零点定理 讲义
《用二分法求函数的零点》 讲义
《用二分法求函数的零点》讲义一、什么是函数的零点在数学中，函数的零点指的是使得函数值为零的自变量的值。
简单来说，如果存在一个实数 x₀，使得函数 f(x₀) ＝ 0，那么 x₀就是函数f(x) 的零点。
例如，对于函数 f(x) ＝ x 1，当 f(x) ＝ 0 时，即 x 1 ＝ 0，解得 x ＝ 1。
所以 1 就是函数 f(x) ＝ x 1 的零点。
函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，它在解决方程的根、函数的性质等问题中具有重要的作用。
二、为什么要用二分法求函数的零点在实际问题中，我们经常需要找到函数的零点，但有些函数的零点很难直接通过解方程得到。
这时候，二分法就成为了一种非常有效的方法。
二分法的基本思想是通过不断缩小零点所在的区间，逐步逼近零点的精确值。
它利用了函数的连续性和介值定理，即如果函数在一个区间的两端点取值异号，那么在这个区间内必然存在至少一个零点。
相比于其他复杂的数值方法，二分法简单易懂，计算量相对较小，并且在一定条件下能够保证收敛到零点的近似值。
三、二分法的原理假设函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a) × f(b) ＜0），那么根据零点存在定理，在区间（a, b) 内至少存在一个零点。
我们取区间的中点 c ＝（a ＋ b) ／ 2，计算 f(c) 的值。
如果 f(c) ＝ 0，那么 c 就是函数的零点。
如果 f(c) 与 f(a) 异号，那么零点就在区间 a, c 内，我们就把区间 a,b 缩小为 a, c。
如果 f(c) 与 f(b) 异号，那么零点就在区间 c, b 内，我们就把区间 a,b 缩小为 c, b。
这样不断重复上述步骤，每次都将区间缩小一半，直到区间的长度足够小，或者达到我们所要求的精度，此时区间的中点就可以作为零点的近似值。
四、二分法的具体步骤1、确定初始区间 a, b，使得 f(a) × f(b) ＜ 0。
零点定理
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练习2：
(1)函数y=f(x)的图象如下， 则其零点为 -2,1,3 .
y 2 O
3
1 3
x
（2）函数
y x 3x 5有零点吗？
知识探究（二）：函数零点存在性原理
问题探究
思考 2：函数 y观察函数的图象 ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数 y＝f(x) ①在区间 (a,b)上______( 有/一定有零点？ 无)零点；
并且有 f (a) f (b) 0 ，那么，函数 y f ( x) 在区间 a , b 内有零点，
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
y
y 0 a y
b
0 a y 0a
b x
b
x
x
0a
b
x
思考1：函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是一条连续不断的曲线，若函数 y=f(x)在区间(a, b)内有零点，一定 能得出f(a)· f(b)<0的结论吗？
有
探究: f(a).f(b)_____0 （Ⅰ）观察二次函数 （＜或＞）． f ( x) x 2 2x 3 的图象：
有 ② 在区间 (b,c) 上 ______( 有/无)零 -1 5 ， f (1) -4 1 ○ 在区间(-2,1)上有零点______； f (2) _______ _______, 点；f(b).f(c) _____ < 0（＜或＞）．
• 如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续 的，并且在闭区间的两个端点上的函数 值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那 么这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零 点。
高考导数讲义一零点问题
高考导数讲义一：零点问题例1、设函数（I ）求曲线在点处的切线方程；（II ）设，若函数有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件. 解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点． （III ）当24120a b ∆=-<时，()2320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点．当24120a b ∆=-=时，()232f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增；()32.f x x ax bx c =+++().y f x =()()0,0f 4a b ==()f x 230a b -＞().f x当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同 零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．例2.设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（I ）单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；极小值(1ln )2k k f -=；（II ）证明详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I ）先对()f x 求导，令'()0f x =解出x ，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当x =小值；（II ）利用第一问的表，知f 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值(1ln )02k k -≤，从而解出k e ≥，下面再分情况分析函数有几个零点.试题解析：（Ⅰ）由()2ln 2x f x k x =-，（0k >）得 2'()k x kf x x x x-=-=.由'()0f x =解得x =()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数()f x 的单调性与极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性． 例3.设函数()2ln xf x ea x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+. 【答案】（I ）当0a £时，()f x ¢没有零点；当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（II ）见解析 【解析】试题分析：（I ）先求出导函数，分0a £与0a >考虑()f x '的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II ）由（I ）可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，根据()f x '的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lna a a+，即证明了所证不等式. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，()2()=20x af x e x x¢->.当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点； 当0a >时，因为2x e 单调递增，ax-单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04ab <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点. （II ）由（I ），可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，当()00x x Î，时，()0f x ¢<;当()0+x x 违，时，()0f x ¢>. 故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ¥，单调递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x .由于0202=0x a ex -，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a ++?. 故当0a >时，2()2lnf x a a a?. 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.【名师点睛】导数的综合应用是高考考查的重点和热点，解决此类问题，要熟练掌握常见函数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与性质.对函数的零点问题，利用导数研究函数的图像与性质，画出函数图像草图，结合图像处理；对恒成立或能处理成立问题，常用参变分离或分类讨论来处理. 例4.设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】(1)222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；(2)[3,9--【解析】(1)将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数在给定上的最小值，并用分段函数的形式进行表示；(2)设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论，分别确定参数b 的取值情况，利用并集原理得到参数b 的取值范围.试题解析：(1)当214a b =+时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++. 当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+. 综上，222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩(2)设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则s t ast b+=-⎧⎨=⎩.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+，所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<. 综上可知，b的取值范围是[3,9--.【考点定位】1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，函数零点问题.利用函数的单调性以及二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，利用分类讨论思想确定在各种情况下函数的最小值情况，最后用分段函数的形式进行表示；利用函数与方程思想，确定零点与系数之间的关系，利用其范围，通过分类讨论确定参数b 的取值范围.本题属于中等题，主要考查学生应用函数性质解决有关函数应用的能力，考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思想的应用能力，考查学生基本的运算能力.例5、已知函数 . (I)讨论 的单调性；(II)若 有两个零点，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）()(1)2(1)(1)(2)xxf x x e a x x e a '=-+-=-+．（ i ）当0a ≥时，则当1x >时，()0f x '>；当1x <时，()0f x '< 故函数()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增．（ ii ）当0a <时，由()0f x '=，解得：1x =或ln(2)x a =- ①若ln(2)1a -=，即2e a =-，则x R ∀∈，()(1)()0xf x x e e '=-+≥ 故()f x 在(,)-∞+∞单调递增．②若ln(2)1a -<，即2ea >-，则当(,ln(2))(1,)x a ∈-∞-+∞时，()0f x '>；当(ln(2),1)x a ∈-时，()0f x '<故函数在(,ln(2))a -∞-，(1,)+∞单调递增；在(ln(2),1)a -单调递减． ③若ln(2)1a ->，即2ea <-，则当(,1)(ln(2),)x a ∈-∞-+∞时，()0f x '>；当(1,ln(2))x a ∈-时，()0f x '<；故函数在(,1)-∞，(ln(2),)a -+∞单调递增；在(1,ln(2))a -单调递减．（Ⅱ）（i ）当0a >时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增． 又∵(1),(2)f e f a ==，取实数b 满足0b <且ln2ab <，则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=-> ∴()f x 有两个零点．（ii ）若0a =，则()(2)xf x x e =-，故()f x 只有一个零点． （iii ）若0a <，由（I ）知，当2ea ≥-，则()f x 在(1,)+∞单调递增，又当1x ≤时，()0f x <，故()f x 不存在两个零点；当2ea <-，则函数在(ln(2),)a -+∞单调递增；在(1,ln(2))a -单调递减．又当1x ≤时，()0f x <，故不存在两个零点．综上所述，a 的取值范围是()0,+∞．例6.设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---． （1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a 时，()4f x x+有两个零点． 【解析】试题分析：（1）先由()01f <可得1≤+a a ，再对a 的取值范围进行讨论可得1≤+a a 的解，进而可得a 的取值范围；（2）先写函数()f x 的解析式，再对a 的取值范围进行讨论确定函数()f x 的单调性；（3）先由（2）得函数()f x 的最小值，再对a 的取值范围进行讨论确定()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 试题解析：（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a ， 当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a . 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x ax x a x x f ,2)12(,12)(22对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增；对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减.综上所述，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==. (i)当2=a 时，2)2()(min -==f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f令()40f x x +=，即xx f 4)(-=（0x >）. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f而x y 4-=在)2,0(上单调递增，2)2(-=<f y ，所以)(x f y =与xy 4-=在)2,0(无交点.当2≥x 时，xx x x f 43)(2-=-=，即04323=+-x x ，所以042223=+--x x x ，所以()0)1(22=+-x x ，因为2≥x ，所以2=x ，即当2=a 时，()4f x x+有一个零点2x =.(ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增， 当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---aa a a a a a a a a 所以aa a a f 4)(2-<-=结合图象不难得当2>a 时，)(x f y =与xy 4-=有两个交点. 综上所述，当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a 时，()4f x x+有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断函数的单调性的方法：①基本初等函数的单调性；②导数法．判断函数零点的个数的方法：①解方程法；②图象法． 例7.已知函数f (x )＝－2lnx ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0. (Ⅰ)设g (x )为f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(Ⅱ)证明：存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解. 【解析】(Ⅰ)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)g (x )＝f '(x )＝2(x －1－lnx －a )所以g'(x)＝2－22(1)xx x-=当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增(Ⅱ)由f '(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx令Φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx 则Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1)由u'(x)＝1－1x≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1即a0∈(0，1)当a＝a0时，有f '(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0再由(Ⅰ)知，f '(x)在区间(1，＋∞)上单调递增当x∈(1，x0)时，f '(x)＜0，从而f(x)＞f(x0)＝0当x∈(x0，＋∞)时，f '(x)＞0，从而f(x)＞f(x0)＝0又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx＞0故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0综上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.。
零点的定理
零点的定理你知道吗？零点的定理就像是在数字的世界里找宝藏一样。
想象一下，我们有一个函数，它就像一座连绵起伏的小山丘。
这个函数可能有时候在x轴的上方，有时候又跑到x轴的下方。
而零点定理就像是一个聪明的小侦探，它能告诉我们在这个函数的某一段区间里，一定存在一个点，这个点就刚好在x轴上，也就是函数值等于零的点。
比如说，有个函数像调皮的小蛇一样弯弯曲曲的。
如果这个函数在某个区间的开头，它的值是大于零的，就好像小蛇的头抬得高高的在x轴上面。
而在这个区间的结尾呢，这个函数的值小于零了，就像小蛇的尾巴垂到了x轴下面。
那根据零点定理啊，在这个区间里面，肯定有一个地方，小蛇正好穿过了x轴，这个地方就是零点啦。
这就好比我们在生活中找东西。
你在一个房间里，知道东西在这个房间的左边角落或者右边角落，那在这中间肯定有个地方是东西存在的呀。
零点定理就是这么个道理。
那这个定理有啥用呢？用处可大了去了。
在很多实际的问题里，我们要找到某个量刚好等于零的时候。
就像计算利润啥的，我们可能想知道什么时候利润是零，是不赔不赚的状态。
这时候零点定理就可以大显身手啦。
它就像一个贴心的小助手，默默地帮我们确定在某个范围内一定有我们要找的那个特殊的点。
而且啊，它不需要我们把函数的每个点都去算一遍，只要知道这个函数在区间两端的情况就可以啦。
我们再从图像的角度看零点定理。
你看那个函数图像，它就像一幅画。
如果这幅画在一段区间的左边是在x轴之上，右边是在x 轴之下，那这幅画肯定在中间某个地方和x轴相交啦。
这就是零点定理在图像上给我们的直观感受。
在数学的大花园里，零点定理就像一朵特别的小花。
它虽然不是那种特别艳丽的大花朵，但却有着自己独特的魅力。
它帮助我们理解函数的性质，让我们能更好地探索数字和图形之间的奥秘。
所以呀，零点的定理虽然听起来有点抽象，但只要我们用生活中的例子去类比，就会发现它其实是很容易理解的，就像我们身边的一个好朋友，默默地在数学的世界里给我们提供帮助呢。
1-25零点定理与介值定理
零点定理与介值定理定义。
零点的是就称如果~~~~~~~00)(,0=)(x f x x f 。
根的是方程也称~~~~~~~~~~~~~~00=)(x f xa xyy = f (x )f (a )b f (b )Of (x )∈C ( [a , b ] ),f (a ) f (b ) < 0,ξf (ξ)＝0.先看一个图描述一下这个现象(根的存在定理或零点定理)则至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)＝0.设f (x ) ∈C ( [a , b ] ), 且f (a )f (b ) < 0,a xy y = f (x )f (a )b f (b )Oξ如何证明？定理1证明的思想方法—区间套法将区间[a ,b ]等分为[a ,a 1]和[a 1,b ],在这两个区间中,选择与[a ,b ]性质相同的一个,例如,若f (a 1)f (b )<0,则选取区间[a 1,b ],如此下去,小区间的长度趋于零,并且总保持函数区间端点值反号然后,对[a 1,b ]进行等分,并进行选择,又得一个新的小区间.的性质,由函数的连续性,这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值, 就是要求的ξ∈(a , b ).f (a ) =Af (b ) =Byy = f (x )ξC y =f (ξ) = C下面看看, 坐标平移会产生什么效果.x x x x Oab ξx abxO 如何描述这个现象?定理2(介值定理)设f (x)∈C ( [a, b] ), f (a)＝A, f (b)＝B,且A ≠B, 则对于A, B 之间的任意一个数C,至少存在一点ξ∈(a, b), 使得f (ξ) = C.令ϕ(x ) = f (x ) -C故由零点定理, 至少存在一点ξ∈(a , b ) 使则ϕ(x )∈C ( [a , b ] )C 在A , B 之间∴ϕ(a )⋅ϕ(b ) = ( f (a ) -C )⋅( f (b ) -C )= ( A -C ) ( B -C ) < 0y B C A O a bξξbxxϕ(ξ)= 0, 即 f (ξ) = C .证最大、最小值定理介质定理？引入设f (x ) C ( [a , b ] ), 则f (x ) 取得值m 之间的任何一个值.推论介于其在[a , b ] 上的最大值M 和最小.)(++)(+)(=)(21nx f x f x f ξf n 设f (x )∈C ( [a ,b ] ),证明: 至少存在一点ξ∈[x 1, x n ], 使得a < x 1< x 2< … < xn< b ,例1故由 ]),,([)(b a C x f ∈ , M x f x f m x f b a x b a x =)(max )(=)(min ],[],[∈∈≤≤, M n x f x f m n ≤≤)(++)(1 从而由介值定理, 至少存在一点ξ∈( x 1, x n ), 使. nx f x f ξf n )(++)(=)(1 证证明方程x 5 –3x =1, 在x =1 与x =2 之间令 f (x ) = x 5 –3x –1, x ∈[1, 2],则f (x )∈C ( [1, 2] ),又f (1) = –3, f (2) = 25, f (1) ⋅f (2)< 0,即方程在x =1 与x =2 之间至少有一根.故至少存在一个ξ∈(1, 2), 使得f (ξ) = 0,至少有一根.例2证至少有一个不超过a + b 的正根.证明方程x = a sin x + b ( a > 0, b > 0 )设f (x ) = x -a sin x -b , x ∈[ 0, a + b ],则f (x )∈C ( [ 0, a + b ] ),而 f (0) = 0 –a sin 0 –b = –b < 0,f (a + b ) = (a + b ) –a sin (a + b ) –b = a ( 1 -sin (a + b ) ) ≥0,.]+,0(上求方程的根的问题问题归结为在 b a 例3证1) 如果f (a + b )＝0, 则ξ= a + b 就是方程的根.2) 如果f (a + b) > 0, 则f (0)⋅f (a + b) < 0,由根的存在定理, 至少存在一个ξ∈( 0, a + b ), 使得f (ξ) = 0.综上所述, 方程在( 0, a + b ] 上至少有一个根,即方程至少有一个不超过a + b 的正根.证明：任何实系数奇次多项式方程必有实根.令 f (x ) =a 0x n + a 1x n-1+…+a n -1x+a 0,不妨设a 0 > 0,)1++1+1(=)(0010n n n xa a x a a x a x f 当x→+∞ 时, f (x ) →+∞,,0>1x ∃使得;0>)(1x f 当x→ -∞时, f (x ) → -∞,,0<2x ∃使得;0<)(2x f ]),,([)(12x x C x f ∈由于由零点定理，存在),(120x x x ∈使得,0=)(0x f 即方程有根.例4证小结2个定理:根的存在性定理; 介值定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;。
高二竞赛讲义 多项式的零点
高二数学竞赛班二试讲义第2讲 多项式的零点班级 姓名一、知识点金1．设多项式()f x =1110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++，其中i a F ∈（F 可以是复数集C ，实数集R ，有理数集Q ，整数集Z ），在F 中的数α使()0f α=，则称α为()f x 的零点。
2．因式定理：设()[]f x F x ∈，则x α=是()f x 的零点的充要条件是()f x 被x α-整除。
3．[]F x 中n 次多项式至多有n 个不同的零点；[]C x 中n 次多项式有n 个不同的零点。
4．设[]F x 中多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++在F 中至少有1n +个零点，则()f x 是零多项式（即所有项系数都是0）。
5．恒等定理：设(),()[]f x g x F x ∈，如果有无穷多个F α∈，使得()()f g αα=，则 ()()f x g x =（即f 与g 的同次幂的系数相等）6．设()()()mf x x q x α=-，其中()0q α≠，当正整数1m =时，称α为单根，当正整数1m >时，称α为重根，计算()f x 的零点个数时，重根计入重数。
7．设()f x 是一个整系数多项式，p 是一个素数。
若整数α满足()0(mod )f p α≡，则称α是()f x 模p 的一个零点，或称α是同余方程()0(mod )f x p ≡的一个解。
8．拉格朗日定理：设()f x 是一个整系数多项式，p 是一个素数，()f x 模p 的次数为n ，则同余方程②至多有n 个互不相同（即模p 不同余）的解。
如3p =是，21(mod 3)x ≡有两个解1x =±。
但如果p 是合数，则结论不再正确，如21(mod8)x ≡有两个解1,3x =±±9．设10()[]nn f x a x a x a Z x =+⋅⋅⋅++∈，1n ≥，00n a a ≠，且0(,,)1n a a ⋅⋅⋅=。
连续函数介值定理和零点定理
连续函数介值定理和零点定理
连续函数介值定理(Intermediate Value Theorem)：设 f(x)是定
义在闭区间[a,b]上的连续函数，若存在c∈[a,b]使f(c)=0，则对于
任意的y，都有[y<f(x)<0] 或[0<f(x)<y]存在x∈[a,b],使得f(x)=y。
零点定理(The Zero Theorem): 设 f(x)是定义在闭区间[a,b]上
的连续函数，若存在c∈[a,b]使f(c)>0，则存在d∈[a,b]使f (d)=0。
连续函数介值定理及零点定理是定义连续函数的一些基本概念，
其中连续函数介值定理指出，若函数f在闭区间[a,b]上连续，且函数
f在该区间内某点处取得0值，那么在该连续函数f上，任何一点值y，都存在某个x（x∈[a,b]），使得f(x)=y。
而零点定理则表明，若函
数f在闭区间[a,b]上连续，且函数f在该区间内某一点处取得正值，
那么在该连续函数f上，一定有某点d处，使得f(d)=0。
因此可以看出，连续函数介值定理和零点定理都是基于连续性而
提出的，它们可以用来证明某一区间内的连续函数某点处取值的关系，从而让我们对连续函数有更深入的认识。
新高考A版讲义：第三章函数 第5节 函数的零点
A. ，0 B．－2,0 C. D．0
解析当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝ ，此时无解．
综上所述，函数零点为0.
(2)若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
方法二由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，∴f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，∴f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，∴零点只有一个．
反思感悟判断函数存在零点的3种方法
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
根据零点情况求参数范围
典例函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．
解由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，
零点定理-
零点定理零点定理是一个非常重要的概念，它是数学中一个基本而又重要的定理。
零点定理可以帮助我们确定一些方程的解，它的应用非常广泛，不仅在数学中，还可以在工程科学、物理、经济学等领域中发挥重要作用。
在下面的文章中，我将详细介绍零点定理的概念、原理和应用。
一、零点定理的概念零点定理指的是一个多项式函数在定义域内的零点的存在性和数量问题。
它可以表示为：存在一个多项式函数f(x)，如果在定义域[a,b]内，f(a)和f(b)的符号不同，那么f(x)至少有一个零点在[a,b]区间内。
这个定理的实质是解决了多项式函数在定义域内存在零点的问题。
二、零点定理的原理零点定理的原理是基于中间值定理衍生出来的。
中间值定理是指：如果f(x)是一个连续的函数，在区间[a,b]上，且f(a)和f(b)的符号不相同，那么f(x)在[a,b]内至少有一个零点。
根据中间值定理，我们可以知道，在一个连续的函数中，如果在某个区间上，函数值在两个点的符号不相同，那么在这个区间上，至少存在一个x，使得f(x)=0。
因此，由中间值定理延伸出来的零点定理可以帮助我们更加方便地计算函数的零点。
三、零点定理的应用零点定理在数学中的应用非常广泛，它可以用于解决多项式方程的根的数量和位置问题，同时也可以用于求解非线性方程的近似解。
除此之外，零点定理还可以应用于工程科学、物理、经济学等领域。
1.解决多项式方程的根的数量和位置问题。
一个多项式方程在某个区间内的零点数量和位置是非常重要的问题。
零点定理可以帮助我们判断这个多项式方程在该区间内是否有零点，如果有，我们还可以利用细化区间的方法进一步确定零点的位置。
这对于求解多项式方程的根非常有用。
2.求解非线性方程的近似解零点定理还可以用于求解非线性方程的近似解。
在这种情况下，我们可以使用迭代法来逼近这个方程的零点。
具体地，我们可以将该方程转化为一个同样有零点的方程，例如，可以将该方程转化为一个多项式方程，然后使用零点定理来求解这个方程的根。
导数专题一零点问题1------导数专题超级经典讲义
导数专题一零点问题1------导数专题超级经典讲义零点的定义：一般地，如果函数y=f(x)在x=α处有实数根，即f(α)=0，则α叫做这个函数f(x)的零点。
零点的判定：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点。
零点问题主要包括的题型包括：1.是否有零点；2.判断零点个数；3.已知零点求参数。
分类讨论求零点个数是零点问题的一个考点。
下面以一个例题来说明。
例题：已知函数f(x)=alnx-(a+1)x，a∈R。
当a≤1时，讨论函数f(x)的零点个数。
解析：首先求出f'(x)=-a/(x^2)-a/(xlna)，然后分类讨论。
当a≤0时，f'(x)0，无零点。
当-10，在x∈(0,1)和(1,2)内各有一个零点。
综上所述，当a≤0时，f(x)有一个零点；当a=-1时，f(x)有一个零点；当-1<a<0时，f(x)有两个零点；当0<a≤1时，f(x)有两个零点。
已知函数 $f(x)= (2k-1)\ln x+\frac{2x}{k+2},k\in\mathbb{R}$，以下进行分析：首先，由于 $x>0$，所以函数 $f(x)$ 的定义域为 $x\in (0,+\infty)$。
接着，我们来看函数 $f(x)$ 的零点情况：当 $k=1$ 时，$f(x)=\ln x+2$，很明显只有一个零点$x=e^{-2}$。
当 $k=e$ 时，$f(x)=(2e-1)\ln x+ \frac{2x}{e+2}$，$f(x)$ 不存在零点，因为 $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$，$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$，且 $f(x)$ 在$(0,+\infty)$ 上单调递增。
当 $k\neq 1,e$ 时，我们可以求出 $f(x)$ 的导函数为$f'(x)=\frac{2k-1}{x}+\frac{2}{(k+2)x^2}$，令 $f'(x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，代入 $f(x)$ 可以得到$f(\frac{1}{2})=\frac{2k-1}{2}\ln \frac{1}{2}+\frac{1}{k+2}$，因此当 $01$ 时，$f(x)$ 不存在零点。
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函数与方程知识要点梳理知识点一、函数的零点1.函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.要点诠释：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点3.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.4.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5.变号零点与不变号零点如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点.知识点二、二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.三、规律方法指导1．如何求函数的零点？3北洋教育答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标. 2．如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？答：单调函数在其定义域内最多有一个零点.经典例题透析类型一、求函数的零点1．求下列函数的零点.(1)； (2).（3）12)(-=xx f举一反三：【变式1】求函数：(1)； (2)的零点.练习 1求函数)1lg()(-=x x f 的零点．2．设函数f (x )＝222[1,),2(,1)x x x x x -∈+∞⎧⎨-∈-∞⎩则函数F (x )＝f (x )－14的零点是________．类型二、确定函数零点的个数2．二次函数中，，则函数的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．无法确定练习1．函数f (x )＝(x －1)ln xx －3的零点有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2 函数f (x )＝⎩⎨⎧0＞，ln ＋2－0，3－2＋2x x x x x ≤的零点个数为( ).A ．0B ．1C ．2D ．3零点定理的探究：（1）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）． （2）观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．练习1.若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)5北洋教育的值 ( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不能确定2．设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－12)·f (12)＜0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根类型三 通过零点定理判定零点区间设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间 ( ) A ．(1.25,1.5) B ．(1,1.25) C ．(1.5,2) D ．不能确定练习：1 ．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：f (1.600 0)＝0.200 f (1.587 5)＝0.133 f (1.575 0)＝0.067 f (1.562 5)＝0.003f (1.556 2)＝－0.029f (1.550 0)＝－0.060据此数据，可得f (x )＝3x －x －4的一个零点的近似值(精确到0.01)为____________．2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是 ( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[－2，－1]D ．[－1,0]3．下列方程在(0，1)内存在实数解的是( )． A ．x 2＋x －3＝0 B ．x1＋1＝0 C ．21x ＋ln x ＝0D ．x 2－lg x ＝04．若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)＞0，f (1)f (2)f (4)＜0，则下列命题正确的是( )． A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点5.(2009·天津高考)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点类型四、用二分法求函数的零点的近似值1．如图所示，以下每个函数都有零点，但不能．．用二分法求图中函数零点的是3．求函数的一个正数零点(精确到0.1).举一反三：【变式1】用二分法求函数的一个正零点（精确到）类型四、用二分法解决实际问题4．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，7北洋教育如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？学习成果测评基础达标一、选择题1.（2011 东北四市 6）已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（）A. B. C. D.2.有两个互为相反数的零点的函数( )A.只能是偶函数B.可以是奇函数C.可以是增函数D.可以是减函数3.（2011 广东广州3月6）若函数没有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根5.若已知，则下列说法中正确的是( )A.在上必有且只有一个零点B.在上必有正奇数个零点C.在上必有正偶数个零点D.在上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点6.函数在区间内的函数值( )A.大于等于0B.小于等于0C.大于0D.小于07.如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )二、填空题1.三次方程在下列连续整数____________之间有根.①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与32.函数的零点是__________.三、解答题1.用二分法求在区间的一个实根(精确到0.01).高考真题【变式2】（2011 山东理16）已知函数，当时，函数的零点,则___________． .。