2010年上海市徐汇区高三数学理科二模
2020年上海徐汇区高三二模数学试卷-学生用卷
2020年上海徐汇区高三二模数学试卷-学生用卷一、填空题（本大题共12小题，共54分）1、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第1题4分2019年上海徐汇区高三二模已知U ={1,2,3,4,5}，A ={1,3,5}，则∁U A = ．2、【来源】不等式1x ⩽3的解集是 ．3、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第3题4分2019年上海徐汇区高三二模函数f(x)=cosπx 3的最小正周期为 ．4、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第4题4分2019年上海徐汇区高三二模2020~2021学年上海浦东新区上海师范大学附属中学高一下学期期末第2题5分若1+i (i 是虚数单位)是关于x 的实系数方程x 2+px +q =0的根，则pq = ．5、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第5题4分2019年上海徐汇区高三二模方程sinx =13在[π2,π]上的解是 ．6、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第6题4分2019年上海徐汇区高三二模若f(x)=12x −1+1a 是奇函数，则实数a 的值为 ．7、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第7题5分2019年上海徐汇区高三二模二项式(x 2+√x )5的展开式中的常数项等于 ．(结果用数值表示)8、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第8题2020~2021学年10月天津河西区天津市第四中学高二上学期月考第13题4分2019年上海徐汇区高三二模已知直线(a +2)x +(1−a )y −3=0的方向向量是直线(a −1)x +(2a +3)y +2=0的法向量，则实数a 的值为 ．9、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第9题5分2019年上海徐汇区高三二模从数字1，2，3，4，5，6，7，8中任取2个数，则这2个数的和为偶数的概率为 ．(结果用数值表示)10、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第10题5分2019年上海徐汇区高三二模在△ABC 中，若|AB →+AC →|=|AB →−AC →|，AB =2，AC =1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →⋅AF →= ．11、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第11题5分2019年上海徐汇区高三二模如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最少的从A 到B 的行走线路，则此人从A 到B 遇见的行人总人数的最小值是 ．12、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第12题5分2019年上海徐汇区高三二模)在[2,3]上至少有一个零点，设二次函数f(x)=(2m+1)x2+nx−m−2(m，n∈R且m≠−12则m2+n2的最小值为．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第13题5分某地区的绿化面积每年平均比上一年增长20%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y= f(x)的图象大致为()A. AB. BC. CD. D14、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第14题5分2019年上海徐汇区高三二模一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. π2B. πC. 3π2D. 2π15、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第15题5分2019年上海徐汇区高三二模设点P (t 2+2t ,1)(t <0)是角α终边上一点，当|OP →|最小时，cosα的值是() A. −2√55B. 2√55C. √55D. −√5516、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第16题5分2019年上海徐汇区高三二模2019~2020学年高二上学期期中若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=(−1)n+2020a，b n=2+(−1)n+2019，且a n<b n对任意nn∈N∗恒成立，则实数a的取值范围为()A. [−2,1))B. [−2,32)C. [−1,12D. [−1,1)三、解答题（本大题共5小题，共76分）17、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第17题14分2019年上海徐汇区高三二模2020年上海高三一模2017~2018学年河北唐山滦州区滦州区第二中学高二上学期期中2017~2018学年广东惠州高二下学期期末如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB=2，AD=2√2，PA=2．求：(1) 三角形PCD的面积；(2) 异面直线BC与AE所成的角的大小．18、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第18题14分2019年上海徐汇区高三二模已知函数f(x)=|3x−1|，g(x)=1−|x|．(1) 解不等式f(x)⩽2．(2) 求F(x)=f(x)−g(x)的最小值．19、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第19题14分2019年上海徐汇区高三二模2020~2021学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高一上学期周测[ 校本作业5专题（3）] 第4题某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为50√3米、圆心角为60°的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案．已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P，Q分别在弧AB、线段OA上．(1) 若∠PON=45°，求此红旗图案的面积S．(2) 求组成的红旗图案的最大面积．20、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第20题16分2019年上海徐汇区高三二模第20题已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为2√2，右顶点到左焦点的距离为√2+1，F 1、F 2分别为椭圆Γ的左、右两个焦点．(1) 求椭圆Γ的方程．(2) 已知椭圆Γ的切线l (与椭圆Γ有唯一交点)的方程为y =kx +m ，切线l 与直线x =1和x =2分别交于点M 、N ．求证：|MF 2||NF 2|为定值，并求此定值． (3) 设矩形ABCD 的四条边所在直线都和椭圆Γ相切(即每条边所在直线与椭圆Γ有唯一交点)，求矩形ABCD 的面积S 的取值范围．21、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第21题18分2019年上海徐汇区高三二模2020~2021学年上海浦东新区上海师范大学附属中学高一下学期期末第21题15分设数列{a n }(n ∈N ∗)中前两项a 1，a 2给定，若对于每个正整数n ⩾3，均存在正整数k (1⩽k ⩽n −1)使得a n =a n−1+a n−2+⋯+a n−k k，则称数列{a n }为“Ω数列”． (1) 若数列{a n }(n ∈N ∗)为a 1=1，a 2=−12的等比数列，当n ⩾3时，试问：a n 与a n−1+a n−22是否相等，并说明数列{a n }(n ∈N ∗)是否为“Ω数列”．(2) 讨论首项为a 1、公差为d 的等差数列{a n }是否为“Ω数列”，并说明理由．(3) 已知数列{a n }为“Ω数列”，且a 1=0，a 2=1，记S (n,k )=a n−1+a n−2+⋯+a n−k (n ⩾2,n ∈N ∗)，其中正整数k ⩽n −1，对于每个正整数n ⩾3，当正整数k 分别取1，2，⋯，n −1时，S (n,k )k 的最大值记为M n ，最小值记为m n ．设b n =n ⋅(M n −m n )，当正整数n 满足3⩽n ⩽2020时，比较b n 与b n+1的大小，并求出b n 的最大值．1 、【答案】 {2,4};2 、【答案】 (−∞,0)∪[13,+∞);3 、【答案】 6;4 、【答案】 -4;5 、【答案】 π−arcsin13;6 、【答案】 2;7 、【答案】 5;8 、【答案】±1;9 、【答案】3;7;10 、【答案】10911 、【答案】 34;;12 、【答案】45313 、【答案】 D;14 、【答案】 B;15 、【答案】 A;16 、【答案】 B;17 、【答案】 (1) 见解析;(2) 见解析;,1]18 、【答案】 (1) [−13;(2) −23;19 、【答案】 (1) S=3750−1250√3（平方米）．;(2) 1250√3平方米;+y2=120 、【答案】 (1) x22;(2) 见解析;(3) [4√2,6];21 、【答案】 (1) a n=a n−1+a n−2，{a n}是“Ω数列”2;(2) 当d=0时，{a n}是“Ω数列”，d≠0时，{a n}不是“Ω数列”;(3) b n>b n+1(3⩽n⩽2020)；(b n)max=32;。
数学_2010年上海市闵行区高考数学二模试卷(文科)_(含答案)
2010年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分） 1. 若2+i i=a +bi(i 为虚数单位，a 、b ∈R)，则a +b =________．2. 对于随机事件A ，若P(A)=0.65，则对立事件A ¯的概率P(A ¯)=________． 3. 方程|x12111101|=0的解为________． 4. (1−2x)10展开式中x 3的系数为________（用数字作答）．5. 某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如表：则总体标准差的估计值是________（精确到0.01）．球O 的体积等于________．7. 根据程序框图，写出它所执行的内容：________．8. 已知函数f(x)=20×0.618x −x 的零点x 0∈(k, k +1)，k ∈Z ，则k =________． 9. 设等差数列{a n }的前n 项之和S n 满足S 10−S 5=40，那么a 8=________．10. 若圆x 2+y 2−2x −4y =0的圆心到直线x −y +a =0的距离为√22，则a 的值为________． 11. 定义：关于x 的两个不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a, b)和(1b ,1a )，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x 2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式，且θ∈(π2,π)，则θ＝________5π6 ．12. 设函数y =f(x)存在反函数y =f −1(x)，且函数y =x −f(x)的图象过点(1, 3)，则函数y =f −1(x)+3的图象一定过点________．13. 当x >1时，不等式a ≤x +1x−1恒成立，则实数a 的取值范围是________．14. 对于自然数n(n ≥2)的正整数次幂，可以如下分解为n 个自然数的和的形式：22{13，23{35，24{79，…，32{135，33{7911，34{252729，…52{13579，53{()()()()()…仿此，53的分解中的最大数为________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15. 已知平面向量a →=(2,−p)，b →=(p 2,p)，向量(a →+b →) // c →，则c →可以是（ ） A (1, 0) B (0, 1) C (1, 1) D (−1, 1)16. 已知△ABC 中，AC =2√2，BC =2，A =π6，则AB 边长是（ ）A √3+√7B √6+√2C √6−√2D √6±√217. 数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=2，若对任意正整数n ，有a n a n+1a n+2=a n +a n+1+a n+2，且a n+1a n+2≠1，则该数列的前2010项和S 2010=( ) A 2010 B 4020 C 3015 D −201018. 设点P(x, y)在|x5|+|y13|≤1所确定区域内，则点P(x, y)所在的区域面积为（ ） A 652 B 65 C 130 D 169三、解答题（共5小题，满分78分）19. 若复数z 满足：(2+i)z 为纯虚数，且z −2的模等于2，求复数z ． 20. 已知函数f(x)=2sin(x +π6)−2cosx ，x ∈[π2，π]． (1)若sinx =45，求函数f(x)的值；(2)求函数f(x)的值域．21. 某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、…、第50(n −1)米至50n 米的圆环面为第n 区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000千克、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推，求：（1）离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量（结果精确到1千克）？ （2）第几区内的火山灰总重量最大？22. 已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆x 2+3y 2=4上，C 在直线l:y =x +2上，且AB // l ． （1）求边AB 中点的轨迹方程；（2）当AB 边通过坐标原点O 时，求△ABC 的面积；（3）当∠ABC =90∘，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程． 23. 在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n +2n ．（1）设b n =an2n−1(n ∈N ∗)，证明：数列{b n }是等差数列；（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求limn →∞S n n⋅2n+1的值；（3）设c n =2b n −1，数列{c n }的前n 项和为T n ，d n =Tn 4a n2−Tn，是否存在实数t ，使得对任意的正整数n 和实数m ∈[1, 2]，都有d 1+d 2+d 3+...+d n ≥log 8(2m +t)成立？请说明理由．2010年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）答案1. −12. 0.353. 24. −9605. 16.75 6. 36π7. 1+32+52+...+20092 8. 3 9. 810. 0或2 11. 5π612. (−2, 4) 13. (−∞, 3) 14. 29 15. A 16. D 17. B 18. C 19. 解：设z =a +bi(a, b ∈R)因为(2+i)z =(2a −b)+(a +2b)i 为纯虚数 所以{2a −b =0a +2b ≠0(a −2)2+b 2=4解得{a =45b =85故复数z =45+85i20. 解：(1)∵ sinx =45，x ∈[π2，π] ∴ cosx =−√1−1625=−35∴ f(x)=2sin(x +π6)−2cosx =√3sinx +cosx −2cosx =√3sinx −cosx =45×√3+35=4√3+35（2）f(x)=2sin(x +π6)−2cosx =√3sinx +cosx −2cosx =√3sinx −cosx =2sin(x −π6) ∵ x ∈[π2，π]∴ π3≤x −π6≤5π6∴ 12≤sin(x −π6)≤1∴ f(x)的最大值为2，最小值为1，值域为[1, 2] 21. 解：（1）设第n 区每平方米的重量为a n 千克，则a n =1000(1−2%)n−1=1000×0.98n−1第1225米位于第25区，∴ a 25=1000×0.9824=616（千克） 故第1225米处每平方米火山灰约重616千克（2）设第n 区内的面积为b n 平方米，则b n =π502n 2−π502(n −1)2=2500π(2n −1) 则第n 区内火山灰的总重量为C n =a n b n =25×105π(2n −1)×0.98n−1（千克） 设第n 区火山灰总重量最大，则{25×105π(2n −1)×0.98n−1≥25×105π(2n −3)×0.98n−225×105π(2n −1)×0.98n−1≥25×105π(2n +1)×0.98n ，解得49.5≤n ≤50.5，即得第50区火山灰的总重量最大． 22. 解：（1）设AB 所在直线的方程为y =x +m 由{x 2+3y 2=4y =x +m 得4x 2+6mx +3m 2−4=0．因为A 、B 在椭圆上，所以△=−12m 2+64>0.−4√33<m <4√33设A 、B 两点坐标分别为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)，中点为P(x 0, y 0) 则x 1+x 2=−3m 2，m =−43x 0，y 0=x 0−43x 0=−13x 0所以中点轨迹方程为y =−13x(−√3<x <√3，且x ≠−32)（2）∵ AB // l ，且AB 边通过点(0, 0)，故AB 所在直线的方程为y =x ． 此时m =0，由（1）可得x =±1，所以|AB|=√2|x 1−x 2|=2√2 又因为AB 边上的高ℎ等于原点到直线l 的距离，所以ℎ=√2 S △ABC =12|AB|⋅ℎ=2． （3）由（1）得x 1+x 2=−3m 2，x 1x 2=3m 2−44，所以|AB|=√2|x 1−x 2|=√32−6m 22．又因为BC 的长等于点(0, m)到直线l 的距离，即|BC|=√2．所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=−m2−2m+10=−(m+1)2+11．所以当m=−1时，AC边最长，（这时△=−12+64>0）此时AB所在直线的方程为y=x−1．23. 解：（1）a n+1=2a n+2n，a n+12n =a n2n−1+1，b n+1=b n+1，故{b n}为等差数列，b1=1，b n=n．（2）由（1）可得a n=n2n−1S n=1⋅20+2⋅21+3⋅22+n⋅2n−12S n=1⋅21+2⋅22+3⋅23+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n两式相减，得−S n=20+21+22+2n−1−n⋅2n=2n−1−n⋅2n，即S n=(n−1)2n+1∴ limn→∞S nn⋅2n+1=limn→∞(n−1)2n+1n⋅2n+1=12（3）由（1）可得T n=n2，∴ d n=T n4a n2−T n =14n−1，(d1+d2+d3++d n+d n+1)−(d1+d2+d3++d n)=d n+1=14n+1−1>0∴ {d1+d2+d3++d n}单调递增，即d1+d2+d3++d n≥d1=13，要使d1+d2+d3++d n≥log8(2m+t)对任意正整数n成立，必须且只需13≥log8(2m+t)，即0<2m+t≤2对任意m∈[1, 2]恒成立．∴ [2+t, 4+t]⊆(0, 2]，即{2+t>04+t≤2⇒−2<t≤−2矛盾．∴ 满足条件的实数t不存在．。
上海市徐汇区年高三二模数学试题.doc
2013学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）一.填空题：（本题满分56分，每小题4分）1-己知集合A={xl Bt <0 B = |x| x 2 -2x-3 > 0,xe 7?], 则A^B= ________________ .2. _______________________________________ 直线x + V3y + l=0的倾斜角的大小是 ________________________________________________JF3. 函数V = cos 2兀—的单调递减区间是1 4丿24. 函数y = x + — [x>2）的值域是 __________ •X5. 设复数z 满足i （z + l ） = -3 + 2i,则乙= ______________ •6. 某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调査学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，髙二有780名学生，则在 该学校的高三应抽取 ____________ 名学生./ 、 sin x4-cos x cos （兀一兀）7. 函数/（X ）=V）的最小正周期.2sinx cos x-sin %8. ____________________________________________ 已知函数 /(x) = arcsin(2x+ 1),则 f~](―) = ___________________________________________69. 如图，在直三棱柱— 屮，ZACB = 90°,A4 =2，AC = BC = 1 ,则异面直7F11. 在极坐标系中，定点A （2,—）,点B 在直线pcos& + /?sin& = 0上运动，则点A 和点B间的最短距离为 ___________ .12. 如图，三行三列的方阵中有9个数6Z..（Z = 1,2,3；丿= 123）,从中任取三个数,2014.4线AB 与AC 所成角的余弦值是1、10.若 1 ------ 7 I X 丿n（/?G N\n> 1）的展开式屮兀7的系数为暫,则limHT8 \ 1 1 + — 色丿/ 、a\\ a\2 a\3④/丄mn aH0A a 门 cA ・ —B ・ —c b17. 函数y = J1_（X + 2）2图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是3 1 V3 r-A. —B. —C. -----D. Q32 2 3则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ______________ .（结果用分数表 示）13. 如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF 屮，动圆Q 的半径为1,圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆！2上及内部的动点，设向量AP = mAB + nAF （m. n 为实数），则m + n 的最大值为 _____________14 . 对 于集合 A = {a i ,a 2,-^a n } ( ne N\n>3), 定 义集合S = [xx = a i + a J9l<i<j<n}f 记集合S 中的元素个数为5(A).若a^a 2,-^a n 是公差大于零的等差数列，则S （A ）二 __________二・选择题：（本题满分20分，每小题5分）15.已知直线/丄平面直线加匸平面0,给出下列命题，其中正确的是①a//0二＞ /丄加② a 丄 0 => / // 772A.②④B.②③④C.①③D.①②③叽屮，角心、C 的对边分别是G 、c,且处还则鶉等于一（） D. |18.设圆6和圆O2是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆.以上命题正确的是"（）A.①③B・②③C•①②D•①②③三. 解答题：（本大题共5题，满分74分）19.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，“ABC中，ZACB = 90°, ZABC = 30°, BC = 4,在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上,半圆与AC、AB分别相切于点C、M ,与BC交于点W ）,将厶ABC 绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.（1）求该儿何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体枳.CON20.（本题满分14分）如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC, 小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登.已知ZABC = \20\ZADC = 150°, BD = 1（千米），AC = 3 （千米）.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰.（即从B点出发到达C点）21.（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）己知椭圆%2 + 2/= a\a > 0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的而积为4.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线y - k{x -1）与椭圆C交于A、3两点，试问，是否存在x轴上的点M （“0）,使得对任意的kwR,MB为定值，若存在，求111 M点的坐标，若不存在，说明理由.22. (本题满分16分；第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题7分) 定义：对于函数/(x),若存在非零常数M,T ,使函数.f (兀)对于定义域内的任意实数兀, 都有/(兀+ T )—/(兀)=M ,则称函数/(x)是广义周期函数，其中称丁为函数/(x)的广 义周期，M 称为周距.(1) 证明函数/(X ) = X + (-1)V (XG Z)是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相 应周距M 的值；(2) 试求一个函数 y = g(x),使/(x) = g(x) + 4sin(s: + 0)(xw 7?) (A 、Ok 0 为常 数，A>O,Q >0)为广义周期函数，并求出它的一个广义周期T 和周距M ；(3) 设函数y = g(x)是周期T = 2的周期函数,当函数/(x) = -2x+<?(x)在［1,3］上的 值域为［-3,3］时，求/(对在［-9,9］±的最大值和最小值.23. (本题满分18分，第(1)小题3分，第(2)小题9分，第(3)小题6分)一个三角形数表按如下方式构成(如图：其中项数H>5)：第一行是以4为首项，4为公差 的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：/(2,1) = /(1,1) + /(1,2)； /(/,./)为数表中第，行的第/个数.(1) 求第2行和第3行的通项公式/(2J )和/(3J )；(2)证明：数表屮除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求/(z,l)关于i(i = l,2,・・・“)的表达式；(3) 若/(i,l) = (i + l)仏一 1), $= 丄-，试求一个等比数列g(i)(心1,2,・・・,对,使Q Q +1得s“ = b|g ⑴+Eg (2) +…+仇g S) v 丄,且对于任意的加W/(1,1) /(l,2) D/(2,1) /(2,2) -/(2,/7-l)1 - 31 - 4 zr k\当7? > 2时，都有S n > m ./(仏1)2013学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）二.填空题：（本题满分56分，每小题4分）1 .己知集合 A = 三|vo} , B = {X \X 2-2X -3>0,XE /?},则__________ •2. _______________________________________ 直线x + V3y + l=0的倾斜角的大小为_________________________________________________ .JF3. 函数v = cos 2x + —的单调递减区间是1 4丿 24. 函数y = x + —（兀>0）的值域为 __________ .X5. 设复数z 满足z （z + l ） = -3 + 2z ，则7= __________ .6. 某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调査学生的课余学习情况，拟采用分层 抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，髙二有780名学生，则在该学校的高三应抽取 ___________ 名学生./ 、 sin x 4-cos x cos （兀一兀）7. 函数/（%）= ' ）的最小正周期卩二 ____________ .2sinx cos x-sin %& 已知函数 /(x) = arcsin (2x4-1),则 f~] (―) = ______________ .69.如图，在直三棱柱 ABC-A.B.C,中，ZACB = 90(),A41 =2,AC = BC = 1,则异面直线AB 与AC 所成角的余眩值是 ______________ .x+y <5 2x+y <610 •已知实数兀、y 满足不等式组｛• ,则z = 3x + 4 y 的最大值是兀no y>0n（HG N\n > 1）的展开式中x-4的系数为色,2014.411.若 1-A12•如图，三行三列的方阵中有9个数= 1,2,3；丿= 1,2,3),从中任取三个数,13.对于集合A 二{即。
上海市徐汇、松江、金山区高三数学二模试题 理(含解析
2013年上海市徐汇、松江、金山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2006•上海）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a= ．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求a的值，可先列出关于a的两个方程，由已知得y=f（x）的反函数图象过定点（2，﹣1），根据互为反函数的图象的对称性可知，原函数图象过（﹣1，2），从而解决问题．解答：解：若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则原函数的图象过点（﹣1，2），∴2=a﹣1，a=．故答案为．点评：本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．2．（4分）（2013•松江区二模）已知函数的值域为A，集合B={x|＜0}，则A∩B=[2，3）．考点：二阶矩阵；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：根据幂函数的单调性，求出函数的值域确定出集合A，然后根据二阶行列式化简集合B后解不等式确定出集合B，最后求出两集合的交集即可．解答：解：由函数是增函数，得：A=[2，4]，由＜0得到x2﹣4x+3＜0，∴1＜x＜3，∴B=（1，3），∴A∩B=[2，3）．故答案为：[2，3）．点评：此题属于以函数的值域、二阶矩阵为平台，考查了交集的运算，要求学生熟练掌握幂函数的性质及二阶行列式的计算．3．（4分）（2013•松江区二模）已知= ﹣．考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：先利用诱导公式化简cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，求出cosα，然后根据sin2α+cos2α=1，以及α∈（﹣，0），求出sina，进而求得tanα，再利用二倍角的正切，求出结果．解答：解：∵cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣∴cosα=∴sinα=±=±∵α∈（﹣，0）∴sinαα=﹣∴tanα=﹣tan2α==﹣故答案为﹣．点评：本题考查了二倍角正切以及诱导公式，解题过程中要注意α的范围，属于基础题．4．（4分）（2013•松江区二模）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高h==4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积．解答：解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3因此，圆锥的高h==4∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π故答案为：12π点评：本题给出圆锥母线长和侧面积，求它的体积，着重考查了圆锥的侧面积公式和体积公式等知识，属于基础题．5．（4分）（2013•松江区二模）已知x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b= 19 ．考点：复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）代入方程，利用复数的运算法则进行化简，再根据复数相等即可得出．解答：解：∵x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，∴（﹣3﹣2i）2+a（﹣3﹣2i）+b=0，化为5﹣3a+b+（12﹣2a）i=0．根据复数相等即可得到，解得．∴a+b=19．故答案为19．点评：熟练掌握方程的根的意义、复数的运算法则和复数相等的定义是解题的关键．6．（4分）（2013•松江区二模）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i= i+2 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由已知中该程序的功能是计算的值，最后一次进入循环的终值为2013，即小于等于2013的数满足循环条件，大于2013的数不满足循环条件，由循环变量的初值为1，步长为2，由此易给出执行框中填写的语句．解答：解：∵该程序的功能是计算的值，最后一次进入循环的终值为2013，即小于等于2013的数满足循环条件，大于2013的数不满足循环条件，由循环变量的初值为1，步长为2，故执行框中应该填的语句是：i=i+2．故答案为：i+2．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．（4分）（2013•松江区二模）在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρcosθ=3．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先将原极坐标方程ρ=6cosθ的两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．解答：解：由题意可知圆的标准方程为：（x﹣3）2+y2=9，圆心是（3，0），所求直线标准方程为x=3，则极坐标方程为ρcosθ=3．故答案为：ρcosθ=3．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．8．（4分）（2013•松江区二模）将参数方程（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，所得方程是y=﹣x2+3（）．考点：参数方程化成普通方程．专题：探究型．分析：将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，可以借助于三角函数的平方关系，因此想到把①两边平方，然后和②相加即可，同时求出x的范围．解答：解：由，因为θ∈R，所以﹣1≤sinθ≤1，则．由①两边平方得：x2=2sin2θ③由②得y﹣1=2cos2θ④③+④得：x2+y﹣1=2，即y=﹣x2+3（）．故答案为y=﹣x2+3（）．点评：本题考查了化参数方程为普通方程，解答此类问题的关键是如何把题目中的参数消掉，常用的方法有代入法，加减消元法等，同时注意消参后变量的范围限制，是基础题．9．（4分）（2013•松江区二模）在二项式的展开式中，常数项的值是﹣20，则= ．考点：二项式定理；数列的极限．专题：计算题．分析：先求出二项式的展开式的通项为T r+1=，令6﹣2r=0可求r，结合已知常数项的值可求a，然后利用等比数列的和对已知式子求和，即可求解极限解答：解：由题意二项式的展开式的通项为T r+1=令6﹣2r=0可得r=3此时的常数项为=﹣20，解得a=则==故答案为：点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，等比数列的求和公式的应用及数列极限的求解．10．（4分）（2013•松江区二模）一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1．将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望Eξ=．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由题意可知两次抛掷后向上面所标有的数字有以下四种类型：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），可得ξ的取值为0，1．抛掷一次后出现数字1为事件A，出现数字0为事件B．由古典概型可得p（A）=P（B）=．由于ξ=1当且仅当两次抛掷后向上面所标有的数字都为1，故可求得P（ξ=1），再利用对立事件的概率计算公式可得P（ξ=0），进而得到数学期望Eξ．解答：解：由题意可知两次抛掷后向上面所标有的数字有以下四种类型：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），因此ξ的取值为0，1．设抛掷一次后出现数字1为事件A，出现数字0为事件B．由古典概型可得p（A）=P（B）=．ξ=1当且仅当两次抛掷后向上面所标有的数字都为1，故P（ξ=1）==，∴P（ξ=0）=1﹣P（ξ=0）==．故随机变量ξ的分布列为：故Eξ=．故答案为．点评：知道两次抛掷后向上面所标有的数字分为四种类型，正确理解古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式、数学期望的计算公式是解题的关键．11．（4分）（2013•松江区二模）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为15 ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+（2a﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|PA|+|PB|=10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案．解答：解：∵椭圆方程为，∴焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'|因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'|∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+=10+5=15当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为15故答案为：15点评：本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点距离B和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．12．（4分）（2013•松江区二模）如图，O为直线A0A2013外一点，若A0，A1，A2，A3，A4，A5，…，A2013中任意相邻两点的距离相等，设，用表示，其结果为1007（）．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：设A0A2013的中点为A，则A也是A1A2012，…A1006A1007的中点，可得===…=，共1007个式子，代入可得答案．解答：解：设A0A2013的中点为A，则A也是A1A2012，…A1006A1007的中点，由向量的中点公式可得=2=，同理可得==…=，故=1007×2=1007（）故答案为：1007（）点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，向量的中点公式是解决问题的关键，属中档题．13．（4分）（2013•松江区二模）设函数f（x）=x|x|，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），若g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，则正数a的取值范围为a＞2 ．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：求出平移后的两个函数解析式，通过g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，利用数形结合法，求出a的范围即可．解答：解：函数f（x）=x|x|=，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），g（x）=，将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），h（x）=，分别作出它们的图象，由图象可知，当g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方时，a ＞2．则正数a的取值范围为 a＞2．故答案为：a＞2．点评：本题考查函数的图象与图象变化，考查数形结合思想，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学思想的应用．14．（4分）（2013•松江区二模）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点E1，然后复原，记∠CDE1=α1；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E1D重合，得到折痕E2D，然后复原，记∠ADE2=α2；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD与E2D重合，得到折痕E3D，然后复原，记∠CDE3=α3；按此折法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则= ．考点：数列的极限．专题：等差数列与等比数列．分析：由第二步、第三步，…依此类推：（n≥2）．若，则；若，则数列{}是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式就得出αn，再利用数列极限即可得出．解答：解：由第二步可知：；由第三步可知：，…依此类推：（n≥2）．∴，∴，①若，则，此时；②若，则数列{}是以为首项，为公比的等比数列，∴，即．∴==．综上可知：．故答案为．点评：由第二步、第三步，…依此类推：（n≥2）．及熟练掌握等比数列的通项公式和数列极限的定义和运算法则是解题的关键．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2013•松江区二模）已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题．分析：举反例a=2，b=1，可证甲不能推乙，由不等式的性质可证乙可推甲，由充要条件的定义可得．解答：解：命题甲：ab＞b2，不能推出命题乙：，比如当取a=2，b=1，当然满足甲，但推不出乙；若命题乙：成立，则可得a，b均为负值，且a＜b，由不等式的性质两边同除以b可得ab＞b2，即甲成立，故甲是乙的必要不充分条件，故选B点评：本题考查充要条件，利用不等式的性质和反例法是解决问题的关键，属基础题．16．（5分）（2013•松江区二模）已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（﹣x）=﹣f（x）可知f（x）为奇函数，利用奇偶函数的概念即可判断设F（x）=x2•f（x）的奇偶性，从而得到答案．解答：解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，又F（x）=x2•f（x），∴F（﹣x）=（﹣x）2•f（﹣x）=﹣x2•f（x）=﹣F（x），∴F（x）是奇函数，可排除C，D．又F（x）=x2•f（x）=，∴F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，可排除A，故选B．点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，着重考查函数奇偶性的定义的应用，属于基础题．17．（5分）（2013•松江区二模）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：进行简单的合情推理．专题：计算题．分析：根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，根据“总数÷天数=平均数”进行解答即可得出答案．解答：解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26．其连续5天的日平均温度均不低于22．②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．根据其总体均值为24可知其连续5天的日平均温度均不低于22．③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，根据其总体均值为24可知其连续5天的日平均温度均不低于22．则肯定进入夏季的地区有甲、乙、丙三地．故选D．点评：本题主要了进行简单的合情推理．解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答即可．18．（5分）（2013•松江区二模）如图所示，向量的模是向量的模的t倍，的夹角为θ，那么我们称向量经过一次（t，θ）变换得到向量．在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过n ﹣1次变换得到的向量为，其中为逆时针排列，记A i坐标为（a i ，b i ）（i ∈N *），则下列命题中不正确的是（ ）A ．B ． b 3k+1﹣b 3k =0（k ∈N *）C ． a 3k+1﹣a 3k ﹣1=0（k ∈N *） D ． 8（a k+4﹣a k+3）+（a k+1﹣a k ）=0（k ∈N *）考点：命题的真假判断与应用；数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用变换的定义，推导知的向量坐标，然后求出a n ，b n 的表达式，然后进行计算即可． 解答：解：向量，经过1次变换后得到，则，所以，即A 正确．则由题意知=， 所以，．所以，所以B 正确．==，所以C 正确．故错误的是D ． 故选D ．点评： 本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（12分）（2013•松江区二模）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且，若，△ABC 的面积，求a+c 的值．考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数． 专题： 解三角形． 分析：由条件可知，根据△ABC 的面积，求得ac=3，再由余弦定理求得a+c 的值． 解答：解：在△ABC 中，由条件可知，，即，∵．∴ac=3．根据，由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，得b 2=（a+c ）2﹣2ac ﹣2accosB ，于是，，∴a+c=4． 点评： 本题主要考查余弦定理，两角和差的正弦公式，属于中档题． 20．（14分）（2013•松江区二模）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k ．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行． （1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将v=10时W1=96代入即可算出k的值；（2）算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式即可算出当且仅当v=12.5时，总费用W的最小值为2400（元）．解答：解：（1）由题意，设燃料费为，∵当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，∴当v=10时，W1=96，可得96=k×102，解之得k=0.96．（2）∵其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．∴航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为=元因此，航行100海里的总费用为=（0＜v≤15）∵，∴当且仅当时，即时，航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．答：（1）k值为0.96，（2）该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2400（元）．点评：本题给出函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题．21．（14分）（2013•松江区二模）如图，已知ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC1的中点．（1）求异面直线A1D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求直线A1B1到平面DAB的距离．考点：异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）可通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求向量的夹角来求异面直线所成的角；或通过作平行线，再解三角形求解；（2）根据转化思想，线面距离转化为点到平面的距离，再利用三棱锥的换底性求解．解答：解：（1）方法一：以A1B1中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．由题意得则设θ为向量的夹角，，∴异面直线A1D与BC所成角的大小为arccos．方法二：取B1B中点E，连结A1E，DE．∵DE∥CB∴∠A1DE为异面直线A1D与BC所成的角．在Rt△A 1B1E中，；在Rt△A1C1D中，；．∴异面直线A1D与BC所成角的大小为arccos．（2）∵AB∥A1B1，∴A1B1∥平面ABD，∴A1B1到平面DAB的距离即为A1到平面DAB的距离，设为h．由题意得，等腰△ADB底边AB上的高为，，则，且D到平面ABB1A1的距离为，由得×S△ABD•h=××，∴，∴直线A1B1到平面DAB的距离为．点评： 本题考查异面直线所成的角及线面距离问题．22．（16分）（2013•松江区二模）已知数列的前n 项和为S n ，数列是首项为0，公差为的等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设，对任意的正整数k ，将集合{b 2k ﹣1，b 2k ，b 2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k ，求证：数列{d k }为等比数列； （3）对（2）题中的d k ，求集合{x|d k ＜x ＜d k+1，x ∈Z}的元素个数．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比关系的确定． 专题：等差数列与等比数列． 分析： （1）利用等差数列的通项公式即可得出； （2）利用（1）得出b n ，从而得出b 2k ，b 2k ﹣1，b 2k+1依次成递增的等差数列，求出d k =b 2k+1﹣b 2k ﹣1，利用等比数列的定义即可判断出结论；（3）对k 分奇数、偶数讨论，利用二项式定理展开，即可得出集合元素的个数． 解答：解：（1）由条件得，即， ∴．（2）由（1）可知∴，，，由2b 2k ﹣1=b 2k +b 2k+1及b 2k ＜b 2k ﹣1＜b 2k+1得b 2k ，b 2k ﹣1，b 2k+1依次成递增的等差数列， 所以，满足为常数，所以数列{d k }为等比数列．（3）①当k 为奇数时，同样，可得，所以，集合{x|d k ＜x ＜d k+1，x ∈Z}的元素个数为=；②当k 为偶数时，同理可得集合{x|d k ＜x ＜d k+1，x ∈Z}的元素个数为点评： 熟练掌握等差数列的通项公式、等比数列的定义、二项式定理、分类讨论的思想方法是解题的关键． 23．（18分）（2013•松江区二模）已知双曲线C 的中心在原点，D （1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点 （A ，B 都不同于点D ），求证：为定值；（3）对于双曲线Γ：，E 为它的右顶点，M ，N 为双曲线Γ上的两点（都不同于点E ），且EM⊥EN，那么直线MN 是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）． 情形一：双曲线及它的左顶点；情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；情形三：椭圆及它的顶点．双曲线的标准方程；平面向量数量积的运算；类比推理．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分析：（1）设双曲线C的方程为，由顶点坐标、渐近线方程及a、b、c 的关系求出a、b的值即得．（2）设P（x1，y1），R（x2，y2），当直线l的斜率存在时，设设此直线方程为y=k（x+3），由得（2﹣k2）x2﹣6k2x﹣9k2﹣2=0，再由方程的根与系数关系及为定值；当直线l的斜率不存在时，当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=﹣3，A，B 的坐标为（﹣3，4）、（﹣3，﹣4），代入可求；（3）对于过定点问题，可先假设存在，即假设直线MN过定点，再利用设直线MN的方程为：x=my+t，联立方程组，利用垂直关系求直线MN过定点，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．最后运用类比推理写出类似结论．解答：解：（1）设双曲线C的方程为，则a=1，又，得，所以，双曲线C的方程为．（2）当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=﹣3，A，B的坐标为（﹣3，4）、（﹣3，﹣4），，得=0．当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），由得（2﹣k2）x2﹣6k2x﹣9k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，故=．=++9k2+1=0．综上，=0为定值．（3）当M，N满足EM⊥EN时，取M，N关于x轴的对称点M'、N'，由对称性知EM'⊥EN'，此时MN与M'N'所在直线关于x轴对称，若直线MN过定点，则定点必在x轴上．设直线MN的方程为：x=my+t，由，得（b2m2﹣a2）y2+2b2mty+b2（t2﹣a2）=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，由EM⊥EN，得（x1﹣a）（x2﹣a）+y1y2=0，（my1+t﹣a）（my2+t﹣a）+y1y2=0，即，，化简得，或t=a（舍），所以，直线MN过定点（，0）．情形一：在双曲线Γ：中，若E'为它的左顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN过定点（，0）．情形二：在抛物线y2=2px（p＞0）中，若M，N为抛物线上的两点（都不同于原点O），且OM⊥ON，则直线MN过定点（2p，0）．…..（16分）情形三：（1）在椭圆中，若E为它的右顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，则直线MN过定点（，0）；（2）在椭圆中，若E'为它的左顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN 过定点（，0）；（3）在椭圆中，若F 为它的上顶点，M ，N 为椭圆上的两点（都不同于点F ），且FM⊥FN，则直线MN 过定点（0，）；（4）在椭圆中，若F'为它的下顶点，M ，N 为椭圆上的两点（都不同于点F'），且F'M⊥F'N，则直线MN 过定点（0，）．点评： 本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，向量的坐标表示的应用，属于直线与曲线位置关系的综合应用，属于综合性试题．。
上海市徐汇区高三二模数学试题(解析版)
2021届上海市徐汇区高三二模数学试题一、单选题1．设α：x >1且y >2，β：x +y >3，则α是β成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：若“1x >且2y >”则“3x y +>”成立，当5x =，1y =时，满足3x y +>，但1x >且2y >不成立， 故1x >且2y >”是“3x y +>”的充分非必要条件． 故选：A ．2．设z 1、z 2为复数，下列命题一定成立的是（ ） A ．如果z 12+z 22＝0，那么z 1＝z 2＝0 B ．如果|z 1|＝|z 2|，那么z 1＝±z 2 C ．如果|z 1|≤a ，a 是正实数，那么﹣a ≤z 1≤a D ．如果|z 1|＝a ，a 是正实数，那么211z z a = 【答案】D【分析】通过举反例或一般性推理可作出选择.【详解】选项A ，若121,z z i ==，则有22120z z +=，但12z z ≠，故A 不正确；选项B ，若121,z z i ==，则有12||||z z =，但12z z ≠-，故B 不正确； 选项C ，若1z 为虚数，显然不可能有1a z a -<<，故C 不正确；选项D ，因为1z x yi =+，则1z x yi =-，若1||z a ==，即222x y a +=，而22211()()z z x yi x yi x y a ⋅=+-=+=，故D 正确. 故选：D.3．若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论： ①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=；③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增； ④反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增． 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择. 【详解】对于①，由()f x 是R 上的奇函数，得()()f x f x -=-，∴|()||()||()|-=-=f x f x f x ，所以|()|y f x =是偶函数，故①正确； 对于②，由()f x 是R 上的奇函数，得()()0f x f x ，而()|()|f x f x =不一定成立，所以对任意的x ∈R ，不一定有()|()|0f x f x -+=，故②错误；对于③，因为()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且()(0)0f x f ，因此2()()[()]y f x f x f x =-=-，利用复合函数的单调性，知()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增，故③正确.对于④，由已知得()f x 是R 上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数1()y fx -=存在且在(,0]-∞上单调递增，故④正确；故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查奇函数定义以及单调性，解题的关键是熟悉奇函数的定义及单调性性质，及反函数的性质，考查学生的基本分析判断能力，属中档题. 4．已知{a n }是公差为d （d ＞0）的等差数列，若存在实数x 1，x 2，x 3，⋯，x 9满足方程组123911223399sin sin sin ...sin 0sin sin sin ...sin 25x x x x a x a x a x a x ++++=⎧⎨++++=⎩，则d 的最小值为（ ）A ．98B ．89C ．54D ．45【答案】C【分析】把方程组中的n a 都用1a 和d 表示，求得d 的表达式，根据方程组从整体分析可知：当1234sin sin sin sin 1x x x x ====-，5sin 0x =，6789sin sin sin sin 1x x x x ====时，d 取最小值．【详解】解：把方程组中的n a 都用1a 和d 表示得：11121319sin ()sin (2)sin (8)sin 25a x a d x a d x a d x +++++++=，把129sin sin sin 0x x x +++=代入得： 23925sin 2sin 8sin d x x x =+++，根据分母结构特点及129sin sin sin 0x x x +++=可知：当1234sin sin sin sin 1x x x x ====-，5sin 0x =，6789sin sin sin sin 1x x x x ====时，d 取最小值为1234025678554---+⨯++=++．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据方程组从整体分析得：当1234sin sin sin sin 1x x x x ====-，5sin 0x =，6789sin sin sin sin 1x x x x ====时，d 取最小值．二、填空题5．集合2{|20}A x x x =-<，{|1}B x x =<，则A B 等于_______________．【答案】()1,2-【详解】试题分析：因为2{|20}(0,2),A x x x =-<={|1}(1,1),B x x =<=-所以结合数轴可得：(1,2).A B ⋃=- 【解析】集合运算6．已知函数34()log (2)f x x=+，则方程1()4f x -=的解x =________ 【答案】1【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1()4f x -=的x 值，即求(4)f 的值．【详解】由题意得x 值即为(4)f 的值，因为34()log (2)f x x =+， 所以34(4)log (2)14f =+=，所以1x =. 故答案为1x =.【点睛】本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点(,)x y ，则反函数过点(,)y x ，考查对概念的理解和基本运算求解能力.7．等比数列(){*}n a n ∈N 中，若2116a =，512a =，则8a =_____．【答案】 4【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案．【详解】设等比数列(){*}n a n ∈N 的公比为q ，则35212a a q ⨯==，解得38q =，即2q，所以3581842a a q =⨯⨯==，故答案为：4．8．若方程x 2﹣2x +3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝_____． 【答案】23【分析】因为∆<0，设m ni α=+，则m ni β=-，根据根与系数关系及模求解. 【详解】因为∆<0，此时方程两根为共轭虚根， 设m ni α=+，则(),m ni m n R β=-∈，223m n αβ∴=+=，222m n αβ∴+=+23=.故答案为：23.9．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＞＜的部分图象如图所示，则f （x ）＝_____．【答案】2sin4x π【分析】由函数的图象顶点的纵坐标求出A ，根据半个周期6242T πω==-=，求出ω，然后再根据004πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭求出ϕ值．【详解】解：根据图象顶点的纵坐标可得2A =，6242T πω==-=，4πω∴=，故函数为2sin()4y x πϕ=+，由五点法作图可得004πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，0ϕ∴=，故()2sin 4f x x π=.故答案为：2sin4x π．10．双曲线22149x y -=的焦点到渐近线的距离等于_____．【答案】3【分析】由给定的双曲线方程写出它的焦点和渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即得.【详解】双曲线22149x y -=中，实半轴a =2，虚半轴b =3，则半焦距c =所以双曲线焦点(F ，渐近线方程32y x =±，即320x y ±=，3==. 故答案为：311．在二项式（1+ax ）7（a ∈R ）的展开式中，x 的系数为73，则()23lim ...n n a a a a →∞++++的值是_____． 【答案】12【分析】求得13a =，利用等比数列的求和公式以及极限的运算性质可求得. 【详解】由题意可知()71ax +的展开式中x 的系数为773a =，解得13a =，所以2321111111133133322313n n n na a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭++++=+++==-⋅-， 因此，()23111lim lim 2232n n n n a a aa →∞→∞⎛⎫++++=-= ⎪⋅⎝⎭. 故答案为：12. 12．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的八个顶点都在同一球面上，若AB ＝1，AA 1，则A 、C 两点间的球面距离是_____． 【答案】2π 【分析】正四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线为球的直径，又因为角AOC 为直角，就可以求出AC 的球面距离．【详解】解：正四棱柱的对角线为球的直径，由()22222114R =++=得1R =，2222222121,AC OA OC R R =+∴=+=+， 222AC OA OC ∴=+，2AOC π∴∠=（其中O 为球心）A ∴、C 两点间的球面距离为22R ππ⨯=，故答案为：2π． 13．在ABC 中，已知AB ＝1，BC ＝2，若cos sin C y C =sin cos CC，则y 的最小值是_____．【答案】12【分析】根据题意，由矩阵的计算公式和平方关系可得212sin y C =-，由正弦定理可得sin C 的最大值，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，222cos sin cos sin 12sin sin cos C Cy C C C C C==-=-，又在ABC 中，sin sin AB BCC A=，而1AB =，2BC =， 即12sin sin C A =，变形可得sin 2sin A C =，则有sin 1sin 22AC =， 则221112sin 1222y C ⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭，即y 的最小值是12.故答案为：12． 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由正弦定理得sin 2sin A C =，则由三角函数的性质sin 1sin 22A C =. 14．已知三行三列的方阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭中有9个数a ij （i ＝1，2，3；j ＝1，2，3），从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率是_____.（结果用分数表示） 【答案】37【分析】从9个数中任取3个，共有39C 种选法；当3个数中位于同行或同列时，共有6种选法；当3个数中都位于不同行或不同列时，共有11321C C ⨯⨯种选法；当3个数中既有两数同行、又有两数同列时共有121334C C C ⋅⋅种选法；然后利用间接法即可得出结论．【详解】解：从9个数中任取3个，共有3984C =种选法；当3个数中位于同行或同列时，共有6种选法；当3个数中都位于不同行或不同列时，共有113216C C ⨯⨯=种选法； 当3个数中既有两数同行、又有两数同列时共有12133436C C C ⋅⋅=种选法； ∴从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率8466363847---==，故答案为：37． 【点睛】关键点点睛：分3个数中位于同行或同列、3个数中都位于不同行或不同列和3个数中既有两数同行、又有两数同列三种情况进行讨论，然后利用间接法求解. 15．在ABC 中，12AM AB =，13AN AC =，BN 与CM 交于点E ，AB a =，AC b =，则AE =_____（用a 、b 表示）． 【答案】2155a b + 【分析】本题可结合题意绘出图像，然后根据M 、E 、C 三点共线得出12m AEm ba ，根据N 、E 、B 三点共线得出13nAE n a b ，最后根据1123m n m b a n a b 求出m 、n 的值，即可得出结果.【详解】如图，结合题意绘出图像：因为M 、E 、C 三点共线， 所以存在实数m 使112mAEm AC m AM m ba ， 因为N 、E 、B 三点共线， 所以存在实数n 使113nAE n AB n AN n ab ， 则1123m nm ba n ab ， 即1312n m m n-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得25n =，15m =，2155AE a b =+，故答案为：2155a b +. 【点睛】关键点点睛：若A 、B 、C 三点共线，O 为直线外一点，则存在实数m 使1OB m OA m OC ，考查数形结合思想，考查计算能力，是中档题.16．已知实数a 、b 使得不等式|ax 2+bx +a |≤x 对任意x ∈[1，2]都成立，在平面直角坐标系xOy 中，点（a ，b ）形成的区域记为Ω．若圆x 2+y 2＝r 2上的任一点都在Ω中，则r 的最大值为_____． 【答案】29【分析】在x ∈[1，2]的条件下，把等式|ax 2+bx +a |≤x 等价转化，利用函数最值建立关于a ，b 的二元一次不等式组，画出其可行域Ω，再用几何意义得解. 【详解】任意x ∈[1，2]，21||(||)1ax bx a x x a b x++≤⇔++≤， 而函数1()f x x x=+在[1，2]上单调递增，则52()2f x ≤≤，又关于a 的函数1()x a b x ++在5[2,]2上图象是线段，1|()|x a b x ++最大值是|2|a b +或5||2a b +所以21512a b a b ⎧+≤⎪⎨+≤⎪⎩，该不等式组表示的平面区域即是点(a ，b )形成的区域Ω，如图中阴影区域(平行四边形ABCD )：点O (0，0)到直线210x y +-=或210x y ++=的距离122521d ==+， 点O(0，0)到直线5102x y +-=或5102x y ++=的距离122229295()12d ==+， 而2295295<，要圆x 2+y 2＝r 2上的任一点都在Ω中，当且仅当22929r ≤，即r 的最大值为229. 故答案为：229【点睛】关键点睛：非线性目标函数的最值求法，关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BA ⊥BC ，BA ＝BC ＝BB 1＝2．（1）求异面直线AB 1与A 1C 1所成角的大小；（2）若M 是棱BC 的中点．求点M 到平面A 1B 1C 的距离．【答案】（1）3π；（2）22. 【分析】（1）1CAB ∠（或其补角）即为异面直线1AB 与11A C 所成角，连接1CB ，在1AB C中，即可求解．（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面11A B C 的法向量，结合1(0,2,1)MB =-，利用空间距离公式求解即可．解法二：过点M 作1MN CB ⊥交1CB 于N ，证明MN ⊥平面11A B C ，然后求解三角形即可．【详解】解：（1）由于A 1C 1//AC ，所以∠CAB 1（或其补角）即为异面直线AB 1与A 1C 1所成角，连接CB 1，在AB 1C 中，由于1122AB BC AC ===，所以AB 1C 是等边三角形， 所以13CAB π∠=，所以异面直线AB 1与A 1C 1所成角的大小为3π．（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C （0，0，2）、B 1（0，2，0）、A 1（2，2，0）、M （0，0，1）．设平面A 1B 1C 的法向量为(),,n n v w =，则111,n CB n A B ⊥⊥． ∵()10,2,2CB =-，()112,0,0A B =-， 且1110,0n CB n A B ⋅=⋅=， ∴220200v w w vu u -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，取v ＝1，得平面A 1B 1C 的一个法向量为()0,1,1n =， 且2n =，又∵()10,2,1MB =-，于是点M 到平面A 1B 1C的距离102n MB d n⋅⨯==== 所以，点M 到平面A 1B 1C 的距离等于2． 解法二：过点M 作MN ⊥CB 1交CB 1于N ，由1111111MN CB MN A B CB A B B⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩⇒MN ⊥平面A 1B 1C ． 在Rt CMN 中，由4MCN π∠=，CM ＝1，得2MN =， 所以，点M 到平面A 1B 1C 的距离等于2． 18．已知函数()f x x a =+ （1）若a =f （x ）的零点；（2）针对实数a 的不同取值，讨论函数f （x ）的奇偶性． 【答案】（1）2x =-；（2）当a ＝0时，函数f （x ）为偶函数，当a≠0时，函数f （x）为非奇非偶函数．【分析】（1）根据解析式，求得定义域，当a =0x+=，解得2x =-∈[﹣1，1]，所以零点为2x =-. （2）若f （x ）为奇函数，则必有f （﹣1）+f （1）＝0，代入求得a 不存在，若函数f （x）为偶函数，由f （﹣1）＝f （1），解得a =0，经检验符合题意，即可得答案. 【详解】（1）根据题意，函数()f x x a =+则有1﹣x 2≥0，解可得﹣1≤x ≤1，即函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]， 由a =0x-=，化简得2210x ++=，即)210+=，则2x =-∈[﹣1，1]， 所以，函数f （x ）的零点为x =； （2）函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]，若函数f （x ）为奇函数，则必有f （﹣1）+f （1）＝0；代入得|a +1|+|a ﹣1|＝0于是11a a =⎧⎨=-⎩无解，所以函数f （x ）不能为奇函数，若函数f （x ）为偶函数，由f （﹣1）＝f （1）得|﹣1+a |＝|1+a |解得a ＝0； 又当a ＝0时，()21f x x x =--，则()()2211f x x x x x f x -=---=--=； 对任意x ∈[﹣1，1]都成立，综上，当a ＝0时，函数f （x ）为偶函数，当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数． 19．元宵节是中国的传统节日之一．要将一个上底为正方形ABCD 的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于A 、C 两点距离）的绳子两头分别拴住A 、C ；B 、D ，再用一根绳子OP 与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图．花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设∠PAC ＝θ，所有绳子总长为y 米．（打结处的绳长忽略不计）（1）将y 表示成θ的函数，并指出定义域；（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长．（精确到0.01米）【答案】（1）y ＝)0.424sin 1cos θθ-+，52θ⎛∈ ⎝⎭；（2）1.17米，1.17米，0.85米．【分析】（1）分别用θ表示||PA ，||PM ， 进而可以表示绳长4||||4||||||y PA OP PA OM PM =+=+-；（2）先求出4sin cos θθ-的最小值及相应的θ值，进而可得结果.【详解】（1）设上底中心为M ，则|AM |＝0.42，|PM |＝0.42tanθ，|P A |＝0.42cos θ， 故绳子总长4||||4||||||y PA OP PA OM PM =+=+-＝1.6210.42tan cos θθ+-＝()0.424sin 1cos θθ-+， 因为||520tan ||40.42OM AM θ<<==，所以520,arctan 4θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭． （2）记A ＝4sin cos θθ-，则sinθ+A cosθ＝4，即()21sin 4A θϕ++=，由sin （θ+φ）≤1，得15A ≥，等号成立时arctan 152πθ=-520,arctan 4⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 从而y min ＝0.430+1≈3.19（米），此时这三根绳子长分别约为1.17米，1.17米，0.85米．【点睛】关键点点睛：本题是三角函数应用题，主要考查应用实践能力.本题的关键点是：能够将实际问题转化为数学问题.20．已知椭圆22163x y +=＝1上有两点P （﹣2，1）及Q （2，﹣1），直线l ：y ＝kx +b与椭圆交于A 、B 两点，与线段PQ 交于点C （异于P 、Q ）． （1）当k ＝1且12PQ CQ =时，求直线l 的方程； （2）当k ＝2时，求四边形PAQB 面积的取值范围；（3）记直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率依次为k 1、k 2、k 3、k 4.当b ≠0且线段AB 的中点M 在直线y ＝﹣x 上时，计算k 1⋅k 2的值，并证明：k 12+k 22＞2k 3k 4．【答案】（1）x ﹣y +1＝0；（2）209⎛ ⎦⎝；（3）12，证明见解析. 【分析】（1）设出点C 的坐标，再根据向量建立方程从而求点C 的坐标即可确定直线l 的方程；（2）分别求出PQ 与AB ,然后再求出面积的表达式，最后求出范围即可； （3）将斜率都用坐标表示，再根据韦达定理化简以及基本不等式即可解决问题. 【详解】（1）设C （a ，b ），则()()=2,1,2,1PC a b CQ a b +-=---，由12PC CQ =，得()()12221112a a b b ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩解得2313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线l 的方程为1233y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即x ﹣y +1＝0． （2）直线l 的方程为y ＝2x +b ，代入椭圆方程，整理得9x 2+8bx +2b 2﹣6＝0（） 则|AB |=由l 与线段PQ0，得﹣5＜b ＜5， 由12PQ k =-，k l ＝2知k PQ ⋅k l ＝﹣1， 所以AB⊥PQ 且PQ =， 故四边形P AQB 的面积S＝12ABPQ ⋅=，其取值范围为209⎛ ⎦⎝． （3）将直线l 的方程l ：y ＝kx +b ，代入椭圆方程，整理得（1+2k 2）x 2+4kbx +2b 2﹣6＝0 （） 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB 中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭， 且x 1，x 2为方程（）的两根，则x 1+x 2＝2412kb k-+． 由条件，有1212022x x y y +++=，即x 1+x 2+y 1+y 2＝0， 又y 1＝kx 1+b ，y 2＝kx 2+b ，故有（1+k ）（x 1+x 2）+2b ＝0，即()2412012kb k b k ⎛⎫+-+= ⎪+⎝⎭，解得b ＝0（舍）或k ＝12． 当k ＝12时，x 1+x 2＝43b -，x 1x 2＝24123b -，则k 1k 2＝()()12121212111111222222x b x b y y x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⋅=++++＝()()()212121************b x x x x b x x x x -+++-=+++，又由于k 3k 4＝()()()()()21212121212121212111111111122422222242b x b x b x x x x b y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⋅===-----++， 由k 1≠k 2，利用基本不等式有2213422k k k k +>成立．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是方程思想的运用，二是面积的设计方案中发现了PQ AB ⊥，三是计算的准确性.21．若数集M 至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数a ，b ，c （a ＜b ＜c ），a ，b ，c 都不能成为等差数列，则称M 为“α集”．（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2n }（n ∈N ，n ≥3）是否是α集？说明理由； （2）已知k ∈N ，k ≥3．集合A 是集合{1，2，3，⋯，k }的一个子集，设集合B ＝{x +2k ﹣1|x ∈A }，求证：若A 是α集，则A ∪B 也是α集；（3）设集合()34122222,,,...,,*,3341n n C n N n n n +⎧⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭，判断集合C 是否是α集，证明你的结论．【答案】（1）集合{1，2，4，8，⋯，2n }（n ∈N ，n ≥3）是“α集”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）集合C 是α集，证明见解析.【分析】（1）根据题中的定义，判断集合是否是集α； （2）使用反证法进行证明；（3）根据题中的定义，运用演绎推理证明结论.【详解】（1）任取三个不同元素2i ＜2j ＜2k （其中0≤i ＜j ＜k ≤n ）， 若此三数成等差数列，则2i +2k ＝2⋅2j ，但1222222i k k j j ++>≥=⋅，因此这三个数不能成等差数列． 所以，集合{1，2，4，8，⋯，2n }（n ∈N ，n ≥3）是“α集”． （2）反证法．假设A ∪B 不是“α集”， 即A ∪B 中存在三个不同元素x ＜y ＜z ， 使x ，y ，z 成等差数列，则x +z ＝2y ．因为A 是“α集”，所以，x ，y ，z 不能全在A 中；如果x ，y ，z 全在B 中，则[x ﹣（2k ﹣1）]+[z ﹣（2k ﹣1）]＝2[y ﹣（2k ﹣1）]依然成立， 且x ﹣（2k ﹣1），y ﹣（2k ﹣1），z ﹣（2k ﹣1）都在A 中， 这说明A 中存在三个数构成等差数列，即A 不是“α集”，与条件矛盾，因此，x ，y ，z 也不能全在B 中， 由于B 中最小可能元素（为2k ）大于 A 中最大可能元素（为k ）， 所以必有x ∈A ，z ∈B ．从而，y ＝12（x +z ）12≤[k +k +（2k ﹣1）]＝2k ﹣12＜2k ，故y ∉B ； 同样，y ＝12（x +z ）12≥[1+1+（2k ﹣1）]＝k +12＞k ，故y ∉A ． 这与y ∈A ∪B 矛盾，故A ∪B 也是“α集”． （3）集合C 是“α集”，证明如下：记()12*1k k a k N k +=∈+，则()()211122202112k k k k k k a a k k k k ++++-=-=⋅++++＞，故a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜…＜a n ．任取a i ，a j ，a k ∈C （其中1≤i ＜j ＜k ），则a i ＜a j ＜a k ．当k ≥j +2时，()()22212222013j i k j i j j j j j a a a a a a a a j j +++-+-≥+--=++＞＞（这是由于j ＞i ≥1，故j ≥2），即a i +a k ＞2a j ；当k ＝j +1时，若a i ，a j ，a k 成等差数列，则a i +a k ＝2a j ，即a i +a j +1＝2a j ，化简得（j +1）（j +2）＝（i +1）⋅2j ﹣i +1（）从而（j +1）（j +2）是2j ﹣i +1的正整数倍，由于j +1与j +2互质（为两个连续正整数）， 因此j +1是2j﹣i +1的正整数倍或j +2是2j﹣i +1的正整数倍，若j +1是2j ﹣i +1的正整数倍，则j +1≥2j ﹣i +1，而j +2＞j +1＞i +1，则（）式不成立； 若j +2是2j ﹣i +1的正整数倍，则j +2≥2j ﹣i +1，而j +1＞i +1，（）仍不成立． 综上可知，a i ，a j ，a k 不能成等差数列，即证明了集合C 是“α集“．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是对题中新定义的理解与运用，二是反证法的运用.。
数学_2010年上海市嘉定区、黄浦区高考数学二模试卷(文科)_(含答案)
2010年上海市嘉定区、黄浦区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分） 1. 方程2sinx −1=0的解集是________．2. 已知直线l 1:√3x −y +2=0，l 2:3x +√3y −5=0，则直线l 1与l 2的夹角是________．3. 已知全集U =R ，若集合A ={x|x 2−x −2>0, x ∈R}，B ={x||x +1|≤2, x ∈R}，则(C U A)∪B =________．4. 幂函数y =f(x)的图象过点A(4, 2)，则函数y =f(x)的反函数f −1(x)=________（要求写明定义域）．5. 已知z =1−i （i 是虚数单位），计算1+3i z¯+√2|z|i =________（其中z ¯是z 的共轭复数）．6. (x −12x)16的二项展开式中第4项是________． 7. 函数y =sin(2x +π3)+cos(2x +π6)的最小正周期T =________ 8. 若|12x5012x 131|=0，则实数x =________． 9. 已知e 1→=(1,3)，e 2→=(1, 1)e 3→=(x, 1)，且e 3→=2e 1→+λe 2→(λ∈R)，则实数x 的值是________．10. 如图所示，角a 的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第二象限的点A(cosα, 35)则cosα−sinα=________．11.如图，已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =√2，BC =√3，AA 1=√6，则异面直线AB 1与BC 1所成的角是________．12. 从某高级中学高一年级的10名优秀学生（其中女生6人，男生4人）中，任选3名学生作为上海世博志愿者，问恰好选到2女1男的概率是________．（用数值作答）13. 某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是32π时，则该圆锥体的体积是________． 14. 某校300名学生，会考化学得分范围是70−119（得分都是整数），为了了解该校这300名学生的会考化学成绩，从中抽查了一部分学生的化学分数，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率分布直方图．请你根据给出的图标解答：（1）填写频率分布表中未完成部分的数据； （2）指出在这个问题中的总体和样本容量；（3）求出在频率分布直方图中直角梯形ABCD 的面积；（4）请你用样本估计总体，可以得到哪些信息？（写一条即可）二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15. 已知a 、b 、c 是直线，α是平面，b 、c ⊊α，则“a ⊥平面α”是“a ⊥b 且a ⊥c”的（ ） A 充要条件 B 充分非必要条件 C 必要非充分条件 D 非充分非必要条件 16. 坐标平面上的点(x, y)位于线性约束条件{x +y ≤5y ≤x +1x ≥0y ≥0所表示的区域内（含边界），则目标函数z =3x +4y 的最大值是（ ） A 15 B 20 C 18 D 2517. 已知无穷等比数列{a n }的前n 项和S n =13n +a(n ∈N ∗)，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和是（ ）A 13 B −13 C 1 D −118. 某中学采用系统抽样方法，从该校800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k =80050=16，即每16人抽取一个人．在1∼16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33∼48这16个数中应取的数是( ) A 40 B 39 C 38 D 37三、解答题（共5小题，满分78分）19. 已知二次函数f(x)=ax 2+bx 对任意x ∈R 均有f(x −4)=f(2−x)成立，且函数的图象过点A(1,32)．（1）求函数y =f(x)的解析式；（2）若不等式f(x −t)≤x 的解集为[4, m]，求实数t 、m 的值． 20. 已知△ABC 的周长为4(√2+1)，且sinB +sinC =√2sinA ． (1)求边长a 的值；(2)若S △ABC =3sinA ，求cosA 的值．21. 已知x ∈R ，函数f(x)=x +ax+1(x ∈[0, +∞)），求函数f(x)的最小值． 22. 已知数列{a n }满足a 1=a ，a 2=2，S n 是数列的前n 项和，且S n =n(a n +3a 1)2(n ∈N ∗)．（1）求实数a 的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）对于数列{b n }，若存在常数M ，使b n <M(n ∈N ∗)，且limn →∞b n =M ，则M 叫做数列{b n }的“上渐近值”．设t n =S n+2S n+1+S n+1S n+2−2(n ∈N ∗)，T n 为数列{t n }的前n 项和，求数列{T n }的上渐近值．23. 已知抛物线y 2=4ax （a >0且a 为常数），F 为其焦点． （1）写出焦点F 的坐标；（2）过点F 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点，且PF →=2FQ →，求直线PQ 的斜率； （3）若线段AC 、BD 是过抛物线焦点F 的两条动弦，且满足AC ⊥BD ，如图所示．求四边形ABCD 面积的最小值S(a)．2010年上海市嘉定区、黄浦区高考数学二模试卷（文科）答案1. {x|x =kπ+(−1)k π6, k ∈Z} 2. π33. [−3, 2]4. y =x 2(x ≥0)5. 2+3i6. T 4=−70x 107. π8. 29. −3 10. −75 11. π4 12. 12 13.64√3π314. 解：（1）根据第一组的频数为15，频率为0.30，所以这次被抽查的学生人数是50人，第三组的频率为1850=0.36，分数在79.5∼89.5之间的人数为50−15−10−18−3=4人，频率为450=0.08，如图：（2）总体是300名学生的中考化学成绩，样本容量为50；（3）∵ ∠DOE=∠AOF，∠E=∠AFO=90∘，DE=AF，∴ △DOE≅△AOF，∴ S梯形ABCD =S矩形ABGF+S矩形CDEG=0.08+0.36=0.44；（4）本题有多个结论，例如，300名初中毕业年级学生化学分数在89.5∼99.5的人数最多，约为108人；或300名初中毕业年级学生化学分数在69.5∼79.5的人数最少，约为18人．15. B16. C17. D18. B19. 解：（1）∵ f(x)=ax2+bx对任意x∈R恒有f(x−4)=f(2−x)成立，且图象过点A(1,32)，∴ {a(x−4)2+b(x−4)=a(2−x)2+b(2−x)a+b=32.化简a(x−4)2+b(x−4)=a(2−x)2+b(2−x)，得(2b−4a)x+(12a−6b)=0．此一元一次方程对x∈R都成立，于是，{2b−4a=012a−6b=0，即b=2a．进一步可得{a=12b=1．∴ 所求函数解析式为f(x)=12x2+x．（2）∵ f(x−t)≤x的解集为[4, m]，∴ 12(x−t)2+x−t≤x，即x2−2tx+t2−2t≤0的解集是[4,m]，且m>4.∴ 4、m是方程x2−2tx+t2−2t=0的两根．于是，{4+m=2t4m=t2−2t，解此方程组，得{m =12t =8或{m =0t =2(舍去)．∴ {m =12t =8．20. 解：(1)根据正弦定理，sinB +sinC =√2sinA 可化为b +c =√2a ， 联立方程组{a +b +c =4(√2+1)，b +c =√2a ，解得a =4， ∴ 边长a =4；(2)∵ S △ABC =3sinA ， ∴ 12bcsinA =3sinA ，bc =6． 又由(1)可知， b +c =4√2， ∴ cosA =b 2+c 2−a 22bc=(b+c)2−2bc−a 22bc=13．21. 解：设x 1、x 2是[0, +∞)内任意两个实数，且x 1<x 2则f(x 1)−f(x 2)=x 1+a x 1+1−x 2−ax 2+1=(x 1−x 2)+a(x 2−x 1)(x1+1)(x 2+1)=(x 1−x 2)(1−a(x 1+1)(x 2+1))．(I)当a <1时， 1−a(x1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1−a (x 1+1)(x 2+1)>0，(x 1−x 2)(1−a(x1+1)(x 2+1))<0即f(x 1)−f(x 2)<0因此，f(x)在[0, +∞)上时单调递增函数，故（f(x)）min =f(0)=a ． (II)当a ≥1时， f(x)=x +a x+1=(x +1)+a x+1−1≥2√a −1．当且仅当x +1=ax+1，即x =√a −1(√a −1∈[0, +∝)）时，等号成立． 于是，（f(x)）min =f(√a −1)=2√a −1．所以，（f(x)）min ={a(a <1)2√a −1(a ≥1)．22. 解：（1）∵ a 1=a ，a 2=2，S n =n(a n +3a 1)2(n ∈N ∗)，∴ S 1=a 1+3a 12，a 1=2a 1，即a 1=0．∴ a =0． （2）由（1）可知，S n =na n 2，2S n =na n (n ∈N ∗)．∴ 2S n−1=(n −1)a n−1(n ≥2)．∴ 2(S n −S n−1)=na n −(n −1)a n−1，2a n =na n −(n −1)a n−1，(n −2)a n =(n −1)a n−1．∴ ann−1=a n−1n−2(n ≥3,n ∈N ∗)．因此，a nn−1=a n−1n−2=a 21，a n =2(n −1)(n ≥2)．又a 1=0，∴ 数列{a n }的通项公式a n =2(n −1)(n ∈N ∗)． （3）由（2）有，S n =na n 2=n(n −1)(n ∈N ∗)．于是，t n =S n+2S n+1+Sn+1S n+2−2=(n +2)(n +1)(n +1)n +(n +1)n(n +2)(n +1)−2=2n −2n+2(n ∈N ∗)． ∴ T n =t 1+t 2+...+t n=(21−23)+(22−24)+(23−25)++(2n −2n +2) =3−2n+1−2n+2<3(n ∈N ∗)．又lim n →∞T n =lim n →∞(3−2n+1−2n+2)=3， ∴ 数列{T n }的上渐近值是3． 23. 解：（1）∵ 抛物线方程为y 2=4ax(a >0)，∴ 焦点为F(a, 0)． （2）设满足题意的点为P(x 0, y 0)、Q(x 1, y 1)． ∵ PF →=2FQ →，∴ (a −x 0，−y 0)=2(x 1−a,y 1)，即{x 1=3a−x 02y 1=−y 02．又y 12=4ax 1，y 02=4ax 0，∴ y 024=4a ⋅3a−x 02，进而可得x 0=2a ，y 02=4ax 0=8a 2，即y 0=±2√2a ．∴ k PQ =k PF =y 0−0x 0−a =±2√2．（3）由题可知，直线AC 既不平行x 轴，也不平行y 轴（否则AC ，BD 与抛物线不会有四个交点），于是，设直线AC 的斜率为k AC =k(k ≠0)，则AC 的方程为：y =k(x −a)． 联立方程组{y 2=4axy =k(x −a)，化简得k 2x 2−2a(k 2+2)x +k 2a 2=0（设点A(x 1, y 1)、C(x 2, y 2)），则x 1、x 2是此方程的两个根． ∴ {x 1+x 2=2a(k 2+2)k 2x 1x 2=a2．∴ 弦长|AC|=|x 1−x 2|√1+k 2 =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(2a(k 2+2)k2)2−4a 2 =4a1+k 2k 2．又AC ⊥BD ，∴ k BD =−1k ． 于是，弦长|BD|=4a1+(−1k )2(−1k)2=4a(1+k 2)．∴ S 四边形ABCD =12|AC|⋅|BD|=8a 2(1+k 2)2k 2=8a 2(k 2+1k 2+2)≥32a 2（当且仅当k 2=1k 2，即k =±1时，等号成立）．∴ S(a)=32a 2．。
【免费下载】上海市三区联考徐汇松江金山届高三数学二模试卷含答案理科
35
2013
中空白执行框内应填入 i
.
7. 在极坐标系中,过圆 6 cos 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐
i 2013
是
S=S+ 1
i
否 输出 S 结束
标方程是__________.
x 2 sin 8. 将参数方程
（ 为参数， R ）化为普通方程，
y 1 2 cos2
2012 学年第二学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷 （理科试卷）
（考试时间：120 分钟，满分 150 分）
2013.4
一．填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.
1．若函数 f (x) ax (a 0, a 1) 的反函数图像过点 (2, 1) ，则 a =
设 OA0 a, OA2013 b ，用 a, b 表示
uuur uuur uuur
uuuuur
OA0 OA1 OA2 L L OA2013 ，其结果为
.
1/4
A2 A1
O
A0
图 12图 图
13.设函数 f x x x ，将 f x向左平移 a (a 0) 个单位得到函数 g x，将 f x向上平移 a
某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为 k .轮船 的最大速度为15 海里/小时.当船速为10 海里/小时，它的燃料费是每小时 96 元，其余航行运作费 用（不论速度如何）总计是每小时150 元.假定运行过程中轮船以速度 v 匀速航行． （1）求 k 的值；（2）求该轮船航行100 海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
2009学年第二学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷 （理科试卷）
（考试时间：120分钟，满分150分） 2010.4
一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)
1．设集合21{|2},{1}2AxxBxx，则AB_______________.
2．已知△ABC中，3cot4A，则cosA_______________.
3． 若数列{}na满足：111,2()nnaaanN，则前6项的和6S .
（用数字作答）
4． 6(2)x的展开式中3x的系数为_____________.
5．若球O1、O2表示面积之比129SS，则它们的半径之比21RR=_____________.
6．函数()24(4)fxxx的反函数为________________.
7．三阶行列式21145324k第2行第1列元素的代数余子式为10，则k____________．
8．椭圆22192xy的焦点为12,FF，点P在椭圆上，若1||4PF，则12FPF的大小为
_______________.
9．ABC中，已知2AB，22AC，则ACB的最大值为_______________.
10．有5只苹果，它们的质量分别为125 a 121 b 127（单位：克）：若该样本的中
位数和平均值均为124， 则该样本的标准差s=_____________.（克）（用数字作答）
11．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos于A、B两点，
则AB=______________________.
12．某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的10道试题中，预计每道题该学生答对的
概率为23。规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，则该学生仅答对2道题的
概率是______________.（用数值表示）
13. 已知1a时，集合,2aa有且只有3个整数，则a的取值范围是___________.
2
14. 设x表示不超过x的最大整数，如1.51,1.52.
若函数0,11xxafxaaa，则1122gxfxfx的值域为
________________.
二．选择题：（本题满分16分，每小题4分）
15． 复数31ii等于---------------------------------------------------------------------------------（ ）
A．i21 B.12i C.2i D.2i
16．下列函数中，与函数1yx 有相同定义域的是--------------------------------------（ ）
A .2()logfxx B.1()fxx C. ()||fxx D.()2xfx
17．设P是△ABC所在平面内的一点，2BCBABP，则----------------------------（ ）
A.0PAPB B. 0PBPC C. 0PCPA D.0PAPBPC
18． 已知,ACBD为圆22:4Oxy的两条互相垂直的弦，,ACBD交于点1,2M，
则四边形ABCD面积的最大值为----------------------------------------------------------------（ ）
A 4 B 5 C 6 D 7
三． 解答题：（本大题共5题，满分78分）
19．（本题满分14分）
在ABC中，a、b、c是A、B、C的对边，已知045B,060C,
231a
，求ABC的面积ABCS.
A
B
C
P
第17题图
3
20．（本题满分14分）
（如图）已知正方体1111ABCDABCD的棱长均为1，M为棱11AB上的点，N为棱1BB的
中点，异面直线AM与CN所成角的大小为2arccos5，求11AMMB的值.
21．（本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第三小题6分）
已知函数 ()(0)xafxaax
（1）判断并证明)(xfy在),0(x上的单调性；
（2）若存在0x，使00fxx，则称0x为函数fx的不动点，现已知该函数有且仅有一个
不动点，求a的值，并求出不动点0x；
（3）若xxf2)(在),0(x上恒成立 , 求a的取值范围．
A
B
D
C
1
A
1
B
1
C
1
D
4
22．（本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）
设,0Pabab、,2Ra为坐标平面xoy上的点，直线OR（O为坐标原点）与抛物线
2
4
yxab
交于点Q(异于O).
（1） 若对任意0ab，点Q在抛物线210ymxm上，试问当m为何值时，点P在
某一圆上，并求出该圆方程M；
（2） 若点(,)0Pabab在椭圆2241xy上，试问：点Q能否在某一双曲线上，若能，
求出该双曲线方程，若不能，说明理由；
（3） 对（1）中点P所在圆方程M，设A、B是圆M上两点，且满足1OAOB，试
问：是否存在一个定圆S，使直线AB恒与圆S相切.
23．（本题满分18分；第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
设数列1,2,nan是等差数列，且公差为d，若数列na中任意（不同）两项之和仍
是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若14,2ad，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？
（2）设nS是数列na的前n项和，若公差11,0da，试问：是否存在这样的“封闭数列”，
使1211111lim9nnSSS；若存在，求na的通项公式，若不存在，说明理由；
（3）试问：数列na为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明.