【配套K12】2018版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6.1数列的概念与简单表示法教师用书

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高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法第1讲数列的概念与简单表示法课件

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角度一数列的单调性已知{an}是递增数列，且对于任意的 n∈N*，an＝n2＋
λn 恒成立，则实数 λ 的取值范围是________．【解析】 {an}是递增数列，所以对任意的 n∈N*，都有 an＋1 ＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得 2n＋1＋λ＞0，即 λ＞－(2n＋1)．(*) 因为 n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需 λ＞－3. 【答案】 (－3，＋∞)
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(2)当 n≥2，n∈N*时， an＝a1×aa21×aa32×…×aan－n 1 ＝1×21×32×…×nn－－23×nn－－12×n－n 1＝n，当 n＝1 时，也符合上式，所以该数列的通项公式为 an＝n.
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若数列 {an} 的通项公式为
an
＝
n n＋1
，
那
么
这
个
数
列
是
__________数列．(填“递增”或“递减”或“摆动”)
解析：法一：令 f(x)＝x＋x 1，则 f(x)＝1－x＋1 1在(0，＋∞)上是增函数，则数列{an}是递增数列．法二：因为 an＋1－an＝nn＋＋12－n＋n 1＝（n＋1）1（n＋2）＞0，
SnSn＋1，则 Sn＝________．【解析】由已知得 an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，两边同时除以 Sn＋1Sn，得Sn1＋1－S1n＝－1，故数列S1n是以－1 为首项，－1 为公差的等差数列，则S1n＝－1－(n－1)＝－n，所以 Sn＝－n1. 【答案】－n1

高考数学大一轮复习第六章数列6.1数列的概念与简单表示法课件文新人教版

2，n＝1， 5.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝__2_n_－__1_，__n_≥__2_. 答案
当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，故 an＝22，n－n＝1，1，n≥2.
题型分类深度剖析
2an，0≤an≤12，

2an－1，12＜an＜1，
a1＝35，则数列的第
2
015
2 项为____5____.
答案解析
(2)设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是答案
16
13
A. 3
B. 3
C.4
D.0
∵an＝－3n－522＋34，由二次函数性质，得当 n＝2 或 3 时， an 最大，最大值为 0.
跟踪训练1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. (1)－1,7，－13,19，…；解答
数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).
(2)0.8,0.88,0.888，…；解答数列变为891－110，891－1102，891－1103，…，故 an＝891－110n.
(3)12，14，－58，1163，－3229，6614，…. 解答
各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子
分别比分母小3. 2－3
因此把第 1 项变为－ 2 ， 21－3 22－3 23－3 24－3
原数列化为－ 21 ， 22 ，－ 23 ， 24 ，…，故 an＝(－1)n2n2－n 3.
按项与项间的大小关系分类

高考数学大一轮复习第六章数列6.1数列的概念与简单表示法教师用书文苏教版

6.1 数列的概念与简单表示法1.数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.【知识拓展】1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2.在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列.( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ )1.(教材改编)下列有四种说法，其中正确的说法是 .(填序号) ①数列a ，a ，a ，…是无穷数列；②数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列；③数列{f (n )}可以看作是一个定义域为正整数N *或它的有限子集{1,2，…，n }的函数值； ④已知数列{a n }，则数列{a n ＋1－a n }也是一个数列. 答案 ①②④解析题中①④显然正确；对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不一定是递减数列；对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N *或它的有限子集{1,2，…，n }的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确. 2.(教材改编)数列1,2，7，10，13，…中的第26项为 . 答案 219解析 ∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，∴a n ＝3n －2，∴a 26＝3×26－2＝76＝219.3.(教材改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－na n －1(n ≥2)，则a 5＝ .答案 23解析 a 2＝1＋－2a 1＝2， a 3＝1＋－3a 2＝1＋－2＝12， a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1＋－a 4＝23. 4.(教材改编)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 16＝ .答案 12解析由题意知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，a 16＝a 3×5＋1＝a 1＝12.5.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)(2016·南京模拟)数列1,3,6,10，…的通项公式是 . (2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的通项公式是a n ＝ .答案 (1)a n ＝n n ＋2 (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，…第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋2.∴a n ＝n n ＋2.(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5). (2)数列变为89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，…，故a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n －32n .题型二由a n 与S n 的关系求通项公式例 2 (1)(2016·南通模拟)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n＝ . 答案 (－2)n －1解析由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n－1.(2)已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式. ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n＋b . 解 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式；当b ≠－1时，a 1不适合此等式. ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.思维升华已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1； (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为 .(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，则其通项a n ＝；若它的第k 项满足5<a k <8，则k ＝ .答案 (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2 (2)2n －10 8解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，n ＝1，2n －10，n ≥2.又∵－8也适合a n ＝2n －10，∴a n ＝2n －10，n ∈N *. 由5<2k －10<8，∴7.5<k <9，∴k ＝8. 题型三由数列的递推关系求通项公式例3 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式. (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，∴a n －a n －1＝ln(1＋1n －1)＝ln n n －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnnn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2 ＝2＋ln(nn －1.n －1n －2 (3)2·2) ＝2＋ln n (n ≥2).又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *). (2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22.n n -又a 1＝1适合上式，故a n ＝(1)22n n(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列. (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列. (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解. (4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解.(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a n ＝ . (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝ . 答案 (1)1n(2)16解析 (1)∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2，故a 5＝a 1×q 4＝24＝16. 题型四数列的性质命题点1 数列的单调性例4 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是数列.(填“递减”“递增”或“常”) 答案递增解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列. 命题点2 数列的周期性例5 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝ . 答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12. 命题点3 数列的最值例6 若数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项的值是 .答案119解析令f (x )＝x ＋90x(x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大.思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列. ②用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断. ③结合相应函数的图象直观判断. (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.(1)(2016·哈尔滨模拟)若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 015项为 . (2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是 . 答案 (1)25(2)0解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25， a 4＝2×25＝45， a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 015＝a 503×4＋3＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.12.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·(1011)n，则此数列的最大项是第项.(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是 . 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析. 解析 (1)∵a n ＋1－a n＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ×9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9、10项. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4，即k >－1－2n ，又n ∈N *，所以k >－3.答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1.数列23，－45，67，－89，…的第10项是 .答案－2021解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 2.(2016·苏州模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R .当x <0，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立.若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f －2－a n(n ∈N *)，则a 2 015的值为 . 答案 4 029解析根据题意，不妨设f (x )＝(12)x，则a 1＝f (0)＝1，∵f (a n ＋1)＝1f－2－a n，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∴a 2 015＝4 029.3.(2016·无锡月考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a nn 为正奇数，a n ＋n 为正偶数，则其前6项之和为 . 答案 33解析 a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.4.若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018＝ . 答案 3 解析由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12， a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23， a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3， ∴数列{a n }具有周期性，T ＝6，∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5.数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝ . 答案 72解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋10×2＝72. 6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－1，则a 3＝ . 答案 10解析 a 3＝S 3－S 2＝2×32－1－(2×22－1)＝10.7.数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝ . 答案 1解析由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝ . 答案 2n －1解析当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.9.(2016·无锡期末)对于数列{an }，定义数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a 1＝ .答案 8解析因为b 3＝a 4－a 3＝－1－1＝－2，所以b 2＝a 3－a 2＝b 3－1＝－3，所以b 1＝a 2－a 1＝b 2－1＝－4，三式相加可得a 4－a 1＝－9，所以a 1＝a 4＋9＝8.10.在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝ .答案 28解析依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.11.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{c n }的增减性.解 (1)∵a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2).∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23n ＝，1n n(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1 ＝12n ＋3－12n ＋2＝－1n ＋n ＋<0，∴{c n }是递减数列.12.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *). (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式. 解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝a n 2＋12a 2n ， ① 当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1， ②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n.13.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *).结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4， a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *). ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋n －＝1＋12n －2－a 2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5＜2－a 2＜6，即－10＜a ＜－8.。

高考数学大一轮复习第六章数列6.1数列的概念与简单表示法教师专用理苏教版

第六章数列 6.1 数列的概念与简单表示法教师用书理苏教版1。

数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。

2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1 > a n其中n∈N＊递减数列a n＋1 < a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法。

4.数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.【知识拓展】1.若数列｛a n｝的前n项和为S n，通项公式为a n，则a n＝错误!2。

在数列｛a n｝中，若a n最大，则错误!若a n最小,则错误!3。

数列与函数的关系数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1)所有数列的第n项都能使用公式表达.（×）（2）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个。

( √）（3)1，1,1,1，…，不能构成一个数列。

( ×）(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列。

( ×)(5）如果数列{a n｝的前n项和为S n，则对∀n∈N*，都有a n＋1＝S n＋1－S n。

（√)1。

（教材改编)下列有四种说法，其中正确的说法是 .(填序号)①数列a,a,a，…是无穷数列；②数列0，－1，－2,－3，…不一定是递减数列；③数列{f(n)｝可以看作是一个定义域为正整数N＊或它的有限子集{1,2，…，n}的函数值；④已知数列｛a n},则数列｛a n＋1－a n}也是一个数列.答案①②④解析题中①④显然正确；对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不一定是递减数列;对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集｛1，2，…,n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确.2.(教材改编)数列1，2，错误!，错误!，错误!，…中的第26项为 .答案2错误!解析∵a1＝1＝错误!,a2＝2＝错误!，a＝7，a4＝错误!,a5＝错误!，3∴a n＝错误!，∴a26＝错误!＝错误!＝2错误!.3.(教材改编)在数列{a n}中,a1＝1，a n＝1＋错误!(n≥2)，则a5＝。

【配套K12】2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：第六章数列 Word版含解析-

第六章⎪⎪⎪数列第一节数列的概念与简单表示本节主要包括2个知识点： 1.数列的通项公式； 2.数列的性质.突破点(一) 数列的通项公式[基本知识]1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)．2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式．4．S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立．[基本能力]1．判断题(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (3)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．填空题(1)已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，则数列{a n }的一个通项公式为________．答案：a n ＝2n －1(n ∈N *)(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋3，则a 2＝________. 答案：15(3)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是________________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2[全析考法]数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系．[例1] (1)(2018·江西鹰潭一中期中)数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2 B ．a n ＝(－1)n n 2 C ．a n ＝(－1)n ＋1n 2D ．a n ＝(－1)n (n ＋1)2(2)(2018·山西太原五中调考)把1,3,6,10,15，…，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第7个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30[解析] (1)法一：该数列中第n 项的绝对值是n 2，正负交替的符号是(－1)n ＋1，故选C.法二：将n ＝2代入各选项，排除A ，B ，D ，故选C.(2)观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即a n ＝a n －1＋n (n ≥2)．所以根据这个规律计算可知，第7个三角形数是a 7＝a 6＋7＝a 5＋6＋7＝15＋6＋7＝28.故选B.[答案] (1)C (2)B[方法技巧]由数列的前几项求通项公式的思路方法(1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若第n 项和第n ＋1项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n ＋1或(－1)n －1来调控． (3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．[提醒] 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式利用了不完全归纳法，其蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验．利用an 与S n 的关系求通项数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，通过纽带：a n ＝S n－S n －1(n ≥2)，根据题目已知条件，消掉a n 或S n ，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．[例2] 已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .[解] (1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1) ＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． (2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.[方法技巧]已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．利用递推关系求通项[例3] (1)n 1n ＋1n n (2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． (3)在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． (4)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式． [解] (1)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n 2.(2)因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n .(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.(4)∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．[方法技巧] 典型的递推数列及处理方法[全练题点]1.[考点一](2018·湖南衡阳二十六中期中)在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选C 观察所给数列的项，发现从第3项起，每一项都是与它相邻的前两项的和，所以x ＝5＋8＝13，故选C.2.[考点一]数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N *) B ．a n ＝(－1)n－12n ＋1n 3＋3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n－12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *) 解析：选D 所给数列各项可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，…，通过对比各选项，可知选D.3.[考点二](2018·黑龙江双鸭山一中期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n ＝( )A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2解析：选A 因为S n ＝2a n －4，所以n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－4, 两式相减可得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，即a na n －1 ＝2(n ≥2)．因为S 1＝a 1＝2a 1－4，所以a 1＝4，所以a n ＝2n ＋1.4.[考点三](2018·山东潍坊期中)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n解析：选A 法一：由已知得a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ，而a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1＋a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1，n ≥2，所以a n ＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＋2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＋2＝ln n ＋2，n ≥2.当n ＝1时，a 1＝2＝ln 1＋2.故选A. 法二：由a n ＝a n －1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n －1＝a n －1＋ln nn －1＝a n －1＋ln n －ln(n －1)(n ≥2)，可知a n －ln n ＝a n －1－ln(n －1)(n ≥2)．令b n ＝a n －ln n ，则数列{b n }是以b 1＝a 1－ln 1＝2为首项的常数列，故b n ＝2，所以2＝a n －ln n ，所以a n ＝2＋ln n ．故选A.突破点(二) 数列的性质[基本知识]数列的分类[基本能力](1)已知函数f (x )＝x －1x，设a n ＝f (n )(n ∈N *)，则{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)．答案：递增(2)数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋9n ，则该数列第________项最大．答案：4或5(3)现定义a n ＝5n ＋⎝⎛⎭⎫15n ，其中n ∈N *，则{a n }是_______数列(填“递增”或“递减”)．答案：递增(4)对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的____________条件．答案：充分不必要[全析考法](1)数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．(2)数列是自变量不连续的函数，不能对数列直接求导判断单调性．要先写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去．[例1] (1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫23n，则数列{a n }中的最大项为( ) A.89 B ．23C.6481D ．125243(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋tn ＋1，若{a n }是单调递增数列，则实数t 的取值范围是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－6)C ．(－∞，－3)D ．()－3，＋∞[解析] (1)法一(作差比较法)：a n ＋1－a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫23n ＋1－n ⎝⎛⎭⎫23n ＝2－n 3·⎝⎛⎭⎫23n ，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝⎛⎭⎫232＝89.故选A. 法二(作商比较法)：a n ＋1a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫23n ＋1n ⎝⎛⎭⎫23n ＝23⎝⎛⎭⎫1＋1n ，令a n ＋1a n >1，解得n <2；令a n ＋1a n＝1，解得n ＝2；令a n ＋1a n<1，解得n >2. 又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝⎛⎭⎫232＝89.故选A. (2)法一：因为{a n }是单调递增数列，所以对于任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即2(n ＋1)2＋t (n ＋1)＋1>2n 2＋tn ＋1，化简得t >－4n －2，所以t >－4n －2对于任意的n ∈N *都成立，因为－4n －2≤－6，所以t >－6.故选A.法二：设f (n )＝2n 2＋tn ＋1，其图象的对称轴为n ＝－t 4，要使{a n }是递增数列，则－t 4<1＋22，即t >－6.故选A. [答案] (1)A (2)A [方法技巧]1．判断数列单调性的两种方法 (1)作差比较法a n ＋1－a n >0⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1－a n <0⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列．(2)作商比较法(1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．通常是求出数列的前n 项观察规律．确定出数列的一个周期，然后再解决相应的问题．[例2] (1)(2018·黄冈质检)已知数列{x n }满足x n ＋2＝|x n ＋1－x n |(n ∈N *)，若x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，且x n ＋3＝x n 对于任意的正整数n 均成立，则数列{x n }的前2 017项和S 2 017＝( )A ．672B ．673C ．1 342D ．1 345(2)(2018·广东四校联考)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，则a 2 018＝( )A ．－2B ．－1C ．2D ．12[解析] (1)∵x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，∴x 3＝|x 2－x 1|＝|a －1|＝1－a ，∴x 1＋x 2＋x 3＝1＋a ＋(1－a )＝2，又x n ＋3＝x n 对于任意的正整数n 均成立，∴数列{x n }的周期为3，所以数列{x n }的前2 017项和S 2 017＝S 672×3＋1＝672×2＋1＝1 345.故选D.(2)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，∴a 2＝11－2＝－1，a 3＝11－(－1)＝12，a 4＝11－12＝2，…，可知此数列有周期性，周期T ＝3，即a n ＋3＝a n ，则a 2 018＝a 672×3＋2＝a 2＝－1.故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．[全练题点]1.[考点二](2018·安徽名校联盟考前模拟)在数列{a n }中，若对任意的n ∈N *均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，且a 1＝2，a 9＝3，a 98＝4，则数列{a n }的前100项的和S 100＝( )A ．132B ．299C ．68D ．99解析：选B 因为对任意的n ∈N *均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，所以a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n＋1＋a n ＋2＋a n ＋3，所以a n ＋3＝a n ，所以数列{a n }是周期数列，且周期为3.故a 2＝a 98＝4，a 3＝a 9＝3，a 100＝a 1＝2，所以S 100＝33(a 1＋a 2＋a 3)＋a 100＝299.故选B.2.[考点一](2018·山东枣庄第八中学阶段性检测)已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋2n ，欲使它的前n 项的乘积大于36，则n 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 由数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ＋2n 的前n 项的乘积31·42·53·…·n ＋2n ＝(n ＋1)(n ＋2)2>36，得n 2＋3n－70>0，解得n <－10或n >7.又因为n ∈N *，所以n 的最小值为8，故选B.3.[考点一]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(3－a )x ＋2，x ≤2，a9-22+11x x ，x >2(a >0，且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎣⎡⎭⎫83，3 C ．(2,3)D ．(1,3)解析：选C因为{a n}是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，(3－a )×2＋2<a 2，解得2<a <3，所以实数a 的取值范围是(2,3)．4.[考点二](2018·辽宁重点中学协作体联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin (n ＋1)π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( )A ．0B ．2 018C ．1 010D ．1 009解析：选C 由a 1＝1及a n ＋1－a n ＝sin (n ＋1)π2，得a n ＋1＝a n ＋sin (n ＋1)π2，所以a 2＝a 1＋sin π＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝0，a 4＝a 3＋sin 4π2＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝1，a 6＝a 5＋sin 6π2＝1，a 7＝a 6＋sin 7π2＝0，a 8＝a 7＋sin 8π2＝0，…，可见数列{a n }为周期数列，周期T ＝4，所以S 2 018＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＝1 010.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.答案：－1n2．(2014·全国卷Ⅱ)数列 {a n }满足 a n ＋1＝11－a n , a 8＝2，则a 1 ＝________. 解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.答案：123．(2013·全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，由已知得到S n －1＝23a n －1＋13，所以a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫23a n ＋13－⎝⎛⎭⎫23a n －1＋13 ＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n －1，所以数列{a n }为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －14．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因此{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 数列的通项公式1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2(n ∈N *)，则14是这个数列的( )A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项解析：选B 由a n ＋1＝2a na n ＋2可得1a n ＋1＝1a n ＋12，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，故1a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，即a n ＝2n ＋1，由2n ＋1＝14，解得n ＝7，故选B.2．(2018·南昌模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B ．158 C.34 D ．38解析：选C 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.3．(2018·河南郑州一中考前冲刺)数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 018＝( )A.2 0172 018 B ．2 0182 019 C.4 0342 018D ．4 0362 019解析：选D ∵a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，∴a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，用累加法可得a n ＝a 1＋(n －1)(n ＋2)2＝n (n ＋1)2，∴1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 018＝2⎣⎡⎭⎫1－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝4 0362 019，故选D. 4．(2018·甘肃天水检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．12n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D ．⎝⎛⎭⎫32n －1解析：选D 因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，所以S n ＋1S n＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1.故选D. 5．(2018·兰州模拟)在数列1,2，7，10，13，…中219是这个数列的第________项．解析：数列1,2，7，10，13，…，即数列1，3×1＋1，3×2＋1，3×3＋1，3×4＋1，…，∴该数列的通项公式为a n ＝3(n －1)＋1＝3n －2，∴3n －2＝219＝76，∴n ＝26，故219是这个数列的第26项．答案：266．(2018·河北冀州中学期中)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a 3＝________，a n ＝________.解析：由a n ＝n (a n ＋1－a n )，可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝nn －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n (n ≥2)，∴a 3＝3.∵a 1＝1满足a n ＝n ，∴a n ＝n .答案：3 n7．(2018·福建晋江季延中学月考)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________________．解析：已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1，将n ＝1代入，得a 1＝2；当n ≥2时，将n －1代入得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n ，两式相减得na n ＝(n ＋1)－n ＝1，∴a n ＝1n，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2对点练(二) 数列的性质1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)．则下列说法正确的是( ) A ．这个数列的第10项为2731B.98101是该数列中的项C ．数列中的各项都在区间⎣⎡⎭⎫14，1内 D ．数列{a n }是单调递减数列解析：选C a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得a 10＝2831.故选项A 不正确，令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300，此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项．因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，所以数列{a n }是单调递增数列，所以14≤a n <1，所以数列中的各项都在区间⎣⎡⎭⎫14，1内，故选项C 正确，选项D 不正确，故选C.2．(2018·湖北黄冈中学期中)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，则a 2 018＝( )A ．－2B ．12C ．－13D ．3解析：选D ∵a 1＝12，∴a 2＝1＋a 11－a 1＝3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－2，a 4＝1＋a 31－a 3＝－13，a 5＝1＋a 41－a 4＝12，…，∴数列{a n }是周期数列且周期T ＝4，∴a 2 018＝a 2＝3，故选D. 3．(2018·河南郑州质量预测)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝m ，a 2＝n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017的值为( )A ．2 017n －mB ．n －2 017mC ．mD ．n解析：选C 根据题意计算可得a 3＝n －m ，a 4＝－m ，a 5＝－n ，a 6＝m －n ，a 7＝m ，a 8＝n ，…，因此数列{a n }是以6为周期的周期数列，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝0，所以S 2 017＝S 336×6＋1＝a 1＝m .故选C.4．(2018·安徽淮南模拟)已知{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，且{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析：选C ∵{a n }是递增数列，∴∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，化简得λ>－(2n ＋1)，∴λ>－3.故选C.5．(2018·北京海淀区模拟)数列{a n }的通项为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n ≤4，－n 2＋(a －1)n ，n ≥5(n ∈N *)，若a 5是{a n }中的最大值，则a 的取值范围是________．解析：当n ≤4时，a n ＝2n －1单调递增，因此n ＝4时取最大值，a 4＝24－1＝15.当n ≥5时，a n ＝－n 2＋(a －1)n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －a －122＋(a －1)24.∵a 5是{a n}中的最大值，∴⎩⎨⎧a －12≤5.5，－25＋5(a －1)≥15，解得9≤a ≤12.∴a 的取值范围是[9,12]．答案：[9,12][大题综合练——迁移贯通]1．(2018·东营模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2，则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1 ＝2a n －2n ＋1.因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式，所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)，因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3×2n －1－2.2．(2018·浙江舟山模拟)已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得，a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，a 1＝0(舍)．S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2(负值舍去)；同理可得a 3＝3，a 4＝4. (2)因为S n ＝12a 2n ＋a n 2，①所以当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋a n －12，②①－②得a n ＝12(a n －a n －1)＋12(a 2n －a 2n －1)，所以(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＝n . 3．(2018·山西太原月考)已知等比数列{a n }是递增数列，a 2a 5＝32，a 3＋a 4＝12，又数列{b n }满足b n ＝2log 2a n ＋1，S n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求S n;(2)若对任意n ∈N *，都有S n a n≤S ka k成立，求正整数k 的值．解：(1)因为{a n }是等比数列，则a 2a 5＝a 3a 4＝32，又a 3＋a 4＝12，且{a n }是递增数列，所以a 3＝4，a 4＝8，所以q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1.所以b n ＝2log 2a n ＋1＝2log 22n ＝2n . 所以S n ＝2＋4＋…＋2n ＝n (2＋2n )2＝n 2＋n .(2)令c n ＝S n a n ＝n 2＋n2n －1，则c n ＋1－c n ＝S n ＋1a n ＋1－S n a n ＝(n ＋1)(n ＋2)2n －n (n ＋1)2n －1＝(n ＋1)(2－n )2n .所以当n ＝1时，c 1<c 2；当n ＝2时，c 3＝c 2；当n ≥3时，c n ＋1－c n <0，即c 3>c 4>c 5>…，所以数列{c n }中最大项为c 2和c 3.所以存在k ＝2或3，使得任意的正整数n ，都有S k a k ≥S na n .第二节等差数列及其前n 项和本节主要包括3个知识点：1.等差数列基本量的计算；等差数列的基本性质及应用；等差数列的判定与证明.突破点(一) 等差数列基本量的计算[基本知识]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. [基本能力]1．判断题(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．填空题(1)已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________. 答案：－15－n(2)已知等差数列5,427，347，…，则该数列的第5项为________．答案：217(3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝________. 答案：12(4)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 答案：6[全析考法][典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)(2018·安徽江南十校模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A ，B ，C ，D ，E 五人分5钱，A ，B 两人所得与C ，D ，E 三人所得相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．在这个问题中，E 所得为( )A.23钱 B ．43钱C.56钱 D ．32钱(3)(2018·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5. ①求数列{a n }的通项公式；②令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .[解析] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4，故选C. (2)由题意，设A 所得为a －4d ，B 所得为a －3d ，C 所得为a －2d ，D 所得为a －d ，E所得为a ，则⎩⎪⎨⎪⎧5a －10d ＝5，2a －7d ＝3a －3d ，解得a ＝23，故E 所得为23钱．故选A.(3)①设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5，可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5，所以3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.②由①，可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1)． ∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1) ＝(－2)×n ＝－2n .[答案] (1)C (2)A[方法技巧]解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列{a n }中，a 1与d 是最基本的两个量，一般可设出a 1和d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可．(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 和前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ，在两个公式中共涉及五个量：a 1，d ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．[全练题点]1．(2018·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：选C 法一：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得d ＝－3.法二：a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为________．解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m－S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m . 由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0，解得正整数m 的值为5. 答案：53．(2018·福州模拟)已知等差数列{a n }的各项均为正数，其公差为2，a 2a 4＝4a 3＋1. (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n .解：(1)依题意知，a n ＝a 1＋2(n －1)，a n >0.因为a 2a 4＝4a 3＋1，所以(a 1＋2)(a 1＋6)＝4(a 1＋4)＋1，所以a 21＋4a 1－5＝0，解得a 1＝1或a 1＝－5(舍去)，所以a n ＝2n －1. (2)a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)＋…＋(2×3n －1) ＝2×(1＋3＋32＋…＋3n )－(n ＋1) ＝2×1－3n ＋11－3－(n ＋1)＝3n ＋1－n －2.突破点(二) 等差数列的基本性质及应用[基本知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .(5)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．(6){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.[基本能力](1)(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝________.答案：100(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，若S n T n ＝n ＋1n －1，则a 1＋a nb 1＋b n＝________. 答案：n ＋1n －1(3)(2018·天水模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.答案：60(4)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.答案：S 5[全析考法][例1] (1)(2018·银川模拟)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．8B ．12C ．6D ．4(2)(2018·山西太原模拟)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．3(3)(2018·湖北武汉调研)若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．3[解析] (1)由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，得(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝32，得4a 8＝32，∴a 8＝8，∴m ＝8.故选A.(2)由等差数列的性质可知2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6×2a 6＝36，得a 6＝3，故选D.(3)根据等差数列的性质，可得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，即2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，因此S 2＝0.[答案] (1)A (2)D (3)B[方法技巧]利用等差数列性质求解问题的注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．[提醒] 一般地，a m ＋a n ≠a m ＋n ，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是a m －n ＋a m ＋n ＝2a m .等差数列前n 项和最值问题n n 差数列前n 项和S n 的最值问题．[例2] 等差数列{a n }的首项a 1>0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？[解] 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－18a 1<0.法一(函数法)： S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－18a 1 ＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝⎛⎭⎫n －1722＋28964a 1，因为a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．法二(通项变号法)：设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－18a 1≥0，a 1＋n ·⎝⎛⎭⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．[方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[全练题点]1.[考点一](2018·陕西咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9＝( )A ．9B ．15C ．18D ．36解析：选C 由等差数列的通项公式及性质，可得S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54，a 5＝6，则a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18.故选C.2.[考点一](2018·辽宁鞍山一中期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B ．20C ．10D ．9解析：选C 因为a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ＝a 2m ，显然a m ≠0，所以a m ＝2.又因为S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m ＝38.所以将a m ＝2代入可得(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.3.[考点二](2018·成都模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＋a 7＋a 10＝9，S 14－S 3＝77，则使S n 取得最小值时n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 根据等差数列的性质可得a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝9，得a 7＝3.S 14－S 3＝11a 9＝77，解得a 9＝7，所以等差数列的通项公式为a n ＝2n －11.当n ＝6时，a n >0；当n ＝5时，a n <0，所以使S n 取得最小值的n 的值为5.4.[考点二](2018·吉林长春外国语学校期末)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则在数列中绝对值最小的项为( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项解析：选C 根据等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 13<0，S 12>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 13<0，a 1＋a 12>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 13＝2a 7，a 1＋a 12＝a 6＋a 7，得⎩⎪⎨⎪⎧a 7<0，a 6＋a 7>0，所以数列{a n }中绝对值最小的项为第7项．突破点(三) 等差数列的判定与证明[全析考法][典例] (2018·n 1n (a n ＋1－n －1)＝(n＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)．(1)求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；(2)设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n . [解] (1)∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)， ∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a n n＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a nn＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15，则数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－13＋2n －15)2＝n 2－14n .令b n ＝2n －15≤0，解得n ≤7.5.∴当n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n . 当n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.[方法技巧] 等差数列的判定与证明方法[提醒] 判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[全练题点]1．(2016·浙江高考)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析：选A 由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线(图略)，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．故选A.2．(2018·岳阳模拟)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2.又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0.又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24. 2．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100B ．99C ．98D ．97解析：选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C.法二：∵{a n }是等差数列，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5.故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.3．(2013·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由已知⎩⎨⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49.∴nS n 的最小值为－49.答案：－494．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)由题设，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一)等差数列基本量的计算1．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n＋2－S n＝36，则n＝() A．5 B．6C．7 D．8解析：选D由题意知S n＋2－S n＝a n＋1＋a n＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8.2．在等差数列{a n}中，a1＝0，公差d≠0，若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为() A．37 B．36C．20 D．19解析：选A a m＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋9×82d＝36d＝a37，∴m＝37.故选A.3．在数列{a n}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有a m＋k＝a m＋a k，则{a n}的前n 项和S n＝()A．n(3n－1) B．n(n＋3)2C．n(n＋1) D．n(3n＋1)2解析：选C依题意得a n＋1＝a n＋a1，即a n＋1－a n＝a1＝2，所以数列{a n}是以2为首项、2为公差的等差数列，a n＝2＋2(n－1)＝2n，S n＝n(2＋2n)2＝n(n＋1)，故选C.4．(2018·太原一模)在单调递增的等差数列{a n}中，若a3＝1，a2a4＝34，则a1＝()A ．－1B ．0 C.14D ．12解析：选B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0. 对点练(二) 等差数列的基本性质及应用1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 9＝18，a n －4＝30(n >9)，若S n ＝336，则n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：选D 因为{a n }是等差数列，所以S 9＝9a 5＝18，a 5＝2，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 5＋a n －4)2＝n2×32＝16n ＝336，解得n ＝21，故选D. 2．(2018·南阳质检)设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 等于( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7解析：选C ∵S 6＝5a 1＋10d ，∴6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，得a 1＋5d ＝0，即a 6＝0.∵数列{a n }是公差d <0的等差数列，∴n ＝5或6时，S n 取最大值．3．设{a n }是等差数列，d 是其公差，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．当n ＝6或n ＝7时S n 取得最大值解析：选C 由S 5<S 6，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5<a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6，即a 6>0.同理由S 7>S 8，得a 8<0.又S 6＝S 7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，∴a 7＝0，∴B 正确；∵d ＝a 7－a 6<0，∴A 正确；而C 选项，S 9>S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，可得2(a 7＋a 8)>0，由结论a 7＝0，a 8<0，知C 选项错误；∵S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，∴结合等差数列前n 项和的函数特性可知D 正确．选C.。

2018版高考数学一轮复习第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法理

第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法、选择题5 7 91 •数列｛a n ｝: 1,—门応，一二，…的一个通项公式是 ( )8 15 24 n +i 2 n — 1A. a n = ( — 1) r (n € N) n + nn —12n +1B. a n = ( — 1) J (n € N+) n + 3nC. a n = ( — 1) +' 2 (n € N+) n + 2nn —12n +1D. a n = ( — 1) n 2+ 2n (n € N+)答案 D2 .把1,3,6,10,15,21 这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图所示）.卜、八、,、 * * X X卜、八\■ —■ 4 —£ —* 一 •一、 ■■ ■L 3 6 10 15则第七个三角形数是（）.A 27B . 28 C. 29 D. 30解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可.根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+ 2 + 3+ 4+ 5 + 6+ 7= 28.答案 B3.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S,且S= 2a n — 1(n € N *)，贝U &=( ).A — 16B . 16C . 31 D. 32解析当 n = 1 时，S = a 1 = 2a 1 — 1，— a 1 = 1,解析观察数列｛a n ｝各项，可写成: 3 1X3 5 72X4，3X5 94X6 ,故选D.又S n—1= 2a n —1 —1(n》2) ,.•. S —S n—1 = a n = 2( a n—a n—1).n —1 4a n= 1X2 , . a5 = 2 = 16.答案B4 .将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列A 2 020 X 2 012 B. 2 020 X 2 013 C. 1 010 X 2 012 D. 1 010 X 2 013 解析结合图形可知，该数列的第 n 项a n = 2+ 3+4 +…+ ( n + 2) •所以a 2 014- 5= 4+ 5 + •••+ 2 016 = 2 013 X 1 010.故选 D. 答案 D 5.在数列｛a n ｝中，a n =- 2n 2+ 29n + 3,则此数列最大项的值是 ( ). 865 825 A 103 B. C. D. 108 8 8•••n = 7时，a n 取得最大值，最大项 a 7的值为108. 答案 D 对任意 a , b € R,满足① a *b = b *a ；② a *0 = a ； (3)( a *b )*c = c *( ab ) + 1 y = x + -在[1 ,+^)上为增函数, X 所以数列｛刘为递增数列. 答案 C 二、填空题 7.在函数f (X ) =&中，令x = 1,2,3，…，得到一个数列，则这个数列的前 5项是 __________________ 答案 1 , ■. 2, 3, 2, 5 8 .已知数列｛a n ｝满足 a 1= 1，且 a n = n (a n +1-a n )(n € N *)，贝U a 2 = __________ ； a n = ________ . 解析根据题意并结合二次函数的性质可得: n-/3+ 841 6.定义运算“ *”， (a *c ) + (c *b ).设数列｛ a n ｝的通项为 1a n = n *—*0 , n 则数列｛a n ｝为( ). A 等差数列 B.等比数列 C.递增数列 D.递减数列解析由题意知a n = ”打0 = 0]n • n + (n *0) + =1 + n +2,显然数列｛a n ｝既不是等差数列也不是等比数列；又函数解析由 a n = n ( a n +1 — a n )，可得 a n + 1 n + 1 a n … an a n -1a n - 2 贝U a n = • • a n — 1 a n — 2a n — 3 a 2 a -a 1 = n n - 1 n -1 n -2 n -2 n -3 …a 2= 2, a n = n .答案 2 n9. _________________ 已知f(x)为偶函数，f(2 + x) = f (2 —x),当一2< x <0 时，f(x) = 2x,若门€ N*,少=f ( n), 贝y a2 013 =.解析•/ f (x)为偶函数，••• f (x) = f ( —x),••• f(x + 2) = f (2 —x) = f (x —2).故f (x)周期为4,—i 1a2 013 = f (2 013) = f(1) = f ( —1) = 2—= 21答案1210. 已知数列｛&｝的前n项和S= n—9n,第k项满足5 v a k< 8，贝U k的值为______________ .解析T S= n2—9n,.•.n》2 时，a n = Si —Si-1 = 2n—10,ai = S = —8 适合上式，•• a n = 2n —10( n€ N),• 5< 2k —10< 8,得7.5 < k< 9. • k = 8.答案8三、解答题11. 数列｛a n｝的通项公式是a n= n2—7n + 6.(1) 这个数列的第4项是多少？(2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3) 该数列从第几项开始各项都是正数？2解(1) 当n= 4 时，a4= 4 —4X7+ 6=— 6.2(2) 令a n= 150,即n—7n+ 6= 150,解得n= 16,即150是这个数列的第16项.2(3) 令a n = n—7n+ 6>0,解得n>6 或n<1(舍),•从第7项起各项都是正数.112. 若数列｛a n｝的前n项和为S,且满足a n+ 2SS—1= 0( n》2), a1 = 7(1) 求证：€ |成等差数列；(2) 求数列｛a n｝的通项公式.(1)证明当n时，由a n + 2SiS n—1 = 0,1 1得S—S— 1 =—2S n Si—1,所以$—= 2,S n S n—11 1 1又S=a=2，故1是首项为2,公差为2的等差数列.1 1⑵解由⑴可得§ = 2n，- 亦当n》2时,a n= S1—S1 -丄12n —2 n-]n- 1 —n2n n-]12n n-]1当n = 1时，a 1 = 2不适合上式.-12，n = 1,故a n =_____ L_ .2n n-113. 设数列｛a n ｝的前 n 项和为 S.已知 a 1= a (a ^3), a n +1= S+ 3n , n € N.(1) 设b n = S n - 3：求数列｛b n ｝的通项公式；(2) 若a n +1 > a n , n € N ,求a 的取值范围.解 (1)依题意，S n + 1 — S n = a n + 1 = S + 3 ,即 S+1 = 2S + 3n ，由此得 S+1-3n +1 = 2(S — 3n ), 又S -31= a -3(a ^3)，故数列｛S — 3n ｝是首项为a -3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为 b n = S — 3n = (a -3)2 n —1, n € N *. (2)由(1)知 S = 3n + (a -3)2 n —1, n € N , 于是，当 n 》2 时，a. = S — S-1 = 3n + (a -3)2 n — 1-3n — 1-(a -3)2 n — 2= 2X3n —1+ (a -3)2 n —2, 当n = 1时，a 1= a 不适合上式，又 a 2= a 1+ 3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是［—9,+s ).14 .在等差数列｛a n ｝中，a 3+ a 4+ a 5= 84, a 9 = 73.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 对任意N*，将数列｛a n ｝中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为 "，求数列｛ bn ｝的前m 项和S m解 ⑴ 因为｛a n ｝是一个等差数列，所以 a 3 + a 4 + a 5= 3a 4= 84,即 a 4 = 28.设数列｛a n ｝的公差为 d ,贝y 5d = a 9-a 4= 73-28= 45,故 d = 9. 由 a 4= a i + 3d 得 28= a i + 3x 9,即卩 a i = 1.,n 》2. 故a n = a , n = 1,2X3n -1 + ch +1 — a n =4X3 1 + (a - 3)2当n 》2时, a n + 1》a n ? 12 - 3 n -2+ a -3》0? a 》-9. 2 n 》2.所以a n= a i+ ( n—1) d= 1+ 9( n —1) = 9n —8( n € N).⑵对m€ N ,若9m< a n V 92m,则9m+ 8 < 9n< 92m+ 8,因此9"1+1< n <92m—1,故得b m= 92m T—9m—1.于是S m= b1 + b2+ b3+…+ b m=(9 + 93+…+ 92m—1) —(1 + 9+-+ 9m1)=9X I —81m 1—9m= 1 —81 — 1 —92m+1 m s9 —10X9 +1= 80 .。

高考数学大一轮复习第六章数列6.1数列的概念与表示课

D.an=
2,��为奇数, 0,��为偶数
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B 答案
-12知识梳理双基自测自测点评
1 2 3 4
3.(2016石家庄二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4(n∈N*),则 an=( ) A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.2n-2
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A 答案
-13知识梳理双基自测自测点评
1 2 3 4 5 6
4.数列的函数特征数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数 an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
-8知识梳理双基自测自测点评
1 2 3 4 5 6
5.数列的前n项和在数列{an}中,Sn=
a1+a2+…+an
叫做数列的前n项和.
-9知识梳理双基自测自测点评
1 2 3 4 5 6
6.数列{an}的an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,则
an=
,�� = 1, S1 Sn-Sn-1 ,�� ≥ 2.
-10知识梳理双基自测自测点评
1 2 3 4
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)所有数列的第n项都能使用通项公式表示. ( ) (2)数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事. ( ) (3)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点. ( (4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个. ( ) (5)若数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1. (
1 9 25 2 4 6 8 10
(5)5,55,555,5 555,…. 思考如何根据数列的前几项的值写出数列的一个通项公式?

[精品]2018届高三数学文科一轮复习夯基提能第六章数列第一节数列的概念及简单表示法和答案

第一节数列的概念及简单表示法A组基础题组1.数列1,,,,,…的一个通项公式是( )A.a n=B.a n=C.a n=D.a n=2.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-2n,则a2+a18=( )A.36B.35C.34D.333.数列{a n}定义如下:a1=1,当n≥2时,a n=若a n=,则n的值为( )A.7B.8C.9D.104.数列{a n}中,a1=1,对于所有的n≥2,n∈N*,都有a1·a2·a3·…·a n=n2,则a3+a5=( )A. B. C. D.5.数列{a中,a n=,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )A.a1,a50B.a1,a44C.a45,a44D.a45,a506.若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n= .7.已知a1=2,a n+1-a n=2n+1(n∈N*),则a n= .8.(2016课标全国Ⅲ,17,12分)已知各项都为正数的数列{a n}满足a 1=1,-(2a n+1-1)a n-2a n+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{a n}的通项公式.9.已知S n为正项数列{a n}的前n项和,且满足S n=+a n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值;(2)求数列{a n}的通项公式.B组提升题组10.在各项均为正数的数列{a n}中,对任意的m,n∈N*,都有a m+n=a m·a n.若a6=64,则a9=( )A.256B.510C.512D.102411.在数列{a n}中,已知a1=2,a2=7,a n+2等于a n a n+1(n∈N*)的个位数,则a2015=( )A.8B.6C.4D.212.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+ln,则a n=( )A.2+lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnD.1+n+lnn13.已知{a n}是递增数列,且对于任意的n∈N*,a n=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是.14.设数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=a(a≠3),a n+1=S n+3n,n∈N*.(1)设b n=S n-3n,求数列{b n}的通项公式;(2)若a n+1≥a n,n∈N*,求a的取值范围.15.已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,a n有最小值?并求出最小值;(2)对任意的n∈N*,都有a n+1>a n,求实数k的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.B 数列可写成,,,…,故通项公式可写为a.故选B.2.C 当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-3;当n=1时,a1=S1=-1,适合上式,所以a n=2n-3(n∈N*),所以a2+a18=34.3.C因为a1=1,所以a=2,a3==,a4=1+a2=3,a5==,a6=1+a3=,a7==,a8=1+a4=4,a9==,2=1+a1所以n=9,选C.4.A 解法一:令n=2,3,4,5,分别求出a 2=4,a3=,a4=,a5=,∴a3+a5=. 解法二:当n≥2时,a1·a2·a3·…·a n=n2.当n≥3时,a1·a2·a3·…·a n-1=(n-1)2.两式相除得a n=(n≥2,n∈N*),∴a3=,a5=,∴a3+a5=.5.C a n==1+,当n∈1,44],n∈N*时,{a n}单调递减,当n∈45,+∞),n∈N*时,{a n}单调递减,结合函数f(x)=的图象可知,(a n)max=a45,(a n)min=a44.6.答案(-2)n-1解析由S n=a n+得,当n≥2时,S n-1=a n-1+,∴当n≥2时,a n=-2a n-1,即=a1+,a1=1,=-2,又n=1时,S∴a n=(-2)n-1.7.答案n2+1解析由a n+1-a n=2n+1得a n-a n-1=2n-1,a n-1-a n-2=2n-3,……,a3-a2=5,a2-a1=3,则n≥2时,a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2+3+5+7+…+(2n-3)+( 2n-1)=2+=n2+1,又a 1=2满足上式,∴a n=n2+1.8.解析(1)由题意得a 2=,a3=.(2)由-(2a n+1-1)a n-2a n+1=0得2a n+1(a n+1)=a n(a n+1).因为{a n}的各项都为正数,所以=.故{a n}是首项为1,公比为的等比数列,因此a n=.9.解析(1)由题意知解得(2)S n=+a n,①当n≥2时,S n-1=+a n-1,②①-②整理得(a n-a n-1-1)(a n+a n-1)=0.由于a n+a n-1≠0,所以a n-a n-1=1,又由(1)知a1=1,故数列{a n}是首项为1,公差为1的等差数列,故a n=n.B组提升题组10.C 由题意得a6=a3·a3=64,∵a n>0,∴a3=8.∴a9=a6·a3=64×8=512.11.D 由题意得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2015=a335×6+5=a5=2.12.A 由已知,得a n+1-a n=ln,∴a n-a n-1=ln,a n-1-a n-2=ln,……,a2-a1=ln,将以上(n-1)个式子累加,得a n-a1=ln+ln+…+ln=ln=lnn(n≥2),∴a n=2+lnn(n≥2).又a1=2满足上式,∴a n=2+lnn.故选A.13.答案(-3,+∞)解析∵对于任意的n∈N*,a n=n2+λn恒成立,∴a n+1-a n=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ.又∵{a n}是递增数列,∴a n+1-a n>0,且当n=1时,a n+1-a n最小,∴a n+1-a n≥a2-a1=3+λ>0,∴λ>-3.14.解析(1)依题意得S n+1-S n=a n+1=S n+3n,即S n+1=2S n+3n,由此得S n+1-3n+1=2(S n-3n),即b n+1=2b n,又b1=S1-3=a-3,因此,所求通项公式为b n=(a-3)2n-1,n∈N*.(2)由(1)可知S n=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,于是,当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)·2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,a n+1-a n=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2,所以,当n≥2时,a n+1≥a n⇒12+a-3≥0⇒a≥-9,又a2=a1+3>a1,a≠3.所以,所求的a的取值范围是-9,3)∪(3,+∞).15.解析(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.因为n∈N*,所以n=2,3,所以数列中有两项是负数,即为a2,a3,因为a n=n2-5n+4=-,当n=2或n=3时,a n有最小值,其最小值为a2=a3=-2.(2)由a n+1>a n知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n=n2+kn+4可看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-<,即k>-3.所以实数k的取值范围为(-3,+∞).。

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小初高试卷类教案类 K12分别是小学初中高中（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法 6.1 数列的概念与简单表示法教师用书

1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类分类原则类型满足条件

按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限

按项与项间的大小关系分类

递增数列 an＋1 > an 其中n∈N* 递减数列 an＋1 < an 常数列 an＋1＝an

摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．【知识拓展】 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，

则an＝ S1， n＝1，Sn－Sn－1， n≥2.

2．在数列{an}中，若an最大，则 an≥an－1，an≥an＋1. 小初高试卷类教案类 K12分别是小学初中高中若an最小，则 an≤an－1，an≤an＋1. 3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n项都能使用公式表达．( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × ) (4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × ) (5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ )

1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．

则第7个三角形数是( ) A．27 B．28 C．29 D．30 答案 B 解析由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 2．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1nn＋，…，下列各数中是此数列中的项的是( ) A.135 B.142 C.148 D.154 答案 B 3．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是．答案 30 小初高试卷类教案类 K12分别是小学初中高中解析 an＝－n2＋11n＝－(n－112)2＋1214， ∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30. 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝ .

答案  2，n＝1，2n－1，n≥2 解析当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，

故an＝

 2，n＝1，

2n－1，n≥2.

题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)(2016·杭州模拟)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1 C．an＝nn＋2 D．an＝nn－2 (2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝ . 答案 (1)C (2)2n＋1n2＋1 解析 (1)观察数列1,3,6,10，…可以发现 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4， … 第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn＋2. ∴an＝nn＋2. (2)数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an＝2n＋1n2＋1. 思维升华由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略小初高试卷类教案类 K12分别是小学初中高中 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．

根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2)数列变为891－110，891－1102，891－1103，…，故an＝891－110n. (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故an＝(－1)n2n－32n. 题型二由an与Sn的关系求通项公式例2 (1)(2016·余姚模拟)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式an

＝ . 答案 (－2)n－1 解析由Sn＝23an＋13，得当n≥2时，Sn－1＝23an－1＋13，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝23a1＋13，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.

(2)已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式． ①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b. 小初高试卷类教案类 K12分别是小学初中高中解 ①a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. ②a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b) ＝2·3n－1. 当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式． ∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；

当b≠－1时，an＝ 3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2. 思维升华已知Sn，求an的步骤 (1)当n＝1时，a1＝S1； (2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．

(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为． (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于( ) A．2n－1 B．(32)n－1 C．(32)n D.12n－1

答案 (1)an＝ 2，n＝1，6n－5，n≥2 (2)B 解析 (1)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]

＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．

故数列的通项公式为an＝ 2，n＝1，6n－5，n≥2. 小初高试卷类教案类 K12分别是小学初中高中 (2)由an＋1＝Sn＋1－Sn，得12Sn＝Sn＋1－Sn，即Sn＋1＝32Sn(n≥1)，又S1＝a1＝1，所以数列{Sn}是首项为1，公比为32的等比数列，所以Sn＝(32)n－1，故选B. 题型三由数列的递推关系求通项公式例3 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)； (2)a1＝1，an＋1＝2nan； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2. 解 (1)∵an＋1＝an＋ln(1＋1n)， ∴an－an－1＝ln(1＋1n－1)＝ln nn－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln 32＋ln 2＋2 ＝2＋ln(nn－1·n－1n－2·…·32·2) ＝2＋ln n(n≥2)．又a1＝2适合上式，故an＝2＋ln n(n∈N*)． (2)∵an＋1＝2nan，∴anan－1＝2n－1 (n≥2)， ∴an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1 ＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝(1)22nn. 又a1＝1适合上式，故an＝(1)22nn. (3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an＋1＝2·3n－1，故an＝2·3n－1－1. 思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法