高超声速气动力及导数计算报告概要

高超声速气动力及导数计算报告撰写人：学号: 班级：2012年10月25日一引言实验目的：①熟练运用面元法中有关网格划分的方法；②掌握高超音速气动力工程估算方法中面元法及牛顿法；同时，比较两者的计算结果，并分析差异产生原因。

实验条件：编程计算该旋成体的升力、阻力、升阻比及俯仰力矩系数，还有导数作出曲线。

图（1）计算条件：530, 4.5~10.5,10,0M H km αβγ∞=-︒︒==== 几何参数：0.1,0.5, 3.912a m b m D m === 飞行器运动状态：0P Q R ===二 计算方法规定导弹的体坐标系为：X 轴沿着导弹纵轴向后，Y 轴垂直于弹体向上，Z 轴于其它两轴构成右手坐标系，即指向导弹左侧，原点位于导弹前缘点。

取原点为参考点。

牛顿法：牛顿法的假设如下： ①攻角α小于物面倾角θ；②假设流体由大量均匀分布的，彼此独立无相互作用的质点所组成，它们排列整齐、平行地沿着直迹线流向物体。

③流体质点流与物面碰撞时，流体质点将失去与物面垂直的法向动量，而保持原有的切向动量沿物面向下流下去。

由于法向动量的变化从而引起流体作用在物体上的力。

④流体对物面的压力只作用在物面能与流体质点相碰撞的表面上，而遮蔽区上压力为零。

牛顿公式：22sin p C θ=其中θ为来流速度方向与物面切面的夹角。

由课本可知：222220max2221[2(cos sin sin cos )()24cos sin cos sin sin sin cos cos sin ]kr xt k k k k C r rdrαθαθπγπααθθγαθγγ=+- +-⎰2220max222232[2cos sin cos sin cos sin 2sin (cos sin 2sin cos )2cos sin cos sin ()sin cos sin ]3kx yt k k k k k C r rdxααθθγγγαθπαθααθθπγαθγ-=- +--+⎰对于圆球部分，由于用于验证，我们假设α<θ,0k γ=:22221122max max()cos sin 2xt qiur r C r r αα=+ 212max()cos sin yt qiur C r αα= 对于圆锥部分，由于每一部分圆锥各自的k θγα、、一直为常值，因此直接带入积分进行计算，仅与k γα、有关，当αθ>时，()arccos k γθα=.其余为零。

由于用于验证，我们假设α<θ,因此可得对于圆锥其相关系数为：222222max 1002max1()[](2cos sin sin cos )xt zhi C r r r αθαθπ=-+100102max2200014()[sin cos cos sin ()(1tan )1sin cos sin cos tan ()]2yt zhi tb tb C r l l r l l ααθθθπαθθαθ=--+-对于圆柱部分，由于0xt C =，因此，仅计算其法向力系数，可得2max8()sin ()3yt zhu sh tb C l l r απ=⨯-于是()()()()()()xt xt qiu xt zhui xt zhu yt yt qiu yt zhui yt zhuC C C C C C C C =++=++对于本实验：1212()()()()()()()()xt xt qiu xt zhi xt zhu xt zhi yt yt qiu yt zhi yt zhu yt zhi C C C C C C C C C C =+++=+++面元法： 1）确定平面面元小曲面元i 四个角点的坐标为,,,1,2,3,4i i ik k k X Y Z k =。

其中，两个对角点形成矢量，分别把它们标记为12T T 、11112222X Y Z X Y Z T T i T j T k T T i T j T k=++=++这里131131131242242242iii i iiX Y Z ii ii i i X Y Z T X X T Y Y T Z Z T X XT Y YT Z Z=-=-=-=-=-=-通过12T T 、两个矢量的矢量积，可以得到一个新的矢量，把它记为N ：12X Y Z N T T N i N j N k =⨯=++211212212112X Y Z Y Z Y X Z X Z Z X Y X Y N T T T T N T T T T N T T T T =-⎫⎪=-⎬⎪=-⎭N 的单位矢量定义为n ：,,x y z XYZx y z n n i n j n kN N N n n n NNNN =++==== 我们知道：由一个法向矢量和空间任一点可以确定一个平面。

因此，把矢量n 作为法向矢量，并选取曲面的四个角点的平均值作为一个空间点(),,i i iX Y Z ,从而可以确定一个平面，这就是我们要选取的面元所在的平面。

其中n 为面元的外法线方向单位矢量，,,X Y Z 由如下公式计算：444111111,,444ii i i i ik k k k k k X X Y Y Z Z ======∑∑∑现在，将四个角点(),,i i i k k k X Y Z 沿矢量n 的方向投影到面元平面上，可以求得四个投影点，其坐标分别为1,2,3,4i i k k x k i i k k y k i ik k z k X X n d Y Y n d k Z Z n d ⎫'=+⎪⎪'=+=⎬⎪'=+⎪⎭式中，()()()1,2,3,4iiii i ik x k y k z kd n X X n Y Y n Z Z k =-+-+-=2）建立面元坐标系在面元形成后，需要建立一个面元坐标系。

现在我们选取面元法向单位矢量n 作为一个单位矢量，再把1T 的单位矢量1t 作为一个单位矢量：11111111111111,,x y z X Y Z x y z t t i t j t k T T Tt t t T T T T =++==== 由n 和1t 的矢量积可以决定第三的单位矢量m ：1x y z m n t m i m j m k =⨯=++111111x y z z y y z x x z z x y y x m n t n t m n t n t m n t n t ⎫=-⎪=-⎬⎪=-⎭至此，已经建立了面元坐标系，原点P O 取(),,i i iX Y Z ，P X 轴平行于1t ，PY 轴平行于m ，P Z 轴平行于n 。

易知P X 轴和P Y 轴在面元平面上。

3）面元坐标系与飞行器参考坐标系之间的变换在具体计算中，需要把飞行器坐标系中的坐标值变换到面元坐标系中去，也需要把面元系中的值转换到飞行器坐标系中去。

此时，转换公式为： 飞行器坐标转换到面元坐标111P xyz P x y z P xyz X X X t t t Y m m m Y Y Z n n n Z Z ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦从面元坐标系转换到飞行器坐标系111x xx P y y y P z zz P X X tm n X Y Y t m n Y t m n Z Z Z ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦4）面元的面积和质心坐标现在把投影点(),,i i i k k k X Y Z '''在飞行器坐标系中的值变换到面元坐标系中去，在面元坐标系中的值用,,i ii pk pk pk X Y Z 来表示，则()()()()()()11101,2,3,4i i i i pk x k y k z k i ii i pkxkykzki pk x t X X t Y Y t Z Z y m X X m Y Y m Z Z z k ⎫'''=-+-+-⎪⎪'''⎪=-+-+-⎬⎪=⎪⎪=⎭在面元平面上，由凸四边形面积公式可求得面元的面积为A ∆132412A r r →→∆=⨯uu ur uuu r这里由于1t r平行于p x 轴，因此，面积公式可以化简为()()312412ii i i p p p p A x x y y ∆=-- 在面元坐标系中，面元质心的坐标为()()041224124010113130i i i i i i i p p p p p p p i i p p ii p p ip x x y y x y y y y y y z ⎫⎡⎤=-+-⎪⎣⎦-⎪⎪=-⎬⎪⎪=⎪⎭利用面元坐标系转换到飞行器坐标系的转换关系，可求得质心在飞行器坐标中的质心坐标010*********iii i x p x p i ii i y p y p i i i iz p z p x X t x m y y Y t x m y z Z t x m y ⎫=++⎪⎪=++⎬⎪=++⎪⎭5）面元冲击角在气动力的计算中，我们必须要知道平面面元与自由流速度的夹角，即冲击角。

而第i 个面元平面的冲击角：1cos 2i i i n V n Vπθ--=-u r u rg u r u r式中i n u r为第i 面元平面的单位法向向量。

速度矢量=V V r ∞-Ω⨯u r u r u r r式中，Ωu r总角速度Pi Q j Rk Ω=---u r r r rr r向径 ：000()()()i i ir r r r x x i y y j z z j =-+-+-r r r rV ∞u r为来流速度，P Q R ，，为物体滚转、偏航、俯仰角速度，r r r x y z ，，为参考点的坐标，在编程过程中取（0，0，0）。

6）计算面元压力系数根据冲击角是否大于零，可以把面元所处的流场分为迎风面和背风面。

若冲击角大于零，则可利用修正牛顿理论：202sin p p C C θ=，计算面元的压力系数。

其中θ为来流速度与面元内法线的夹角12110222(1)21122(1)a p a a M C M M γγγγγγγγ-+⎧⎫⎡⎤⎡⎤++⎪⎪=-⎨⎬⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭若冲击角小于零，则可直接令0p C =。

7） 面元上气动力系数及动静导数计算将飞行器表面分成若干面元后，用积分的方法可以得到它的气动力系数及其静、动导数。

参考坐标系中（X 轴沿着导弹纵轴向后，Y 轴垂直于弹体向上，Z 轴于其它两轴构成右手坐标系，即指向导弹左侧，原点位于导弹前缘点。

），来流速度矢量[cos cos cos sin sin ]V V αββαβ∞∞= u r，假设面元外法向矢量[]x y z n n n n = r ，则来流速度在面元内法向上的投影为：cos cos cos sin sin x y z V V n n n αββαβ⊥∞=---V V ⊥∞分别对α和β求导，得()sin cos cos cos ()cos sin sin sin cos x y x y z V V n n V V n n n αβαββααββαβ⊥∞⊥∞=-=+-物体滚转、俯仰、偏航角速度为p q r 、、，由p q r 、、三个角速度引起的物体与气流相对运动的三个速度为：000p q r V i pz j py j V qz i j qx k V ry i rx j k =⋅-⋅+⋅=⋅+⋅-⋅=-⋅+⋅+⋅u r r r r u r r r r u r r r r 其中x y z 、、表示面元质心到参考点的距离。