《第3章 勾股定理》单元检测题(含答案)
2021年初一政治第3章《勾股定理》基础练习(含答案)
第3章《勾股定理》基础练习一．选择题1．下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．6，12，132．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形3．若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（）A．60 B．30 C．20 D．324．三角形的三边长分别为6，8，10，它的最长边上的高为（）A．6 B．2.4 C．8 D．4.85．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m6．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，则BC的长为（）A．25 B．7 C．25或7 D．不能确定7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是中线，则CD的长为（）A．2.5 B．3 C．4 D．58．若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°9．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2 10．如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S1的值为（）A．7 B．8 C．9 D．1011．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（）A．BC＝4，AC＝5，AB＝6 B．BC，AC，ABC．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：512．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．3二．填空题13．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC＝．14．若直角三角形的三边分别为x，8，10，则x2＝．15．△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则△ABC周长为cm．16．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了一个定理，这是我国古代数学的骄傲．这个定理就是定理．17．如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝，∠ABC ＝°．18．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为．19．在一次游戏中，小丽问小颖：“如果我现在从你所站的位置向北走20米，后向西走60米，再向北走60米，那么我与你相距米．”20．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝，c＝．三．解答题21．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4．（1）∠ADC是直角吗？请说明理由．（2）求DF的长．22．如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长．23．如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B25m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度．24．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．25．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由．26．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．一．选择题1．下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．6，12，13【解答】C【解析】A、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；B、1.5和2.5不是整数，此选项错误；C、∵72+242＝252，∴是勾股数，此选项正确；D、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．故选C．2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形【解答】B【解析】如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，则x+3x+2x＝180°，解得，x＝30°，则3x＝90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2＝9：16：25，则如果a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选B．3．若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（）A．60 B．30 C．20 D．32【解答】B【解析】设另一直角边为x，∵斜边的长为13，一条直角边长为5，∴，∴S5×12＝30．故选B．4．三角形的三边长分别为6，8，10，它的最长边上的高为（）A．6 B．2.4 C．8 D．4.8【解答】D【解析】∵三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理62+82＝102，∴此三角形为直角三角形，则10为直角三角形的斜边，设三角形最长边上的高是h，根据三角形的面积公式得：6×810h，解得h＝4.8．故选D．5．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m【解答】C【解析】由题意得BC＝8m，AC＝6m，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：米．所以大树的高度是10+6＝16米．故选C．6．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，则BC的长为（）A．25 B．7 C．25或7 D．不能确定【解答】C【解析】如图1，锐角△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得，在Rt△ADC中AC＝20，AD＝12，由勾股定理得，BC的长为BD+DC＝9+16＝25．如图2，钝角△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得，在Rt△ACD中AC＝20，AD＝12，由勾股定理得，BC＝CD﹣BD＝7．故选C．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是中线，则CD的长为（）A．2.5 B．3 C．4 D．5【解答】A【解析】如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得，∵CD是斜边的中线，∴CD AB5＝2.5，故选A．8．若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】A【解析】∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵∠B﹣∠C＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝30°，故选A．9．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2【解答】D【解析】根据题意得：S（a+b）（a+b），S ab ab c2，（a+b）（a+b）ab ab c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得：a2+b2＝c2．故选D．10．如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S1的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】B【解析】∵由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴S3+S2＝S1，∵S1+S2+S3＝16，∴2S1＝16，∴S1＝8，故选B．11．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（）A．BC＝4，AC＝5，AB＝6 B．BC，AC，ABC．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【解答】C【解析】A．若BC＝4，AC＝5，AB＝6，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；B．若BC，AC，AB，则AC2+AB2≠CB2，故△ABC不是直角三角形；C．若BC：AC：AB＝3：4：5，则BC2+AC2＝AB2，故△ABC是直角三角形；D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C＜90°，故△ABC不是直角三角形；故选C．12．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．3【解答】D【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab8＝4，∴4ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故选D．二．填空题13．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC＝．【解答】12【解析】由勾股定理可知：AB2＝AC2+BC2，∴BC＝12，故答案为1214．若直角三角形的三边分别为x，8，10，则x2＝．【解答】36或164【解析】分两种情况：①两直角边分别为8，10，由勾股定理得x2＝82+102＝164，②一直角边为8，斜边为10，由勾股定理得x2＝102﹣82＝36；故答案为36或164．15．△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则△ABC周长为cm．【解答】2400【解析】设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm，∵最长边为10m，∴5x＝10，解得：x＝2，∴3x＝6，4x＝8，∴6+8+10＝24（m）＝2400cm，故答案为2400．16．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了一个定理，这是我国古代数学的骄傲．这个定理就是定理．【解答】勾股【解析】这个定理就是勾股定理，故答案为勾股．17．如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝，∠ABC ＝°．【解答】10，45【解析】连接AC．根据勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，AC2＝BC2＝12+22＝5，∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．1001故答案为10，45．18．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为．【解答】110【解析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，所以，KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110．故答案为110．19．在一次游戏中，小丽问小颖：“如果我现在从你所站的位置向北走20米，后向西走60米，再向北走60米，那么我与你相距米．”【解答】100【解析】由题意可得：AC＝60m，BC＝80m，则（m）．故答案为100．20．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝，c＝．【解答】84,85【解析】在32＝4+5中，4，5；在52＝12+13中，12，13；…则在13、b、c中，b84，c85．三．解答题21．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4．（1）∠ADC是直角吗？请说明理由．（2）求DF的长．【解答】（1）是直角；（2）DF．【解析】（1）∠ADC是直角．理由是：∵DE是△ADC的高，∴∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20，同理：CD2＝5，∴AD2+CD2＝25，∵AC＝AE+CE＝4+1＝5，∴AC2＝25，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC是直角；（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC＝5，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∵点F是边AB的中点，∴DF．22．如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长．【解答】新建路的长为4.8km【解析】过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD为新建公路．∵AC＝6km，BC＝8km，AB＝10km∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∵S△ABC•AC•BC AB•CD，∴6×810×CD，∴CD＝4.8km∴新建路的长为4.8km．23．如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B25m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度．【解答】河流的宽度为60米【解析】根据图中数据，由勾股定理可得：（米）．∴该河流的宽度为60米．24．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．【解答】∠APB的度数是150°【解析】如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′B，由旋转的性质，AP′＝AP，P′B＝PC＝10，∠PAP′＝60°，∴∠APP′＝60°，PP′＝PA＝6，∵PP′2+PB2＝62+82＝100＝P′B2，∴△BPP′是直角三角形，∠BPP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝60°+90°＝150°，故∠APB的度数是150°．25．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由．【解答】直角三角形【解析】以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形，理由：∵m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，∴c＞a，∵a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝（m2+1）2，c2＝（m2+1）2，∴a2+b2＝c2，∴以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形．26．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．【解答】（2）x；（3）见解析【解析】（2）因为S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC cx ax bx所以x．答：x与a、b、c的关系为x．（3）根据（1）和（2）得：x．即2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c）化简得a2+b2＝c2．。
勾股定理典型练习题(含答案)
勾股定理典型练习题 1、（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ） A 、90 B 、100 C 、110 D 、121答案：C2、（2009•达州）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是（ ）A 、13B 、26C 、47D 、94答案：C3、（2008•龙岩）如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E ，F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A 、34B 、33C 、32D 、3答案：C4、（2007•连云港）如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）A 、 4B 、6C 、16D 、55答案：C5、（2006•山西）如图，分别以直角△ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S 2，则（ ）A ．S1=S2B ．S1＜S2C ．S1＞S2D ．无法确定▲6、如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°．在AB 的同侧分别以AB 、BC 、AC 为直径作三个半圆．图中阴影部分的面积分别记作为S1和S2．（1）求证：S1+S2=S△ABC；（2）若Rt△ABC 的周长是 62+，斜边长为2，求图中阴影部分面积的和．答案：21 ▲7、如图，直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，以AB 为直径画半圆，若阴影部分的面积S1-S2= 2π，则BC= _____。
《勾股定理》勾股定理的逆定理(含答案)
第3章《勾股定理》： 3.2 勾股定理的逆定理填空题1．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽 1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m 长．（第1题）（第2题）（第3题）2．如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是 cm．3．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是厘米．4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米．（第4题）（第5题）（第6题）5．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是错误!，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号）6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m．（结果不取近似值）7．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（第7题）（第8题）（第9题）8．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 cm．（π取3）9．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是．10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．（第10题）（第11题）（第12题）11．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸．13．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ，c= ．解答题14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．15．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．16．先请阅读下列题目和解答过程：“已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4①∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）②∴c2=a2+b2③∴△ABC是直角三角形．”④请解答下列问题：（1）上列解答过程，从第几步到第几步出现错误？（2）简要分析出现错误的原因；（3）写出正确的解答过程．17．如图，四边形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠BAD=90°，（1）试说明：BD⊥BC；（2）计算四边形ABCD的面积．18．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．19．请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，A∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），B∴c2=a2+b2，C∴△ABC为直角三角形．D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：；（2）错误的原因是；（3）本题正确的结论是：．20．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．21．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 …a 22-1 32-1 42-1 52-1 …b 4 6 8 10 …c 22+1 32+1 42+1 52+1 …（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a= ，b= ，c= ；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．22．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=95．（1）求CD，AD的值；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．23．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．（图2，图3备用）24．如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米， 3 ≈1.732）．25．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？26．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=错误!m．求点B到地面的垂直距离BC．27．如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图所示，测得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？28．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB 于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？29．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？30．如下图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=8，BC=6，CD=24，AD=26，求四边形ABCD的面积．答案：填空题1．故答案为：1.5m．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：用勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方进行解答．解答：解：由图可知这条木板的长为错误!=错误!=1.5m．点评：本题较简单，只要熟知勾股定理即可．2．故答案为：11cm．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：筷子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的筷子与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出筷子在水杯中的长度，筷子总长度减去杯子里面的长度即露在外面的长度．解答：解：设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，根据勾股定理，得：c2=a2+b2，故：c=错误!=错误!=13cm，h=24-13=11cm．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3．故答案为：6厘米．考点：勾股定理的应用．分析：根据最长4cm，可得筷子长为12cm．那么可得AC长，那么利用勾股定理可得内径．解答：解：根据条件可得筷子长为12厘米．如图AC=10厘米，BC=错误!=错误!＝6厘米．点评：主要考查学生对解直角三角形的应用的掌握情况．4．故答案为：2cm．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答．解答：解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m．又∵梯子的长度不变，在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m．则AA′=8-6=2m．点评：熟练运用勾股定理，注意梯子的长度不变．5．故答案为：2 2 ．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．解答：解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB=π•错误!=2，CB=2．∴AC=AB2+BC2 =8 =2 2 ，故答案为：2 2 ．点评：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．6．故答案为：3 5 m．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题；转化思想．分析：求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．解答：解：圆锥的底面周长是6π，则6π=nπ×6 180，∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6，∠BAP=90度．∴在圆锥侧面展开图中BP=32+62 =45 ＝3 5 m．故小猫经过的最短距离是3 5 m．故答案是：3 5 m．点评：正确判断小猫经过的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键．7．故答案为：22m．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答：解：其侧面展开图如图：AD=πR=4π，AB=CD=20m．DE=CD-CE=20-2=18m，在Rt△ADE中，AE=AD2+DE2 =错误!≈21.9≈22m．故他滑行的最短距离约为22m．点评：U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为4m的半圆的周长，矩形的长等于AB=CD=20m．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．8．故答案为：15cm．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B 的线段长，由勾股定理求得AB的长．解答：解：圆柱展开图为长方形，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理得AB=122+(3π)2 =错误!=错误!=15cm．故蚂蚁经过的最短距离为15cm．（π取3）点评：解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可．9．故答案为：10．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．解答：解：将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为6和8，故矩形对角线长AB=62+82 =10，即蚂蚁所行的最短路线长是10．点评：本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线．10．故答案为：2.5．考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理．分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解答：解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=22+[（0.2+0.3）×3]2=2.52，解得x=2.5．点评：本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．11．故答案为：2.60．考点：平面展开-最短路径问题．分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．解答：解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．于是最短路径为： 2.42+12 =2.60米．故答案为：2.60．点评：本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，是中档题．12．故答案为：25寸．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答．解答：解：将台阶展开矩形，线段AB 恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸，由勾股定理得AB=72+242 =25寸． 点评：本题结合实际，运用两点之间线段最短等知识来解答问题．13．故答案为：b=84，c=85；考点：勾股数． 专题：规律型．分析：认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n 组数为（2n+1），（(2n +1)2−12）， （(2n +1)2+12 ），由此规律解决问题．32-12解答：在32=4+5中，4=32-12 ，5=32+12； 在52=12+13中，12=52-12 ，13=52+12； …则在13、b 、c 中，b=132-12 =84，c=132+12=85； 点评：认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键． 解答题14．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理． 专题：探究型．分析：根据等边三角形的性质利用SAS 判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ ；设PA=3a ，PB=4a ，PC=5a ，由已知可判定△PBQ 为正三角形从而可得到PQ=4a ，再根据勾股定理判定△PQC 是直角三角形．解答：解：（1）猜想：AP=CQ ，证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC．又AB=BC ，BP=BQ ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；（2）由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，连接PQ，在△PBQ中由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，∴△PBQ为正三角形．∴PQ=4a．于是在△PQC中∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2∴△PQC是直角三角形．点评：此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用．15．考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．专题：证明题；压轴题；探究型分析：此题有一定的开放性，要找到变化中的不变量才能有效解决问题．解答：（1）证明：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；（3分）（2）解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．（5分）∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形；（7分）（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，∴190°-α=α-60°∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，∴α-60°=50°∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵190°-α=50°∴α=140°．综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．（12分）说明：第（3）小题考生答对1种得（2分），答对2种得（4分）．点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．16．考点：勾股定理；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．专题：阅读型．分析：从公式入手，式子的左边提取公因式，式子的右边符合平方差公式，并分解，两边同一个不为零的数，从而得到勾股定理．解答：解：（1）从第②步到第③步出错（写成第“2”或“二”等数字都不扣分；另外直接写“第③步”或“到第③步”都算正确），（2分）（2）等号两边不能同除a2-b2，因为它有可能为零．（4分）（3）（从头或直接从第③步写解答过程都行），∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），移项得：c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0，得（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，（5分）∴a2=b2或c2=a2+b2（6分）∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．（7分）点评：正确理解勾股定理来验证直角三角形，从公式的角度入手，得出结论从而验证．17．考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC；（2）根据两个直角三角形的面积即可求解．解答：解：（1）∵AD=3，AB=4，∠BAD=90°，∴BD=5．又BC=12，CD=13，∴BD2+BC2=CD2．∴BD⊥BC．（2）四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积=6+30=36．点评：综合运用了勾股定理及其逆定理，是基础知识比较简单．18．考点：勾股定理的逆定理；直角三角形全等的判定．专题：证明题．分析：（1）根据SAS 判定△ACE≌△BCD，从而得到∠EAC=∠DBC，根据角之间的关系可证得AF⊥BD．（2）互相垂直，只要证明∠AFD=90°，从而转化为证明∠EAC+∠CDB=90即可解答：（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD ，∠ACE=∠BCD=90°，在△ACE 和△BCD，⎩⎪⎨⎪⎧∠AC ＝BC∠ACE ＝∠BCD CE ＝CD ∴△ACE≌△BCD（SAS ）；（2）解：直线AE 与BD 互相垂直，理由为：证明：∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠DBC，又∵∠DBC+∠CDB=90°，∴∠EAC+∠CDB=90°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥BD，即直线AE 与BD 互相垂直．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及直角三角形的判定的掌握情况．19．故答案为：（1）第C 步 （2）等式两边同时除以a 2-b 2 （3）直角三角形或等腰三角形考点：勾股定理的逆定理．专题：阅读型．分析：通过给出的条件化简变形，找出三角形三边的关系，然后再判断三角形的形状． 解答：解：（1）C ；（2）方程两边同除以（a 2-b 2），因为（a 2-b 2）的值有可能是0；（3）∵c 2（a 2-b 2）=（a 2+b 2）（a 2-b 2）∴c 2=a 2+b 2或a 2-b 2=0∵a 2-b 2=0∴a+b=0或a-b=0∵a+b≠0∴c 2=a 2+b 2或a-b=0∴c 2=a 2+b 2或a=b∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．点评：本题考查了因式分解和公式变形等内容，变形的目的就是找出三角形三边的关系再判定三角形的形状．20．考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：如图，连接BD．由勾股定理求得BD的长度；然后根据勾股定理的逆定理判定△BDC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角△ABD的面积+直角△BDC 的面积．解答：解：∵在△ABD中，AB⊥AD，AB=3，AD=4，∴BD=AB2+AD2 =32+42 =5．在△BDC中，CD=12，BC=13，BD=5．∵122+52=132，即CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∴S四边形A B C D=S△A B D+S△B D C=12AB•AD+12BD•CD12×3×4+12×5×12=36，即四边形ABCD的面积是36．点评：本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．21．故答案填：n2-1，2n，n2+1；考点：勾股定理的逆定理；列代数式．专题：应用题；压轴题．分析：（1）结合表中的数据，观察a，b，c与n之间的关系，可直接写出答案；（2）分别求出a2+b2，c2，比较即可．解答：解：（1）由题意有：n2-1，2n，n2+1；（2）猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明：∵a=n2-1，b=2n；c=n2+1∴a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2而c2=（n2+1）2∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形．点评：本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题．22．考点：勾股定理的逆定理．分析：利用勾股定理求出CD和AD则可，再运用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形．解答：解：（1）∵CD⊥AB且CB=3，BD=95，故△CDB为直角三角形，∴在Rt△CDB中，CD=CB2−BD2 =32−（95）2 =125，在Rt△CAD中，AD=AC2−CD2 =42−（125）2 =165．（2）△ABC为直角三角形．理由：∵AD=165，BD=95，∴AB=AD+BD=165+95=5，∴AC2+BC2=42+32=25=52=AB2，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形．点评：本题考查了勾股定理和它的逆定理，题目比较典型，是一个好题目．23．故答案为：32m或（20+4 5 ）m或803m．考点：勾股定理的应用；等腰三角形的性质．专题：分类讨论．分析：根据题意画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的性质利用勾股定理解答．解答：解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6由勾股定理有：AB=10，应分以下三种情况：①如图1，当AB=AD=10时，∵AC⊥BD，∴CD=CB=6m，∴△ABD的周长=10+10+2×6=32m．②如图2，当AB=BD=10时，∵BC=6m，∴CD=10-6=4m，∴AD=4 5 m，∴△ABD的周长=10+10+4 5 =（20+4 5 ）m．③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理得：AD=82+(x−6)2 =x解得，x=253，∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=803m．点评：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，在解答此题时要注意分三种情况讨论，不要漏解．24．考点：勾股定理的应用．分析：因为∠CAD=30°，则AC=2CD，再利用勾股定理求得CD的长，再加上DE 的长就求出了树的高度．解答：解：在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AD=3，设CD=x，则AC=2x，由AD2+CD2=AC2，得，32+x2=4x2，x= 3 =1.732，所以大树高1.732+1.68≈3.4（米）．点评：此题主要考查了学生利用勾股定理解实际问题的能力．25．考点：勾股定理的应用．分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解答：解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB-EB=10-4=6m，在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2 =错误!=10m，故小鸟至少飞行10m．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．26．考点：勾股定理的应用．分析：在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长．解答：解：在Rt△DAE中，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠DAE=45°，AE=DE=8 ，∴AD 2=AE 2+DE 2=36m(8 )2+(8 )2=16，∴AD=4，即梯子的总长为4米．∴AB=AD=4．在Rt△ABC 中，∵∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=12AB=2， ∴BC 2=AB 2-AC 2=42-22=12， ∴BC=12 =2 3 m ；∴点B 到地面的垂直距离BC=2 3 m ．点评：本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股定理是解决此类题目的关键．27．考点：勾股定理的应用．分析：要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC 和CE 的长即可．解答：解：在Rt△ACB 中，AC 2=AB 2-BC 2=2.52-1.52=4，∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2．在Rt△ECD 中，EC 2=ED 2-CD 2=2.52-22=2.25，∴EC=1.5，∴AE=AC -EC=2-1.5=0.5． 答：梯子顶端下滑了0.5米．点评：注意此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理．28．考点：勾股定理的应用．分析：根据使得C ，D 两村到E 站的距离相等，需要证明DE=CE ，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=10km ； 解答：解：∵使得C ，D 两村到E 站的距离相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，∴∠A=∠B=90°，∴AE 2+AD 2=DE 2，BE 2+BC 2=EC 2，∴AE 2+AD 2=BE 2+BC 2，设AE=x ，则BE=AB-AE=（25-x ），∵DA=15km，CB=10km ，∴x 2+152=（25-x ）2+102，解得：x=10，∴AE=10km，∴收购站E应建在离A点10km处．点评：本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．29．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．解答：解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有AG=200千米．因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AC⊥BF，所以AC是BF的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD=DA2−AC2 =2002−1602 =120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．点评：此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．30．考点：勾股定理的应用．分析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．解答：解：连接AC，∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，∵AC2=AB2+BC2=82+62=102，∵AC＞0，∴AC=10，在△ACD中，∵AC2+CD2=100+576=676，AD2=262=676，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，∴S四边形A B C D=S△A B C+S△A C D=12×6×8+12×10×24=144．点评：通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单．。
2021-2022年八年级下《勾股定理》单元测试卷含答案
八年级数学(shùxué)下册勾股定理单元测试卷一、选择题：1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,下列结论(jiélùn)中不正确的是（）A．如果(rúguǒ)∠A﹣∠B=∠C，那么(nà me)△ABC是直角三角形B.如果(rúguǒ)a2=b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C.如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D.如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形2.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是（）3.如果△ABC的三边分别为m2-1,2m,m2+1,其中m为大于1的正整数,则（）A．△ABC是直角三角形,且斜边为m2-1 B．△ABC是直角三角形,且斜边为2mC.△ABC是直角三角形,且斜边为m2+1 D．△ABC不是直角三角形4.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A．米B．米C．(+1)米D．3米5.如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）A．14 B．16 C．20 D．286.如图，在4×4方格(fānɡɡé)中作以AB为一边的Rt△ABC，要求(yāoqiú)点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（）A．2个B．3个C．4个D．6个7.如图，所有(suǒyǒu)的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A=10，S B=8，S C=9，S D=4，则S=（）A．25 B．31 C．32 D．408.如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形(túxíng)的面积S是（）A．50 B．62 C．65 D．689.如图,一圆柱(yuánzhù)高8cm,底面半径为2 cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定10.在△ABC中，若AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长(zhōu chánɡ)是（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或3311.如图Rt△ABC中,AB=BC=4,D为BC的中点(zhōnɡ diǎn),在AC边上存在一点E,连接ED,EB,则△BDE周长(zhōu chánɡ)的最小值为（）A．2B．2 C．2+2 D．2+212.如图,在平面(píngmiàn)直角坐标系中,Rt△OAB的顶点(dǐngdiǎn)A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为（3,），点C的坐标为（0.5,0）,点P为斜边OB上的一个动点,则PA+PC的最小值为（）A．B．C．D．2二、填空题：13.在Rt△ABC中，∠C=90°，(1)若a：b=3：4，c=10，则a=_______，b=_______；(2)若a=6，b=8，则斜边c上的高h=_______．14.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，以直角顶点(dǐngdiǎn)A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE=a，则△ABC的周长(zhōu chánɡ)用含a的代数式表示为．16.三角形中两条较短的边为a＋b，a-b(a>b),则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形．17.如图，圆柱(yuánzhù)底面周长为4cm，高为9cm，点A．B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A．B在同一母线上，用一棉线(miánxiàn)从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为cm.18.如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体(zhǔtǐ)图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数三、作图题：19.如图1和图2均是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求用实线画出顶点在格点上的图形．要求：（1）在图形1中画出一个面积为2.5的等腰三角形ABC；（2）在图2中画出一个直角三角形，使三边长均为不同的无理数．四、解答(jiědá)题：20.如图，一次“台风(táifēng)”过后，一根旗杆被台风(táifēng)从离地面2.8米处吹断裂，倒下的旗杆(qígān)的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前有多高？（旗杆粗细(cūxì)、断裂磨损忽略不计）21.如图，A．B两点都与平面镜相距4米，且A．B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点.求B点到入射点的距离.22.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC 边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长.23.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接(liánji ē)CF．（1）求证(qiúzhèng)：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．24.△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边的分别用a、b、c来表示(biǎoshì)，且其满足关系：，试判断(pànduàn)△ABC的形状(xíngzhuàn). 25.如图，在△ABC中，D是BC上一点，且满足AC=AD，请你说明AB2=AC2+BC·BD.参考答案1.B2.C3.C4.C5.D6.D7.B.8.A9.D10.C11.C.12.C.解：13.答案(dáàn)为： (1)6 8 (2)4.814.答案(dáàn)为：8115.答案(dáàn)为：（6+2）a．16.17.答案(dáàn)为：1518.19.解：（1）如图1所示，△ABC为所求三角形；（2）如图2所示，直角三角形为所求三角形．20.解：∵旗杆剩余部分(bù fen)、折断部分与地面正好构成直角三角形，∴BC===10m，∴旗杆的高=AB+BC=2.8+10=12.8m.答：这根旗杆被吹断裂前有12.8米高.21.解：作出B点关于(guānyú)CD的对称点B′，连结(lián jié)AB′，交CD于点O，则O点就是(jiùshì)光的入射点.因为B′D=DB.所以(suǒyǐ)B′D=AC.∠B′DO=∠OCA=90°，∠B′=∠CAO所以(suǒyǐ)△B′DO≌△ACO(SSS)则OC=OD=0.5AB=0.5×6=3米.连结OB，在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2所以OB2=32+42=52，即OB=5(米).所以点B到入射点的距离为5米.22.解：连接AD．因为∠BAC=90°，AB=AC．又因为AD为△ABC的中线，所以AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°．因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．所以AE=FC=5．同理：AF=BE=12．在Rt△AEF中，根据勾股定理得：，所以EF=13。
勾股定理全章各节同步练习题(含答案)
勾股定理及其证明扎实基础1.下列说法正确的是( )A.若a，b，c是△ABC的三边长，则a2+b2=c2B.若a，b，c是Rt△ABC的三边长，则a2+b2=c2C.若a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠A=90°，则a2+b2=c2D.若a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠C=90°，则a2+b2=c22.在Rt△ABC中，斜边BC=3，则AB2+AC2+BC2的值为( ) A.18 B.9 C.6 D.无法计算3.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )A.25B.7C.5和7D.25或74.如图17-1-1所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积是( )A.25B.16C.1D.95.面积为8π的半圆与两个正方形的拼接如图17-1-2所示，则这两个正方形的面积之和为( )A.16B.32C.8πD.646.如图17-1-3所示，△ABC是等边三角形，AB=4cm，则BC边上的高AD等于 cm.7.如图17-1-4所示的图形可用来证明勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是( )A.S△EDA=S△CEBB.S△EDA+ S△CEB =S△CDEC.S四边形CDAE=S四边形CDEBD.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD8.如图17-1-5所示，用四块直角边长分别为b，a，斜边长为c的直角三角形拼成一个正方形，求图形中央的小正方形的面积，你不难找到：(1)小正方形的面积可以表示为S= ；(2)小正方形的面积还可以表示为S=；(3)由(1)(2)，可以得到a，b，c的关系为 .综合提升1.如图17-1-6所示，∠A=∠D=90°，AC与BD相交于点O，AB=CD=4，AO=3，则BD的长为( )A.6B.7C.8D.102如图17-17所示，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是( )A.48B.60C.76D.803.一直角三角形的边长分别为3，6，x，则x的可能值有( ) A.1个B.2个C.3个 D.4个4.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是( )A.42B.32C.37或33D.42或325.如图17-1-8所示，将直角三角形沿角平分线AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，若BC=8，BE=4，则DE的长是( ) A.5 B.4 C.3 D.26.若等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边长为边长的正方形的面积为 .7.如图17-1-9所示，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长为 .8.如图17-1-10所示，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的点F 处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，求图中阴影部分的面积.9.细心观察图17-1-11，认真分析下列各式，然后解答问题：()2+1=2，S 1=；()2+1=3,，S 2=；()2+1=4，S 3=.121222323(1)用含n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)计算S 12+S 22+S 32+S 42+…+S 102的值.拓展延伸1.等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为( ) A.13 B.8 C.25 D.642.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则AB 的长为( ) A.4 B.3 C.2 D.53.如图17-1-12所示，以直角三角形的边a ，b ，c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S 1+S 2=S 3的图形个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.44.如图17-1-13所示，在四边形ABCD 中,∠A=90°，AB=5，AD=3，点M 在边AB 上，则DM 的最大值为 .5.如图17-1-14，在Rt△ABC中，∠C=900，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，则AC 的长为 .勾股定理的应用1扎实基础1.小亮准备测量某处河水的深度，他把根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则此处河水的深度为( ) A.2m B.2.5m C.2.25m D.3m2.如图17-1-14所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.事实上，他们仅仅少走了( )步路(假设2步为1m)，却踩伤了花草.A.4B.2C.1D.53.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是：如图17-1-15所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺.4.一个门框尺寸如图17-1-16所示，一块长4m，宽3m的薄木板 (填“能”或“不能”)从门框内通过.5.如图17-1-17所示，在离地面高3m处拉线固定电线杆，若拉线与地面成600角，则拉线AC的长是 .6.如图17-1-18所示，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 m.7.如图17-1-19所示，以O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，设点A所表示的数为x，则x2-10的立方根为 .8.如图17-1-20所示，长方形OABC的边OA的长为2，边AB的长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴正半轴于一点D，则点D表示的实数为 .综合提升1.如图17-1-21所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN=( )A.6B.5C.3D.42.如图17-1-22所示，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边长a，b，c的大小关系是( )A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a3.如图17-1-23所示，直线l上方有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )A.4B.6C.16D.554.如图17-1-24所示，有一个由传感器控制的灯A，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至距离该灯5m及5m以内，灯就会发光，请问一个身高1.5m的学生(图中用CD表示)要走到离墙多远的地方，灯刚好发光?( ) A.4mB.3mC.5mD.7m5.如图17-1-25所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3.将Rt△ABC绕点B顺时针旋转一周，则所得圆环的面积为.6.如图17-1-26所示，OP=1，过点P 作PP 1⊥OP且PP 1=1，得OP 1=；再过点2P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2=1，得OP 2=；又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3=1，得OP 3=2；3……，依此法继续作下去，得OP 2017= .7.如图17-1-27所示，在正方体的一个顶点A 处有只蚂蚁，这只蚂蚁现要向顶点B 处爬行，已知正方体的棱长为1m ，则蚂蚁爬行的最短距离是多少?8.如图17-1-28所示，一个透明的圆柱状的玻璃杯，由内部测得其底面半径为3cm ，高为8cm ，今有一支12cm 的吸管任意放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为多少?9.一只兔子正在洞穴南面60m 的地方觅食，一只饿狼此刻在兔子正东100m 的地方游荡，兔子回首间猛然看见了饿狼贪婪的目光，预感万分危险，于是急忙向自己的洞穴奔去.饿狼见即将到口的美食就要落空，随即以兔子速度的2倍的速度向兔子的洞穴跑去，你认为兔子能死里逃生吗?拓展延伸1.如图17-1-29所示，一根树在离地面9m 处断裂，树的顶部落在离底部12m 处，树折断之前( )米A.15B.20C.3D.2472.如图17-1-30所示，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为( ) A.60海里B.45海里C.20海里D.30海里333.如图17-1-31所示是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4m ，AB=8m ，∠MAD=450，∠MBC=300，则警示牌的高CD 为 m(结果精确到0.1m ，参考数据:≈141,≈1.73).234.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.勾股定理的应用2扎实基础27531.如图17-1-32，点P是平面坐标系中一点，则点P到原点的距离是( ) A.3 B. C. D.222.如图17-1-33，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为( ) A. B.- C.2 D.-23.如图17-1-34，数轴上点A表示的实数是 .4.如图17-1-35，数轴上点A表示的数为a，则a的值为 .5.如图17-1-36，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-6,0)，(0,8)，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的坐标为 .56.如图，在数轴上画出表示的点7.如图17-1-37，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B为网格线的交点，则AB的长为( )A.3B.5C.7D.128.如图17-1-38，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的顶点均在格点上，则△ABC的三边长a，b，c的大小关系是( ) A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.c<a<b9.如图17-1-39，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处32，折痕为BE，若AB=2，则FM的长为( ) A.2 B. C. D.110.如图17-1-40，在长方形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若BC=7,AE=4,则CE= .11.在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若c-a=4，b=12，求a，c综合提升1.如图17-1-41，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个2.如图17-1-42，点O为数轴原点，A，B两点分别对应-3、3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为.3.如图17-1-43，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则AF的长是 .4.如图17-1-44，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长.5.如图所示的网格是由边长为1的小正方形组成，点A、B、C位置如图所示，在网格中确定点D，使以A、B、C、D 为顶点的四边形的所有内角都相等.(1)确定点D的位置并画出以A，B，C，D为顶点的四边形；(2)直接写出(1)中所画出的四边形的周长和面积.拓展延伸1.如图17-1-45，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC的周长是 .2.如图17-1-46，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格上的△ABC中点B到AC的距离是 .3.阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形.小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢?(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是2命题(填“真”或“假”)；(2)在Rt△ABC中，两边长分别是a=5，c=10，这个三角形是否是奇异三角形?请说明理由.勾股定理的逆定理扎实基础1.下列定理中，没有逆定理的是( )A.内错角相等，两直线平行B.直角三角形的两锐角互余C.对顶角相等D.两直线平行，同位角相等2.下列说法：①每个命题都有逆命题；②互逆命题的真假性一致；③每个定理都有逆定理，正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个3.下列命题中逆命题是真命题的是( )A.若a=b,则|a|=|b|B.如果两个角都是45°，那么这两个角相等C.全等三角形的对应角相等D.两直线平行，同位角相等4.下列各组数中，不能构成直角三角形的是( ) A.2,3,4 B.5,12,13 C.6,8,10 D.3,4,5235.下列是三角形的三边长的比，其中是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.1::3 C.1::2 D.2:3:46.三角形的三边长a，b，c满足(a+b)2-c2=2ab，则此三角形是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形7.下列叙述中，正确的是( )A.直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方B.如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形C.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=c2,则∠A=90°D.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若c2-a2=b2,则∠B=90°8.下列各组数中，是勾股数的是( ) A.1,2,3 B.0.75,1,1.25 C.41,40,10 D.30,40,509.(1)给出一组式子：32+42=52,62+82=102,92+ =152,…….一般规律是：(3k)2+(4k)2= (k是正整数).(2)给出一组式子：(22-1)2+42=(22+1)2,(32-1)2+62=(32+1)2,(42-1)2+82=(42+1)2,(52-1)2+ =(52+1)2, …….一般规律是：(n2-1)2+=(n2+1)2(n表示大于1的整数).综合提升1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(a-b)=c2,则( )A.∠A为直角B.∠C为直角C.∠B为直角D.△ABC不是直角三角形2.若△ABC的三边长分别为5,13,12，则△ABC的面积为( ) A.30 B.60 C.78 D.不能确定3.有长分别为12cm,16cm,20cm,48cm,52cm的五根木棒，从中任取三根，让其首尾顺次相接，能围成直角三角形的数组分别为 .4.若|x-10|+(y-8)2与z2-12z+36互为相反数，则以x，y，z为三边长的三角形是三角形.5.如图17-2-1所示的是李明同学为黑板报设计的一个图案，他以△ABC的三边BC，AC，AB为直径画了三个半圆，若三个半圆的面积从小到大依次记作S1，S2，S3，且S1，S2，S3满足S1+S2=S3，则△ABC为三角形.6.判断下列命题的真假，写出其逆命题，并判断逆命题的真假.(1)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(2)如果ab>0，那么a>0，b>07.如图17-2-2所示，已知BC=3cm，AB=4cm，AF=12cm，∠BAC=90°请你探索，当正方形FCDE的面积等于多少时，△ABC是直角三角形?8.在△ABC中，AB=25，BC=30，BC 边上的中线AD=20，试判断△ABC的形状.9.如图17-2-3所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积.10.如图17-2-4所示，已知AB ：BC ：CD ：DA=2:2:3:1，且∠ABC=90°，求∠DAB的度数.11.已知a ，b ，c 为△ABC的三边长，且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4，试判断△ABC的形状.小明的解法为：∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4……①，∴c 2(a 2-b 2)=(a 2+b 2)(a 2-b 2)……②，∴c 2=a 2+b 2……③，∴△ABC是直角三角形.(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号： ；(2)错误的原因为 ；(3)写出本题正确的解题过程.拓展延伸1.如图17-2-5所示，在正方形网格中的△ABC，若小方格的边长为1，则△ABC的形状为( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对2.一艘轮船和一艘渔船同时从港口O 沿各自的航向航行，如图17-2-6所示，轮船从港口O 沿北偏西20°的方向航行60海里到达点M 处，同一时刻渔船已航行到与港口O 相距80海里的点N 处，若M ，N 两点相距100海里，则∠NOF的度数为( ) A.50° B.60° C.70° D.80°3.已知△ABC三边长分别为a ，b ，c ，且满足(a-5)2+|b-12|+=0,则△ABC( )13-c A.不是直角三角形 B.是以a 为斜边的直角三角形C.是以b 为斜边的直角三角形D.是以c 为斜边的直角三角形4.已知a,b,c 为三角形ABC 的三边长，且满足(a+4):(b+3) :(c+8)=3:2:4,a+b+c=12,请你探索△ABC的形状.勾脸定理的逆定理的应用扎实基础1.已知△ABC的三边长分别是6,8,10，则△ABC的面积是( ) A.24 B.30 C.40 D.482.如图17-2-7，学校B 前面有一条笔直的公路，学生放学后走BA ，BC 两条路可到达公路，经测量BC=60m ，BA=80m ，AC=100m 现需修建一条公路从学校B 到公路，则学校B 到公路的最短距离为 .3.如图17-2-8，正方形网格中每个小方格边长为1，则△ABC的形状为( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对4.如图17-2-9，△ABC中，D 为BC 上一点，且BD=3，DC=AB=5,AD=4,则AC= .5.如图17-2-10，AD=8，CD=6，∠ADC=900，AB=26，BC=24，则该图形的面积等于 .6.在△ABC中，三边长满足b 2-a 2=c 2，则互余的一对角是( )A.∠A与∠BB.∠B与∠CC.∠A与∠CD.以上都不正确7.如图17-2-11，在4×4的方格中作以AB 为边的Rt△ABC，要求点C 也在格点上，这样的Rt△ABC能作出( )A.2个B.3个C.4个D.6个8.如图17-2-12，在四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7,AD=24,∠B=90°,则∠A+∠C= .9.如图，在△ABC中，AC=8，BC=6，以AB 为边向外作△ABE，DE 为AB 边上的高，DE=12，S △ABE =60，求∠C的度数.10.在平面直角坐标系中，点C(-3,0)，点A ，B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且满足|OA-2|+=0，6-OB 2试判断△ABC的形状.综合提升1.下列各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是( )A.2,2,3B.60,80,100C.4,5,6D.5,6,72.在△ABC中，若三边长分别为9,12,15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为 .3.在某港口有甲、乙两艘渔船，若甲沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，同时，乙船沿南偏东的方向以每小时15海里速度前进,2小时后，甲乙两船相距34海里，那么乙船航行的方向是南偏东 度.4.如图17-2-13，正方形小方格边长均为1，A ，B ，C 是小正方形的交点，则∠ABC的度数是( )A.90°B.60°C.45°D.30°5.如图17-2-14，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，能构成直角三角形的个数是 .6.如图17-2-15，在△ABC中，AB：BC：CA=3:4:5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为cm2.7.如图17-2-16，一圆柱高8cm，底面半径为6／πcm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是 .8.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且AB⊥BC于B.(1)求∠BAD的度数；(2)求四边形ABCD的面积.拓展延伸1.三角形的三边长分别为a2+b2，2ab，a2-b2（a，b都是正整数），则该三角形是的三角形.2.如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5cm，3cm，4cm．在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A 相对的顶点B的食物.(1)请画出该蚂蚁沿长方体表面爬行的三条线路图(即平面展开图)；(2)已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是0.8cm/s，问蚂蚁能否在11秒内获取到食物？2.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域.(1)海港C受台风影响吗?为什么?(2)若台风的速度为20km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长?勾股定理及其证明扎实基础1.D 解析：注意确定哪一条边是斜边，A 中说法显然不正确;B 中无法确定哪一条边是斜边，C 中的斜边长为a ，D 中的斜边长为c.2.A 解析：在Rt△ABC中，BC 为斜边，∴AB 2+AC 2=BC 2,AB 2+AC 2+BC 2=BC 2+BC 2=2BC 2=2×32=18.3.D 解析：①当直角三角形的两直角边长分别为3,4时，由勾股定理，得斜边长的平方为32+42=25；②当直角三角形的斜边长为4，一直角边长为3时，则第三边长的平方为42-32=16-9=7,故应选D.4.A 解析：由勾股定理得S 阴影=132-122=169-144=25.5.D 解析：因为半圆的面积为8π，所以此圆的面积为16π，又因为S 圆=πr 2，所以r 2=16，则r=4.设小正方形的边长为a ，大正方形的边长为b ，则由勾股定理，得a 2+b 2=(2r)2=(2×4)2=64，所以这两个正方形的面积之和为64，故选D.6.2解析：因为AB=4cm ，所以BD=2cm ，所以AD===2(cm).3416-1237.D 解析：S △EDA +S △CDE +S △CEB =S 四边形ABCD =ab+ 21c 2+ab=(a+b)2,∵c 2+2ab=a2+2ab+b 2，整理得a 2+b 2=c 2,证明中用到的面积相等关系是△EDA +S △CDE +S △CEB =S 四212121边形ABCD ,故选D.8.(1)c 2-2ab (2)b 2-2ab+a 2 (3)c 2=a 2+b 2综合提升1.C 解析：在Rt△AOB中，OB===5,∵∠A=∠D,∠AOB=∠DOC,AB=CD,∴△AOB≌△DOC,∴22AB OA +2243+OD=OA=3,∴BD=OB+OD=5+3=8.2.C 解析：在Rt△ABE中，AB==10,所以S 阴影=S 正方形 ABCD -S Rt△ABE =102-×6×8=76.22BE AE +213.B 解析：这里的x 可能是斜边长，也可能是直角边长.若x 为斜边长，则其值为=3；若x 为直角边2263+5长，则其值为=3,共有2个可能值.2236-34.D 解析：如图D-17-1(1)所示，当高AD 在三角形内部时,BD==9,CD==5,∴BC=BD+CD22AD AB -22AD AC -=14,∴△ABC的周长为13+15+14=42；如图D-17-1(2)所示，当高AD 在三角形外部时，BC=BD-CD=9-5=4,∴△ABC的周长为13+15+4=32.注意：在非直角三角形中求线段长时往往先作一边上的高构造直角三角形，然后借助勾股定理求解，求解这类题目时，要注意非直角三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部.5.C 解析：设DC 的长为x ，则DE=DC=x ，BD=8-x ，由勾股定理，得(8-x)2=42+x 2，∴x=3.6.10或90解析：①如图D-17-2(1)所示，已知AC=5，DC=3，CD⊥AB，∴在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD==4.∴BD=1,BC 2=BD 2+CD 2=12+32=1+9=10.此时，以底边BC 的长为边长的正方形的面积为22AD AC -2235-10；②如图D-17-2(2)所示，AC=5，CD=3，CD⊥AB，∴在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD==22AD AC -=2235-4,∴BD=AB+AD=5+4=9,∴在Rt△BDC中,BC 2=BD 2+CD 2=92+32=81+9=90,此时，以底边BC 的长为边长的正方形的面积为90，综上可知，以底边长为边长的正方形的面积为10或90.7.5解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC,∠ABM+∠CBN=90°，而AM⊥MN,CN⊥BN,∴∠BAM=∠CBN,∠AMB=∠BNC=90°，∴△AMB≌△BNC,∴BM=CN,∴AB==.2221+58.解：由折叠的性质可知△ADE和△AFE关于直线AE 成轴对称，则AF=AD, EF=DE=DC-CE=8-3=5(cm)，∴CF=4(cm).设BF=xcm,则AF=AD=BC=(x+4)cm ，在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x 2=(x+4)2，解得x=6,∴阴影部分的面积为S△ABF +S △ECF =×8×6+×4×3=30(cm 2).21219.解：(1)由题意可知，()2+1=n+1，S n =；(2)∵S n =,∴S 12+S 22+S 32+S 42+……+S 102=()2+()2+n 2n 2n 2122()2+()2+……+()2=++++……+=.232421041424344410455拓展延伸1.B 解析：如图D-17-3所示，∵在△ABC中,AB=AC=10,AD⊥BC,∴BD=BC=×12=6,∴在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD=2121==8.22BD AB -22610-2.C 解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得AB===.22BC AC +2232+133.D 解析:(1)S 1=a×a=a 2,S 2=b×b=b 2,S 3=c×c=c 2, ∵a 2+b 2=c 2,∴a 2+b 22123432123432123434343=c 2,∴S 1+S 2=S 3；(2)S 1=π(a)2=πa 2, S 2=π(b)2=πb 2, S 3=π(c)2=πc 2,43212181212181212181∵a 2+b 2=c 2,∴πa 2+πb 2=πc 2,∴S 1+S 2=S 3；(3)S 1=×a×a=a 2, S 2=×b×b=b 2, S 3=×818181212222412122224121c22×c=c 2,2241∵a 2+b 2=c 2,∴a 2+b 2=c 2,∴S 1+S 2=S 3；(4)S 1=a 2,S 2=b 2,S 3=c 2.∵a 2+b 2=c 2,∴S 1+S 2=S 3.综上可得，面积关系满414141足S 1+S 2=S 3的图形有4个,故选D.4.解析：当点M 移到点B 时，此时DM 的值最大,连接DB(图略).在Rt△DAB中，∠A=90°，AB=5，AD=3，34由勾股定理，得DB===.22AD AB +2235+345.解：过D 作DE⊥AB，垂足为E,∵∠1=∠2，又∠C=900，即DC⊥AC,∴CD=DE=1.5,在Rt△BDE中，BE=22DE BD -=＝2,∵CD=DE，AD=AD,∴Rt△ACD≌Rt△AED,∴AB 2=AC 2+BC 2,即（AC+2)2＝AC 2+（1.5+2.5）2，解22 1.52.5-得AC ＝3．勾股定理的应用1扎实基础1.A 解析：设河水深xm ，则竹竿长(x+0.5)m ，根据勾股定理，得x 2+1.52=(x+0.5)2，解得x=2m.2.A 解析：原来走的路为3+4=7(m)，设“捷径”为xm ，则有x==5(m)，少走的路为7-5=2(m),又因为2234+2步为1m ，所以他们仅仅少走了4步路.3.25解析：这种立体图形求最短路径问题,可以将题图中的圆柱的侧面转化为平面内的问题解决，展开如图D-17-4所示，由题意知BC=20尺，AB=5×3=15(尺)，因此葛藤的最短长度为=25(尺),故填25.222015+4.不能解析：能通过门框的最大宽度为≈2.9(m)<3m，所以长4m ，宽3m 的薄木板不能通过门框.22 1.52.5+5.2解析:∵∠ACB=60°,∠ABC=90°,∴∠A=30°,∴BC=AC,由勾股定理，得AC 2=BC 2+AB 2,得AC 2=(AC)2+32,321解得AC=2m.36.10解析：如图D-17-5，由题意知大树高AB=10m ，小树高CD=4m,连接AC ，过点C 作CE⊥AB于点E ，则四边形EBDC 是长方形,所以EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=10-4=6(m)，在Rt△AEC中,AC===10(m).22EC AE +2286+7.-2解析：∵OB=，OA=，点A 表示的数为-，x 2-10=(-)2-10=-8,8的立方根为-2.22228.解析:∵OA=2,AB=1,∴OB===，∴OD=，∴点D 表示的实数为.522AB AO +2212+555综合提升1.C 解析：如图D-17-6，连接AM ，∵AB=AC，点M 为BC 的中点，BM=CM=BC=×6=3,AM⊥BC，在Rt△ACM中,2121AM===4，∵S △ACM =AM×CM=AC×MN,∴ AM×CM=AC×MN,∴4×3=5MM,解得MM=.22CM AC -2235-21215122.C 解析:由题图可知，a==，b==5，c=4,∵<<，∴4<<5，即c≤a<2214+172234+16172517b,故选C.3.C 解析：b 的面积=a 的面积+c 的面积=5+11=16.4.A 解析：过点C 作CE⊥AB于点E(图略).由题意可知，BE=CD=1.5m, AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m),AC=5m,由勾股定理，得CE==4(m),故该学生走到离墙4m 远的地方，灯刚好发光.2235-5.9π解析：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC 2=AB 2-BC 2，所以圆环的面积为πAB 2-πBC 2=πAC 2=9π.注意：圆环面积=大圆面积一小圆面积.本题中大圆半径AB ，小圆半径BC 恰好为Rt△ABC的斜边与直角边.6.解析：由OP 1=，OP 2=，OP 3=2=，可以得到OP n =(n 为正整数)，所以OP 2017=.20182341n +20187.解：蚂蚁爬行的最短路线如图D-17-7中的AB.∵AC=2m,BC=1m,∴AB===(m)，22BC AC +2212+5故蚂蚁爬行的最短距离是m.5注意：解决几何体表面上的最短路线问题，一般是将几何体展开成平面图形，根据“两点之间，线段最短”确定最短路线.8.解：由勾股定理得吸管在杯内的部分最长为=10(cm)，∴吸管露出杯口外长度最少为12-10=2(cm).2286+9.解：如图D-178所示，设兔子在A 处，饿狼在B 处，C 处为兔子洞穴.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=60m,AB=100m,∴BC 2=AC 2+AB 2=602+1002=13600,∴BC==20m<2AC ，∴兔子不能死里逃生.1360034拓展延伸1.D 解析：由题意，得树的折断部分长为==15，所以树折断前的高度为15+9=24(m).22129+2252.D 解析：由题意可知∠ABP=30°，AP=30(海里)，∠APB=180°-60°-30°=90°,∴AB=2AP=60(海里)，在Rt△APB中，由勾股定理，得BP===3022AP AB -223060-3(海里)，故选D.3.2.9解析:∠MAD=45°,AM=4m,∴∠MDA=∠MAD=45°,∴MD=AM=4m.又∵AB=8m,∴MB=4+8=12(m).∵∠MBC=30°,设MC=x,则BC=2MC=2x ，在Rt△CMB中，由勾股定理，得(2x)2=x 2+122，解得x=4m ，∴CD=MC-MD=4-433=4(-1)≈2.9(m)34.解：如图D-17-9，作AD⊥BC于D.在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13，设BD=x,则CD=14-x ，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD 2=AB 2-BD 2=152-x 2，在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD 2=AC 2-CD 2=132-(14-x)2,152-x 2=132-(14-x)2,解得x=9,∴AD=12，∴S △ABC =BC·AD=×14×12=84.2121勾股定理的应用2扎实基础1.A2.B3.-14.--15.（4，0）556.解：如图，在数轴上找出表示2的点A ，则OA=2，点A 作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使AB=1,以点O 为图心,OB 的长为半径画据，交数轴正半轴于点C,点C 即为表示的点.57.B 8.D 9.B 10.511.解：在△ABC中，∵∠C=90°，a 2+b 2=c 2,∵c-a=4，b=12,∴c=a+4,∴a 2+122=(a+4)2,∴a=16,∴c=20.综合提升1.C 解析:过A 作AE⊥BC,∵AB=AC，∴BC=BE=BC=4，在Rt△AEB中，由勾股定理得AE==2122BE AB -=3,∵D是线段BC 上的动点(不含点B ，C),∴3≤AD<5,∵AD的长为正整数，∴AD=B或4，∴点D2245-的个数共有3个，故选C.2.73.10解析：如图，过F 作FM⊥AB交AB 的延长线于点M ，则AM=AB+DC+EF=8,FM=BC+DE=6,在R△AMF中，由勾股定理得AF===10.22FM AM +2286+4.解：已知AB=9，BC=6，设BN=x ，由折叠的性质可得DN=AN=AB-BN=9-x.∵D是BC 的中点，BD=BC=3,在Rt△BND中，由勾股定理得BN 2+BD 2=ND 2，即x 2+32=(9-x)2,解得x=4,即BN=4.215.解：(1)如图所示.(2)AB==，BC==2，周长为(2+)×2=6，面积为2×=10.2221+52224+555555拓展延伸1.解：由所给图形可得：AB ＝＝；BC ＝＝；AC ＝＝5，故可得△ABC 2251+262232+132234+的周长为：5++．13262.解：由图可知：三角形ABC 的面积＝大矩形的面积﹣上面的梯形的面积﹣两边的两个小直角三角形的面积，由此可以得出S △ABC ＝4×5﹣（1+3）×4÷2﹣1×4÷2﹣2×3÷2＝7，又因为三角形ABC 的面积＝AC ×AC 边上的高（B 到AC 的距离）÷2，根据勾股定理AC ＝=2,B 到AC 的距离＝S △ABC ÷AC ×2＝7÷2×22242+55＝．5573.解：(1)真解析：设等边三角形的边长为a ，则a 2+a 2=2a 2，符合奇异三角形的定义，∴“等边三角形一定是奇三角形”是真命题；(2)设第三边长为b.当c 为斜边时,b==5,∴a=b，∴a 2+c 2≠2b 2(或b 2+c 2≠2a 2)，∴Rt△ABC不是奇异22a c -2三角形；当b 为斜边时，b==5，∴a 2+b 2=200，2c 2=200，∴b 2+a 2=2c 2，∴Rt△ABC是奇异三角形.22a c +6勾股定理的逆定理扎实基础1.C 解析：对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，它是一个假命题，故原定理没有逆定理.2.B 解析：①每个命题都有逆命题，只要题设与结论互换即可，所以①正确；②原命题正确，但其逆命题不一定正确，例如“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，所以②错误；③每个定理并不一定都有逆定理，所以③错误，故选B.3.D 解析：逆命题是：若|a|=|b|，则a=b ，当|3|=|-3|时，3≠-3，所以A 项错误；如果两个角相等，那么这两个角都是45°，是假命题，所以B 项错误；对应角相等的两个三角形不一定全等，所以C 项错误；同位角相等，两直线平行，是真命题，所以D 项正确.4.A 解析：A.22+32≠42，不能构成直角三角形；B.52+122=132，能构成直角三角形；C.62+82=102，能构成直角三角形；D.32+42=52，能构成直角三角形.注意：应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.5.C 解析:∵12+()2=1+3=22,∴三边长的比为1::2的三角形是直角三角形.336.A 解析::(a+b)2-c 2=2ab ，∴a 2+2ab+b 2-c 2=2ab,∴a 2+b 2=c 2,故选A.7.B 解析：两边的平方差等于第三边的平方可转化为两边的平方和等于第三边的平方，如a 2-b 2=c 2可转化为a 2=b 2+c 2.8.D 解析：因为勾股数必须是正整数，所以排除B 项；12+22≠52；102+402=100+1600=1700≠412，302+402=900+1600=2500=502.故选D.9.122 ，(5k)2，(2)102，(2n)2.综合提升1.A 解析:∵(a+b)(a-b)=c 2, a 2-b 2=c 2,∴a 2=b 2+c 2，∴∠A为直角.2.A 解析：∵52+122=132，∴△ABC为直角三角形,∵长为5,12的边为直角边，∴△ABC的面积是×5×12=30.213.12cm,16cm,20cm 和20cm,48cm,52cm 解析：能围成三角形的有12cm,16cm,20cm ；l2cm,48cm,52cm ；16cm ，48cm,52cm ；20cm,48cm,52cm ，其中不能围成直角三角形的是12cm,48cm,52cm ；16cm,48cm,52cm.4.直角解析：∵|x-10|+(y-8)与z 2-12z+36互为相反数，∴|x-10|+(y-8)2+(z 2-12+36)=0,又∵|x-10|≥0,(y-8)2≥0,z 2-12z+36=(z-6)2≥0,∴x-10=0,y-8=0,z-6=0,∴x=10,y=8,z=6.又∵62+82=100,102=100,62+82=102,∴以x ，y ，z 为三边长的三角形是直角三角形.5.直角解析：∵S 1=πBC 2，S 2=πAC 2，S 3=πAB 2,又∵S 1+S 2=S 3,∴πBC 2+πAC 2=πAB 2，即BC 2+AC 2=AB 2，818181818181由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形.6.解：(1)真命题，其逆命题是“如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数”，其逆命题是真命题.(2)假命题，其逆命题是“如果a>0，b>0，那么ab>0,其逆命题是真命题.7.解：当正方形FCDE 的面积为169cm 2时，△ABC为直角三角形.理由如下：因为正方形FCDE 的面积为169cm 2，所以其边长FC==13(cm).在Rt△ACF中，根据勾股定理得AC 2=169FC 2-AF 2=132-122=25,所以AC==5(cm).因为AB 2+BC 2=42+32=25,AC 2=52=25,所以AB 2+BC 2=AC 2,所以△ABC为直角三角形，且∠25B=90°.8.解：∵AD是BC 边上的中线，∴BD=BC=15,∵152+202=225+400=625=252,即AB 2=AD 2+BD 2，∴△ABD为直角三角21形且∠ADB=90°,AD⊥BC.又∵点D 是BC 的中点，∴AC=AB，即△ABC是等腰三角形.9.解：如图D-17-10所示，连接AC.因为∠ADC=90°，所以S △ADC =AD·CD=×12×9=54(m 2),因为在△ADC中，2121利用勾股定理可得AC 2=AD 2+CD 2=122+92=225,所以AC=15.因为AB 2=392=1521,AC 2+BC 2=152+362=225+1296=1521,所以AB 2=AC 2+BC 2,由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，所以S △ABC =AC·BC=×15×36=270(m 2),所以这2121块地的面积S=S △ABC -S △ADC =270-54=216(m 2).10.解：连接AC ，如图D-17-11,∵AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,∴设AB=2x,则BC=2x,CD=3x,DA=x,∵∠ABC=900,∴AB 2+BC 2=AC 2,∴AC 2=(2x)2+(2x)2=8x 2.AC 2+AD 2=8x 2+x 2=9x 2,CD 2=(3x)2=9x 2,∵AC 2+AD 2=CD 2，∴△DAC为直角三角形，∴∠DAC=900.∵AB=BC,∠ABC=900,∴∠BAC=450,∴∠DAB=∠BAC+∠CAD=450+900=1350.11.(1)③(2)忽略了a 2-b 2=0的情况(3)解:∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,∵c 2(a 2-b 2)=(a 2+b 2)(a 2-b 2).①若a 2-b 2≠0,则c 2=a 2+b 2,△ABC是直角三角形；②若a 2-b 2=0,则(a+b)(a-b)=0.∵a+b≠0,∴a-b=0,即a=b ，此时△ABC是等腰三角形.∴△ABC是直角三角形或等腰三角形.拓展延伸1.A 解析：∵小方格的边长为1，∴BC==2,AC==，AB==，在△ABC2264+132232+132281+65中,BC 2+AC 2=52+13=65,AB 2=65,∴BC 2+AC 2=AB 2，∴△ABC是直角三角形.2.C 解析：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，∴OM 2+OM 2=MN 2，∴由勾股定理的逆定理可知∠MON=90°，∵∠EOM=20°,∴∠NOF=180°-20°-90°=70°.3.D 解析:∵(a-5)2+|b-12|+=0,∴a=5,b=12，c=13，∵52+122=132，△ABC是以c 为斜边的直角三角形，故选D.13-c4.解:由(a+4):(b+3):(c+8)=3:2:4,设a+4=3k,则b+3=2k,C+8=4k(k>0),则a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8.又∵a+b+c=12,∴3k-4+2k-3+4k-8=12,∴k=3，∴a=5,b=3,c=4,∴b 2+c 2=a 2,∴△ABC是直角三角形.勾股定理的逆定理的应用扎实基础1.A2.48cm3.A4.5.96416.C7.D解析：当AB 是斜边时，则第三个顶C 点所在的位置有C ，D ，E ，H 四个当ABA 是直角边，A 是直角顶点时，第三个顶点是F 点当AB 是直角边，B 是直角顶点E 时，第三个顶点是G 点因此这样的Rt△ABC能作出6个故选D 8.18009.解析：DE=12,S △ABC =DE·AB=60，∴AB=10，∵AC=8，BC=6,62+82=102，∴AC 2+BC 2=AB 2，由勾股定理的逆定理21得∠C=900.10.解:∵+|0A-2|=0,∴OB 2-6OB 2-6=0,0A=2.点A ，B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，∴OB=，OA=2.∵BC 2=OB 26+OC 2=6+9=15,AB 2=OB 2+OA 2=6+4=10,AC=2-(-3)=5,∴AC 2=25,∴BC 2+AB 2=AC 2，∴△ABC是直角三角形.综合提升1.B 2.1083.30解析：如图，由题意得甲船的路程AO=8×2=16(海里)，乙船的路程BO=15×2=30(海里).∵302+162=342，即O A 2+OB 2=AB 2,∴∠AOB=90°，∵AO是北偏东60°方向，∴BO是南偏东30°方向.4.C5.3个6.187.解：圆柱的侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面半径为cm ，高为8cm ，∴AD＝6cm ，BD ＝8cm ，∴AB＝＝10（cm ）．答：从点A 爬到点B 的最短路程是10厘米．2286+。
勾股定理基础练习题(含答案与解析)
勾股定理基础练习题(含答案与解析)勾股定理勾股定理基础练习题(含答案与解析)第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一．选择题（共15小题）1．在直角三角形中，有两边分别为3和4，则第三边是（）A．1 B．5 C．D．5或2．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为（）A．20 B．22 C．24 D．263．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．644．Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（）A．8 B．4 C．6 D．无法计算5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=17，BD=15，DC=6，则AC的长为（）A．11 B．10 C．9 D．86．若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）A．6 B．7 C．8 D．97．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为（）A．4 B．6 C．8 D．108．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）勾股定理基础练习题(含答案与解析)A．5m B．6m C．7m D．8m9．如图，已知，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB=90°，AC=4m，BC=3m，则线段CD的长为（）A．5m B．C．D．10．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）A．cm2B．2cm2 C．3cm2 D．4cm211．直角三角形的一直角边长是12，斜边长是15，则另一直角边是（）A．8 B．9 C．10 D．1112．如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则AB边上的高长为（）A．B．C．D．13．用下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．cm，cm，cm C．1cm，2cm，cm D．2cm，3cm，4cm14．将一个直角三角形的三边扩大3倍，得到的三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定15．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a=1.5，b=2，c=2.5 B．a：b：c=3：4：5C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5勾股定理基础练习题(含答案与解析)第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共13小题）16．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积和是49cm2，则其中最大的正方形S 的边长为cm．17．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．18．如图：5米长的滑梯AB开始在B点距墙面水平距离3米，当向后移动1米，A点也随着向下滑一段距离，则下滑的距离（大于，小于或等于）1米．19．如图，长方体长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，则BD′=．勾股定理基础练习题(含答案与解析)20．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是．21．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为．22．把两个全等的直角三角形拼成如图图形，那么图中三角形面积之和与梯形面积之间的关系用式子可表示为，整理后即为．23．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：三角形．勾股定理基础练习题(含答案与解析)24．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4cm，BC=3cm，AD=13cm，CD=12cm，则四边形ABCD的面积cm2．25．如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于．26．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止当t=时，△PBQ是直角三角形．27．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm．勾股定理基础练习题(含答案与解析)28．一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）．评卷人得分三．解答题（共5小题）29．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB=13m，梯子底端离墙角的距离BO=5m．（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD=4m吗？为什么？30．如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，求筷子长度和杯子的高度．勾股定理基础练习题(含答案与解析)31．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．32．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？33．有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？勾股定理基础练习题(含答案与解析)本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
-苏科版八年级数学上册第3章勾股定理 周末强化训练卷(有答案20.10.24)】
苏科版八年级数学上册第3章勾股定理 周末强化训练卷（20.10.24）一、选择题 1、在ABC ∆中，ABC ∆，90A ∠=︒，A ∠，B ∠，C ∠的对边长分别为,,a b c ，则下列结论错误的是( ) A. 222a b c += B. 222b c a += C. 222a b c -= D. 222a c b -= 2、如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3， 则图中的阴影部分的面积（ ） A ．9B ．29 C ．49 D ．3（2） （3） （4）3、我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，那么(a-b)2的值是( )A ．1B ．2C ．12D ．134、如图所示在△ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知AC ＝CD ＝5，AD ＝6，BD=25，则△ABC 的面积是（ ） A ．18 B ．36 C ．72 D ．125 5、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A ．4，6，8 B ．6，8，9 C ．7，24，25 D ．5，11，12 6、 满足下列条件△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A ．∠A ＝∠B +∠C B ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：2 C ．b 2＝a 2+c 2D ．a ：b ：c ＝1：1：27、如图，一棵大树在离地面3m ，5m 两处折成三段，中间一段AB 恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m 处，则大树折断前的高度是（ ） A ．9m B ．14m C ．11m D ．10m（7） （8） （9）8、如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON ＝30°．公路PQ 上A 处距O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以20米/秒的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为（ ）A ．16秒B ．18秒C ．20秒D ．22秒9、如图，将一边长为a 的正方形 (最中间的小正方形) 与四个边长为b 的正方形 (其中b >a ) 拼接在一起，则四边形ABCD 的面积为 ( )A ．b 2＋(b －a )2B ．b 2＋a 2C ．(b ＋a )2D ．a 2＋2ab10、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC上的动点，则PC+PQ 的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245D ．5二、填空题11、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是____________．（11） （13） 12、在中，，，BC 边上的高为12cm ，则的面积为 ．13、如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成.若较短的直角边5BC =，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，若BCD ∆的周长是30，则这个风车的外围周长是 .14、△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，则BC 边上的高长为 ．15、观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________．16、如图，在ABC ∆中，5,12,13AC BC AB ===，CD 是AB 边上的中线，则CD = .（16） （17） （18）17、如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是 米．18、如图，将一根长为20cm 的吸管，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是为hcm ，则h 的取值范围是 ． 19、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP=BC ．如果用一根细线从点A 开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P ，那么所用细线最短需要 cm.（19） （20）20、如图，在长方形ABCD 中，将△ABC 沿AC 对折至△AEC 位置，CE 与AD 交于点F ，如果AB ＝2，BC ＝4，则AF ＝ ． 三、解答题21、如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AC ＝20，CD ＝12，BD ＝9． （1）求BC 的长；（2）求△ABC 的面积．22、如图，△ABC≌△DBE，∠CBE＝60°，∠DCB＝30°．求证：DC2+BE2＝AC2．23、如图，每个小正方形的边长为1．（1）直接写出四边形ABCD的面积和周长；（2）求证：∠BCD=90°．24、学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度．小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，请你帮小明求出旗杆的高度．25、如图，BF，CG分别是△ABC的高线，点D，E分别是BC，GF的中点，连结DF，DG，DE．（1）求证：△DFG是等腰三角形；（2）若BC＝10，FG＝6，求DE的长．26、如图，在Rt ABCBC=，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，AB=，6∠=︒，8∆中，90ABC沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当2t=时，CD=，AD=；（2）求当t为何值时，CBD∆是直角三角形，说明理由；（3）求当t为何值时，CBD∆是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由．27、在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线BC的长．+28、如图，矩形ABCD中，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，点A与点E重合；（1）如图1，若AB=10，BC=6，点E落在CD边上，求AP的长；（2）如图2，若AB=8，BC=6， PE与CD相交于点O，且OE=OD，求AP的长；+29、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE=90°，AD=AE．连接CE．(1)如图1，若点D在BC边上，则∠BCE=º；(2)如图2，若点D在BC的延长线上运动.①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC=3，CD=6，则△ADE的面积为图1 图2+30、如图，（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为________，线段AD、BE之间的关系________．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．①请判断∠AEB的度数，并说明理由；②当CM=5时，AC比BE的长度多6时，求AE的长．+31、已知：如图，△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB 的延长线于点F．(1)求证：AE＝BF；(2)若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判断△ABC的形状，并证明；(3)设AB=c，BC=a，AC=b(b>a)，若∠ACB=90°，且△ABC的周长与面积都等于30，求CE的长．+32、【新知学习】如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”． 【简单运用】（1）下列三个三角形，是智慧三角形的是 （填序号）；（2）如图，已知等边三角形ABC ，请用刻度尺在该三角形边上找出所有满足条件的点D ，使△ABD为“智慧三角形”，并写出作法；【深入探究】（3）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF =41CD ， 试判断△AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；【灵活应用】（4）如图，等边三角形ABC 边长5cm ．若动点P 以1cm /s 的速度从点A 出发，沿△ABC的边AB -BC -CA 运动．若另一动点Q 以2cm /s 的速度从点B 出发，沿边BC -CA -AB 运动，两点同时出发，当点Q 首次回到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t （s ），那么t 为 （s ）时，△PBQ 为“智慧三角形”．苏科版九年级数学上册第3章勾股定理 周末强化训练卷（答案20.10.24）一、选择题 1、在ABC ∆中，ABC ∆，90A ∠=︒，A ∠，B ∠，C ∠的对边长分别为,,a b c c ，则下列结论错误的是( A ) A. 222a b c += B. 222b c a += C. 222a b c -= D. 222a c b -= 2、如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3， 则图中的阴影部分的面积（ ） A ．9B ．29 C ．49 D ．3【解答】在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2，AB ＝3，设AE=EC=a ，CF=BC=b ，AD=BD=c ， 则AC²=2a²，BC²=2b²，AB²=2c²，S 阴影＝S △AEC +S △BFC +S △ADB22c 2（AC 2+BC 2+AB 2）AB 232． 故选：B ． 3、我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，那么(a-b)2的值是( )A ．1B ．2C ．12D ．13【解答】根据勾股定理可得a 2+b 2=13 四个直角三角形的面积是：12ab ×4=13−1=12，即：2ab =12 则(a −b )2=a 2−2ab +b 2=13−12=1 故选：A4、如图所示，在△ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知AC ＝CD ＝5，AD ＝6，BD=25，则△ABC 的面积是（ ） A ．18 B ．36 C ．72 D ．125【解答】作AE ⊥CD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ， ∵AC ＝CD ＝5，AD ＝6，CF ⊥AD ， ∴AF ＝3，∠AFC ＝90°，∴，∵，∴，解得．AE，∵BD，CD＝5，∴BC，∴△ABC的面积是：18，故选A．5、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，6，8 B．6，8，9 C．7，24，25 D．5，11，12【解答】A、62+42≠82，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；B、62+82≠92，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；C、72+242＝252，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；D、52+112≠122，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：C．6、满足下列条件△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 C．b2＝a2+c2 D．a：b：c＝1：1：2【解答】A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠A＝180°，即∠A＝90°，∴是直角三角形，故此选项不合题意；B、∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则∠C＝180°90°，∴是直角三角形，故此选项不合题意；C、b2＝a2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；D、a：b：c＝1：1：2，则a2+b2≠c2，∴不是直角三角形，故此选项符合题意；故选D．7、如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（）A．9m B．14m C．11m D．10m【解答】如图，作BD⊥OC于点D，由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，∵OC＝6m，∴DC＝4m，∴由勾股定理得：，∴大树的高度为5+5＝10（m），故选D．8、如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON ＝30°．公路PQ 上A 处距O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以20米/秒的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为（ ）A ．16秒B ．18秒C ．20秒D ．22秒【解答】如图：过点A 作AC ⊥ON ，AB ＝AD ＝200米，∵∠QON ＝30°，OA ＝240米，∴AC ＝120米，当火车到B 点时对A 处产生噪音影响，此时AB ＝200米，∵AB ＝200米，AC ＝120米，∴由勾股定理得：BC ＝160米，CD ＝160米，即BD ＝320米， ∵火车在铁路MN 上沿ON 方向以20米/秒的速度行驶，∴影响时间应是：320÷20＝16秒． 故选A ．9、如图，将一边长为a 的正方形 (最中间的小正方形) 与四个边长为b 的正方形 (其中b >a ) 拼接在一起，则四边形ABCD 的面积为 ( A )A ．b 2＋(b －a )2B ．b 2＋a 2C ．(b ＋a )2D ．a 2＋2ab10、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC上的动点，则PC+PQ 的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245D ．5【解答】如图，过点C 作CM ⊥AB 交AB 于点M ，交AD 于点P ，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，∵AD 是∠BAC 的平分线．∴PQ=PM ，这时PC+PQ 有最小值，即CM 的长度，∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，∴22AC BC +=2268+．∵S △ ABC =12AB•CM=12AC•BC ， ∴CM=AC BC AB =6810⨯=245，即PC+PQ 的最小值为245．故选：C ．二、填空题11、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是____________．【解答】根据勾股定理知正方形A，B，C，D的面积的和是92=81cm2．故答案是81．12、在中，，，BC边上的高为12cm，则的面积为．【解答】如图，当为锐角时，由勾股定理得，，，可求得如图，当为钝角时，同理可得，，，，可求得综上所述，的面积为或．故答案为126或66．13、如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成.若较短的直角边∆BC=，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，若BCD 5的周长是30，则这个风车的外围周长是.答案：设BD=x, AC=AD=y,则x2=4y2+5, x+2y+5=30, ∴x=13,y=6,∴这个风车的外围周长是4(x+y）=7614、△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则BC边上的高长为6．【解答】过A作AD⊥BC于D，则BD＝8，在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝8，则AD6．AD=6所以BC边上高的长的高为6．故答案为：6．15、观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________．【解答】由题意得，每组第一个数是奇数，且逐步递增2，第二、第三个数相差为一故第⑥组的第一个数是13设第二个数为x ，第三个数为x+1；根据勾股定理得()22213+1x x =+解得84x =，则第⑥组勾股数：13，84，85。
新人教版八年级下册勾股定理习题(附答案)
C勾股定理评估试卷（1）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm（B ）8 cm （C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形.9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）. （A ）50a 元 （B ）600a 元 （C ）1200a 元 （D ）1500a 元 10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）.（A ）12 （B ）7 （C ）5 （D ）135米3米（第10题） （第11题） （第14题）二、填空题（每小题3分，24分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第15题） （第16题） （第17题） 15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D若BC =8，AD =5，则AC 等于______________. 17. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.C三、解答题（每小题8分，共40分）19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21. 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
苏教版八年级第3章 勾股定理与三角形动点题型练习(答案版)
练习：勾股定理与等腰三角形综合学生姓名：年级：科目：得分：练习内容1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s 的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t0．（1）AB＝50 cm，AB边上的高为24 cm；（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理即可求出AB；由直角三角形的面积即可求出斜边上的高；（2）分三种情况：①当BD＝BC＝30cm时，得出2t＝30，即可得出结果；②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，则BE＝DE＝BD＝t，由（1）得出CE＝24，由勾股定理求出BE，即可得出结果；③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，证明DA＝DC，得出AD＝DB＝AB，即可得出结果．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，∴AB＝＝＝50（cm）；作AB边上的高CE，如图1所示：∵Rt△ABC的面积＝AB•CE＝AC•BC，∴CE＝＝＝24（cm）；故答案为：50，24；（2）分三种情况：①当BD＝BC＝30cm时，2t＝30，∴t＝15（s）；②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，如图2所示：则BE＝DE＝BD＝t，由（1）得：CE＝24，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝18（cm），∴t＝18s；③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，∵∠A＝90°﹣∠B，∠ACD＝90°﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠A，∴DA＝DC，∴AD＝DB＝AB＝25（cm），∴2t＝25，∴t＝12.5（s）；综上所述：t的值为15s或18s或12.5s．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积的计算；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要进行分类讨论，运用勾股定理和等腰三角形的性质才能得出结果．2．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t；③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ＝＝＝2（cm）；（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝；即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5，∴BC+CQ＝11，∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2所示：则BC+CQ＝12∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝＝4.8（cm）∴CE＝＝3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．3．如图1，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．（1）请在6×8的网格纸图2中画出运动时间t为2秒时的线段PQ并求其长度；（2）在动点P、Q运动的过程中，△PQB能否成为PQ＝BQ的等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间t；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，和运动时间t为2秒，分别求出PE、QE，再利用勾股定理即可求出PQ其长度．（2）设时间为t，则在t秒钟，P运动了2t格，Q运动了t格，由题意得PQ＝BQ，然后根据勾股定理列出关于t的方程，解得t即可．【解答】解：（1）∵点Q的运动速度为每秒1个单位，和运动时间t为2秒，运动时间t为2秒，∴由图中可知PQ的位置如下图2，则由已知条件可得PD＝4，AQ＝2，QE＝2，PE＝6，∴PQ＝＝＝2，（2）能．设时间为t，则在t秒钟，P运动了2t格，Q运动了t格，由题意得PQ＝BQ（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2解得t＝．答：（1）PQ的长为2；（2）能，运动时间t为．【点评】此题主要考查勾股定理和等腰三角形的性质等知识点，此题涉及到动点问题，有一定的拔高难度，属于难题．4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．【分析】（1）①先根据∠B＝∠C，BD＝CE，AB＝DC，判定△ABD≌DCE，得出AB＝DC，进而得到△ADE 为等腰三角形；②根据△ABD≌△DCE，得出∠BAD＝∠CDE，再根据∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，得到∠ADE＝∠B＝60°，最后判定等腰△ADE为等边三角形；（2）分三种情况讨论：∠CPD为直角顶点；∠PCD是直角顶点；∠PDC是直角顶点，分别进行画图即可．第一种情况：使得AP＝BD，BP＝AC；第二种情况：使得AC＝AB，CE＝AP，BD＝AE；第三种情况：使得BD＝AB，DF＝BP，AC＝BF．【解答】解：（1）①证明：∵∠B＝∠C，BD＝CE，AB＝DC，∴△ABD≌DCE，∴AB＝DC，∴△ADE为等腰三角形；②∵△ABD≌△DCE，∴∠BAD＝∠CDE，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC，又∵∠BAD＝∠CDE．∴∠ADE＝∠B＝60°，∴等腰△ADE为等边三角形．（2）有三种结果，如图所示：2.如图,△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为2cm/s和lcm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为ts,则当运动时间t为多少秒时,△PBQ为直角三角形。
(完整版)勾股定理习题(附答案)
C勾股定理评估试卷（1）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm（B ）8 cm （C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形.9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）. （A ）50a 元 （B ）600a 元 （C ）1200a 元 （D ）1500a 元 10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）.（A ）12 （B ）7 （C ）5 （D ）135米3米（第10题） （第11题） （第14题）二、填空题（每小题3分，24分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第15题） （第16题） （第17题） 15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D若BC =8，AD =5，则AC 等于______________. 17. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.EABCDBDE ABCD第18题图7cm三、解答题（每小题8分，共40分）19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21. 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
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由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 《第3章 勾股定理》单元检测题 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．三个正方形的面积如下图，正方形A的面积为（ ） A．6 B．36 C．64 D．8
（ 第1题 ） （ 第2题 ） （ 第5题 ）
2．如图一个圆桶儿，底面直径为12cm，高为8cm，则桶内能容下的最长的木棒为（ ）
A．8cm B．10cm C．413 cm D．20cm 3．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（ ） A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm 4．以面积为9的正方形的对角线为边，作一个正方形，其面积为（ ） A．9 B．13 C．18 D．24 5、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′（ ） A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．不能确定 6．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 7．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍 8．在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为（ ） A．14 B．14或4 C．8 D．4或8 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 9．已知一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高之比为（ ） A．3：4：5 B．5：4：3 C．20：15：12 D．10：8：2 10．在同一平面上把三边BC=3，AC=4，AB=5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC′，则CC′的长等于（ ）
A．125 B．135 C．56 D．245 二、填空题（共11小题，每小题3分，满分33分） 11．一个直角三角形的三边长为三个连续自然数，则它的三边长为 ． 12．在Rt△ABC中，a=4，b=3，则c= ． 13．等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线长为 ． 14．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 cm2． 15．如下图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=15，AC=17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为__________．
（ 第15题 ） （ 第16题 ） （ 第17题 ） 16．如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要__________． 17．现有一长5米的梯子，架靠在建筑物上，它们的底部在地面的水平距离是3米，则梯子可以到达建筑物的高度是__________ m，若梯子沿建筑物竖直下滑 1米，则建筑物底部与梯子底部在地面的距离是 __________m． 18．已知|x-12|+（y-5）2=-z2+26z-169，则以x，y，z为边的三角形为 三角形． 19．若一个直角三角形两边长为12和5，第三边为x，则x2= ． 20．等腰三角形的底边为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高为 ． 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 21．在△ABC中，三边为a，b，c，若有c2=5a2，b2=4a2，则△ABC是 三角形． 三、解答题（共6小题，满分37分） 22．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
23．如图，已知△DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上的中线DG=8cm．求△DEF的面积．
24．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
25．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，MN⊥AB于N． 求证：AC2+BN2=AN2．
26．直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积． 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 27．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，求图中阴影部分的面积．
附加题 一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下落了多少米．
答案： 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．故选B． 考点：勾股定理． 分析：根据直角三角形的勾股定理，得：两条直角边的平方等于斜边的平方．再根据正方形的面积公式，知：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜
图1 图2 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 边为边长的正方形的面积． 解答：解：A的面积等于100-64=36；故选B． 点评：本题主要考查勾股定理的证明：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 2．故选C． 考点：勾股定理的应用． 分析：桶内能容下的最长的木棒长是圆桶沿底面直径切面的长方形的对角线长，所以只要求出桶的对角线长则可．
解答：解：圆桶最长对角线长为：122+82 =413 cm ， 桶内能容下的最长的木棒长为：413 cm ．故选C． 点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 3．故选B． 考点：勾股定理的应用． 专题：应用题． 分析：首先根据题意知：它们挖的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，根据勾股定理即可求解．
解答： 解：由图可知，AC=8×10=80cm，BC=6×10=60cm，由勾股定理得， AB=错误!=错误!=100cm．故选B． 点评：本题考查了勾股定理的应用，首先要正确理解题意，画出正确的图形，再熟练运用勾股定理进行计算． 4．故选C． 考点：勾股定理；正方形的性质． 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 分析：先求出面积为9的正方形的对角线的长，进而就可以求出所作的正方形的面积．
解答：解：以面积为9的正方形边长为3，对角线是32 ．则以对角线为边，作一个正方形，其面积为18．故选C． 点评：此题主要考查了正方形的面积公式，及勾股定理． 5、故选C． 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：由题意可知OA=2，OB=7，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB=A′B′，又由题意可知OA′=3，利用勾股定理分别求OB′长，把其相减得解． 解答：解：在直角三角形AOB中，因为OA=2，OB=7
由勾股定理得：AB=53 ， 由题意可知AB=A′B′，=53 ， 又OA′=3，根据勾股定理得：OB′=44 ， ∴BB′=7- 44 ＜1．故选C． 点评：本题利用了勾股定理求解． 6．故选C． 考点：勾股定理的逆定理． 分析：对等式进行整理，再判断其形状． 解答：解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形， 故选C． 点评：本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定． 7．故选A． 考点：勾股定理． 分析：根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍． 解答：解：设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2=c2；
另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为(2a)2+(2b)2 =2c． 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍． 故选A． 点评：熟练运用勾股定理对式子进行变形． 8．故选B． 考点：勾股定理． 专题：分类讨论． 分析：根据勾股定理先求出BD、CD的长，再求BC就很容易了．
解答：解：此图中有两个直角三角形，利用勾股定理可得： CD2=152-122=81， ∴CD=9， 同理得BD2=132-122=25 ∴BD=5 ∴BC=14，
此图还有另一种画法．即 当是此种情况时，BC=9-5=4故选B． 点评：此题主要考查了直角三角形中勾股定理的应用．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 9．故选C． 考点：勾股定理． 分析：根据同一三角形面积相等，根据面积公式即可解答． 解答：解：可设这三边上的高分别为a、b、c．同一个三角形，面积是相等的．∵三边之比为3：4：5，最小公倍数为60， ∴这个三角形三边上的高之比为20：15：12． 故选C． 点评：解决本题的关键是根据同一三角形，面积是相等的．得到高的比与边的