝.所以当a ＝2时，d 取最小值2a 2－8a ＋262(a －2)2＋18＝3，此时切线长最小，为＝＝4，故选C.182(32)2－(2)2168．(2017·安宁模拟)已知a ，b 是实数，若圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与直线(a ＋1)x ＋(b ＋1)y －2＝0相切，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[2－2，2＋]22B ．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)22C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)22D ．(－∞，－2]∪[2＋2，＋∞)2答案 B解析 ∵圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与直线(a ＋1)x ＋(b ＋1)y －2＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝＝1，|a ＋b |(a ＋1)2＋(b ＋1)2即ab ＝a ＋b ＋1，∴a ＋b ＋1≤，(a ＋b )24∴a ＋b ≤2－2或a ＋b ≥2＋2，故选B.229．(2017·定州市校级期末)曲线y ＝1＋与直线y ＝k (x －2)4－x 2＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A. B.(512，＋∞)(13，34]C. D.(0，512)(512，34]答案 D解析 根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，直线l 过A (2,4)，B (－2,1)，又曲线y ＝1＋图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，4－x 2当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r ，即＝2，解得k ＝；|3－2k |k 2＋1512当直线l 过B 点时，直线l 的斜率为＝，4－12－(－2)34则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的范围为.(512，34]故选D.10．(2017·晋中模拟)若圆C 1：(x －m )2＋(y －2n )2＝m 2＋4n 2＋10(mn >0)始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2的周长，则＋的最小值为( )1m 2n A. B ．9 92C ．6 D ．3答案 D解析 把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l 方程为(m ＋1)x ＋(2n ＋1)y ＋5＝0，由题意知直线l 经过圆C 2的圆心(－1，－1)，因而m ＋2n ＝3.∴＋＝(m ＋2n )＝≥(5＋4)＝3，m ＝n 1m 2n 13(1m ＋2n )13(5＋2n m ＋2m n )13时取等号．∴＋的最小值为3，故选D.1m 2n 二、填空题11．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为2，则a ＝________.3答案 1解析 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝，又a >0，结合图形，利用1a 半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝ 1a ＝1⇒a ＝1.22－(3)212．过点(，0)引直线l 与曲线y ＝相交于A ，B 两点，21－x 2O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．答案 －33解析 曲线y ＝的图象如图所示．1－x 2若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k <0，设l ：y ＝k (x －)，则点O 到l 的距离d ＝，2－2kk 2＋1又S △AOB ＝|AB |·d ＝×2·d ＝≤＝，当且仅12121－d 2(1－d 2)·d 21－d 2＋d 2212当1－d 2＝d 2，即d 2＝时，S △AOB 取得最大值．所以＝.122k 2k 2＋112∴k 2＝，∴k ＝－.133313．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若·≤20，则点P 的横坐PA→ PB → 标的取值范围是________．答案 [－5，1]2解析 设P (x ，y )，则＝(－12－x ，－y )，＝(－x ，6－y )．PA → PB→ ∵·≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，整理得：PA→ PB → x 2＋y 2＋12x －6y －20≤0，即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65.∴点P 在以(－6,3)为圆心，为半径的圆面上(包括边界)，65又∵点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，∴点P 的横坐标的取值范围为[－5，5]．22当x ＝－5时，y ＝0满足(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，2由Error!得：2x －y ＋5＝0.代入②得x 2＋4x －5＝0，x 1＝－5，x 2＝1，∴点P 的横坐标的取值范围为[－5，1]．214．已知圆C 1：(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＝1，给出下列说法：①对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终相切；②对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终有四条公切线；③当θ＝时，圆C 1被直线l ：x －y －1＝0截得的弦长为；π633④若P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为4.其中正确说法的序号为________．(填上所有正确说法的序号)答案 ①③④解析 对于①，我们知道两个圆相切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和(此时两圆半径相等，排除内切的可能)，由题意知圆C 1的半径为1，圆心为(2cos θ，2sin θ)，圆C 2的半径为1，圆心为(0,0)，所以两个圆的圆心距为＝＝2，又两圆的半径之(2cos θ－0)2＋(2sin θ－0)24cos2θ＋4sin2θ和为1＋1＝2，所以对于任意的θ，圆C 1和圆C 2始终相切，所以①正确；对于②，由①知两圆相切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误；对于③，当θ＝时，圆C 1的方程为(x －)2＋(y －1)2＝1，π63则圆C 1的圆心为(，1)，设其被直线l 所截弦为CD ，易知圆心到3直线l 的距离为＝，又圆C 1的半径为1，所以弦|3×3－1－1|(3)2＋(－1)212CD 的长为2＝，所以③正确；对于④，由①知两圆相切12－(12)23(外切)，所以两圆上点的最大距离就是两圆的直径之和，又圆C 1的直径为2，圆C 2的直径也为2，所以|PQ |的最大值为2＋2＝4，所以④正确．B 级三、解答题15．(2017·湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆心C (a,0)，则＝2⇒a ＝0或(a >－52)|4a ＋10|5a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.2k 2k 2＋1k 2－4k 2＋1若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)y 1x 1－t y 2x 2－t k (x 1－1)x 1－t k (x 2－1)x 2－t (x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒－＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为2(k 2－4)k 2＋12k 2(t ＋1)k 2＋1(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．16．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)因为圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)．(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ，M (x 0，y 0)．由Error!得(1＋m 2)x 2－6x ＋5＝0，则Δ＝36－20(1＋m 2)>0，解得－<m <，255255故x 0＝，且<x 0≤3.31＋m 253因为m ＝，所以x 0＝，y 0x 031＋(y 0x 0)2整理得2＋y ＝.(x 0－32)2094所以M 的轨迹C 的方程为2＋y 2＝.(x －32)94(53<x ≤3)(3)存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点．由(2)得M 的轨迹C 为一段圆弧，其两个端点为P ，Q ，(53，253)(53，－253)直线L ：y ＝k (x －4)过定点E (4,0)，①k PE ＝＝－，k QE ＝＝，25353－4257－25353－4257当－≤k ≤时，直线L 与曲线C 只有一个交点．257257②当直线L 与曲线C 相切时，L 的方程可化为kx －y －4k ＝0，则＝，解得k ＝±.|32k －4k |k 2＋13234综上所述，当－≤k ≤或k ＝±时，直线L 与曲线C 只有25725734一个交点．。
2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何 8-6a
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·唐山统考)“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)<0，∴k <9或k >25，∴“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2017·湖北黄冈二模)已知双曲线x 2－y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．2答案 B解析 由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∵F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B.3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1答案 D解析 设双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，①x 22a 2－y 22b2＝1.②①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∴1＝b 2a 2·－23－53，∴5a 2＝2b 2.又a 2＋b 2＝7，∴a 2＝2，b 2＝5，故选D.4．过双曲线x 2－y22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析 解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎨⎧x ＝3，x 2－y 22＝1，得y ＝±2，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k 2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2，|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k 216(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4，解得k ＝±22，故这样的直线有3条．故选C.解法二：当直线l 无斜率时同解法一，且此时与双曲线一支交于两点的情况只有一种，其他直线得到的|AB |>4.由于双曲线的实轴长为2小于4，因此与双曲线两支分别相交得到的两点都在x 轴上方或x 轴下方两种情况．综上所述，共有三条直线满足条件，故选C.5．(2016·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案 A解析 在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m .在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n .因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.由n >0，m >1可得m >n ，且m 2－2>0.从而e 21·e 22＝(m 2－1)(n 2＋1)m 2·n 2＝(m 2－1)2m 2·(m 2－2)，则e 21e 22－1＝(m 2－1)2m 2(m 2－2)－1＝1m 2(m 2－2)>0，即e 1e 2>1.故选A.6．(2017·福建龙岩二模)已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4答案 B解析 由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝ba x 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.7．(2018·湖南十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线与直线x ＝a 2c 分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB ＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，2)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，－ab c ， ∵60°＜∠AFB ＜90°，∴33＜k FB ＜1，∴33＜abc c －a 2c＜1，∴33＜a b ＜1，∴13＜a 2c 2－a2＜1，∴1＜e 2－1＜3，∴2＜e ＜2.故选B. 8．(2017·福建漳州八校联考)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为( )A.52 B ．4 C.92 D ．9答案 C解析 由题意设焦距为2c ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，①由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22，④ 将④代入③，得a 21＋a 22＝2c 2， ∴4e 21＋e 22＝4c 2a 21＋c 2a 22＝4(a 21＋a 22)2a 21＋a 21＋a 222a 22＝52＋2a 22a 21＋a 212a 22≥52＋22a 22a 21·a 212a 22＝92，当且仅当2a 22a 21＝a 212a 22，即a 21＝2a 22时，取等号．故选C. 9．(2017·青州市模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ D ．(0，＋∞)答案 A解析 设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )， 由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10， 即有m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1， 由双曲线的定义可得m －n ＝2a 2， 即有a 1＝5＋c ，a 2＝5－c (c <5)，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c ＋2c >10， 可得c >52，即有52<c <5.由离心率公式可得e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝c 225－c 2＝125c 2－1，由于1<25c 2<4，则有125c 2－1>13.则e 1·e 2的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.故选A.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1答案 D解析 ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫255b ，255b ， ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.故选D. 二、填空题11．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．答案 10解析 依题意得，点F 1(－5,0)，F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|(|PF 2|＋1)－(|PF 1|－1)|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10.12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF→＋OP→)，则双曲线的离心率为________． 答案102解析 圆x 2＋y 2＝a 24的半径为a 2，由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP的中点，设F ′(c,0)，由于O 是FF ′的中点，所以OE ⊥PF ，|OE |＝12|PF ′|⇒|PF ′|＝2|OE |＝a .由双曲线定义，|FP |＝3a ，因为FP 是圆的切线，切点为E ，所以FP ⊥OE ，从而∠FPF ′＝90°.由勾股定理，得|FP |2＋|F ′P |2＝|FF ′|2⇒9a 2＋a 2＝4c 2⇒e ＝102.13．(2018·安徽江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为________．答案 2解析 由题意取F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2.14．(2018·贵州六校联考)我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________．答案3解析 设椭圆的半长轴为a 1，椭圆的离心率为e 1， 则e 1＝c a 1，a 1＝ce 1.设双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ， e ＝c a ，a ＝ce .|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y (x >y >0)，则由余弦定理得4c 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ， 当点P 看作是椭圆上的点时， 有4c 2＝(x ＋y )2－3xy ＝4a 21－3xy ，① 当点P 看作是双曲线上的点时， 有4c 2＝(x －y )2＋xy ＝4a 2＋xy ，②①②联立消去xy ，得4c 2＝a 21＋3a 2，即4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝4，又因为1e 1＝e ，所以e 2＋3e 2＝4，整理得e 4－4e 2＋3＝0，解得e 2＝3，所以e ＝3， 即双曲线的离心率为 3.B 级三、解答题15．已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)． (2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0. 所以OA →·OB→>2. 综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2. 16．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|) ＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8， 解得k ＝0或k ＝±62，又因为－2<k <2，且k ≠±1，所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.。
2019版高考数学(文)高分计划一轮课件：第8章 平面解析几何 8-6
2．已知双曲线1x62 －y92＝1 上有一点 P，F1，F2 是双曲线 的焦点，且∠F1PF2＝3π，则△PF1F2 的面积为__9___3___．
解析 由题意，得|F1F2|＝2 16＋9＝10. ||PF1|－|PF2||＝8，
因为|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cosπ3＝100， 所以|PF1|·|PF2|＝36. 所以 S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|sinπ3＝9 3.
(1)当 a<c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 a＝c 时，P 点的轨迹是两条 射线 ； (3)当 a>c 时，P 点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
3．必记结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b. (2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴 双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (3)等轴双曲线⇔离心率 e＝ 2⇔两条渐近线 y＝±x 相 互垂直．
()
A. 3
B．3
C. 3m
D．3m
解析 由题意知，双曲线的标准方程为3xm2 －y32＝1，其
中 a2＝3m，b2＝3，故 c＝ a2＋b2＝ 3m＋3，不妨设 F 为
双曲线的右焦点，故 F( 3m＋3，0)．其中一条渐近线的方
程为
y＝
1 m
x，即 x－
my＝0，由点到直线的距离公式可
得
d＝
| 3· m＋1| ＝ 1＋－ m2
解析 设点 A(1,0)，因为△PF1F2 的内切圆与 x 轴切于 点(1,0)，则|PF1|－|PF2|＝|AF1|－|AF2|，所以 2a＝(c＋1)－(c －1)，则 a＝1.因为点 P 与点 F1 关于直线 y＝－bax对称，所 以∠F1PF2＝2π，且||PPFF12||＝ba＝b，结合|PF1|－|PF2|＝2，|PF1|2 ＋|PF2|2＝4c2＝4＋4b2，可得 b＝2.所以双曲线的方程为 x2 －y42＝1.
2019版高考数学理高分计划一轮高分讲义：第8章 平面解析几何 8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系 含解析 精品
8．4直线与圆、圆与圆的位置关系[知识梳理]1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2．设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2∶(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．(1)两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y ＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y ＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．(3)弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝(1＋k2)[(x A＋x B)2－4x A x B].[诊断自测]1．概念思辨(1)“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．()(2)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y ＝r2.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．教材衍化(1)(必修A2P128T3)直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离答案 B解析 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，而0<22<1，故选B.(2)(必修A2P 133A 组T 9)圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2， 所以，所求弦长为2 2. 3．小题热身(1)(2017·西安调研)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤ 2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.故选C.(2)(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.答案 2解析 如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt △DOB 中，∠DOB ＝60°，∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝|3×0－4×0＋5|5＝1， ∴r ＝2|OD |＝2.题型1 直线与圆的位置关系典例(2017·豫南九校联考)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定代数法，几何法．答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，则Δ＝4m 4－4(1＋m 2)(m 2－5)＝16m 2＋20＞0，所以直线l 与圆C 相交．故选A.方法技巧判断直线与圆的位置关系的常见方法1．几何法：利用d 与r 的关系．见典例1，典例2答案解法二． 2．代数法：联立方程之后利用Δ判断．见典例2答案解法一．3．点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．冲关针对训练直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2)B ．(3，3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，233 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 答案 D解析 当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m |1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1，解得m ＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1<m <233.故选D.题型2 圆与圆的位置关系典例(2017·合肥模拟)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A.62 B.32 C.94D ．2 3利用两圆外切圆心距d ＝r 1＋r 2得到a ，b 关系，再用基本不等式解决问题．答案 C解析 由圆C 1与圆C 2相外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94， 当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C.[条件探究1] 将典例中条件“外切”变为“内切”，求ab 的最大值．解 由圆C 1与圆C 2相内切，可得(a ＋b )2＝1，根据基本不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以ab 的最大值为14. [条件探究2] 将典例中条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．解 由两圆存在四条公切线，故两圆外离， (a ＋b )2＋(－2＋2)2>3，所以(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3. 又圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离 d ＝|a ＋b －1|2>1，所以直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离． 方法技巧判断圆与圆的位置关系的步骤1.确定两圆的圆心坐标和半径长；2.利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|；3.比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论． 冲关针对训练已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝( )A ．－5B ．－5或2C ．－6D ．8答案 B解析 对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则圆C 1的圆心C 1(m ，－2)，半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2(－1，m )，半径r 2＝2.如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即(m ＋1)2＋(m ＋2)2＝5，则m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2，所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切．故选B.题型3 直线与圆的综合问题角度1 直线与圆的相切问题典例(2014·江西高考)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π5B.3π4 C ．(6－25)πD.5π4设AB 的中点为C ，C 为圆心，D 为切点，|OC |＝|CD |＝r ，要使r 最小，则需2r ＝|OC |＋|CD |最小．答案 A解析 由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式，得OE ＝45.∴圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝4π5.故选A.角度2 与圆有关的弦长问题典例(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.答案 4解析 由题意可知直线l 过定点(－3，3)，该定点在圆x 2＋y 2＝12上，不妨设点A (－3，3)，由于|AB |＝23，r ＝23，所以圆心到直线AB 的距离为d ＝(23)2－(3)2＝3，又由点到直线的距离公式可得d ＝|3m －3|m 2＋1，所以|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，所以直线l 的斜率k ＝－m ＝33，即直线l 的倾斜角为30°.如图，过点C 作CH ⊥BD ，垂足为H ，所以|CH |＝23，在Rt △CHD 中，∠HCD ＝30°，所以|CD |＝23cos30°＝4.角度3 直线与圆位置关系的最值(或范围)问题典例(2017·河北石家庄一模)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34D.34 答案 D解析 由已知可得圆心到直线2ax ＋by －2＝0的距离d ＝24a 2＋b 2，则直线被圆截得的弦长为24－44a 2＋b2＝23，化简得4a 2＋b 2＝4.∴t ＝a1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2≤142[(22a )2＋(1＋2b 2)2]＝142(8a 2＋2b 2＋1)＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，即t 取最大值，此时a ＝34(舍负)．故选D.方法技巧直线与圆综合问题的求法1．圆与直线l 相切的情形：圆心到l 的距离等于半径，圆心到切点的连线垂直于l .见角度1典例．2．圆与直线l 相交的情形(1)圆心到l 的距离小于半径，过圆心而垂直于l 的直线平分l 被圆截得的弦．见角度2典例．(2)连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦．见角度3典例． (3)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．冲关针对训练(2018·甘肃兰州双基测试)已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20 答案 A解析 由题意知圆心为O (0,0)，半径为2.设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1，d 2，作OE ⊥AC ，OF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，则四边形OEMF 为矩形，连接OM ，则有d 21＋d 22＝OM 2＝3.由平面几何知识知|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22≤(4－d 21)＋(4－d 22)＝8－(d 21＋d 22)＝5，即四边形ABCD 的面积的最大值为5.故选A.1.(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 根据点到直线的距离公式得|2b |a 2＋b2＝3， 解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ 1＋b 2a 2＝2.故选A.2．(2018·安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，125 答案 A解析 因为圆心在直线y ＝2x －4上， 所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由a 2＋(2a －3)2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋(2a －3)2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.故选A. 3．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 由mx －y －2m －1＝0可得m (x －2)＝y ＋1，易知该直线过定点(2，－1)，从而点(1,0)与直线mx －y －2m －1＝0的距离的最大值为(2－1)2＋(－1－0)2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.4．(2017·广东五校协作体一模)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为________．答案 1解析 将x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0化为标准方程得(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，故a 2＋4b 2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9， 所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 29＋4b 29⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥59＋2a 29b 2×4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 29a 2，即a 2＝2b 2时等号成立， 故1a 2＋1b 2的最小值为1.[重点保分 两级优选练]一、选择题1．(2018·福建漳州八校联考)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2.因圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝b a ，∴k m ＝－ab ，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r ＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离．故选C.2．(2017·河北衡水中学调研)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若a 与b 的夹角为120°，则直线6x cos α－6y sin α＋1＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝1的位置关系是( )A ．相交且不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离答案 A解析 由题意可得a ·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝|a |·|b |cos120°＝2×3×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－3，所以圆心(cos β，－sin β)到直线6x cos α－6y sin α＋1＝0的距离d ＝|6cos αcos β＋6sin αsin β＋1|6＝|－3＋1|6＝13<1，故直线与圆的位置关系是相交且不过圆心，故选A.3．(2015·重庆高考)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案 C解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，知直线l 过圆心C ，所以2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是|AC |2＝40，所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.4．(2017·湖南三模)直线l ：x ＋4y ＝2与圆C ：x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的倾斜角分别为α、β，则cos α＋cos β＝( )A.1817 B ．－1217 C ．－417 D.417 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由三角函数的定义得cos α＋cos β＝x 1＋x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ＝2，x 2＋y 2＝1， 消去y ，得17x 2－4x －12＝0， 则x 1＋x 2＝417，即cos α＋cos β＝417.故选D.5．(2017·湖北模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49 C ．(2,0) D ．(9,0)答案 A解析 因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的动点，所以设P (9－2m ，m )，因为圆x 2＋y 2＝4的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆上，设其圆心为C ，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，则圆心C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫9－2m 2，m 2，且半径的平方是r 2＝(9－2m )2＋m24， 所以圆C 的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝(9－2m )2＋m 24，① 又x 2＋y 2＝4，②②－①得，(2m －9)x －my ＋4＝0，即公共弦AB 所在的直线方程是(2m －9)x －my ＋4＝0，即m (2x －y )＋(－9x ＋4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋4＝0，得x ＝49，y ＝89， 所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89，故选A.6．过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0 答案 B解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25， 由|AB |＝8知，圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝3.当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.则有|3k －2|k 2＋1＝3，∴k ＝－512. 此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.故选B.7．(2018·湖南四地联考)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，过点(a ，b )作圆的切线，则切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为(－1,2)，半径为 2.因为圆C 关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，所以圆心C 在直线2ax ＋by ＋6＝0上，所以－2a ＋2b ＋6＝0，即b ＝a －3，所以点(a ，b )到圆心的距离d ＝(a ＋1)2＋(b －2)2＝(a ＋1)2＋(a －3－2)2＝2a 2－8a ＋26＝2(a －2)2＋18.所以当a ＝2时，d 取最小值18＝32，此时切线长最小，为(32)2－(2)2＝16＝4，故选C. 8．(2017·安宁模拟)已知a ，b 是实数，若圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与直线(a ＋1)x ＋(b ＋1)y －2＝0相切，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[2－22，2＋2]B ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)C ．(－∞，－22]∪[22，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2＋22，＋∞) 答案 B解析 ∵圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与直线(a ＋1)x ＋(b ＋1)y －2＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝|a ＋b |(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝1， 即ab ＝a ＋b ＋1， ∴a ＋b ＋1≤(a ＋b )24，∴a ＋b ≤2－22或a ＋b ≥2＋22，故选B.9．(2017·定州市校级期末)曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，512D.⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 答案 D解析根据题意画出图形，如图所示． 由题意可得，直线l 过 A (2,4)，B (－2,1)，又曲线y ＝1＋4－x 2图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r ，即|3－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512；当直线l 过B 点时，直线l 的斜率为4－12－(－2)＝34，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34.故选D.10．(2017·晋中模拟)若圆C 1：(x －m )2＋(y －2n )2＝m 2＋4n 2＋10(mn >0)始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2的周长，则1m ＋2n 的最小值为( )A.92 B ．9 C ．6 D ．3答案 D解析 把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l 方程为(m ＋1)x ＋(2n ＋1)y ＋5＝0，由题意知直线l 经过圆C 2的圆心(－1，－1)，因而m ＋2n ＝3.∴1m ＋2n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (m ＋2n )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ＋2m n ≥13(5＋4)＝3，m ＝n 时取等号．∴1m ＋2n 的最小值为3，故选D. 二、填空题11．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为________．答案 －3或7解析 由题意可知，将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度后，所得直线l 的方程为2(x ＋1)－y ＋λ＝0.由已知条件知圆的圆心为O (－1,2)，半径为 5.解法一：直线l 与圆相切，则圆心到直线l 的距离等于圆的半径，即|2×(－1＋1)－2＋λ|5＝5，解得λ＝－3或λ＝7.解法二：设直线l 与圆相切的切点为C (x ，y )，由直线与圆相切，可知CO ⊥l ，所以y －2x ＋1×2＝－1.又C (x ，y )在圆上，满足方程x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，解得切点坐标为(1,1)或(－3,3)．又C (x ，y )在直线2(x ＋1)－y ＋λ＝0上，则λ＝－3或λ＝7.12．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．答案 －33解析 曲线y ＝1－x 2的图象如图所示．若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k <0，设l ：y ＝k (x －2)，则点O 到l 的距离d ＝－2kk 2＋1，又S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×21－d 2·d ＝(1－d 2)·d 2≤1－d 2＋d 22＝12，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以2k 2k 2＋1＝12.∴k 2＝13，∴k ＝－33.13．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 [－52，1]解析设P (x ，y )，则P A →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x ，6－y )． ∵P A →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，整理得：x 2＋y 2＋12x －6y －20≤0，即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65.∴点P 在以(－6,3)为圆心，65为半径的圆面上(包括边界)， 又∵点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，∴点P 的横坐标的取值范围为[－52，52]．当x ＝－52时，y ＝0满足(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋12x －6y －20＝0 ①，x 2＋y 2＝50 ②， 得：2x －y ＋5＝0.代入②得x 2＋4x －5＝0，x 1＝－5，x 2＝1，∴点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]．14．已知圆C 1：(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＝1，给出下列说法：①对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终相切；②对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终有四条公切线；③当θ＝π6时，圆C 1被直线l ：3x －y －1＝0截得的弦长为3；④若P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为4. 其中正确说法的序号为________．(填上所有正确说法的序号) 答案 ①③④解析 对于①，我们知道两个圆相切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和(此时两圆半径相等，排除内切的可能)，由题意知圆C 1的半径为1，圆心为(2cos θ，2sin θ)，圆C 2的半径为1，圆心为(0,0)，所以两个圆的圆心距为(2cos θ－0)2＋(2sin θ－0)2＝4cos 2θ＋4sin 2θ＝2，又两圆的半径之和为1＋1＝2，所以对于任意的θ，圆C 1和圆C 2始终相切，所以①正确；对于②，由①知两圆相切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误；对于③，当θ＝π6时，圆C 1的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，则圆C 1的圆心为(3，1)，设其被直线l 所截弦为CD ，易知圆心到直线l 的距离为|3×3－1－1|(3)2＋(－1)2＝12，又圆C 1的半径为1，所以弦CD 的长为212－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，所以③正确；对于④，由①知两圆相切(外切)，所以两圆上点的最大距离就是两圆的直径之和，又圆C 1的直径为2，圆C 2的直径也为2，所以|PQ |的最大值为2＋2＝4，所以④正确．三、解答题15．(2017·湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1. 若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k (x 1－1)x 1－t＋k (x 2－1)x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k ＋1－2k 2(t ＋1)k ＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．16．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)因为圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)．(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ，M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x ＋5＝0，y ＝mx ，得(1＋m 2)x 2－6x ＋5＝0， 则Δ＝36－20(1＋m 2)>0， 解得－255<m <255，故x 0＝31＋m 2，且53<x 0≤3. 因为m ＝y 0x 0，所以x 0＝31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0x 02， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94. 所以M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3. (3)存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点． 由(2)得M 的轨迹C 为一段圆弧，其两个端点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253， 直线L ：y ＝k (x －4)过定点E (4,0)，①k PE ＝25353－4＝－257，k QE ＝－25353－4＝257，当－257≤k ≤257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．②当直线L 与曲线C 相切时，L 的方程可化为kx －y －4k ＝0， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 综上所述，当－257≤k ≤257或k ＝±34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练及答案解析：第8章平面解析几何8-7a
[重点保分 两级优选练 ]
A级 一、选择题 1．(2017 ·皖北协作区联考 )已知抛物线 C：x2＝2py(p>0)，若直线
y＝2x 被抛物线所截弦长为 4 5，则抛物线 C 的方程为 ( )
A ． x2＝ 8y
B．x2＝ 4y
C． x2＝ 2y
D．x2＝ y
答案 C
x2＝2py，
x＝ 0，
x＝4p，
解析 由
得
或
即两交点坐标为
y＝ 2x，
y＝ 0
y＝8p，
(0,0)和(4p,8p)，则 4p 2＋ 8p 2＝4 5，得 p＝1(舍去负值 )，故抛物 线 C 的方程为 x2＝2y.故选 C.
2．(2014 ·全国卷Ⅱ )设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾 斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，则 |AB|＝( )
30 A. 3
B．6
C． 12
D．7 3
答案 C
解析
抛物线
C：y2＝3x 的焦点为
F
3 4，0 ，所以
AB －4
，将
y＝
3 3
3 x－ 4
代入
y2＝3x，消去
y 整理得
x2
21 9 － 2 x＋ 16＝ 0.设 A(x1，y1)， B(x2， y2)，由根与系数的关系得 x1＋ x2 ＝221，由抛物线的定义可得 |AB|＝x1＋x2＋p＝221＋32＝12.故选 C.
2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第8章平面解析几何 8.5 椭圆 Word版含解析
8．5 椭圆[知识梳理] 1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合语言：P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，且2a >|F 1F 2|}，|F 1F 2|＝2c ，其中a >c >0，且a ，c 为常数．注：当2a >|F 1F 2|时，轨迹为椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质图3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切； (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离． 4．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a ，最长为2a . 5．必记结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P35例3)已知椭圆的方程是x2a2＋y225＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为()A．10 B．20C．241 D．441答案 D解析因为a>5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a2－25＝42，解得a＝41.由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝441.故选D.(2)(选修A1－1P42A组T6)已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1.3．小题热身(1)(2014·大纲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y22＝1，故选A.(2)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析由已知得直线y＝3(x＋c)过M，F1两点，所以直线MF1的斜率为3，所以∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，则MF1＝c，MF2＝3c，由点M在椭圆Γ上知：c＋3c＝2a，故e＝ca＝3－1.题型1椭圆的定义及应用典例1已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为()A．2 B．3C．5 D．7应用椭圆的定义．答案 D解析根据椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，得|PF2|＝7，故选D.[条件探究]若将典例中的条件改为“F1，F2分别为左、右焦点，M是PF1的中点，且|OM|＝3”，求点P到椭圆左焦点的距离？解由M为PF1中点，O为F1F2中点，易得|PF2|＝6，再利用椭圆定义易知|PF1|＝4.典例2(2018·漳浦县校级月考)椭圆x 24＋y 2＝1上的一点P 与两焦点F 1，F 2所构成的三角形称为焦点三角形．(1)求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值； (2)设∠F 1PF 2＝θ，求证：S △F 1PF 2＝tan θ2.(1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．解 (1)设P (x ，y )，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2， ∵x 2∈[0,4]，∴34x 2－2∈[－2,1]．∴PF 1→·PF 2→的最大值为1，最小值为－2. (2)证明：由椭圆的定义可知||PF 1|＋|PF 2||＝2a ， |F 1F 2|＝2c ，设∠F 1PF 2＝θ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理可得： |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)，可得4c 2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)⇒|PF 1|·|PF 2|＝2b 21＋cos θ，即有△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝tan θ2.方法技巧椭圆定义的应用技巧1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．2．通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．见典例2.冲关针对训练1．已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析 如图，由题意知|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|P A |＋|PF |＝2且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.2．已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B ＝________.答案 54解析 由题意知，A ，C 为椭圆的两焦点，由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝2a 2c ＝a c ＝54.题型2 椭圆的标准方程及应用典例1(2018·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为坐标原点，F 1、F 2为它的两个焦点，离心率为22，过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．在未明确焦点的具体位置时，应分情况讨论．答案 x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1解析 由椭圆的定义及△ABF 2的周长知4a ＝16，则a ＝4，又ca ＝22，所以c ＝22a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8.当焦点在x 轴上时，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆C 的方程为y 216＋x 28＝1.综上可知，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1.典例2(2017·江西模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且焦距为23，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，求椭圆的方程．用待定系数法，根据已知列出方程组．解 设P (x ，y )，则|OP |2＝x 2＋y 2＝a28，由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2， 又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2， |PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2， 即a 28＋5c 2＝2a 2，整理得c 2a 2＝38， 又∵2c ＝23，∴c ＝3， ∴a 2＝8，b 2＝5.所求椭圆的方程为x 28＋y 25＝1. 方法技巧求椭圆标准方程的步骤1．判断椭圆焦点位置． 2．设出椭圆方程．3．根据已知条件，建立方程(组)求待定系数，注意a 2＝b 2＋c 2的应用．4．根据焦点写出椭圆方程．见典例1,2.提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．可简记为“先定型，再定量”．冲关针对训练已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.P 为椭圆上的一点，PF 1与y 轴相交于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，且M 为PF 1的中点，S △PF 1F 2＝32.求椭圆的方程．解 设P (x 0，y 0)∵M 为PF 1的中点，O 为F 1F 2的中点． ∴x 0＝c ，y 0＝12.PF 2∥y 轴，△PF 1F 2是∠PF 2F 1＝90°的直角三角形，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2＋14b 2＝1，12·2c ·12＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. 题型3 椭圆的几何性质典例1 (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34用方程思想．A ，M ，E 三点共线，B ，N ，M 三点共线．答案A解析 由题意知过点A 的直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，当x ＝－c 时，y ＝k (a －c )，当x ＝0时，y ＝ka ，所以M (－c ，k (a －c ))，E (0，ka )．如图，设OE 的中点为N ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ka 2，由于B ，M ，N 三点共线，所以k BN ＝k BM ，即ka2－a ＝k (a －c )－c －a ，所以12＝a －c a ＋c，即a ＝3c ，所以e ＝13.故选A.典例2 F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．由∠F 1PF 2＝90°，求出x 20＝a 2(c 2－b 2)c2后，利用x 20∈[0，a 2]求解． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析 设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)， 若∠F 1PF 2＝90°，则PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－c 2＝0. ∴x 20＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2＝c 2，∴x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2. ∵0≤x 20≤a 2，∴0≤c 2－b 2c 2≤1.∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1.[条件探究] 将典例2中条件“∠F 1PF 2＝90°”改为“∠F 1PF 2为钝角”，求离心率的取值范围．解椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c ，如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 方法技巧求解椭圆离心率(或其范围)常用的方法1．若给定椭圆的方程，则根据椭圆方程确定a 2，b 2，进而求出a ，c 的值，从而利用公式e ＝ca 直接求解．2．若椭圆的方程未知，则根据条件及几何图形建立关于a ，b ，c 的齐次等式(或不等式)，化为关于a ，c 的齐次方程(或不等式)，进而化为关于e 的方程(或不等式)进行求解．见典例1,2.冲关针对训练(2015·重庆高考)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 得2c ＝|F 1F 2| ＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)连接QF 1，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|.|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2， 因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝ (2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.题型4 直线与椭圆的综合问题角度1 利用直线与椭圆的位置关系研究椭圆的标准方程及性质典例 (2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .本题(2)用代入法列出方程，用方程组法求解．解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.角度2 利用直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的问题 典例 (2014·全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．直线与椭圆构成方程组，用设而不求的方法求弦长，再求△OPQ 的面积．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.方法技巧直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法1．合理消元，消元时可以选择消去y ，也可以消去x .见角度1典例．2．利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来． 3．构造基本不等式或利用函数知识求最值．见角度2典例． 4．涉及弦中点的问题常用“点差法”解决．冲关针对训练(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为 x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4， 解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.1.(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23 D.59答案 B解析 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴e ＝c a ＝53.故选B.2．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，所以34＋2|PF 1||PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.3．(2018·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 且与直线MN 平行，直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.答案 2 2解析 解法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN ：x ＝my ＋1，则直线PQ ：x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2.∴|PQ |＝1＋m 2|y 3－y 4|＝2 2m 2＋1m 2＋2.故|PQ |2|MN |＝2 2.解法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝2 2.4．(2015·安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b＋y b ＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，则m ＝4，所以圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1即为椭圆x 2＋y24＝1，易知其焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆 答案 D解析 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝916，所以sin θcos θ＝－732＜0，结合θ∈(0，π)，知sin θ>0，cos θ<0，又sin θ＋cos θ＝34＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故1－cos θ＞1sin θ＞0，因为x 2sin θ－y 2cos θ＝1可化为y 2－1cos θ＋x 21sin θ＝1，所以方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选D.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2ab a 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a ＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A. 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.12D.14答案 C解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2＋n 2.因为c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，所以c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，所以m 2＝c 4a 2，n 2＝c 4a 2＋c 22，所以2c 4a 2＋c22＝c 2，化为c 2a 2＝14，所以e ＝c a ＝12.故选C.6．(2017·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m 千米，远地点距地面n 千米，地球半径为r 千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋r )(n ＋r )千米 B.(m ＋r )(n ＋r )千米 C ．2mn 千米 D ．mn 千米答案 A解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ， 则近地点A 距地心为a －c ，远地点B 距地心为a ＋c . ∴a －c ＝m ＋r ，a ＋c ＝n ＋r ， ∴a ＝m ＋n 2＋r ，c ＝n －m 2.又∵b 2＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 2＋r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －m 22＝mn ＋(m ＋n )r ＋r 2＝(m ＋r )(n ＋r )．∴b ＝(m ＋r )(n ＋r )，∴短轴长为2b ＝2(m ＋r )(n ＋r )千米，故选A.7．(2017·九江期末)如图，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.3－1D.22答案 C解析 连接AF 1，∵F 1F 2是圆O 的直径，∴∠F 1AF 2＝90°， 即F 1A ⊥AF 2，又∵△F 2AB 是等边三角形，F 1F 2⊥AB ， ∴∠AF 2F 1＝12∠AF 2B ＝30°，因此，在Rt △F 1AF 2中，|F 1F 2|＝2c ， |F 1A |＝12|F 1F 2|＝c ，|F 2A |＝32|F 1F 2|＝3c .根据椭圆的定义，得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝(1＋3)c ，解得a ＝1＋32c ，∴椭圆的离心率为e ＝ca ＝3－1.故选C.8．(2018·郑州质检)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655 C.855 D.455答案 C解析 设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34答案 C解析 设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(a >b >0，m >1)，则切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，切线BD 的方程为y ＝k 2x ＋mb ，则由⎩⎨⎧y ＝k 1(x －ma )，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 21)x 2－2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b2＝0.因为Δ＝(2ma 3k 21)2－4(b 2＋a 2k 21)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，整理，得k 21＝b 2a 2·1m 2－1.由⎩⎨⎧y ＝k 2x ＋mb ，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 22)x 2＋2a 2mbk 2x ＋a 2m 2b 2－a 2b 2＝0，因为Δ2＝(2a 2mbk 2)2－4×(b 2＋a 2k 22)(a 2m 2b 2－a 2b 2)＝0，整理，得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)．所以k 21·k 22＝b 4a 4.因为k 1k 2＝－14，所以b 2a 2＝14，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以e ＝32，故选C.10．(2018·永康市模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．0<e ≤32 B.12≤e <1 C.32<e <1 D.32≤e <1答案 D解析 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)焦点在x 轴上， 连接OA ，OB ，OP ，依题意，O ，P ，A ，B 四点共圆， ∵∠APB ＝60°，∠APO ＝∠BPO ＝30°， 在直角三角形OAP 中，∠AOP ＝60°， ∴cos ∠AOP ＝b |OP |＝12，∴|OP |＝b12＝2b ，∴b <|OP |≤a ，∴2b ≤a ，∴4b 2≤a 2， 由a 2＝b 2＋c 2，即4(a 2－c 2)≤a 2，∴3a 2≤4c 2，即c 2a 2≥34，∴e ≥32，又0<e <1， ∴32≤e <1，∴椭圆C 的离心率的取值范围是32≤e <1.故选D. 二、填空题11．(2017·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案733解析 依据圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝x 2＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163，∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，所以P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733.12．(2018·广州二测)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为________．答案 5x 29＋5y 24＝1解析 设F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧0＋y 2＝12×1＋x 2，y －0x －1×12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝45，由于椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，所以2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝655，a ＝355，又c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝95－1＝45，所以椭圆C 的方程为x 295＋y 245＝1，即5x 29＋5y 24＝1. 13．(2018·江西五市联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，1解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b 2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a <x 1＋x 2<2a ，则2a 35(a 2－b 2)<2a ，即b 2a 2<45，所以e 2>15.又0<e <1，所以55<e <1. 14．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案 63解析 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF→＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2， 所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.B 级三、解答题15．(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6， 圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，所以⎩⎨⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2 (2,0)， |F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2<r ＝ 6.F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线，所以直线l 过焦点F 1. 设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2，由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k2＝ 6.化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2. 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.16．(2018·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△P AB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)， ∴4a 2＋1b 2＝1.∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2).点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S△P AB＝12d |AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2)＝m 2(4－m 2)≤m 2＋4－m 22＝2. 而且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值． ∴△P AB 面积的最大值为2.17．(2018·兰州模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，∴a 2－b 2＝4. ∵点B (2，2)在椭圆C 上，∴4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题意点A 的坐标为(－22，0)，设P (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则Q (－x 0，－y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，得x 0＝221＋2k 2，y 0＝22k 1＋2k2，∴直线AP 的方程为y ＝k1＋1＋2k2(x ＋22)，直线AQ 的方程为y ＝k 1－1＋2k2(x ＋22)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2， ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k 2－22k1－1＋2k 2 ＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k ，则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝2(1＋2k 2)k 2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4，令y ＝0得x ＝2或x ＝－2，即以MN 为直径的圆经过两定点P 1(－2,0)，P 2(2,0)．18．(2018·湖南十校联考)如图，设点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M ，N 是轨迹C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得， k AP ·k BP ＝yx ＋3·yx －3＝－23(x ≠±3)，化简得，点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1(x ≠±3)．(2)证明：由题意知，M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则直线AP ，BP 的斜率必存在且不为0.因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM ·k ON ＝k AP ·k BP ＝－23.设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0，①设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程①的两根，所以y 1＋y 2＝－4mt3＋2m 2，y 2y 2＝2t 2－63＋2m2.又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2， 所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，即2t 2＝2m 2＋3. 又S △MON ＝12|t ||y 1－y 2| ＝12·|t |－24t 2＋48m 2＋723＋2m 2， 所以S △MON ＝26t 24t 2＝62， 即△MON 的面积为定值62.。
2019版高考数学理高分计划一轮狂刷练：第8章 平面解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·上海模拟)图中曲线的方程可以是( ) A ．(x ＋y －1)·(x 2＋y 2－1)＝0 B.x ＋y －1·(x 2＋y 2－1)＝0 C ．(x ＋y －1)·x 2＋y 2－1＝0 D.x ＋y －1·x 2＋y 2－1＝0 答案 C解析 由图象可知曲线的方程可以是x 2＋y 2＝1或x ＋y －1＝0(x 2＋y 2≥1)，故选C.2．(2017·保定二模)若点P (x ，y )坐标满足ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1y ＝|x －1|，则点P的轨迹图象大致是( )答案 B解析 由题意，x ＝1时，y ＝1，故排除C ，D ；令x ＝2，则y ＝±1e ，排除A.故选B.3．(2018·安徽模拟)点集{(x ，y )|(|x |－1)2＋y 2＝4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是( )A.16π3＋2 3B.16π3＋4 3 C.24π3＋2 3 D.24π3＋4 3 答案 A解析 点集{(x ，y )|(|x |－1)2＋y 2＝4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x ，y 轴对称，如图所示．由图可得面积S ＝S 菱形＋43S 圆＝12×23×2＋43×π×4＝16π3＋2 3.故选A.4．(2018·沈阳月考)在△ABC 中，B (－5，0)，C (5，0)，AB ，AC 边上的中线长之和为9.则△ABC 重心G 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 29＝1(y ≠0)B.x 29＋y 24＝1(y ≠0)C.x 24－y 2＝1(y ≠0) D ．x 2－y24＝1(y ≠0)答案 B解析 设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ， ∵BG ＝23BE ，CG ＝23CD ，∴BG ＋CG ＝23(BE ＋CD )＝6(定值)．因此，G 的轨迹为以B ，C 为焦点的椭圆，2a ＝6，c ＝5， ∴a ＝3，b ＝2，可得椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.∵当G 点在x 轴上时，A ，B ，C 三点共线，不能构成△ABC .∴G 的纵坐标不能是0，可得△ABC 的重心G 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1(y ≠0)．故选B.5．(2018·大武口期末)已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，则点M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝x －1 B ．y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12C ．y 2＝2(x －1) D ．y 2＝x －12答案 D解析 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易求y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)．∵M 是FQ 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝1＋x 22，y ＝y 22⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x －1，y 2＝2y ， 又Q 是OP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 12，y 2＝y 12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 2＝4x －2，y 1＝2y 2＝4y .∵P 在抛物线y 2＝4x 上，∴(4y )2＝4(4x －2)， 所以M 点的轨迹方程为y 2＝x －12.故选D.6．(2017·河北衡水中学期中)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 答案 D解析 将圆F 改写成标准方程(x －1)2＋y 2＝12，则圆心F 的坐标为(1,0)，半径r ＝23，由题意可知|P A |＝|PB |.又点P 在圆F 的半径BF 上，故|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝23>2＝|AF |，所以动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点，23为长轴长的椭圆，则2a ＝23，2c ＝2，所以b ＝ 2.故动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1.故选D.7．(2018·宜城期末)已知过定点C (2，0)的直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，作OE ⊥AB 于E .则点E 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠0)B ．x 2＋y 2－2x ＝0(y ≠0)C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0(y ≠0) 答案 A解析 直线l 过定点C (2,0)， ∵O (0,0)，C (2,0)，OE ⊥CE ， ∴△OEC 为直角三角形，∴点E 的轨迹是以线段OC 为直径的圆除去点O ，故点E 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0)，即x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠0)．故选A.8．(2017·津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1，3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x 10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.9．(2017·湖北期中)已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C ，给出以下四个判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆； ②当t >4或t <1时曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则t >4. 其中判断正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由4－t ＝t －1，可得t ＝52，方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示圆，故①不正确；由双曲线的定义可知：当(4－t )(t －1)<0时，即t <1或t >4时，方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示双曲线，故②正确； 由椭圆定义可知：当椭圆在x 轴上时，满足4－t >t －1>0，即1<t <52时，方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，故③正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －1<0，∴t <1，故④不正确，故选B.10．(2018·北京模拟)如图所示，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为( )答案 C解析 依题意可知P 到点B 的距离等于到直线A 1B 1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是以B 为焦点，以A 1B 1为准线的过A 的抛物线的一部分．A 的图象为直线的图象，排除A.B 项中B 不是抛物线的焦点，排除B. D 项不过A 点，D 排除．故选C. 二、填空题11．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. y ＝y 1＋y 2＝4k ，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．当直线斜率不存在时，MN 的方程为x ＝1，P (2,0)在曲线y 2＝4(x －2)上．12．设x ，y ∈R ，i ，j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，向量a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8，则点M (x ，y )的轨迹方程为________．答案 x 212＋y 216＝1解析 由已知得a ＝(x ，y ＋2)，b ＝(x ，y －2)，而|a |＋|b |＝8，故有x 2＋(y ＋2)2＋x 2＋(y －2)2＝8①，由①式知动点M (x ，y )到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和为一常数，满足椭圆的定义，故M 点轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，椭圆的长半轴长a ＝4，所以短半轴长b ＝23，故其轨迹方程为x 212＋y 216＝1.13．(2018·中原名校联考)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同于A 1，A 2的两个不同的动点，则直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹方程为________．答案 x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2)解析 由题设知|x 1|>2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，①直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，∴⎩⎨⎧x 1＝2x ，y 1＝2y x ，③∴x ≠0，且|x |<2，因为点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，所以x 212－y 21＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2)．14．(2018·山西太原模拟)已知圆O 1：(x －2)2＋y 2＝16和圆O 2：x 2＋y 2＝r 2(0<r <2)，动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切，动圆圆心M 的轨迹为两个椭圆，设这两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)，则e 1＋2e 2的最小值为________．答案 3＋224解析 设动圆M 的半径为R .动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切有两种情况，一是与圆O 1内切、与圆O 2外切，二是与圆O 1和圆O 2都内切．相切都可以转化为圆心距问题．第一种情况，d MO 1＝4－R ，d MO 2＝r ＋R ，d MO 1＋d MO 2＝4＋r ，为定值，且O 1O 2＝2.故由椭圆的定义可知，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4＋r2，c ＝1.同理，第二种情况，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4－r2，c ＝1. ∵两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)， ∴e 1＝24－r ，e 2＝24＋r.∴e 1＋2e 2＝24－r ＋44＋r ＝2(4＋r )＋4(4－r )(4－r )(4＋r )＝24－2r 16－r 2＝2(12－r )－(12－r )2＋24(12－r )－128＝2－(12－r )－12812－r＋24 ≥2－2(12－r )·12812－r ＋24 ＝2－162＋24＝22＋34， 当且仅当12－r ＝12812－r，即r ＝12－82时，取“＝”． 所以e 1＋2e 2的最小值为3＋224.三、解答题15．(2018·安徽合肥模拟)如图，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0. 设切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212， 代入y 2＝2x 得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0， 解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12， 同理，l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎨⎧ x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22.①∵直线CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,2 2 ]，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－8x ，y 0＝8y x ，代入x 20＋y 20＝8得x 28－y 2＝1. 考虑到x 0∈[2,2 2 ]，则x ∈[－4，－2 2 ]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－2 2 ]．16．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得2×12|b －a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E (1,0)满足方程y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.。
2019版高考数学理高分计划一轮高分讲义：第8章 平面解
8．8曲线与方程[知识梳理]求曲线方程的基本步骤[诊断自测]1．概念思辨(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.()(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．教材衍化(1)(选修A2－1P 36例3)到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( )A ．y ＝16x 2B ．y ＝－16x 2C ．x 2＝16yD ．x 2＝－16y答案 C解析 由题意可知动点M 到点F (0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，则点M 的轨迹为抛物线，故选C.(2)(选修A2－1P 35例1)到两坐标轴距离之积等于2的点的轨迹方程为________．答案 y ＝±2x解析 根据题意，设动点为M ，其坐标为(x ，y )，而动点M 到两坐标轴距离之积等于2，即|x |×|y |＝2，变形可得y ＝±2x ，故到两坐标轴距离之积等于2的点的轨迹方程为y ＝±2x .3．小题热身(1)(2018·银川模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1.又∵|P A |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.故选D.(2)(2017·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．答案 y ＝2x －2解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.题型1 定义法求轨迹方程典例(2017·大庆模拟)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．用定义法．答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，则有|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |.又|MA |＝|MB |，所以|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2，即动点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数2，且2<|C 1C 2|＝6，|MC 2|>|MC 1|，故动圆圆心M 的轨迹为以定点C 2，C 1为焦点的双曲线的左支，则2a ＝2，所以a ＝1.又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8.设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．[条件探究] 将本例条件变为：“圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆C 1外切且与圆C 2内切”，求圆心P 的轨迹方程．解 因为圆P 与圆C 1外切且与圆C 2内切，所以|PC 1|＋|PC 2|＝(R ＋1)＋(3－R )＝4，由椭圆的定义可知，曲线是以C 1，C 2为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．方法技巧定义法求轨迹方程的适用条件及关键点1．求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．见典例．2．理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．3．利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．见典例．冲关针对训练已知圆C 与两圆x 2＋(y ＋4)2＝1，x 2＋(y －2)2＝1外切，圆C 的圆心轨迹方程为L ，设L 上的点与点M (x ，y )的距离的最小值为m ，点F (0,1)与点M (x ，y )的距离为n .(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程．解 (1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C 1(0，－4)，C 2(0,2)，由题意得|CC 1|＝|CC 2|，可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，C 1C 2的中点为(0，－1)，直线C 1C 2的斜率不存在，故圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，其方程为y ＝－1，即圆C 的圆心轨迹L 的方程为y ＝－1.(2)因为m ＝n ，所以M (x ，y )到直线y ＝－1的距离与到点F (0,1)的距离相等，故点M 的轨迹Q 是以y ＝－1为准线，点F (0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而p 2＝1，即p ＝2，所以轨迹Q 的方程是x 2＝4y .题型2 直接法求轨迹方程典例(2014·广东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解 (1)由题意知c ＝5，c a ＝53，所以a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4，故椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设两切线为l 1，l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时，对应l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴，可知P (±3，±2)．②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3.设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为－1k ，故l 1的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立x 29＋y 24＝1，得(9k 2＋4)x 2＋18(y 0－kx 0)kx ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0.因为直线l 1与椭圆C 相切，所以Δ＝0，得9(y 0－kx 0)2k 2－(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，所以－36k 2＋4[(y 0－kx 0)2－4]＝0，所以(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0，所以k 是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的一个根，同理－1k 是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的另一个根， 所以k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝y 20－4x 20－9，得x 20＋y 20＝13，其中x 0≠±3， 所以此时点P 的轨迹方程为x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)．因为P (±3，±2)满足x 20＋y 20＝13， 综上可知，点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.方法技巧直接法求曲线方程的关键点和注意点1．关键点：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略．2．注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．提醒：对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可以省略，必要时可说明x ，y 的取值范围．冲关针对训练已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OM |＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝3，所以b ＝7，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]．由已知|OP |2|OM |2＝λ2及点P 在椭圆C 上，可得9x 2＋11216(x 2＋y 2)＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4，4]．①当λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段．②当λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]． 当0<λ<34时，点M 的轨迹为中心在原点，实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分；当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆. 题型3 相关点法(代入法)求轨迹方程典例1 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0)B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0)答案 C解析 依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎨⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y ，代入x 204＋y 203＝1， 得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．典例2 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)；由曲线的对称性，得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)，③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④ 将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．[结论探究] 典例2中试求t 的值，使矩形ABCD 的面积最大，并求出此最大值．解 设A (x 0，y 0)，则S 矩形＝4|x 0y 0|，由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209，从而x 20y 20＝x 20⎝⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94， 当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6，此时t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝ 5.所以当t ＝5时，矩形ABCD 的面积取到最大值6.方法技巧相关点法求轨迹方程的一般步骤1．分析题目：与动点M (x ，y )相关的点P (x 0，y 0)在已知曲线上运动；2．寻求关系式x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y )；3．将x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y )代入已知曲线方程；4．整理关于x ，y 的关系式得M 的轨迹方程．冲关针对训练已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F .(1)点A ，P 满足AP →＝－2F A →.当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程；(2)在x 轴上是否存在异于原点的点Q ，使得点Q 关于直线y ＝2x 的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，点A 的坐标为(x A ，y A )，则AP →＝(x －x A ，y －y A )．因为F 的坐标为(1,0)，所以F A →＝(x A －1，y A )．由AP →＝－2F A →，得(x －x A ，y －y A )＝－2(x A －1，y A )，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －x A ＝－2(x A －1)，y －y A ＝－2y A ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝2－x ，y A ＝－y .代入y 2＝4x ，得到动点P 的轨迹方程为y 2＝8－4x .(2)假设存在这样的点Q ，其坐标为(t,0)，点Q 关于直线 y ＝2x 的对称点Q ′(x ，y )，则⎩⎨⎧y x －t＝－12，y2＝x ＋t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ，y ＝45t ，由Q ′在抛物线C 上，将Q ′的坐标代入y 2＝4x ，得4t 2＋15t ＝0，即t ＝0或t ＝－154.所以存在满足题意的点Q ，其坐标为(0,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－154，0.点(0,0)不符合题意．所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154，0. 题型4 参数法求轨迹方程典例如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足DM →＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解 (1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM →＝12DP →知P (x,2y )， ∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C为椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k2， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2， 又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎨⎧x ＝24k 21＋4k2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0，由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0得， k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <83.方法技巧参数法求轨迹方程的一般步骤1．选取参数k ，用k 表示动点M 的坐标；2．写出动点M 的轨迹的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (k )，y ＝g (k )；3．消参数k ，得M 的轨迹方程；4．由k 的范围确定x ，y 的范围，确保完备性与纯粹性．冲关针对训练设椭圆方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 是坐标原点，l 上的动点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．解 设点P 的坐标为(x ，y )， 因A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆上，所以x 21＋y 214＝1.① x 22＋y 224＝1.②①－②，得x 21－x 22＋14(y 21－y 22)＝0，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋14(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 当x 1≠x 2时，有x 1＋x 2＋14(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0.③并且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，y －1x ＝y 1－y 2x 1－x2，④将④代入③并整理，得4x 2＋y 2＝y .⑤当x 1＝x 2时，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)． 这时点P 的坐标为(0,0)，也满足⑤. 所以点P 的轨迹方程为x 2116＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12214＝1.1.(2018·开封模拟)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OP →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫OF 1→＋OQ →(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 答案 D解析 因为点P 满足OP →＝12(OF 1→＋OQ →)，所以P 是线段QF 1的中点，由于F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，则F 1(－6，0)，设P (x ，y )，则Q (2x ＋6，2y )．由点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，得点P 的轨迹方程为(2x ＋6)216＋(2y )25＝1，可知点P 的轨迹为椭圆．故选D. 2．(2018·湖南东部六校联考)已知两定点A (0，－2)，B (0，2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP →＝( )A ．－12B ．12C ．－9D ．9 答案 D解析 设P (x ，y )．由|AP →|－|BP →|＝2可得点P 在以两定点A ，B 为焦点的双曲线的上支，其中2a ＝2，c ＝2，∴b ＝ 3.∴点P (x ，y )满足方程y 2－x23＝1(y ≥1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 216＝1，y 2－x 23＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝4，所以AP ·BP ＝(x ，y ＋2)·(x ，y －2)＝x 2＋y 2－4＝9＋4－4＝9，故选D.3．(2017·豫北名校联考)已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)解析 设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又∵|CD |＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．4．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则 OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP ·PQ ＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·上海模拟)图中曲线的方程可以是( ) A ．(x ＋y －1)·(x 2＋y 2－1)＝0 B.x ＋y －1·(x 2＋y 2－1)＝0 C ．(x ＋y －1)·x 2＋y 2－1＝0 D.x ＋y －1·x 2＋y 2－1＝0 答案 C解析 由图象可知曲线的方程可以是x 2＋y 2＝1或x ＋y －1＝0(x 2＋y 2≥1)，故选C.2．(2017·保定二模)若点P (x ，y )坐标满足ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1y ＝|x －1|，则点P的轨迹图象大致是( )答案 B解析 由题意，x ＝1时，y ＝1，故排除C ，D ；令x ＝2，则y ＝±1e ，排除A.故选B.3．(2018·安徽模拟)点集{(x ，y )|(|x |－1)2＋y 2＝4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是( )A.16π3＋2 3B.16π3＋4 3 C.24π3＋2 3 D.24π3＋4 3 答案 A解析 点集{(x ，y )|(|x |－1)2＋y 2＝4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x ，y 轴对称，如图所示．由图可得面积S ＝S 菱形＋43S 圆＝12×23×2＋43×π×4＝16π3＋2 3.故选A.4．(2018·沈阳月考)在△ABC 中，B (－5，0)，C (5，0)，AB ，AC 边上的中线长之和为9.则△ABC 重心G 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 29＝1(y ≠0)B.x 29＋y 24＝1(y ≠0)C.x 24－y 2＝1(y ≠0) D ．x 2－y24＝1(y ≠0)答案 B解析 设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ， ∵BG ＝23BE ，CG ＝23CD ，∴BG ＋CG ＝23(BE ＋CD )＝6(定值)．因此，G 的轨迹为以B ，C 为焦点的椭圆，2a ＝6，c ＝5， ∴a ＝3，b ＝2，可得椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.∵当G 点在x 轴上时，A ，B ，C 三点共线，不能构成△ABC .∴G 的纵坐标不能是0，可得△ABC 的重心G 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1(y ≠0)．故选B.5．(2018·大武口期末)已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，则点M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝x －1B ．y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －12C ．y 2＝2(x －1) D ．y 2＝x －12答案 D解析 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易求y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)．∵M 是FQ 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝1＋x 22，y ＝y 22⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x －1，y 2＝2y ，又Q 是OP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 12，y 2＝y 12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 2＝4x －2，y 1＝2y 2＝4y .∵P 在抛物线y 2＝4x 上，∴(4y )2＝4(4x －2)， 所以M 点的轨迹方程为y 2＝x －12.故选D.6．(2017·河北衡水中学期中)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 答案 D解析 将圆F 改写成标准方程(x －1)2＋y 2＝12，则圆心F 的坐标为(1,0)，半径r ＝23，由题意可知|P A |＝|PB |.又点P 在圆F 的半径BF 上，故|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝23>2＝|AF |，所以动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点，23为长轴长的椭圆，则2a ＝23，2c ＝2，所以b ＝ 2.故动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1.故选D.7．(2018·宜城期末)已知过定点C (2，0)的直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，作OE ⊥AB 于E .则点E 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠0)B ．x 2＋y 2－2x ＝0(y ≠0)C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0(y ≠0) 答案 A解析 直线l 过定点C (2,0)， ∵O (0,0)，C (2,0)，OE ⊥CE ， ∴△OEC 为直角三角形，∴点E 的轨迹是以线段OC 为直径的圆除去点O ，故点E 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0)，即x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠0)．故选A.8．(2017·津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1，3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x 10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.9．(2017·湖北期中)已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C ，给出以下四个判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆； ②当t >4或t <1时曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则t >4. 其中判断正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由4－t ＝t －1，可得t ＝52，方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示圆，故①不正确；由双曲线的定义可知：当(4－t )(t －1)<0时，即t <1或t >4时，方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示双曲线，故②正确； 由椭圆定义可知：当椭圆在x 轴上时，满足4－t >t －1>0，即1<t <52时，方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，故③正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －1<0，∴t <1，故④不正确，故选B.10．(2018·北京模拟)如图所示，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为( )答案 C解析 依题意可知P 到点B 的距离等于到直线A 1B 1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是以B 为焦点，以A 1B 1为准线的过A 的抛物线的一部分．A 的图象为直线的图象，排除A.B 项中B 不是抛物线的焦点，排除B. D 项不过A 点，D 排除．故选C. 二、填空题11．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. y ＝y 1＋y 2＝4k ，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．当直线斜率不存在时，MN 的方程为x ＝1，P (2,0)在曲线y 2＝4(x －2)上．12．设x ，y ∈R ，i ，j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，向量a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8，则点M (x ，y )的轨迹方程为________．答案 x 212＋y 216＝1解析 由已知得a ＝(x ，y ＋2)，b ＝(x ，y －2)，而|a |＋|b |＝8，故有x 2＋(y ＋2)2＋x 2＋(y －2)2＝8①，由①式知动点M (x ，y )到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和为一常数，满足椭圆的定义，故M 点轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，椭圆的长半轴长a ＝4，所以短半轴长b ＝23，故其轨迹方程为x 212＋y 216＝1.13．(2018·中原名校联考)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同于A 1，A 2的两个不同的动点，则直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹方程为________．答案 x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2)解析 由题设知|x 1|>2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，①直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，∴⎩⎨⎧x 1＝2x ，y 1＝2y x ，③∴x ≠0，且|x |<2，因为点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，所以x 212－y 21＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2)．14．(2018·山西太原模拟)已知圆O 1：(x －2)2＋y 2＝16和圆O 2：x 2＋y 2＝r 2(0<r <2)，动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切，动圆圆心M 的轨迹为两个椭圆，设这两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)，则e 1＋2e 2的最小值为________．答案 3＋224解析 设动圆M 的半径为R .动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切有两种情况，一是与圆O 1内切、与圆O 2外切，二是与圆O 1和圆O 2都内切．相切都可以转化为圆心距问题．第一种情况，d MO 1＝4－R ，d MO 2＝r ＋R ，d MO 1＋d MO 2＝4＋r ，为定值，且O 1O 2＝2.故由椭圆的定义可知，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4＋r2，c ＝1.同理，第二种情况，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4－r2，c ＝1. ∵两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)， ∴e 1＝24－r ，e 2＝24＋r.∴e 1＋2e 2＝24－r ＋44＋r ＝2(4＋r )＋4(4－r )(4－r )(4＋r )＝24－2r 16－r 2＝2(12－r )－(12－r )2＋24(12－r )－128 ＝2－(12－r )－12812－r＋24≥2－2(12－r )·12812－r＋24＝2－162＋24＝22＋34， 当且仅当12－r ＝12812－r ，即r ＝12－82时，取“＝”．所以e 1＋2e 2的最小值为3＋224. 三、解答题15．(2018·安徽合肥模拟)如图，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0. 设切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x 得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理，l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22.①∵直线CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,2 2 ]，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8x ，y 0＝8y x ，代入x 20＋y 20＝8得x 28－y 2＝1. 考虑到x 0∈[2,2 2 ]，则x ∈[－4，－2 2 ]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－2 2 ]． 16．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ； (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba ＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得2×12|b －a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E (1,0)满足方程y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.。
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1．(2018·广州七校联考)抛物线
1
4
x
2
＝y的焦点坐标是________．
[解析]由
1
4
x
2＝y⇒x2
＝4y，于是焦点坐标为(0，1)．
[答案](0，1)
2．(2018·连云港模拟)顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(－4，－2)的抛物线方程是________．
[解析]设抛物线方程为x
2＝my，将点P(－4，－2)代入x2
＝my，得m＝－8.
所以抛物线方程是x2＝－8y.
[答案]x
2
＝－8y
3．抛物线的焦点为椭圆
x29＋y
2
4
＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________．
[解析]由c
2
＝9－4＝5得F(－5，0)，
则抛物线方程为y2＝－45x.
[答案]y
2
＝－45x
4．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF＝54x0，则x0＝________．
[解析]由题意知抛物线的准线为x＝－14.因为AF＝54x0，根据抛物线的定义可得x0＋14＝AF＝54x0，解得x
0
＝1.
[答案]1
5．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________
米．
[解析]以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x
2
＝－2py(p>0)，由题意知抛物线过点(2，
－2)，代入方程得p＝1，则抛物线的方程为x2＝－2y，当水面下降1米时，为y＝－3，代入抛物线方程得x＝
±6，所以此时水面宽为26米．
[答案]26
6．(2018·云南省第一次统一检测)已知抛物线C的方程为y
2＝2px(p>0)，⊙M的方程为x2＋y2
＋8x＋12＝0，
如果抛物线C的准线与⊙M相切，那么p的值为________．
[解析]将⊙M的方程化为标准方程：(x＋4)
2＋y2
＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r＝2，又因为抛物线的准
线方程为x＝－p2，所以|4－p2|＝2，p＝12或4.
[答案]12或4