椭圆知识点和例题
椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)
椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)椭圆及特殊椭圆知识点（经典完整版）1.概述椭圆是一个重要的几何概念，具有许多特殊性质和应用。
本文将介绍椭圆的基本定义和性质，并探讨一些特殊类型的椭圆。
2.椭圆的定义椭圆是一个平面图形，由到两个焦点的距离之和恒定于一个常数，且大于两个焦点间距离的点构成。
椭圆可以由一个固定点（焦点F1）和一条固定线段（主轴）决定。
3.椭圆的性质椭圆具有以下性质：半长轴：椭圆主轴的一半长度，用a表示。
半短轴：椭圆次轴的一半长度，用b表示。
焦距：焦点到椭圆某点的距离之和，等于椭圆的长轴长度。
离心率：描述椭圆的扁平程度，为焦距与长轴长度之比，用e 表示。
焦点坐标：椭圆的焦点F1的坐标表示为(-ae。
0)，焦点F2的坐标表示为(ae。
0)。
4.特殊椭圆4.1 圆当椭圆的长轴和短轴长度相等时，椭圆变成一个圆。
圆是一种特殊的椭圆，具有对称性和均匀性。
4.2 扁圆当椭圆的离心率接近于1时，椭圆变得扁平，称为扁圆。
扁圆的长轴明显大于短轴，形状更接近于一个狭长的椭圆。
4.3 扇形扇形是由椭圆上的一段弧和两条半径组成的图形。
扇形的面积可以通过椭圆扇形公式计算。
4.4 椭圆柱体椭圆柱体是由椭圆沿其中一条轴旋转形成的立体图形。
椭圆柱体具有椭圆的特性，并且其体积和表面积可以通过相应的公式计算。
5.应用领域椭圆的特性使其在许多领域中得以应用，包括：天文学：描述轨道和行星运动。
工程学：设计轮廓和曲线。
密码学：用作加密算法的基础。
6.结论椭圆是一个重要的几何概念，具有多种特殊性质和应用。
我们通过介绍椭圆的定义、性质和特殊类型，认识到椭圆在几何学和其他领域中的重要性。
高二椭圆与直线相交知识点
高二椭圆与直线相交知识点椭圆与直线是高二数学中的一种重要的几何关系，深入理解它们的相交性质对于解题和应用实践具有重要意义。
本文将介绍高二椭圆与直线相交的几个关键知识点。
一、椭圆与直线的方程在介绍椭圆与直线相交的知识点之前，我们先来了解椭圆和直线的方程。
椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为椭圆的长半轴，$b$为椭圆的短半轴。
直线的一般方程为：$Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$为实数且$A$与$B$不同时为零。
二、椭圆与直线相交的条件椭圆与直线相交的条件为：直线不经过椭圆的中心，且直线方程与椭圆方程联立可解，即联立方程有实数解。
三、椭圆与直线相交的情况分类根据椭圆与直线相交的情况，可以将其分为以下三种情况：1. 直线与椭圆相交于两个不同的点当直线与椭圆相交于两个不同的点时，此时直线既不是椭圆内切线也不是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立可解。
2. 直线与椭圆相切于一个点当直线与椭圆相切于一个点时，此时直线既是椭圆内切线又是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立有唯一实数解。
3. 直线与椭圆不相交当直线与椭圆不相交时，此时直线既不是椭圆内切线也不是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立无实数解。
四、解题方法与实例在解决涉及椭圆与直线相交的问题时，可以采用以下方法：1. 代数法：将直线方程代入椭圆方程，联立方程求解解得交点坐标。
2. 几何法：利用椭圆和直线的性质进行几何推导，得出交点的几何特征。
以下为一个实例：例题：已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直线$2x-3y+4=0$，求椭圆与直线的交点坐标。
解：将直线方程代入椭圆方程，得到$\frac{(2x-3y+4)^2}{4^2}+\frac{y^2}{9}=1$。
化简方程得$4x^2-12xy+9y^2+48x-72y+48=64$，整理得$4x^2-12xy+9y^2+48x-72y-16=0$。
上海高考椭圆知识点
上海高考椭圆知识点椭圆是解析几何中的一个重要概念，也是高考数学考试中的常见考点之一。
在上海高考数学考试中，椭圆是一个重点的知识点，考查学生对椭圆的定义、性质和相关计算方法的理解与应用能力。
下面我们将详细介绍上海高考椭圆知识点。
一、椭圆的定义与性质1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
2. 椭圆的性质：椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c（c²=a²-b²），离心率为e=c/a（0<e<1），焦点相对于中心的位置满足c²=a²-b²。
二、椭圆的方程与参数方程1. 点、直线与椭圆的关系：点P(x,y)在椭圆上的充要条件是满足椭圆方程x²/a²+y²/b²=1，其中x、y为与椭圆中心的坐标。
2. 椭圆的参数方程：若椭圆的方程为x=a*cosθ，y=b*sinθ，则称(x,y)为椭圆的参数方程，其中θ为参数。
三、椭圆与焦点的关系1. 焦点坐标计算：已知椭圆的长轴2a和离心率e，可通过e=a/c求得焦点的坐标F1(c,0)和F2(-c,0)。
2. 焦点到椭圆上任意一点的距离：设椭圆上一点P（x,y），则PF1+PF2=2a，即√[(x+c)²+y²] + √[(x-c)²+y²] = 2a。
四、椭圆的参数方程绘图1. 椭圆的参数方程绘图步骤：a) 取定参数θ的范围（例如0≤θ≤2π）。
b) 分别计算对应θ值的x和y坐标，得到参数方程(x,y)。
c) 将计算得到的各个参数值带入参数方程，得到对应的坐标点。
d) 将得到的坐标点在坐标平面上连线，即可绘制出椭圆。
五、椭圆的常见问题与应用1. 椭圆的面积计算：椭圆的面积可通过公式S=πab或S=πa²(1-e²)计算得到。
2. 椭圆的周长计算：椭圆的周长无法用简单的公式计算，但可以通过数值积分的方法进行近似计算。
【中心】椭圆知识点详细总结
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椭圆方程式知识点总结
1. 椭圆方程的第一定义：
⑴①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x 轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：
.
②一般方程：.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为
（一象限应是属于）.
⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥
离心率：.⑦焦点半径：
i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆.
⑧通径：笔直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
⑸若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.
椭圆的简单几何性质
常见考法
在段考中，多以选择题、填空题和解答题的形式考查椭圆的简单几何性质。
选择题和填空题一般属于容易题，解答题一般属于难题。
在高考中，一般以解答题的形式融合其它圆锥曲线联合考查椭圆的几何性质，难度较大。
误区提醒
求椭圆的方程，用待定系数法，先定位，后定量。
如果不能确定，要分类讨论。
【典型例题】
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椭圆基本知识点与题型总结
椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的简单几何性质标准方程12222=+by a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点、焦距)0,(1c F -，)0,(2c F ，cF F 221=),0(1c F -，),0(2c F cF F 221=范围a x ≤，b y ≤b x ≤，ay ≤顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±对称性关于x 轴、y 轴,轴对称，关于原点中心对称轴长长轴长=a 2，短轴长=b2离心率()10122<<-==e ab ac e e 越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁通径过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 22（通径为最短的焦点弦）准线方程ca x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=,02ex a PF -=01ey a PF +=，02ey a PF -=1.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=（见右图）2.椭圆的一般方程：22Ax By C +=()B A C B A 0ABC ≠≠同号，，，，且3.椭圆的参数方程：{cos sin x a y b ϕϕ==（其中ϕ为参数）4.椭圆焦点三角形问题（1）焦点三角形周长：ca 22+（2）在21F PF ∆中，有余弦定理：()θcos 2P P 22122212PF PF F F c -+=经常变形为：()()θcos 22-PF 221212212PF PF PF PF PF c -+=即：()()θcos 22-22212122PF PF PF PF a c -=（3）焦点三角形面积2tan cos 1sin sin 21S 2221P 21θθθθb b PF PF y c p F F =+=⋅=⋅=∆，其中21PF F ∠=θ5.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。
高三椭圆大题涉及到的知识点
高三椭圆大题涉及到的知识点高三学习阶段是学生们为了迎接高考而付出的最后冲刺，各个学科的知识点都需要加以复习和掌握。
在数学中，椭圆是一个重要且有趣的几何概念，而高三椭圆大题则是考查学生对椭圆相关知识点的理解和应用。
本文将就高三椭圆大题涉及到的知识点进行一些讨论。
一、椭圆的基本定义和性质在数学中，椭圆是指围绕两个焦点F1和F2且到这两个焦点的距离之和为常数2a的点的轨迹。
一个椭圆也可以由一个固定点F （焦点）和到这个焦点的距离之和为定值2a（a>0）的点的轨迹定义。
椭圆有很多有趣的性质。
首先，椭圆的离心率是一个重要的概念。
定义椭圆的离心率为e=√(1-(b^2/a^2))，其中a是椭圆的长半轴，b是椭圆的短半轴。
当离心率小于1时，椭圆是闭合的，也就是说椭圆上的点可以落在椭圆轨迹内部；当离心率等于1时，椭圆变成一个特殊的形状——圆；当离心率大于1时，椭圆不再是闭合的，椭圆上的点只能落在椭圆轨迹的外部。
其次，椭圆还有一个重要的性质叫做焦准圆性质。
这个性质指的是，任何一个椭圆上的点到焦点F1的距离和焦点F2的距离之和等于2a，即PF1 + PF2 = 2a。
这个性质在椭圆的推导和应用中都会用到。
二、椭圆方程与参数方程椭圆可以用两种方式来表示，即椭圆的方程和参数方程。
对于椭圆的方程来说，通常以椭圆的中心为坐标原点，以横轴和纵轴为坐标轴，椭圆的方程可以表示为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
而椭圆的参数方程则是以一个参数t为自变量，x和y分别用t表示，即x = a * cos(t)，y = b * sin(t)。
这个参数方程可以方便地描述椭圆的运动和变化规律。
三、椭圆的性质应用椭圆的性质在实际应用中有广泛的运用，比如在天文学中，行星的轨道通常是椭圆形的，而椭圆的离心率可以反映行星轨道的形状。
在物理学中，椭圆的焦准圆性质也可以解释光线的折射和反射规律。
关于椭圆的知识点
关于椭圆的知识点
椭圆是圆锥曲线的一种，它是在平面内选取定点F（称为焦点）和定长2a（称为长半轴），再以定长2b（称为短半轴）为直径的圆上的点P 到F的距离与P到椭圆中心O的距离之和等于2a的点的轨迹，其中O为长半轴的中点。
椭圆的通用方程是某²/a²+y²/b²=1，该方程描述了椭圆的几何性质，包括长半轴、短半轴、焦距、离心率、曲率等。
椭圆具有如下几个重要的性质：
1.焦点离心率：椭圆中心到焦点的距离与长半轴之比。
离心率越大，椭圆形状越扁。
2.曲率：椭圆上的任意一点对应的曲线曲率半径等于其所在切线与法线的交点到中心的距离的倒数。
3.对称性：椭圆的长轴和短轴是对称轴。
如果在长轴方向上有中心对称性，则称其为上下对称的，如果在短轴方向上有中心对称性，则称其为左右对称的。
4.周长和面积：椭圆的周长为2πb+(a-b)E(e²)，E为椭圆的椭圆积分，e是椭圆的离心率。
椭圆的面积为πab。
椭圆在数学和物理学中有很多应用。
以下是一些例子：
1.密码学：椭圆曲线密码学（ECC）是一种公钥加密技术，该技术利用椭圆曲线上的离散对数难题实现加密。
2.光学：椭圆镜是一种反射面为椭圆曲线的光学镜头，它的设计可以使光线汇聚在焦点上。
3.天文学：开普勒椭圆轨道理论描述了行星、卫星和彗星等天体运动的基本法则。
4.电子学：椭圆滤波器是一种用于处理无线信号的滤波器，可以实现频率选择和抽取。
总之，椭圆是一种重要的数学对象，在各个领域都有广泛的应用。
学习椭圆的基本知识可以帮助人们更好地理解和利用这种曲线。
圆锥曲线椭圆双曲线抛物线学习的知识点的总结计划例题习题精讲标准答案.doc
知能梳理【椭圆】一、椭圆的定义1 、椭圆的第一定义：平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数( PF1PF22a F1 F2 )，这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若 ( PF1 PF2 F1 F2 ) ，则动点P的轨迹为线段F1 F2；若 ( PF1 PF 2 F1 F2 ) ，则动点P的轨迹无图形。
二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a、 b，焦点为 c）（ 1）当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：x 2 y 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2；a 2b 2（ 2）当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：y 2 x 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2；a 2b 22、两种标准方程可用一般形式表示：x2 y22 2 m n1 或者mx +ny =1三、椭圆的性质（以 x 2 y 2 1 (a b 0) 为例）a 2b 21、对称性：对于椭圆标准方程x 2y 2(a b 0) ：是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对a12 b 2称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围 ：椭圆上所有的点都位于直线x a 和 y b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 x a ，y b 。
3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆x2 2y221 (a b 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A 1 ( a,0) ，abA 2 (a,0) ，B 1 (0, b) ， B 2 (0,b) 。
③线段 A 1 A 2 ， B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴， A 1 A 22a ，B 1 B 22b 。
a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率：① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作 e2c c 。
2a a② 因为 (a c 0) ，所以 e 的取值范围是 (0 e 1) 。
椭圆知识总结及经典例题
专题 椭圆(知识点讲解)- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解(原卷版)
专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；②若，则集合P为线段；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>a c=③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点焦距a c <x 2222=1(a>b>0)x y a b +y 2222=1(a>b>0)y x a b +x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a b x a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±222122()F F c c a b -＝＝离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．6例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1B ．－1C 17D ．17例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sinC ．221189x y +=D ．221169x y +=【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ．(3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B ．22C ．12D ．13例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．23D ．3例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a b λλ2222+=1(a>b>0)x y a b22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______．【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征． 4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________．例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 2222e?b b c a=2222+=1(a>b>0)x y a b22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离． 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；1122()()M x y N x y ，，，，MN 221212(1)[()4]k x x x x ++-MN ＝2121221(1)[(y )4]y y y k++-（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.:E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A BE。
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1 2.2.1《椭圆及其标准方程》 1. 椭圆的定义． 把平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M时，椭圆即为点集P12|2MMFMFa． 2.椭圆标准方程:
焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程222210yxabab．
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0，2,0，并且经过点53,22，求它的标准方程。 分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,abc．引导学生用其他方法来解。
解：设椭圆的标准方程为222210xyabab，因点53,22在椭圆上，
则22222591104464aabbab。 例2 如图，在圆224xy上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？
分析：点P在圆224xy上运动，由点P移动引起点M的运动，则称点M是点P的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点M的轨迹方程。 2
解：设,Mxy，11,Pxy；∵M为线段AP的中点，∴112622xxyy； ∵22111259xy， ∴点M的轨迹方程为223112594xy； 例3如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为49，求点M的轨迹方程。
,Mxy，则直线AM，BM的斜分析：若设点
子表示，由于直线AM，BM的斜率就可以用含,xy的式
率之积是49，因此，可以求出,xy之间的关系式，即得到点M的轨迹方程。 解：设点,Mxy，则55AMykxx，55BMykxx； 代入点M的集合有4559yyxx，化简即可得点M的轨迹方程。
为：2215100259xyx。
课堂小结 1.能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义； 2.能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示； 3.正确推导椭圆的标准方程，理解椭圆的焦点位置和图形的对应关系。 拓展提升 1．如果方程222myx表示焦点在y轴的椭圆，那么实数m的取值范围是（ ） A．（0，+） B．（0，2） C．（1，+） D．（0，1）
2．若椭圆116222byx过点（－2，3），则其焦距为（ ） 3
A.25 B.23 C. 43 D. 45 3．设F是椭圆2211115xy的一个焦点，椭圆上至少有21个点P1，P2，P3，„，P21，使得数列{PiF}(i=1,2,„,21)成公差为d的等差数列，则d的一个可取值是 （ ） A． 12 B．－13 C． 14 D．－15 6．已知AB是过椭圆22419xy左焦点F1的弦，且|AF2|＋|BF2|=4，其中F2为椭圆的右焦点，则弦AB的长是 。 7．已知△ABC的顶点B、C在椭圆2213xy上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 。 8.已知F1、F2分别为椭圆x2100 + y264 =1 的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2，－6），P为椭圆上的一个动点，试求|PM|＋|PF2|的取值范围。
参考答案 1．D【解析】距离之和恰好等于两定点间的距离。 2．C【解析】运用离心率的计算公式。 3．C【解析】用椭圆定义． 4．D【解析】将方程化成标准形式． 5．C【解析】将点的坐标代入，求b． 6．D【解析】考虑特殊情况． 7．43 【解析】用椭圆定义． 8.解：由椭圆的定义知 |PF2|+|PF1|=2a=20， 故 |PM|+|PF2| = |PM|-|PF1|+20 1˚ |PM|-|PF1|≤|MF1| =10， 4
故 |PM|+|PF2|≤30（当且仅当P为有向线段1MF的延长线与椭圆的交点时取“=”）； 2˚ |PF1|-|PM|≤|MF1| =10， 故 |PM|+|PF2|=20-（|PF1|-|PM|）≥10（当且仅当P为有向线段1MF的反向延长线与椭圆的交点时取“=”） 综上可知，|PM|+|PF2|的取值范围为[10，30]。 2.2.2《椭圆的简单几何性质》 新授课阶段 1.椭圆的简单几何性质
①范围：由椭圆的标准方程可得，222210yxba，进一步得：axa，同理可得：byb，即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里； ②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴； ④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比ace叫做椭圆的离心率（10e），1,0ecab当时 椭圆图形越扁；椭圆越接近于圆时当a，b，ce00 ．
2.椭圆性质的运用 例1 求椭圆221625400xy的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,abc．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．
解：依题意，0,5mm，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论： ①当焦点在x轴上，即05m时，有5,,5abmcm， 5
∴5255m，得3m； ②当焦点在y轴上，即5m时，有,5,5ambcm，∴5102553mmm．
例2过椭圆C：)0(12222babxay上一点P引圆O：222byx的两条切线PA、PB，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别相交于M、N两点. （1）设),(00yxP，且000yx，求直线AB的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为8，且1625||||2222ONbOMa，求此椭圆的方程； （3）试问椭圆C上是否存在满足PA→ ·PB→ =0的点P，说明理由． 解：（1）直线AB的方程：)0(00200yxbyyxx;
（2）椭圆C的方程：)0(1251622xyyx; （3）假设存在点),(00yxP满足PA→ ·PB→ =0，连结OA、OB，由|PA|=|PB|，知四边形PAOB为正方形， |OP|=2|OA|, ∴220202byx. ①又P在椭圆上, ∴22202202baybxa. ②
由①②得2222220)2(bababx，222220babay. ∵0ba , ∴22ba . ∴当0222ba即ba2时，椭圆C上存在点P满足题设条件； 当222ba即bab2时，椭圆C上不存在满足题设的点P. 课堂小结 6
1.掌握椭圆的简单几何性质； 2.能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率； 3.理解已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性. 作业 见同步练习部分 拓展提升 1．点(31)P，在椭圆22221(0)yxabab的左准线上，过点P且方向为(25)a，的光线经直线2y反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A．33 B．13 C．22 D．12 2．一个中心在原点的椭圆，其一条准线的方程是x=4，对应的焦点F（2，0），则椭圆的方程是 . 3．已知AB是过椭圆22419xy左焦点F1的弦，且|AF2|＋|BF2|=4，其中F2为椭圆的右焦点，则弦AB的长是 . 4．已知△ABC的顶点B、C在椭圆2213xy上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 . 5．把椭圆2212516xy的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，„，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，求|PF1|＋|PF2|＋„＋|PF7|的值.
6．在直角坐标平面内，已知两点A（－3，0）及B（3，0），动点P到点A的距离为8，线段BP的垂直平分线交AP于点Q. （1）求点Q的轨迹T的方程；
（2）若过点B且方向向量为（－1，3）的直线l，与（1）中的轨迹T相交于M、N两点，试求△AMN的面积. 7
7．已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F（－m,0）(m是大于0的常数). (1)求椭圆的方程； (2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M. 若QFMQ2，求直线l的斜率.
8.已知点P是⊙O：229xy上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D,动点Q满足23DQDP
.
（1）求动点Q的轨迹方程； （2）已知点(1,1)E，在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使1()2OEOMON
(O是坐标原点)，若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明
理由.
参考答案 1．A【解析】求出入射光线所在直线方程及椭圆焦点坐标准线方程. 2．221164xy【解析】直接用公式. 3．2【解析】数形结合用定义. 4．43 【解析】用椭圆定义. 5．35【解析】用焦半径公式：|PFi|= a＋exi. 6．解：（1）由于QB=QP，故AQ+BQ=AP＞AB，Q点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．